INTRODUCCIN Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la ms compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricacin deben ser descritos con toda precisin para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamao y funcionalidad. En respuesta a esta necesidad surge la Geometra Descriptiva, la cual se encarga de definir correctamente las tcnicas de la representacin plana (proyeccin) de los objetos tridimensionales antes despus de su existencia real. De manera que estudiar Geometra Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos, resortes, engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos fsicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometra Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboracin de estas proyecciones. Punto Es la representacin de una posicin fija del espacio. No es un objeto fsico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. algunas formas de representar un punto Lnea Es una sucesin infinita de puntos. Las lneas se clasifican basicamente en: -recta,-poligonal,-curva.tipos de lnea Partes de una Recta: -semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos,-segmento: porcin de una recta comprendida entre dos de sus puntos.partes de una recta

Posicin Relativa entre dos Rectas Segn la posicin relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como: -rectas que se cortan: si tienen un punto en comn. En este caso estn contenidas en un plano,-rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso estn contenidas en un plano,-rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no estn contenidas en un planoposicin relativa entre dos rectas Poligonal Lnea formada por segmento rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en: -poligonal abierta: si el primer y ltimo segmentos no estn unidos,-poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos.poligonal Curva Linea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en: Cnica Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolucin con un plano. La cnicas son cuatro y su formacin depende de la relacin entre los ngulos (o0: ngulo que forma el plano seccionante (o) con el plano base del cono) y (|0: ngulo que forman las generatrices del cono con el plano base del mismo) como se describe a continuacin: -circunferencia: se forma cuando el plano seccionante (o) es paralelo al plano base del cono, por lo tanto o0=00,-elipse: se forma cuando o0|0,cnica El estudio de las cnicas es de gran importancia en los campos de la ptica, astronoma, fsica, biologa, informtica e ingeniera, entre otras, ya que son la base del diseo de lentes, espejos, y superficies elpticas, circulares parablicas e hiperblicas; componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares, antenas parablicas, teodolitos, distancimetros y muchos otros instrumentos de gran uso en estas ciencias.

Curva Matemtica, Fsica, Estadstica, etc Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias y su estudio es de gran utilidad en la solucin de problemas relacionados con las mismas. curva trigonomtrica Espiral de Arqumides Curva del plano, generada por un punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (e), alrededor de un punto fijo contenido en ella. espiral de Arqumides Involuta (Envolvente) Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, polgono regular circunferencia. La involuta de un crculo se utiliza en la construccin de los dientes de engranajes. involuta o envolvente Cicloide Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de una circunferencia, que ruede sin deslizarse a lo largo de una recta (a). Las cicloides tienen aplicacin en la construccin de los dientes de engranajes. cicloide Catenaria Curva plana que forma, por la accin de su propio peso, un hilo, completamente homogneo, flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos. La catenaria, tiene gran aplicacin en el diseo de lneas de telefrico, lneas elctricas y puentes colgantes, entre otros, ya que los cables, al ser suspendidos, generan este tipo de curvas y su estudio, permite determinar los esfuerzos a que sern sometidos, por la accin de su propio peso y dems fuerzas que pudieran estar aplicadas sobre ellos. catenaria Hlice Curva del espacio, generada por un punto (P), de una recta (a); la cual se desplaza, con velocidad constante (v) y a su vez rota, con velocidad constante (e), sobre otra recta (e), con la que se corta. Las hlices se clasifican en: -hlice cilndrica. Si el punto (P) que la genera, es un punto fijo de la recta (a),-hlice cnica. Si el punto (P) que la genera, se mueve, con velocidad lineal constante (vo), a lo largo de la recta (a).Entre otras aplicaciones, las hlices se utilizan en ingeniera mecnica, para el diseo de roscas de tornillos y tornillos sin fn y en ingeniera civil y arquitectura en el diseo de escaleras en espiral (escaleras de caracol). hlice ngulo Porcin de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen comn.

Clasificacin de los ngulos, segn su Medida ngular Segn su medida ngular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ngulo recto), un ngulo se define como: ngulos Consecutivos Son dos ngulos ubicados uno a continuacin del otro. Se denominan: -ngulos complementarios: si suman 900,-ngulos suplementarios: si suman 1800.ngulos consecutivos ngulos Opuestos y ngulos Adyacentes Dos rectas que se cortan definen cuatro ngulos, los cuales, tomados en pares se definen como: -ngulos opuestos: si no poseen ninguna semirrecta comn. En este caso sus medidas angulares son iguales,-ngulos adyacentes: si poseen una semirrecta comn. En este caso son ngulos suplementarios.ngulos opuestos y ngulos adyacentes ngulos Alternos y ngulos Correspondientes Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ngulos, los cuales, considerados en pares de igual medida ngular, se denominan: -ngulos alternos, clasificados a su vez en:ongulos alternos internos,ongulos alternos externos,-ngulos correspondientes. Polgono Figura geomtrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si misma. Clasificacin de los Polgonos Los polgonos se clasifican bsicamente en: -polgonos regulares-polgonos irregulares

Polgono Regular Polgono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vrtices estn circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en: -tringulo equiltero: polgono regular de 3 lados,-cuadrado: polgono regular de 4 lados,-pentgono regular: polgono regular de 5,-hexgono regular: polgono regular de 6 lados,-heptgono regular: polgono regular de 7 lados,-octgono regular: polgono regular de 8 lados,... y as sucesivamente.polgono regular Polgono IrregularPolgono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vrtices no estn contenidos en una circunferencia. De acuerdo al nmero de sus lados, se denominan: -tringulo: polgono de 3 lados,-cuadriltero: polgono de 4 lados,-pentgono: polgono de 5 lados,-hexgono: polgono de 6 lados,-heptgono: polgono de 7 lados,-octgono: polgono de 8 lados,... y as sucesivamente.poligono irregular

Tringulo Polgono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ngulos, los tringulos se clasifican en: -tringulo issceles: 2 ngulos iguales,-tringulo escaleno: 3 ngulos diferentes,-tringulo rectngulo: 1 ngulo recto,-tringulo obtusngulo: 1 ngulo obtuso,-tringulo acutngulo: 3 ngulos agudos.tringulo: polgono de 3 lados

Cuadriltero Polgono de 4 lados. Se clasifican en: -paralelogramo: cuadriltero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su vez:orectngulo: paralelogramo en el cual los cuatro ngulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud,orombo: paralelogramo que no tiene ngulos rectos, pero sus lados son de igual longitud,oromboide: paralelogramo que no tiene ngulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud,-trapecio: cuadriltero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como:otrapecio rectngulo: trapecio que tiene dos ngulos rectos,otrapecio issceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud,-trapezoide: cuadriltero que no tiene lados paralelos.cuadriltero: polgono de 4 lados Superficie Configuracin geomtrica que posee solo dos dimensiones. superficie Clasificacin de las Superficies Entre las superficies principales se pueden mencionar: -crculo-superficie reglada-superficie de curvatura doble

Crculo Superficie plana limitada por una circunferencia. circunferencia, crculo y sus partes

Superficie reglada Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, mantenindose en contacto con otra u otras lneas, denominadas directrices, cumpliendo adems en su desplazamiento ciertas condiciones particulares. superficie reglada Entre las superficies regladas se pueden mencionar: -plano,-superficies de curvatura simple,-superficies alabeadas.

Plano Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz. plano Superficie de curvatura simple Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan). Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son: -superficie cilindrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo adems paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:osuperficie cilindrica de revolucin: superficie cilndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella,osuperficie cilindrica de n revolucin: superficie cilndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g),-superficie cnica: superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), mantenindose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto comn (V), denominado vrtice; se clasifican en:osuperficie cnica de revolucin: superficie cnica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ngulo con un eje (e), que pasa por el vrtice (V),osuperficie cnica de n revolucin: superficie cnica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ngulo con todas las posiciones de la generatriz.superficie de curvatura simple

Superficie alabeada Es una superficie reglada n desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este tipo de superficies, se puede citar: -cilindroide: la generatriz (g) se desplaza mantenindose paralela a un plano director (o) y apoyada sobre dos directrices (d1 y d2) curvas,-conoide: la generatriz (g) se desplaza mantenindose paralela a un plano director (o) y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2).-Superficie doblemente reglada: Superficie alabeada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden citar:oparaboloide hiperblico: la generatriz (g) se desplaza mantenindose paralela a un plano director (o) y apoyada sobre dos directrices rectas (d1 y d2) que se cruzan,ohiperboloide de revolucin: la generatriz (g) se apoya sobre dos directrices (d1 y d2) circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el ngulo (o0) que forma ellas.superficie alabeada

Superficie de curvatura dobleSon superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen lneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cudricas, las cuales son superficies generadas por la rotacin de una curva cnica alrededor de uno de sus ejes. Las cudricas son: -esfera: la generatriz (g) es una circunferencia,-elipsoide: la generatriz (g) es una elipse,-paraboloide: la generatriz (g) es una parbola,-hiperboloide: La generatriz (g) es una hiprbola.superficie de curvatura doble Slido Espacio limitado por superficies.

Clasificacin de los Slidos Los sel idosc se clasifican basicamente en: -poliedros-cuerpos redondospoliedro y cuerpo redondo Poliedro Slido limitado por superficies planas (polgonos). Sus partes se denominan: -caras: polgonos que limitan al poliedro,-aristas: lados de las caras del poliedro,-vrtices: puntos donde concurren varias aristas.

Clasificacin de los Poliedros Los poliedros se clasifican bsicamente en: -poliedros regulares-poliedros irregulares

Poliedro Regular Poliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vrtices estn contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan: -tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 tringulos equilteros iguales,-hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,-octaedro regular: poliedro regular definido por 8 tringulos equilteros iguales,-dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentgonos regulares iguales,-icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 tringulos equilteros iguales.poliedros regulares Poliedro Irregular Poliedro definido por polgonos que no son todos iguales.

Clasificacin de los Poliedros Irregulares Los poliedros irregulares se clasifican bsicamente en: -tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,-pirmide-prismadenominacin de los poliedros irregulares, segn el nmero de sus caras Pirmide Poliedro definido por un polgono base y cuyas caras laterales son tringulos que poseen un vrtice comn (V), denominado vrtice de la pirmide, que no est contenido en el plano base. La recta que pasa por el vrtice de la pirmide y el centro geomtrico de la base se denomina eje de la pirmide (e). Las pirmides se clasifican en: -pirmide recta: el eje es perpendicular al polgono base,-pirmide oblicua: el eje no es perpendicular al polgono base,-pirmide regular: la base es un poligono regular,opirmide regular recta: la base es un poligono regular y el eje es perpendicular al polgono base.opirmide regular oblicua: la base es un poligono regular y el eje no es perpendicular al polgono base.pirmides Prisma Poliedro definido por dos polgonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geomtricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en: -prisma recto: el eje es perpendicular a los polgonos base,-prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polgonos base,-prisma regular: las bases son poligonos regulares,oprisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a los polgonos base.oprisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a los polgonos base.-paralelepipedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuosprismas Cuerpo RedondoSlido que contiene superficies curvas.

Clasificacin de los Cuerpos Redondos Los cuerpos redondos se clasifican bsicamente en: -cilindro-cono-slido de revolucin

Cilindro Cuerpo redondo limitado por una superficie cilndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geomtricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilndrica. Los cilindros pueden ser: -cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases,-cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases,-cilindro de revolucin: si est limitado por una superficie cilndrica de revolucin. Pueden a su vez ser:ocilindro de revolucin recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases,ocilindro de revolucin oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.cilindro Cono Cuerpo redondo limitado por una superficie cnica y por una base plana. La recta que pasa por el vrtice (V), de la superficie cnica y el centro geomtrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser: -cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base,-cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base,-cono de revolucin: si est limitado por una superficie cnica de revolucin. Pueden a su vez ser:ocono de revolucin recto: si el eje (e), es perpendicular a la base,ocono de revolucin oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base.cono

Slido de revolucin Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota alrededor de un eje (e). Entre ellos se pueden mencionar: -slidos limitdos por superficies cuadricas:oesfera: la generatriz es una circunferencia,oelipsoide: la generatriz es una elipse,oparaboloide: la generatriz es una parbola,ohiperboloide: la generatriz es una hiprbola,-toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella.slidos de revolucin SISTEMAS DE PR0YECCIN

Enestecaptulosehaceunabrevedescripcindelossistemasdeproyeccinmas utilizados en Ingeniera y Arquitectura, describiendo el fundamento bsico de la ejecucin de proyecciones en estos sistemas.

Elobjetivoprincipaldelcaptuloesqueelestudianteconozcaestossistemasde proyeccin, y sepa identificar cuando un objeto esta representado en cada uno de ellos. Al igual que el captulo anterior, el carcter del presente capitulo es bsicamente informativo porlotantosepresentanlascaractersticasmasesencialesdeestossistemasde proyeccin sin entrar en descripciones profundas de sus mtodos de trabajo. SISTEMA DE PROYECCIN

Un sistema de proyeccin es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyeccin deunobjetosobreunasuperficie.Comopuedeobservarseenlafig.1,entodosistemade proyeccin intervienen cuatro elementos, denominados:

a)Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, slido, etc; en fin cualquier elemento geomtrico objeto en s. b) Punto de observacin. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio. c)Superficiedeproyeccin.Eslasuperficiesobrelacualseproyectarelobjeto. Generalmenteesunplano;aunquetambinpuedeserunasuperficieesfrica,cilndrica, cnica, etc. d) Proyectantes.Sonrectasimaginariasqueunenlospuntosdelobjetoconelpuntode observacin.

fig.1.\ Sistema de proyeccin

La proyeccin (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando suproyectante con el plano de proyeccin. PROYECCIN CILNDRICA

Seobtienecuandoelpuntodeobservacinseencuentraaunadistanciatangrandedel objeto,quepermitaconsiderarquelasproyectantessonparalelasalinterceptarseconel plano de proyeccin (fig.2). Los principales tipos de proyeccin cilndrica son:

fig.2.\ Proyeccin cilndrica

1) Proyeccinortogonal.Tambindenominadaproyeccinortogrfica.Seobtiene cuandolasproyectantessonperpendicularesalplanodeproyeccin.Laproyeccin ortogonal es muy utilizada en el diseo de piezas mecnicas y maquinarias\ fig.2a. Los principales tipos de proyeccin ortogonal son: i)Proyeccinenvistasmltiples.Cadavistaesunaproyeccinortogrfica.Para obtener una vista se coloca el plano de proyeccin preferentemente paralelo a una de las caras principales del objeto\ fig.3.

fig.3.\ Vista ortogrfica

Losobjetosserepresentangeneralmenteentresvistasortogrficas.Losmtodos utilizados para determinar estas vistas son: A)Proyeccinenelsptimotriedro(sptimooctante).UsadoenlosEstadosUnidosy Canad.\ fig.4. fig.4.\ Proyeccin en vistas mltiples en el sptimo triedro

B) Proyeccin en el primer triedro (primer octante). Usado en todo el mundo, excepto en los Estados Unidos y Canad.\ fig.5.

fig.5.\ Proyeccin en vistas mltiples en el primer triedro

ii)Proyeccinacotada.Esunaproyeccinortogonalsobrelaqueseacotanen cada punto, lnea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyeccin\ fig.6. Laproyeccinacotadaesmuyprcticacuandoesnecesariorepresentar grficamente objetos irregulares; razn por la cual se usa frecuentemente para el diseodetechosdeviviendas;construccindepuentes,represas,acueductos, gasoductos, carreteras, determinacin de reas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topogrficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.

fig.6.\ Proyeccin acotada

iii) Proyeccin axonomtrica. Se obtiene cuando el plano de proyeccin no es paralelo a ninguno de los tres ejes principales del objeto\ fig.7.

fig.7.\ Proyeccin axonomtrica

Laproyeccinaxonomtrica,dependiendodelosngulosqueformanentreslos ejes axonomtricos (proyecciones de los ejes principales del objeto), se denomina: A)Proyeccinisomtrica.Seobtienecuandolostresngulosqueformanlosejes axonomtricossoniguales.Alrepresentarobjetosenproyeccinisomtricase mide en una misma escala sobre los tres ejes isomtricos.\ fig.8

fig.8.\ Proyeccin isomtrica

B)Proyeccindimtrica.Seobtiene cuando solodosdelostresngulosqueforman losejesaxonomtricossoniguales.Alrepresentarunobjetoenproyeccin dimtrica debe medirse en dos de los ejes axonomtricos con una misma escala y conunaescaladiferenteeneltercerejeaxonomtrico.Laformagrficade determinarlarelacinentrelasescalassobrelostresejesaxonomtricospara cualquierdistribucindelosmismos,semuestraenlafig.10.Noobstante,enla fig.9,semuestrantresdistribucionesmuyusadasdeejesdimtricosconsus respectivasescalas,estasproporcionesdifierenmuypocodelosvalorestericos reales,loscualesdeserusadosdifucultaringrandementelaejecucindela dimetra.

fig.9.\ Proyecciones dimtricas

C)Proyeccintrimtrica.Seobtienecuandolostresngulosqueformanlosejes axonomtricossondiferentes.Enlaproyeccintrimtricacadaejeaxonomtrico posee su propia escala diferente a la de los otros dos.\ fig.10

fig.10.\ Proyeccin trimtrica

2) Proyeccinoblicua.Seobtienecuandolasproyectantesnosonperpendicularesal planodeproyeccin(fig.2b).Preferentementealdibujarenproyeccinoblicuase colocaelplanodeproyeccin paraleloaunadelascarasprincipalesdelobjeto;ya que de esta forma dicha cara se proyectar en verdadero tamao\ fig.11.

fig.11.\ Proyeccin oblicua

Aldefinirunaproyeccinoblicua elejerecedente(ejedeprofundidaddelobjeto)se puede proyectarformandocualquierngulo(oo)conrespectoalosotrosdos;e independientementedeestengulo(oo),laprofundidaddelobjetosepuedeproyectar tambinencualquierlongitud(tericamentehastaunalongitudinfinita).Porlotanto,al dibujarenproyeccinoblicua,setrazaelejerecedenteacualquierngulo,ysemidenlas profundidades sobre el en cualquier escala\ fig.12.

fig.12.\ Proyeccin oblicua

Sin embargo, la escala a utilizar para el eje recedente debe elegirse en forma intuitiva, enfuncindelnguloenquesedibuje,demodoquelarepresentacindelobjeto muestreunaapreciacinrealdesuformayproporciones.Entrelasproyecciones oblicuas mas utilizadas se pueden mencionar: i) Proyeccin caballera\ Se origin en el dibujo de las fortificaciones medievales.\ fig.13

fig.13.\ Proyeccin caballera

ii)Proyeccin de gabinete\ Recibe este nombre debido a que se us grandemente en la industria del mueble.\ fig.14

fig.14.\ Proyeccin de gabinete

iii)Proyeccinoblicuaarea.Esunaproyeccinoblicuarealizadasobreundibujoen plantadeunaedificacin,urbanismo,etc.conlafinalidaddeapreciarsuforma tridimensional\ fig.15.

fig.15.\ Proyeccin oblicua area

PROYECCIN CNICA

Denominada tambin perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observacin y el objeto se encuentran relativamente cercanos\ fig.16.

fig.16.\ Proyeccin cnica

Geomtricamente, una fotografa es una perspectiva; razn por la cual la proyeccin cnica sobrepasa en excelencia a los dems sistemas de proyeccin por ser la que mas se acerca a la vista real obtenida por el observador.

Eldibujoenperspectivaesmuyutilizadoeneldiseoarquitectnico,civil,industrial, publicitario, etc. Las perspectivas pueden ser:

1)Perspectiva de un punto de fuga. Se obtiene cuando el plano de proyeccin es paralelo a una de las caras principales del objeto (el plano de proyeccin es paralelo a dos de los tres ejes principales del objeto)\ fig.17.

fig.17.\ Perspectiva de un punto fuga

2) Perspectivadedospuntosdefuga.Seobtienecuandoelplanodeproyeccines paralelo a solamente uno de los tres ejes principales del objeto\ fig.18.

fig.18.\ Perspectiva de dos puntos de fuga

3) Perspectivadetrespuntosdefuga.Seobtienecuandoningunodelostresejes principales del objeto es paralelo al plano de proyeccin\ fig.19.

fig.19.\ Perspectiva de tres puntos de fuga Las perspectivas de uno, dos, y tres puntos de fuga, pueden dibujarse en forma sencilla a partir de las proyecciones en vistas mltiples, como se muestra en las fig.20; fig.21; y fig.22, respectivamente.

fig.20.\ Dibujo de una perspectiva de un punto de fuga

fig.21.\ Dibujo de una perspectiva de dos puntos de fuga

fig.22.\ Dibujo de una perspectiva de tres puntos de fuga

PROYECCIN DIDRICA Se inicia en este captulo el estudio del sistema de Proyeccin Didrica, tambin denominado sistema de Doble Proyeccin Ortogonal, Comenzando con la descripcin de este sistema de proyeccin, que se basa en definir la proyeccin ortogonal de los objetos, en forma simultnea, sobre dos planos principales de proyeccin, perpendiculares entre s. De esta forma se obtienen dos proyecciones ortogonales del objeto e estudio, por medio de las cuales se puede concebir la forma tridimensional del mismo. Una vez que el estudiante comprenda los fundamentos del sistema de doble proyeccin didrica, ser capaz de representar objetos, y podr resolver cualquier problema relacionado con la forma tridimensional de los mismos, sin necesidad de elaborar complicadas perspectivas o representaciones en otros sistemas de proyeccin mas laboriosos. Sistema de Proyeccin Didrica El sistema de proyeccin didrica se compone bsicamente de dos planos de proyeccin, perpendiculares entre s, denominados: planos principales de proyeccin; y en forma particular: plano vertical de proyeccin (PV) y plano horizontal de proyeccin (PH). Los componentes principales del sistema de proyeccin didrica son: -PV (plano vertical de proyeccin),-PH (plano horizontal de proyeccin): forma 900 con el PV,-LT (lnea de tierra): es la interseccin entre los planos vertical y horizontal de proyeccin,-O (origen): punto comn a los tres ejes de coordenadas, a partir del cual se miden las coordenadas de los puntos,-X (eje de coordenadas x): eje sobre el cual se miden las coordenadas (x) de los puntos; coincide con la lnea de tierra,-Y (eje de coordenadas y): eje sobre el cual se miden las coordenadas (y) de los puntos,-Z (eje de coordenadas z): eje sobre el cual se miden las coordenadas (z) de los puntos, -diedro (cuadrante): cada una de las 4 porciones en que dividen a a todo el espacio los planos principales de proyeccin. Se denominan: oI C (primer cuadrante): porcin del espacio comprendida por encima del PH y por delante del PV,oII C (segundo cuadrante): porcin del espacio comprendida por encima del PH y por detrs del PV,oIII C (tercer cuadrante): porcin del espacio comprendida por debajo del PH y por detrs del PV,oIV C (cuarto cuadrante): porcin del espacio comprendida por debajo del PH y por delante del PV.- -Plano Lateral -Es un plano auxiliar de proyeccin que esta definido por los ejes de coordenadas (Y) y (Z). Sobre este plano, cuando sea necesario, se proyectan ortogonalmente los objetos, denominndose estas proyecciones: proyecciones laterales. Dibujo en Proyeccin Didrica la proyeccin didrica se obtiene rotando el plano horizontal de proyeccin alrededor de la lnea de tierra, hasta hacerlo coincidir con el plano vertical de proyeccin, como lo muestra las figuras (1 a 4). En la figura (5) se muestra el mismo esquema en proyeccin frontal. Y finalmente, la figura (6), muestra el esquema de trabajo en proyeccin didrica; este se obtiene sustituyendo los ejes de coordenadas por una recta horizontal (lnea de tierra, eje (X)), en la cual se seala el origen con un pequeo segmento vertical que la corta. Es muy importante tener presente que en la representacin definitiva figura (6), los ejes de coordenadas y el origen no dejan de existir; si no que han sido substrados de la representacin, por lo tanto, aunque no se vean dibujados o falten sus nomenclaturas, ellos existen en las posiciones que indica la figura (5). dibujo en proyeccin didrica Proyeccin Didrica de un Punto Se denomina as a la representacin de las proyecciones ortogonales de un punto, sobre los planos vertical y horizontal de proyeccin en forma simultanea. los puntos se denominan con letras maysculas (A,B,C,...Z) o con nmeros (1,2,3...). Coordenadas de un Punto Son las distancias expresadas en milmetros, que al medirse sobre los ejes de coordenadas, a partir del origen, permiten definir con exactitud la ubicacin de un punto en el espacio. En proyeccin didrica, las coordenadas se denominan: -X: distancia al plano lateral,-Y: vuelo alejamiento,-Z: cota altura.Las coordenadas de un punto se expresan siempre en orden y separadas por punto y coma (;). Por ejemplo, la notacin A(50; 70; 60), identifica a un punto (A) con las siguientes coordenadas: -AX: distancia del punto (A) al plano lateral: 50 mms,-AY: vuelo del punto (A): 70 mms,-AZ: cota del punto (A): 60 mms.Las coordenadas de un punto, tambin representan las distancias desde el punto a los planos principales de proyeccin y al plano lateral. El punto A(50; 70; 60), ya mencionado, se encuentra a distancias de: -50 mms. del plano lateral,-70 mms. del plano vertical de proyeccin,-60 mms. del plano horizontal de proyeccin. En la figura (1) se muestra un esquema en perspectiva de la proyeccin didrica de este punto (A), y en la figura (2), la proyeccin didrica propiamente dicha del mismo. Las coordenadas no se acotan, de forma que la representacin definitiva, en proyeccin didrica, es la mostrada en la figura (3). Posiciones Particulares de un Punto Dependiendo de la posicin que ocupe un punto con respecto al origen, sus coordenadas pueden tener signo positivo negativo, o un valor de cero. De manera que observando lestos valores se puede conocer si el punto est ubicado en: -un cuadrante,-un plano principal de proyeccin,-el plano lateral,-el orgen,-un eje de coordenadas. -Punto Ubicado en un Cuadrante Punto Ubicado en un Plano Principal de Proyeccin:

Punto en el Plano Lateral: Punto en el Origen: Punto en un Eje de Coordenadas:

Punto en un Eje (x):

Punto en un Eje (y):

Punto en un Eje (z): Proyeccin Lateral de un Punto Se llama as a la proyeccin ortogonal de un punto sobre el plano lateral. En este sistema de proyeccin, el punto de observacin se encuentra a una distancia infinita del plano lateral, en direccin del eje (X), el cual se proyecta en su totalidad en el punto de origen (O).

El punto de observacin, puede tambin ubicarse en sentido opuesto al eje (X), resultando en esta caso, la proyeccin lateral, como se muestra:

En el sistema de proyeccin lateral, los planos vertical (PV) y horizontal (PH) de proyeccin, se encuentran totalmente proyectados sobre los ejes (Z) e (Y) respectivamente, los cuales se observan cortndose a 900.

Representacin de Puntos en Proyeccin Lateral En la figura (a) se representan las proyecciones laterales de los puntos (A,B,C y D), ubicados en los cuadrantes (I; II; III y IV), respectivamente, y en la figura (b) se representan las proyecciones laterales de los mismos puntos, cambiando el sentido del eje (Y). Obtencin de la Proyeccin Lateral de un Punto a partir de su Proyeccin Didrica Generalmente la proyeccin lateral de un punto se obtiene a partir de su proyeccin didrica. Para determinar la proyeccin lateral (Al) de un punto (A), a partir de sus proyecciones vertical (Av) y horizontal (Ah) figura (a), se sigue el procedimiento siguiente: -se definen los ejes de proyeccin, figura (b):oeje (Z): perpendicular a la lnea de tierra, y por cualquier punto (O) de ella,oeje (Y): coincide con la lnea de tierra, y se dirige hacia la derecha izquierda (en el ejemplo hacia la derecha),-se trasladan la cota (AZ) y el vuelo (AY) del punto (A) hacia el eje (Z), figura (c),se rota, mediante un arco con centro en el punto (O) y recorriendo un cuadrante par (en el ejemplo el IV C), el vuelo (AY) del punto (A), desde el eje (Z) hasta el eje (Y), figura (d); y se define la proyeccin lateral (Al) del punto (A) por medio de rectas paralelas a los ejes (Z e Y).

Ejemplo 1: definir las proyecciones laterales de los puntos (A;B;C; y D), figura (a). Solucin: en la figura (b), se muestra como obtener las proyecciones laterales de estos puntos; ubicando el eje (Z) a igual distancia al plano lateral que el punto (B), y dirigiendo el eje (Y) hacia la derecha. Puede observarse en la figura (b), que los arcos han sdo trazados recorriendo slo los cuadrantes pares (II C IV C). La razn de esto es mantener el signo del vuelo de los respectivos puntos en ambos sistemas, ubicando sus proyecciones laterales en el cuadrante correcto.

Ejemplo 2: definir la proyeccin lateral del tringulo de vrtices (A;B;C), figura (a). Solucin: figura (b). Posicin Relativa entre dos Puntos En la figura (a), se sealan los nombres dados a los sentidos de avance de cada uno de los ejes de coordenadas. En base a estos sentidos, se puede expresar, en forma relativa, la posicin de un punto con respecto a otro. Ejemplo terico: expresar la posicin relativa entre los puntos (A y B). Solucin: la posicin relativa entre los puntos (A y B) puede expresarse, entre otras, de las siguientes maneras: -el punto (A) se encuentra a la izquierda (tiene menos distancia al plano lateral); por debajo (tiene menos cota); y por delante (tiene mayor vuelo) del punto (B).-el punto (B) se encuentra a la derecha (tiene mas distancia al plano lateral); mas alto (tiene mayor cota); y por detrs (tiene menor vuelo) del punto (A).

En resumen: -comparando las distancias al plano lateral de dos puntos, puede decirse cual de ellos est a la izquierda a la derecha del otro,-comparando los vuelos de dos puntos, se define cual de ellos est por delante por detrs del otro-y, comparando las cotas de dos puntos, puede determinarse cual de ellos est por encima o por debajo del otro.

ejemplo prctico: definir las proyecciones de los puntos: -A ( 45; -20; 05)-B ( ?; 25; ?) A 10 mms del plano lateral; y 5 mms por encima de (A);-C ( ?; ?; ?) 15 mms a la derecha de (B); 30 mms delante de (A); y 15 mms por encima del plano horizontal de proyeccin;-D ( 60; ?; ?) En el IV cuadrante; a 15 mms del plano horizontal de proyeccin; y a 20 mms del plano vertical de proyeccin;-E ( ?; ?; ?) Contenido en el plano vertical de proyeccin; 25 mms a la izquierda de (D); y 15 mms debajo del plano horizontal de proyeccin;-F ( ?; ?; ?) En el eje (Z); y 35 mms por debajo de (C);-G ( 65; ?; ?) 05 mms delante de (A); y 30 mms mas alto que (D);-H ( ?; 10; 20) En el plano lateral;-I ( ?; ?; ?) En la lnea de tierra y a 15 mms del origen.solucin: Proyeccin Didrica de una Recta Las rectas se designan con letras minsculas (a; b; c;...). Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A y B) Proyeccin didrica de una recta Punto Contenido en una Recta Si un punto (P) esta contenido en una recta (r), entonces las proyecciones vertical (Pv) y horizontal (Ph) del punto estn contenidas en las proyecciones vertical (rv) y horizontal (rh) de la recta, respectivamente. punto contenido en una recta De esta forma, es posible determinar las proyecciones de un punto conocida una sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta contenido en una recta dada ubicacin de un punto (A) en una recta (r) Punto Contenido en una Recta Si un punto (P) esta contenido en una recta (r), entonces las proyecciones vertical (Pv) y horizontal (Ph) del punto estn contenidas en las proyecciones vertical (rv) y horizontal (rh) de la recta, respectivamente. punto contenido en una recta De esta forma, es posible determinar las proyecciones de un punto conocida una sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta contenido en una recta dada ubicacin de un punto (A) en una recta (r) Trazas de una Recta Son los puntos donde la recta se intercepta con los planos principales de proyeccin; se denominan: -traza vertical: punto donde la recta se intercepta con el plano vertical de proyeccin. Generalmente se designa con la letra (V).-traza horizontal: punto donde la recta se intercepta con el plano horizontal de proyeccin. Generalmente se designa con la letra (H).trazas de una recta

Determinacin de las Trazas de una Recta Las trazas de una recta se determinan, en doble proyeccin ortogonal, interceptando sus proyecciones con la lnea de tierra determinacin de las trazas de una recta Visibilidad en Rectas Debido a que los planos principales de proyeccin tapan a los objetos contenidos en los cuadrantes dos, tres y cuatro, solamente pueden ser visibles al observador los elementos geomtricos que se encuentren en el primer cuadrante, como puede observarse en la figura.

Las partes invisibles se representan, en proyeccin didrica con lneas de contorno invisible; aunque tambin es frecuente, en el desarrollo de problemas en proyeccin didrica, representarlas con lneas de procedimiento. Cuadrantes que Atraviesa una Recta Considerando la extensin infinita de una recta, ella puede: -mantenerse en un cuadrante-atravesar dos cuadrantes-atravesar tres cuadrantes

Recta que se Mantiene en un Cuadrante Si una recta es paralela a la lnea de tierra, se mantiene en un cuadrante. En este caso la recta no posee trazas.

Recta que se Atraviesa dos Cuadrantes Si una recta es paralela a uno solo de los planos principales de proyeccin, o se corta con la lnea de tierra (sin estar cotenida en un plano principal de proyeccin), entonces atraviesa dos cuadrantes; en este caso la recta tiene una sola traza.

Recta que se Atraviesa tres Cuadrantes Si una recta no es paralela a ninguno de los planos principales de proyeccin, ni se corta con la linea de tierra, entonces atraviesa tres cuadrantes. En este caso la recta tiene dos trazas. Determinacin de los Cuadrantes que Atraviesa una Recta Las trazas de una recta son tambin los puntos donde la recta cambia de cuadrante, por lo tanto, para determinar que cuadrantes atraviesa una recta (r), figura (a), puede seguirse el siguiente procedimiento: -se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r) y se acotan las dos semirrectas y el segmento en que la misma queda dividida, figura (b),-se ubican tres puntos (1; 2 y 3) arbitrarios, cada uno de ellos situado en una de estas tres partes de la recta, figura (c),-se determina en que cuadrante se encuentra ubicado cada uno de los puntos anteriores, los cuales se corresponden al cuadrante en que se encuentra la parte de la recta que lo contiene, figura (d). Determinacin de los cuadrantes que atraviesa una recta Tringulos de Rebatimiento Son dos tringulos rectngulos por medio de los cuales puede determinarse la longitud de un segmento de recta y los ngulos que este forma con los planos principales de proyeccin. Se denominan: -tringulo de rebatimiento horizontal y-tringulo de rebatimiento vertical. -Tringulo de Rebatimiento Horizontal-Diferencia de Cota entre dos Puntos -La diferencia de cota (AZA-B) entre dos puntos (A y B) es, matemticamente, el valor absoluto de la resta de las cotas de ambos puntos (AZA-B = |AZ-BZ|). Grficamente, se determina trazando, por uno de los puntos (A), una recta (a) perpendicular al plano horizontal de proyeccin, y por el otro (B), una recta (b) paralela al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyeccin real de la recta (r) forman un tringulo rectngulo denominado: tringulo de rebatimiento horizontal. - La nomenclatura utilizada en las figuras representa: -AZA-B : Diferencia de cota entre los puntos (A y B). AYA-B : Diferencia de vuelo entre los puntos (A y B). oo : ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano horizontal de proyeccin. |o : ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano vertical de proyeccin. Ar : Proyeccin rebatida del punto (A). Br : Proyeccin rebatida del punto (B). dA-B : Longitud real (verdadero tamao) del segmento (A-B) (distancia entre los puntos (A y B). -El tringulo de rebatimiento horizontal de un segmento (A-B) generalmente se dibuja, en doble proyeccin ortogonal, sobre la proyeccin horizontal (Ah-Bh) del mismo. Tringulo de Rebatimiento Vertical-Diferencia de Vuelo entre dos Puntos La diferencia de vuelo (AYA-B) entre dos puntos (A y B) es, matemticamente, el valor absoluto de la resta de los vuelos de ambos puntos (AYA-B = |AY-BY|). Grficamente, se determina trazando, por uno de los puntos (B), una recta (b) perpendicular al plano vertical de proyeccin, y por el otro (A), una recta (a) paralela al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyeccin real de la recta (r) forman un tringulo rectngulo denominado: tringulo de rebatimiento vertical.

La nomenclatura utilizada en las figuras representa: AZA-B : Diferencia de cota entre los puntos (A y B). AYA-B : Diferencia de vuelo entre los puntos (A y B). oo : ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano horizontal de proyeccin. |o : ngulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano vertical de proyeccin. Ar : Proyeccin rebatida del punto (A). Br : Proyeccin rebatida del punto (B). dA-B : Longitud real (verdadero tamao) del segmento (A-B) (distancia entre los puntos (A y B). El tringulo de rebatimiento vertical de un segmento (A-B) generalmente se dibuja, en doble proyeccin ortogonal, sobre la proyeccin vertical (Av-Bv) del mismo. Medicin de Distancias en Rectas Como ya se explico, la longitud real (dA-B) de un segmento (A-B) es deformada cuando este es proyectado ortogonalmente, razn por la cual, en doble proyeccin ortogonal la longitud real (dA-B) de un segmento (A-B), debe medirse en la hipotenusa de uno de sus tringulos de rebatimiento. De igual forma, para ubicar a un punto (2) a una distancia (d1-2) determinada de otro punto (1) dado, debe tambin dibujarse un tringulo de rebatimiento de la recta como se indica en la figura. Rectas en Posiciones Particulares Si una recta es paralela a uno de los planos principales de proyeccin, se proyecta sobre el en verdadero tamao, y por lo tanto no es necesario dibujar los tringulos de rebatimiento para medir distancias sobre ella, o determinar los ngulos que forma con los planos principales de proyeccin. Por lo tanto el conocimiento de este tipo de rectas permite resolver ciertos problemas con mayor rapidez. Las posiciones particulares que puede adoptar una recta son: -recta horizontal,-recta contenida en el plano horizontal de proyeccin,-recta frontal,-recta contenida en el plano vertical de proyeccin,-recta paralela a la linea de tierra,-recta contenida en la linea de tierra,-recta vertical,-recta de punta,-recta de perfil. Recta Horizontal Es una recta paralela al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamao; su proyeccin vertical es paralela a la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual cota (Z=cte.), y por lo tanto forma un ngulo de cero grados con el plano horizontal de proyeccin (oo=00). Recta Contenida en el Plano Horizontal de Proyeccin Es un caso particular del anterior. Su proyeccin vertical coincide con la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen cota igual a cero (Z=0). Recta Frontal Es una recta paralela al plano vertical de proyeccin; por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamao; su proyeccin horizontal es paralela a la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual vuelo (Y=cte.), y por lo tanto forma un ngulo de cero grados con el plano vertical de proyeccin (|o=00). Recta Contenida en el Plano Vertical de Proyeccin Es un caso particular del anterior. Su proyeccin horizontal coincide con la lnea de tierra, por que todos sus puntos tienen vuelo igual a cero (Y=0) Recta Paralela a la Lnea de Tierra Es una recta paralela simultneamente a los planos vertical y horizontal de proyeccin; por lo tanto, es una recta horizontal y frontal, y en consecuencia tiene las propiedades de ambas; es decir, su cota es constante (Z=cte) y su vuelo tambin (Y=cte). Sus proyecciones horizontal y vertical son paralelas a lnea de tierra; estn en verdadero tamao; y forman ngulos de cero grados con los planos vertical y horizontal de proyeccin (oo=|o=00). Recta Contenida en la Lnea de Tierra Es un caso particular del anterior. Sus proyecciones estn contenidas en lnea de tierra. Recta Vertical Es una recta perpendicular al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto, su proyeccin horizontal es un punto, y su proyeccin vertical se observa en verdadero tamao y perpendicular a lnea de tierra; forma ngulos de noventa grados con el plano horizontal de proyeccin (oo=900) y cero grados con el plano vertical de proyeccin (|o=00). Recta de Punta Es una recta perpendicular al plano vertical de proyeccin; por lo tanto, su proyeccin vertical es un punto, y su proyeccin horizontal se observa en verdadero tamao y perpendicular a lnea de tierra; forma ngulos de cero grados con el plano horizontal de proyeccin (oo=00) y noventa grados con el plano vertical de proyeccin (|o=900). Recta de Perfil Es una recta perpendicular a la lnea de tierra (paralela al plano lateral); sus proyecciones son perpendiculares a lnea de tierra. Su verdadero tamao, as como los ngulos que forma con los planos principales de proyeccin, pueden determinarse en una proyeccin lateral de la misma. Construccin de Rectas La posicin relativa entre los elementos que forman los tringulos de rebatimiento de una recta no vara; por ejemplo: el cateto (AZ) es siempre opuesto al ngulo (o) y perpendicular al cateto (rh).

Por lo tanto es posible definir las proyecciones incompletas de una recta, si se conoce: -la proyeccin vertical (rv) de la recta (r) y el ngulo (|o) que forma con el plano vertical de proyeccin,-la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) y ngulo (oo) que forma con el plano horizontal de proyeccin,-la proyeccin vertical (rv) de la recta (r) y el ngulo (oo) que forma con el plano horizontal de proyeccin,-la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) y el ngulo (|o) forma con el plano vertical de proyeccin,-la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) y el verdadero tamao (dA-B) de un segmento,-la proyeccin vertical (rv) de la recta (r), y el verdadero tamao (dA-B) de un segmento,-el verdadero tamao (dA-B) de un segmento (a-b), y los ngulos (oo) y (|o) que forma con los los planos principales de proyeccin. Se Conoce la Proyeccin Vertical (rv) de la Recta (r) y el ngulo (|o) que Forma con el Plano Vertical de Proyeccin Ejemplo: definir la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r) que contiene al segmento (A-B) que forma el ngulo (|o) con el plano vertical de proyeccin; estando (B) por detrs de (A), figura (a). Solucin: la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r), puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento vertical del segmento (A-B) a partir de su proyeccin vertical, figura (b) Se Conoce la Proyeccin Horizontal (rh) de la Recta (r) y el ngulo (oo) que Forma con el Plano Horizontal de Proyeccin Ejemplo: definir la proyeccin vertical del segmento (A-B) que forma el ngulo (oo) con el plano horizontal de proyeccin; estando (B) por debajo de (A),figura (a). Solucin: la proyeccin vertical del segmento (A-B) puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento horizontal del mismo a partir de su proyeccin horizontal, figura (b). Se Conoce la Proyeccin Vertical (rv) de la Recta (r) y el ngulo (oo) que Forma con el Plano Horizontal de Proyeccin. Ejemplo: definir la proyeccin horizontal del segmento (A-B) que baja hacia adelante formando el ngulo (oo) con el plano horizontal de proyeccin, figura (a). Solucin: la proyeccin horizontal del segmento (A-B) puede definirse determinando la diferencia de cota (AZA-B) del mismo, y dibujando, a partir de ella, su tringulo de rebatimiento horizontal, figura (b).

Si se vara el valor del ngulo (oo) dado, puede ser que la solucin sea: -una recta frontal figura (a)-el ejercicio no tiene solucin, figura (b). Se Conoce la Proyeccin Horizontal (rh) de la Recta (r) y el ngulo (|o) Forma con el Plano Vertical de Proyeccin Ejemplo: definir la proyeccin vertical del segmento (A-B) que sube hacia atrs formando el ngulo (|o) con el plano vertical de proyeccin, figura (a). Solucin: la proyeccin vertical del segmento (A-B) puede definirse determinando la diferencia de vuelo (AYA-B) del mismo, y dibujando a partir de ella, su tringulo de rebatimiento vertical, figura (b).

Si se vara el valor del ngulo (|o) dado, puede ser que la solucin sea: -una recta horizontal, figura (a)-el ejercicio no tiene solucin, figura (b). Se Conoce la Proyeccin Horizontal (rh) de la Recta (r) y el Verdadero Tamao (dA-B) de un Segmento. Ejemplo: definir la proyeccin vertical del segmento (A-B), de longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia la derecha, figura (a). Solucin: la proyeccin vertical del segmento (A-B) puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento horizontal del mismo a partir de su proyeccin horizontal, figura (b). Si se vara el valor del verdadero tamao (dA-B) del segmento dado, puede ser que la solucin sea: -una recta horizontal, figura (a)-el ejercicio no tiene solucin, figura (b). Se Conoce la Proyeccin Vertical (rv) de la Recta (r), y el Verdadero Tamao (dA-B) de un Segmento. Ejemplo: definir la proyeccin horizontal del segmento (A-B), de longitud (dA-B), sabiendo que sube hacia atrs, figura (a). Solucin: la proyeccin horizontal del segmento (A-B) puede definirse dibujando el tringulo de rebatimiento vertical del mismo a partir de su proyeccin vertical, figura (b).

Si se vara el valor del verdadero tamao (dA-B) del segmento dado, puede ser que la solucin sea: -una recta frontal, figura (a)-el ejercicio no tiene solucin, figura (b). Se Conoce el Verdadero Tamao (dA-B) de un Segmento y los ngulos (oo) y (|o) que Forma con los los Planos Principales de Proyeccin Ejemplo: definir las proyecciones del segmento (A-B), de longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia atrs, formando los ngulos (oo) y (|o) con los planos horizontal y vertical de proyeccin respectivamente, ((B) a la derecha y por debajo de (A)), figura (a). Solucin: las proyecciones horizontal y vertical pueden dibujarse construyendo, generalmente aparte, el arcocapaz del segmento (A-B) dado, en base a una circunferencia cuyo dimetro sea el verdadero tamao (dA-B) del mismo, figura (b).

Este tipo de ejercicio tiene solucin cuando la suma de los ngulos (oo) y (|o) es inferior a 900 (oo+|o900), el ejercicio no tiene solucin. PROYECCIN DIDRICA DE PLANOS

Para designar los planos se utilizan letras minsculas del alfabeto griego (Fig.1).

Fig.1.\ Alfabeto griego

Formas de definir un planoUN PLANO (o) PUEDE DEFINIRSE POR MEDIO DE:

a) Tres puntos (A; B; y C)\ Fig.2.

Fig.2.\ Plano (o) definido por tres puntos (A; B; y C)

b)Una recta (a) y un punto (P)\ Fig.3.

Fig.3.\ Plano (o) definido por una recta (a) y un punto (P)

c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.4.

Fig.4.\ Plano (o) definido por dos rectas (a y b) que se cortan

d)Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.5.

Fig.5.\ Plano (o) definido por dos rectas (a y b) paralelas

Dos rectas que se cruzan no definen un plano\ Fig.6.

Fig.6.\ Dos rectas (a y b) que se cruzan no definen un plano

Unplano,inicialmentedefinidoportrespuntos(Fig.7a),puedeposteriormenteserdefinido por:unarecta(a)yunpunto(A)(Fig.7b1);dosrectas(ayb)quesecortan(Fig.7b2);odos rectas (a y b) paralelas (Fig.7b3).

Fig.7.\ Cambio de la definicin original de un plano TEOREMAS DE PLANOS

a) Si dos puntos (A y B) pertenecen a un plano (o), la recta (r) que los une tambin pertenece a l\ Fig.8a.

Fig.8.\ Teoremas de planos

b)Todas la rectas coplanares se cortan entre si; excepto si son paralelas\ Fig.8b.

Estosdosteoremassondegranaplicacinenlaresolucindeproblemasdegeometra descriptiva relacionados con la proyeccin de planos. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO

Sepuededeterminarlapertenenciaondeunarecta(r)aunplano(o),pormediodela verificacindelcumplimientodelosdosteoremasdeplanosmencionadosenelpunto anterior.

Ejemplo: Definir la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r), sabiendo que esta contenida en el plano (o) definido por:

a) Tres puntos (A; B y C)\ Fig.9a1.

Solucin\ Fig.9a2.

1) Se definen las proyecciones de la recta (a) por medio de los puntos (A y C). 2) Se definen las proyecciones de la recta (b) por medio de los puntos (B y C). Las rectas (a y b) estn contenidas en el plano (o), por que los puntos (A; B; y C) que las definen son puntos ese plano. 3)Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de corte de la recta (r) con las rectas (a y b) respectivamente. Las rectas (a; b; y r) se cortan por que todas pertenecen a un mismo plano (o). 4)Laproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r)quedadefinidaporlasproyecciones horizontales (1h y 2h) de los puntos (1 y 2).

Fig.9.\ Recta que pertenece a un plano

b)Una recta (a) y un punto (A)\ Fig.9b1.

Solucin\ Fig.9b2.

1) Se definen las proyecciones del punto de corte (I) entre las rectas (a y r). 2) Se definen las proyecciones de un punto (1) cualquiera de la recta (a).

3) Se definen las proyecciones de la recta (b), que contiene a los puntos (A y 1). 4) Se definen las proyecciones del punto de corte (2) entre las rectas (b y r). 5)Laproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r)quedadefinidaporlasproyecciones horizontales (2h e Ih) de los puntos (2 e I).

c)Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.9c1.

Solucin\ Fig.9c2.

1)Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de corte de la recta (r) con las rectas (a y b) respectivamente. 2)Laproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r)quedadefinidaporlasproyecciones horizontales (1h y 2h) de los puntos (1 y 2).

d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.9d1.

Solucin\ Fig.9d2.

Se procede de igual forma que el caso anterior. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO

Ejemplo:\Fig.10.Definirlaproyeccinhorizontal(Ph)delpunto(P)sabiendoqueest contenido en el plano (o) definido por: a) Tres puntos (A; B y C)\ Fig.10a1. b)Una recta (a) y un punto (A)\ Fig.10b1. c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.10c1. d)Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.10d1. Fig.10.\ Punto que pertenece a un plano

Solucin:\ Fig.10a2; Fig.10b2; Fig.10c2 y Fig.10d2, respectivamente.

Paradefinirlaproyeccinhorizontal(Ph)delpunto(P),entodosloscasos,seaplicael siguiente procedimiento: a)Se define la proyeccin vertical (mv) de una recta (m) cualquiera que contenga al punto (P). b)Se define la proyeccin horizontal (mh) de la recta (m) hacindola pertenecer al plano (o). c)Sedefinelaproyeccinhorizontal(Ph)delpunto(P),sobrelaproyeccinhorizontal(mh) de la recta (m). TRAZAS DE UN PLANO

Sonlasrectasdondeelplanoseinterceptaconlosplanosprincipalesdeproyeccin.Se denominan\ Fig.11:

Fig.11.\ Trazas de un plano

a)Trazaverticaldeunplano.Eslainterseccin(f)delplano(o)conelplanoverticalde proyeccin\Fig.11a.

b) Traza horizontal de un plano. Es la interseccin (h) del plano (o) con el plano horizontal de proyeccin\ Fig.11b.

Lastrazas(fyh)deunplano(o)secortanenlalneadetierra(exceptosielplano(o)es paralelo a ella).

DETERMINACIN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO

Siunarecta(r)estcontenidaenunplano(o);lastrazasvertical(V)yhorizontal(H)dela recta(r),estncontenidasenlastrazasvertical(f)yhorizontal(h)delplano(o), respectivamente (fig.12). Adems, como ya se mencion, las trazas de un plano se cortan en la lnea de tierra (Excepto si el plano es paralelo a ella).

fig.12.\ Trazas de una recta (r) contenida en un plano (o)

Por lo tanto, pueden definirse las trazas de un plano (o), definiendo previamente las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.13.

fig.13.\ Determinacin de las trazas de un plano\ ejemplos

PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS

En la figura siguiente, seilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano (o) definido por trazas (f y h)\ (fig.a), utilizando para ello: -una recta: (r) cualquiera (fig.b1); -una recta (f1) frontal (fig.b2); -una recta (h1) horizontal (fig.b3).

Punto contenido en un plano definido por trazas

RECTAS CARACTERSTICAS DE UN PLANO

Sellamanrectascaractersticasdeunplano(o)a lasrectasdelplanoquesonparalelasa uno de los planos principales de proyeccin. Se denominan\ fig.14:

a)Rectascaractersticasfrontalesdeunplano.Sonlasrectas(f1)delplano(o)paralelasal planoverticaldeproyeccin;enconsecuenciasonparalelasalatrazavertical(f)del plano o\ fig.14a.

fig.14.\ Rectas caractersticas de un plano

Todas las rectas frontales (f; f1; f2; ...) de un plano (o) son paralelas entre s\ fig.15.

fig.15.\ Paralelismo entre rectas caractersticas frontales

b)Rectas caractersticas horizontales de un plano. Son las rectas (h1) del plano (o) paralelas al plano horizontal de proyeccin; en consecuencia son paralelas a la traza horizontal (h) del plano (o)\ fig.14b.

Todas las rectas horizontales (h; h1; h2; ...) de un plano (o) son paralelas entre s\ fig.16. fig.16.\ Paralelismo entre rectas caractersticas horizontales

Un plano (o) puede ser definido por dos rectas caractersticas (f1 y h1), como se muestra en la fig.17a.Ylastrazas(fyh)deesteplano(o),puedendeterminarseapartirdesusrectas caractersticas (f1 y h1), como se muestra en la fig.17b.

fig.17.\ Plano (o) definido por rectas (f1 y h1) caractersticas

PUNTOQUEPERTENECEAUNPLANODEFINIDOPORRECTAS CARACTERSTICAS

En la fig.18, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano (o) definido por rectas caractersticas (f y h) (fig.18a); utilizando para ello: -una recta: (r) cualquiera (fig.18b1); -una recta (f1) frontal (fig.18b2); -una recta (h1) horizontal (fig.18b3).

fig.18.\ Punto que pertenece a un plano definido por rectas caractersticas NOTACIN CONVENIDA DE PLANOS DEFINIDOS POR TRAZAS

Unaformaconvencionaldedesignar,endobleproyeccinortogonal,aunplano(o), definidoporsustrazas(fyh),consisteencambiarsunomenclaturaterica,mostradaenla fig.20a, por la nomenclatura convencional mostrada en la fig.20b.

fig.20.\ Notacin terica y convencional de un plano (o)

Enlafig.21,semuestralacomparacinentrelanotacinterica(fig.21a)ylanotacin convencional(fig.21b)usadasenlarepresentacindelosplanos(o; |;y),pudindose apreciar en la misma, la conveniencia de utilizar esta ltima, la cual ser usada en adelante.

fig.21.\ Notacin terica y convencional de los planos (o; | y ) PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES

Losplanos,aligualquelasrectas,puedenocuparciertasposicionesparticularescon respectoalosplanosprincipalesdeproyeccin.Elestudiodeestasposicionesesmuy importante;yaqueposeenpropiedadesproyectivaspropiasquepermitensimplificarla resolucin de problemas relacionados con este tipo de planos.

Enlasfig.22afig.24,semuestranestasposicionesparticulares.Lospuntos(A;B;yC) representados en cada caso estn contenidos en el plano (o) mostrado, y se indican adems los ngulos (o0 y |0) que el plano (o) forma en cada caso con los planos horizontaly vertical deproyeccinrespectivamente.Acontinuacin,sehaceunabrevedescripcindeestas posiciones particulares:

a)Plano frontal. Es un plano paralelo al plano vertical de proyeccin; por lo tanto todos sus puntos tienen el mismo vuelo. Su traza horizontal, sobre la cual se proyecta horizontalmente todoelplano,esparalelaalalneadetierra.Elplanoseproyectaverticalmenteen verdadero tamao\ fig.22a.

b)Plano horizontal. Es un plano paralelo al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto todos sus puntos tienen la misma cota. Su traza vertical, sobre la cual se proyecta verticalmente todoelplanoesparalelaalalneadetierra.Elplanoseproyectahorizontalmenteen verdadero tamao\ fig.22b.

c) Plano vertical. Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyeccin; por lo tanto su trazaverticalesperpendicularalalneadetierra,todoelplanoseproyecta horizontalmente sobre su traza horizontal\ fig.22c.

fig.22.\ Planos en posiciones particulares

d) Plano de punta. Es un plano perpendicular al plano vertical de proyeccin; por lo tanto su trazahorizontalesperpendicularalalneadetierra,todoelplanoseproyecta verticalmente sobre su traza vertical\ fig.22d.

e) Planodeperfil.Esunplanoperpendicularalalneadetierra;porlotantoesparaleloal planolateralyenconsecuenciatodossuspuntostienenigualdistanciaaesteplano.Sus trazashorizontalyverticalsonperpendicularesalalneadetierra,ytodoelplanose proyectahorizontalyverticalmentesobreellas.Elplanoseproyectalateralmenteen verdadero tamao, por eso es frecuente en estos planos determinar su proyeccin lateral\ fig.22e.

f)Plano paralelo a la lnea de tierra. Sus trazas son paralelas a la lnea de tierra\ fig.22f.

g)Plano que pasa por la lnea de tierra. Sus trazas se encuentran en la lnea de tierra, la cual es unarectadelplano\fig.23.Todaslasrectascontenidasenestos planossecortan conla lnea de tierra (excepto si son paralelas a ella). Existen adems dos planos muy particulares de este tipo denominados:

fig.23.\ Plano que pasa por la la lnea de tierra

1)Primerbisector.Esunplanoquepasaporlalneadetierrayforma450conelplano horizontaldeproyeccin,dividiendoen partes igualesa loscuadrantesuno(IC)ytres (III C). Las proyecciones de cualquier figura geomtrica contenida en el primer bisector son simtricas; debido a que para todos sus puntos: la cota, es igual al vuelo\ fig.24a.

fig.24.\ Planos bisectores

2)Segundobisector.Esunplano quepasa por la lneadetierrayforma450 conel plano horizontaldeproyeccin.dividiendoenpartesigualesaloscuadrantesdos(IIC)y cuatro(IVC).Lasproyeccionesdecualquierfigurageomtricacontenidaenel segundobisectorsoncoincidentes;debidoaqueparatodossuspuntos:lacotayel vuelo son iguales en magnitud pero diferentes en signo\ fig.24b. PROYECCIN DIDRICA DE LAS RELACIONES GEOMTRICAS FUNDAMENTALES

EncaptulosanterioresseestudicomodefinirlaProyeccinDidricadeloselementos geomtricos bsicos: punto, recta y plano.

Sinembargo,estoselementosgeomtricosnodebenconsiderarsecomoalgo independiente, debido a que se presentan juntos en cualquier objeto real que se represente o en cualquier problema de Geometra Descriptiva que se quiera resolver.

Por ejemplo, un punto puede originarse de la interseccin entre una recta y un plano; o una recta puede ser definida por la interseccin entre dos planos, etc. Las rectas y los planos por supartepuedenubicarseenelespacioquelosrodeaendiferentesposicionesrelativas; pudiendo ser paralelos; perpendiculares, cortarse, cruzarse, etc.

En este captulo inicia el estudio de como definir, en proyeccin didrica, las propiedades de interseccin, paralelismo y/o perpendicularidad que pueden producirse entre rectas y planos debido a las posiciones relativas que estos ocupen entre s en el espacio que los rodea.

Los procedimientosaqudescritosson degran importanciapara la resolucindeproblemas endobleproyeccinortogonal,yrepresentanunaherramientabsicadetrabajoque capacitaralestudianteparaladeterminacindelaproyeccindidricadeobjetos tridimensionales,talescomopirmides,prismas,conos,esferas,etc.,ascomoparala definicin de las intersecciones producidas entre estos cuerpos.

Porotraparte,lacomprensindeestasrelacionesbsicasdeinterseccin,paralelismoy perpendicularidad, es necesaria para la resolucin deproblemas mtricos yla determinacin delugares geomtricos, que seanaliza en captulos siguientes; as como para la comprensin deotrosprocedimientosprcticosdegeometradescriptivacomoloson:rebatimientode planos;rotacindeplanosycambiodeplanosdeproyeccin,descritosmasadelanteyque representantambinprocedimientosdetrabajoesencialesparaladeterminacindela proyeccin didrica de objetos geomtricos complejos. INTERSECCININTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO

La interseccin entre una recta (r) y un plano (o) es un punto (I)\ fig.1.

fig.1.\ Interseccin (I) entre una recta (r) y un plano (o)

DETERMINACIN DE LA INTERSECCIN ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO (recta tapada)

Paradefinirelpuntodeinterseccin(I)entreunarecta(r)yunplano(o),seaplicaun procedimiento denominado recta tapada, el cual consiste en:\ fig.2: a)Definir en el plano (o) una recta (t), cuya proyeccin horizontal (th) coincide (se tapa) con laproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r);porestaraznlarecta(t)sedenominarecta tapada. Las rectas (r y t) se cortan en el punto de interseccin (I) buscado.

fig.2.\ Determinacin de la interseccin (I), entre recta (r)y plano (o), tapando las proyecciones horizontales (rh y th) de las rectas (r y t)

b) Laproyeccinvertical(Iv)delpunto(I)quedadefinidaporelcortedelasproyecciones verticales (rv y tv) de las rectas (r y t). c)Laproyeccinhorizontal(Ih)delpunto(I),seobtieneproyectivamente,sobrela proyeccin horizontal (rh=th) de las rectas (r y t).

Tambinesposibledefinirlainterseccin(I)entreunarecta(r)yunplano(o)tapandolas proyecciones verticales(rvytv)delas rectas(ryt)ysiguiendounprocedimiento anlogoal anterior\ fig.3.

fig.3.\ Determinacin de la interseccin (I) entre una recta (r) y un plano (o), tapando las proyecciones verticales (rv y tv) de las rectas (r y t)

Ejemplo1:Definirlainterseccin(I),delarecta(r),conelplano(o),definidoporsustrazas\ fig.4a.

Solucin: En lafig.4b, semuestra la solucin tapando las proyecciones horizontales (rh=th) de las rectas (r y t) y en la fig.4c, tapando sus proyecciones verticales (rv=tv).

fig.4.\ Interseccin (I) de la recta (r) con el plano (o) definido por trazas

Ejemplo 2: Definir la interseccin (I), de la recta (r), con el plano (o), definido por sus rectas(f y h) caractersticas\ fig.5a.

Solucin: En lafig.5b, semuestra la solucin tapando las proyecciones horizontales (rh=th) de las rectas (r y t) y en la fig.5c, tapando sus proyecciones verticales (rv=tv).

fig.5.\ Interseccin (I) de la recta (r) con el plano (o) definido por rectas caractersticas (f y h)

Ejemplo 3: Definir la interseccin (I), de la recta (r), de perfil, con el plano (o), definido por sus sus trazas\ fig.6a.

Solucin: El punto de interseccin (I), puede definirse en una proyeccin lateral del sistema\ fig.6b.

fig.6.\ Interseccin (I) de un plano (o) definido por trazas, con una recta (r) de perfil

Ejemplo 4: Definir la interseccin (I), de la recta (r), con los planos bisectores\ fig.7a.

Solucin:

interseccindelarectaconelprimerbisector:Enlafig.7b,semuestracomodefinirla interseccin(I)delarecta(r)conelprimerbisector,enelcuallasproyeccionesdela recta (t) son simtricas.

interseccindelarectaconelsegundobisector:Enlafig.7c,semuestracomodefinirla interseccin(I)delarecta(r)conelsegundobisector,enelcuallasproyeccionesdela recta (t) coinciden.

fig.7.\ Interseccin (I) de una recta (r) con los planos bisectores ANLISIS DE LA VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIN DE UNA RECTA CON UN PLANO

La representacin de la interseccin de una recta (r) con un plano (o), siempre presenta dos posibilidadesdevisibilidad,comosemuestraenlasfig.8ayfig.8b,enlascualespuede observarsequeunsegmentodelarecta(r),definidoporelpuntodeinterseccin(I)yun puntodelcontornodelplano(o),permaneceinvisiblealobservador,siendotapadoporel plano.

fig.8.\ Interseccin entre una recta y un plano\ VISIBILIDAD

En Doble Proyeccin Ortogonal, debe analizarse la visibilidad en las proyecciones horizontal y verticalenformaindependiente,debidoaquelossegmentosvisiblesenunadelas proyecciones no son necesariamente visibles en la otra proyeccin.

Pormediodelsiguienteejemplosedescribelaformadeanalizarlavisibilidadenla interseccin de una recta (r) con un plano (o).

Ejemplo: Definir la interseccin (I) y visibilidad entre la recta (r) y el tringulo de vrtices (A;B; y C)\ fig.9a.

Solucin:

a)Se determina el punto de interseccin (I) entre la recta (r) y el tringulo (A;B;C)\ fig.9b.

fig.9.\ Interseccin entre recta y plano\ VISIBILIDAD b) Para determinar la visibilidad en proyeccin vertical\ fig.9c: 1) Sedefineelsegmentodepunta(1-2)cuyaproyeccinvertical(1v=2v)eselpuntode corte entre las proyecciones verticales de la recta (r) y del lado (A-B). Estando los puntos (1 y 2) contenidos en: punto 1: En el lado (A-B). punto 2: En la recta (r).

2)Deestos dos puntos, solo uno es visible en proyeccin vertical, y ser aquel delos dos que posea mayor vuelo. Por lo tanto se define la proyeccin horizontal del segmento de punta(1-2),ysedeterminaenellacualdeestosdospuntostienemayorvuelo; resultando ser el punto (2). Sedefineentonces,queelsegmento(2-I)delarecta(r)esvisibleenproyeccin vertical, porque el punto (2) que esta contenido en el es visible en esta proyeccin.

c)Para determinar la visibilidad en proyeccin horizontal\ fig.9d:

1) Sedefineelsegmentovertical(3-4)cuyaproyeccinhorizontal(3h=4h)eselpuntode corteentrelasproyeccioneshorizontalesdelarecta(r)ydellado(B-C).Estandolos puntos (3 y 4) contenidos en: punto 3: En el lado (B-C). punto 4: En la recta (r).

2)De estos dos puntos, solo uno es visible en proyeccin horizontal, y ser aquel de los dos queposeamayorcota.Porlotantosedefinelaproyeccinverticaldelsegmento vertical(3-4),ysedeterminaenellacualdeestosdospuntostienemayorcota; resultando ser el punto (4). Sedefineentonces,queelsegmento(4-I)delarecta(r)esvisibleenproyeccin horizontal, porque el punto (4) que esta contenido en el es visible en esta proyeccin. INTERSECCIN ENTRE DOS PLANOS

La interseccin entre dos planos (o y |) es una recta (i), para determinarla\ fig.10a: a) Se elige, cualquier recta (a) en el plano (o), y se determina su interseccin (I) con el plano (|). b)Se repite el paso anterior eligiendo una segunda recta, (b) en el plano (o), y determinando su interseccin (J) con el plano (|).

fig.10.\ Interseccin (i) entre dos planos (o y |)

c) Los puntos de interseccin (I y J) definen la recta de interseccin (i) entre los planos (o y |).

Lasrectas(ayb)tambinpuedenserelegidasenelplano(|)yserinterceptadasconel plano (o)\ fig.10b.

Ejemplo 1: Definir la interseccin (i) entre los planos (o y |), definidos por sus trazas\ fig.11a.

Solucin:Sedefinendosrectas(ayb)frontalesdelplano(o),ysedeterminansus intersecciones(I yJ)conelplano(|).Larectadeinterseccin(i)entrelosplanos(oy|) queda definida por los puntos (I y J)\ fig.11b.

fig.11.\ Interseccin (i), entre dos planos (o y |) definidos por trazas

Ejemplo2:Definirlainterseccin(i)entreelplano(o),definidoporsustrazasyelplano(|), definido por las rectas (a y b) paralelas\ fig.12a.

Solucin:Lainterseccin(I)entrelosplanos(oy|),quedadefinidaporlospuntosde interseccin (I y J) de las rectas (a y b) con el plano (o)\ fig.12b.

fig.12.\ Interseccin (i), entre un plano (o) definido por trazas, y un plano (|) definido por rectas (a y b) paralelas

Ejemplo3:Definirlainterseccin(i)entreelplano(o),definidoporsusrectas(fyh), caractersticas y el plano (|), definido por las rectas (a y b), paralelas\ fig.13a.

Solucin:Lainterseccin(I)entrelosplanos(oy|),quedadefinidaporlospuntosde interseccin (I y J) de las rectas (a y b) con el plano (o)\ fig.13b.

fig.13.\ Interseccin (i), entre un plano (o) definido por rectas (f y h) caractersticas, y un plano (|) definido por rectas (a y b) paralelas

Ejemplo 4: Definir la interseccin (i) entre el plano (o), definido por sus trazas y el plano (|), que pasa por la lnea de tierra y contiene al punto (A)\ fig.14a.

Solucin: 1) Setraza,porelpunto(A),unarecta(r)cualquieradelplano(o);esdecir,cualquier recta (r) que pase por el punto (A) y se corte con la lnea de tierra\ fig.14b. 2)Se define la interseccin (I) de la recta (r) con el plano (o). 3)Se define la interseccin (J) del plano (o) con la lnea de tierra. 4) Los puntos(IyJ)estn contenidos simultneamente enlosplanos(oy |),por lotanto definen a la recta de interseccin (I) entre ambos planos.

fig.14.\ Interseccin (i) de un plano (o) definido por trazas, con un plano (|) que pasa por la lnea de tierra y contiene a un punto (A) ANLISIS DE LA VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIN DE DOS PLANOS

Ejemplo: Definir la interseccin y visibilidad entre el tringulo (A;B;C) y el cuadriltero(1;2;3;4) contenido en el plano (1;2;3)\ fig.15a.

Solucin: a)Sedefinelaproyeccinhorizontal(1h)delvrtice(1),hacindoloperteneceralplano (1;2;3)\ fig.15b.

fig.15.\ Interseccin y visibilidad de dos planos\ ejemplo

b) Sedefinenlas intersecciones:(I)delarecta(A-B)conelcuadriltero(1;2;3;4);y(J)dela recta(2-3)coneltringulo(A;B;C).Elsegmento(I-J)pertenecealosdosplanos,ysiest contenido en el primer cuadrante siempre es visible en ambas proyecciones\ fig.15c. c) Se define la visibilidad de la interseccin entre las dos figuras planas, por medio del anlisis de visibilidad de la interseccin de las rectas: (A-B) con el cuadriltero (1;2;3;4); y (2-3) con el tringulo (A;B;C)\ fig.15d. INTERSECCIN ENTRE TRES PLANOS

La interseccin de tres planos (o; |; y ) es un punto (I). El cual se define interceptando, con el plano (), la recta de interseccin (i) entre los planos (o y |)\ fig.16.

fig.16.\ Interseccin (I) entre tres planos (o, | y )

Ejemplo: Definir la interseccin (I) entre los planos (o; |; y )\ fig.17a.

Solucin:a) Se determina la interseccin (i) entre los planos (o y |)\ fig.17b. b)Se determina la interseccin (I) de la recta (i) con el plano ()\ fig.17c. fig.17.\ Interseccin (I) de tres planos\ ejemplo PARALELISMOPARALELISMO ENTRE RECTAS

El paralelismo entre rectas, en Doble Proyeccin Ortogonal,tiene propiedad proyectiva. Por lotanto si dos rectas(ayb)sonparalelas,susproyecciones verticalessonparalelas(av//bv)y sus proyecciones horizontales tambin sonparalelas (ah//bh).

Ejemplo:Definirlasproyeccionesdelarecta(a)quecontienealpunto(A)yesparalelaala recta (r)\ fig.1a.

Solucin:\ fig.1b.

fig.1.\ Recta (a), paralela a otra recta (r) PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO

Si una recta (r) es paralela a un plano (o), entonces existen en el plano (o) infinidad de rectas (a; b; c; d...) paralelas a la recta (r)\ fig.2a. fig.2.\ Paralelismo entre recta (r) y un plano (o)

Paraverificarelparalelismoentreunarecta(r)yunplano(o)essuficientecomprobarla existencia de una recta (a) del plano (o) que sea paralela a la recta (r)\ fig.2b.

RECTA PARALELA A UN PLANO

Ejemplo1)Definirlaproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r),quecontienealpunto(A)yes paralela al plano (o)\ fig.3a1.

Solucin: 1) Sedefine laproyeccinhorizontal(th)delarecta(t)queestacontenidaenelplano(o), cuya proyeccin vertical (tv) se tapa con la proyeccin vertical (rv) de la recta (r). 2) Setraza,porlaproyeccinhorizontal(Ah)delpunto(A),yparalelaalaproyeccin horizontal (th) de la recta (t), la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r)\ fig.3a2. fig.3.\ Recta (r) paralela a un plano (o)\ ejemplos

Ejemplo2)Definirlaproyeccinvertical(rv)delarecta(r),quecontienealpunto(A)yes paralela al plano (o) de punta\ fig.3b1.

Solucin.Laproyeccinvertical(tv)decualquierrecta(t)delplano(o)depuntacoincide conlaproyeccin vertical(ov)desutrazavertical(ov=tv).Porlotantolaproyeccin vertical (rv)delarecta(r),pasaporlaproyeccinvertical(Av)delpunto(A)yesparalelaala proyeccin vertical (ov) de la traza vertical del plano (o)\ fig.3b2.

Ejemplo3)Definirlaproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r),quecontienealpunto(A)yes paralela al primer bisector\ fig.3c1.

Solucin.Lasproyeccionesvertical(tv)yhorizontal(th)delarecta(t)contenidaenelPrimer Bisector,cuyaproyeccinvertical(tv)coincideconlaproyeccinvertical(rv)delarecta(r) son simtricas con respecto a la lnea de tierra. Por lo tanto la proyeccin horizontal (rh) de la recta(r),pasaporlaproyeccinhorizontal(Ah)delpunto(A)yambasproyeccionesdela recta (r) forman con la lnea de tierra el mismo ngulo (oo)\ fig.3c2.

Ejemplo4)Definirlaproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r),quecontienealpunto(A)yes paralela al segundo bisector\ fig.3d1.

Solucin. Las proyecciones de la recta (t) que esta contenida en el Segundo Bisector y cuya proyeccinvertical(tv)coincideconlaproyeccinvertical(rv)delarecta(r)son coincidentes(rv=tv=th).Porlotantolaproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r),pasaporla proyeccin horizontal (Ah) del punto (A) y es paralela a la proyeccin vertical (rv) de la recta (r)\ fig.3d2.

PLANO PARALELO A UNA RECTA

Ejemplo 1: Definir el plano (o), que contiene a la recta (a) y es paralelo a la recta (r)\ fig.4a.

Solucin.Paradefiniresteplano(o)debetrazarse,porcualquierpunto(P)delarecta(a), una recta (b) paralela a la recta (r), quedando el plano (o) definido por las rectas (a y b) que se cortan\ fig.4b.

fig.4.\ Plano (o), paralelo a una recta (r)\ ejemplo RECTA PARALELA A DOS PLANOS

Unarecta(r)esparalelaadosplanos(oy|) sies paralela a lainterseccin(i)entre ambos planos\ fig.5.

fig.5.\ Recta (r) paralela a dos planos (o y |)

Ejemplo:Definirlasproyeccionesdelarecta(r)quepasaporelpunto(A)yesparalelaalos planos (o y |)\ fig.6a.

Solucin.Sedefinelainterseccin(i)entrelosplanos(oy|),ysetraza,porelpunto(A)la recta (r) paralela a la recta (i)\ fig.6b. fig.6.\ Recta (r) paralela a dos planos (o y |)\ ejemplo PARALELISMO ENTRE PLANOS

Sidosplanos(oy|)sonparalelos,entoncestodaslasrectas(a;b;c;...)delplano(o)son paralelas al plano (|), y todas las rectas (a1; b1; c1;...) del plano (|) son paralelas al plano (o)\ fig.7a.

fig.7.\ Paralelismo entre planos

Para verificar el paralelismo entre dos planos (o y |) es suficiente comprobar que dos rectas (a y b) no paralelas, de uno de ellos (o) sean paralelas al otro (|)\ fig.7b.

Ejemplo 1) Definir el plano (|) que contiene al punto (A)y es paralelo al plano (o) definido por las rectas (a y b)\ fig.8a.

Solucin. El plano (|) se define por medio de las rectas (a1 y b1) que pasan por el punto (A) y son paralelas a las rectas (a y b) respectivamente\ fig.8b.

fig.8.\ Paralelismo entre planos\ ejemplo 1

Ejemplo 2) Definir las trazas del plano (|) que contiene al punto (A)y es paralelo al plano (o)\ fig.9a.

Solucin. Se define inicialmente el plano (|) por medio de las rectas caractersticas (f y h), que pasanporelpunto(A)ysonparalelasalastrazasverticalyhorizontaldelplano(o) respectivamente.Yluegosedefinenlastrazasdelplano(|)pormediodesusrectas caractersticas(f y h)\ fig.9b.

fig.9.\ Paralelismo entre planos\ ejemplo 2 PERPENDICULARIDAD

PROPIEDAD PROYECTIVA DEL NGULO RECTOEl ngulo recto, en proyeccin ortogonal, tiene propiedad proyectiva, cuando por lo menos una de las rectas que lo definen es paralela al plano de proyeccin.

En la fig.1a, se muestra una escuadra paralela a un plano (o) de proyeccin, los catetos (a y b)definenunngulorecto,elcualseproyectaortogonalmentesindeformacinsobreel plano (o) por ser ambos catetos paralelos a este plano.

fig.1.\ Propiedad proyectiva del ngulo recto

Si esta escuadra se gira a travs de su cateto (a) (fig.1b), el cateto (b) deja de ser paralelo al plano(o),peroelngulorectosigueproyectndosesindeformacin,porqueelcateto(a) sigue siendo paralelo al plano de proyeccin (o).

En la fig.1c, donde la escuadra se gira a travs de su hipotenusa (h), puede observarse que el ngulo recto es deformado al proyectarse, debido a que las dos rectas (a y b) que lo definen dejan de ser paralelas al plano(o) de proyeccin.

Enconsecuencia,enproyeccindidrica,paraqueelngulorectoseproyectesin deformacin, por lo menos una de la rectas que lo definen debe ser: a)frontal(f)(paralelaalplanoverticaldeproyeccin).Enestecasoseproyectaelngulo recto sin deformacin sobre el plano vertical de proyeccin (vase el ejemplo de la fig.2a). b) horizontal(h)(paralelaalplanohorizontaldeproyeccin).Enestecasoseproyectael ngulorectosindeformacinsobreelplanohorizontaldeproyeccin)(vaseelejemplo de la fig.2b).

Ejemplo 1: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al punto (A) y es perpendicular a la recta frontal (f).\ fig.2a1.

Solucin: a)Las proyecciones verticales de las rectas (f y r) son perpendiculares (fv rv), ya que la recta frontal(f)esparalelaalplanoverticaldeproyeccin.Porlotantosetraza,porla proyeccinvertical(Av)delpunto(A),yperpendicularalaproyeccinvertical(fv)dela recta (f), la proyeccin vertical (rv) de la recta (r)\fig.2a2. b)Sedefinenlasproyeccionesvertical(Pv)yhorizontal(Ph)delpunto(P)decorteentrelas rectas (f y r). c) Laproyeccinhorizontal(rh)delarecta(r)quedadefinidaporlasproyecciones horizontales(Ah y Ph) de los puntos (A y P).

fig.2.\ Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al punto (A) y es perpendicular a la recta frontal (f)

Ejemplo 2: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al punto (A) y es perpendicular a la recta horizontal (h).\fig.2b1.

Solucin: a)Las proyecciones horizontales delas rectas (hy r) son perpendiculares (hh rh), ya quela recta horizontal (h) es paralela al plano horizontal de proyeccin. Por lo tanto se traza, por la proyeccin horizontal (Ah) del punto (A), y perpendicular a la proyeccin horizontal (hh) de la recta (h), la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r)\fig.2b2. b)Sedefinenlasproyeccioneshorizontal(Ph)yvertical(Pv)delpunto(P)decorteentrelas rectas (h y r). c) Laproyeccinvertical(rv)delarecta(r)quedadefinidaporlasproyeccionesverticales(Av y Pv) de los puntos (A y P). PERPENDICULARIDAD Y ORTOGONALIDAD

Dos rectas se denominan perpendiculares si se cortan formando un ngulo recto y ortogonales si forman un ngulo recto pero no se cortan.

Paramayorcomprensin,obsrveseelparaleleppedomostradoenlafig.3a,enelcualsus aristas (a y b) son perpendiculares; mientras que las aristas (a y c) son ortogonales al igual que las aristas (b y c).

fig.3.\ Perpendicularidad y ortogonalidad

Enlafig.3b1,semuestra,ladobleproyeccinortogonal, deunarecta(r)ortogonalauna recta frontal (f); y en la fig.3b2,de una recta (r) ortogonal a una recta horizontal (h). PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO

Si una recta(r)esperpendiculara unplano(o),entoncestodas las rectasdel plano(o)son perpendiculares, ortogonales, a la recta (r)\ fig.4.

fig.4.\ Recta (r) perpendicular a un plano (o)

Para verificar la perpendicularidad entre una recta (r) y un plano (o),es suficiente comprobar quedosrectas(ayb)noparalelasdelplano(o)seanperpendiculares,ortogonales,ala recta (r).

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Ejemplo 1: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al punto (A) y es perpendicular al plano (o), definido por trazas\ fig.5a.

Solucin: a) Larecta(r)esortogonalalatrazavertical(f)delplano(o),yporestarestaltima contenidaenelplanoverticaldeproyeccin,elngulorectoentreambasrectasse proyecta verticalmente sin deformacin, por lo tanto se dibuja (rv ov)\ fig.5b. b) Larecta(r)estambinortogonalalatrazahorizontal(h)delplano(o),yporestaresta ltima contenida en el plano horizontal de proyeccin, el ngulo recto entre ambas rectas se proyecta horizontalmente sin deformacin, por lo tanto se dibuja (rh oh)\ fig.5c. fig.5.\ Recta (r), que contiene a un punto (A) y es perpendicular a un plano (o), definido por trazas

Ejemplo 2: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al punto (A) y es perpendicular al plano (o), definido por rectas (f) y (h), caractersticas\ fig.6a.

Solucin: a) Larecta(r)esortogonalalarectacaractersticafrontal(f)delplano(o),yporseresta ltimaparalelaalplanoverticaldeproyeccin,elngulorectoentreambasrectasse proyecta verticalmente sin deformacin, por lo tanto se dibuja (rv fv)\ fig.6b. b)La recta (r) es tambin ortogonal a la recta caracterstica horizontal (h) del plano (o), y por serestaltimaparalelaalplanohorizontaldeproyeccin,elngulorectoentreambas rectas se proyecta horizontalmente sin deformacin, por lo tanto se dibuja (rh hh)\ fig.6c.

fig.6.\ Recta (r), que contiene a un punto (A) y es perpendicular a un plano (o), definido por rectas caractersticas

PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA

Ejemplo:Definir el plano (o) que contiene al punto (A) y es perpendicular a la recta (r)\ fig.7a.

Solucin: a) Setraza,porelpunto(A)yortogonalalarecta(r),larectacaractersticafrontal(f)del plano (o)\ fig.7b. b) Se traza, por el punto (A) y ortogonal a la recta (r), la recta caracterstica horizontal (h) del plano (o)\ fig.7c.

fig.7.\ Plano (o), que contiene a un punto (A) y es perpendicular a una recta (r)

Elplano(o)quedadefinidoporsusrectascaractersticasfrontal(f)yhorizontal(h),quese cortan en el punto (A) y son ortogonales a la recta(r); siendo en consecuencia el plano(o) perpendicular a la recta (r). PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS

Para definir las proyecciones de una recta (b) que pase por un punto (P) y sea perpendicular a otra recta (a)\ fig.8a: a)Setrazaporelpunto(P)unplano(o)perpendicularalarecta(a)ysedeterminala interseccin (I) entre la recta (a) y el plano (o)\ fig.8b. b)La recta (b) queda definida por los puntos (P) e (I)\ fig.8c.

fig.8.\ Recta (b), que contiene a un punto (P), y es perpendicular a otra recta (a)

Ejemplo: Definir las proyecciones de la recta (b), que contiene al punto (P) y es perpendicular a la recta (a)\ fig.9a.

Solucin: a)Sedefine,pormediodelasrectascaractersticas(fyh),elplano(o),quecontieneal punto (P) y es perpendicular a la recta (a); y se determina la interseccin (I) entre el plano (o) y la recta (a)\ fig.9b. b)La recta (b) queda definida por los puntos (P e I)\ fig.9c.

fig.9.\ Recta (b), que contiene a un punto (P), y es perpendicular a otra recta (a)\ ejemplo RECTA DE MXIMA PENDIENTE DE UN PLANO

Sedenominarectademximapendientedeunplano(o),acualquierrecta(p)delplano, que sea perpendicular a su traza horizontal\ fig.10.

fig.10.\ Recta (p) de mxima pendiente de un plano (o)

Elngulo(oo)queformanconelplanohorizontaldeproyeccinlasrectas(p)demxima pendientedeunplano(o),esigualalngulo(oo)queformaelplano(o)conelplano horizontal de proyeccin.

PLANO DEFINIDO POR UNA RECTA DE MXIMA PENDIENTE

Unplano(o)puedeserdefinidoporunasolarecta,siesta,esunarectademxima pendiente del plano.

Ejemplo:Definirlastrazasdelplano(o),sabiendoquelarecta(p)esunadesusrectasde mxima pendiente\fig.a1.

Solucin: a)Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (p)\ fig.a2. b) Se traza, por el punto (Hh), y perpendicular a la recta (ph), la proyeccin horizontal (oh) de la traza horizontal del plano (o). c) Laproyeccinvertical(ov)delatrazaverticaldelplano(o),pasaporelpunto(Vv)yse corta en la lnea de tierra con la recta (oh).

Determinar las trazas del plano (o) definido por una recta de mxima pendiente (p) RECTAS DE MXIMA INCLINACIN DE UN PLANO

Sedenominarectademximainclinacindeunplano(o),acualquierrecta(i)delplano, que sea perpendicular a su traza vertical (f) \ fig.11.

fig.11.\ Recta (i) de mxima inclinacin de un plano (o)

Elngulo(|o)queformanconelplanoverticaldeproyeccinlasrectasdemxima inclinacin(i)deunplano(o),esigualalngulo(|o)queelplano(o)formaconelplano vertical de proyeccin.

PLANO DEFINIDO POR UNA RECTA DE MXIMA INCLINACIN

Unplano(o)puedeserdefinidoporunasolarecta,siesta,esunarectademxima inclinacin del plano.

Ejemplo:Definirlastrazasdelplano(o),sabiendoquelarecta(i)esunadesusrectasde mxima inclinacin\fig.12b1.

Solucin: a)Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (i)\ fig.12b2. b) Se traza, por el punto(Vv), y perpendicular a la recta(iv), la proyeccin vertical (ov)dela traza vertical del plano (o). c)La proyeccin horizontal (oh) de la traza horizontal del plano (o), pasa por el punto (Hh) y se corta en la lnea de tierra con la recta (ov). PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS PLANOS

Paraverificarlaperpendicularidadentredosplanos(oy|)essuficientecomprobarla existencia en uno de ellos (o) de una recta (r) que sea perpendicular al otro (|)\ fig.13.

fig.13.\ Perpendicularidad entre planos

Ejemplo: Definir el plano (|) que contiene a la recta (a) y es perpendicular al plano (o)\ fig.14a.

Solucin.Setraza,porcualquierpunto(A)delarecta(a),unarecta(b)perpendicularal plano (o), y el plano (|) queda definido por las rectas (a y b) que se cortan\ fig.14b.

fig.14.\ Plano (|), que contiene a una recta (a), y es paralelo a otro plano (o) PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS PLANOS

Un plano () es perpendicular a otros dos planos (o y |) si es perpendicular a la int