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7/24/2019 geometria1.ppt

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Departamento de Matemticas

Universidad Autnoma Metropolitana-Iztapalapa

Suma deSuma dengulosngulos

M. en C. Ren Bentez LpezM. en C. Ren Bentez Lpez


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Conceptos bsicos

Punto y lneason trminos no defnidos en geometra.

La huella que deja el lpz al deslizarse pegado al orde de unaregla es unalnea recta. La huella que deja el lpiz estandofjo en la es!ritura" da idea de lo que es unpunto.

#l gemetra griego #u!lides $%%& a.C. ' ()* a.C.+" de!a, -unto es lo queno tiene partes/. #n realidad"

#u!lides se re0era a punto !omo algoque no tiene largo ni an!ho1 o sea"una peque2a mar!a o se2al sindimensiones largo 3 an!ho !omo lainterse!!in de dos lneas. Los puntosse denotan !on letras ma34s!ulas 3

las re!tas !on letras min4s!ulas!ursi5as" solas o !on sundi!es.

6& ( % 7 * 8 ) 9 ...

%

(

A

B


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:na lnea re!ta tiene largo pero no tiene an!ho. #l largo de unalnea re!ta no tiene fn1 o sea" la lnea re!ta es ilimitada. #n lostrazos se traaja !on partes de lnea determinadas por dos puntos

de ella" estas partes se llaman segmentos3 a los puntos que losdeterminan se les llama extremosdel segmento.

BA

A B

C D

; los segmentos se les denota !on las letras de sus e


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:nngulo es una fgura geomtri!a 0ormada por dossemirre!tas que tienen un e" B/

m se lee =ngulo m/

AO

B

A

6%*

O

B

6%*


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Los ngulos por su medida se !lasif!an en agudos" rectos"llanoso colineales3 entrantes.

:n ngulo agudomide menos de ?&o

:n ngulo re!tomide?&o

:n ngulo otusomide ms de ?&o

:n nguloentrantemide msde 69&o

:n ngulo llano mide69&o


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Los ngulos por su posi!in en las fguras se !lasif!an enadyacentes" opuestos por el vrtice"alterno-internos"alterno-externos, correspondientes" colaterales-internos,

3colaterales-externos.

ac

b

d

y

nx

m

son opuestos por el5rti!e

ya c

ya x

ya m

yb y

son alterno'internos

son!orrespondientes

son alterno'e


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Los ngulos opuestos por el 5rti!e son !ongruentes

c

ba

Demostracin:

180a c+ =R R orque 0orman un ngulo llano

180b c+ =R R

a c b c + = +R R R R

@or quA

@or quA

a b=R R @or quA


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6 (

Paralelas

Los ra3os de luz que irradia un0o!o en los 0aros de un autom5ilse reejan !omo ra3osparalelosdesde el espejo !ur5o integrado a!ada 0aro !omo se muestra en la

fgura adjunta

o!o

Si el terreno es plano" las 5asre!tas del tren sonparalelas.

#n regiones planas" dos re!tas sonparalelassi no se !ortan.

#n un !urso 0ormal de geometra eu!lidiana se demuestra la

siguiente propiedad,


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Los ngulos alterno'internos entre paralelas" tienen la mismamedida.

a

b

1 2l l enton!es =R Ra bSi

1l

2l

:sando esta propiedad dos 3 medio siglos ;.C." el matemti!o 3astrnomo griego #ratstenes !al!ul el radio de la Dierra" !onuna apro


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7.2o

E

,!0 "#2

AS=

C 2 80$ %m,

!0 "#2

r=

( )

80$ !0%m

2 "#2r

=

( ) ( )

80$ !0

%m !&8 %m2 #1$1! "#2

=

#n esto" !onsidrese la longitud de la !ir!un0eren!ia terrestre endonde res la medida del radio de la Dierra. Los puntosA3 Srespe!ti5amente denotan las posi!iones de las !iudades ;lejandra 3Siena. Fado que la distan!ia entre Siena 3 ;lejandra esapro


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Tringulos

La fgura geomtri!a 0ormada por segmentos que slo se to!anuna sola 5ez en sus e


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Las poligonales !erradas se llamanpolgonos.

Los polgonos de tres lados se llaman tringulos. Los de !uatro sellaman cuadrilteros" los de !in!opentgonos" los de seishexgonos" los de siete eptgonos" los de o!ho octgonos" et!.or !ostumre" un polgono que tiene mu!hos lados se nomraindi!ando su n4mero de lados" por ejemplo un polgono que tiene ?lados" se nomra polgono de nueve lados. I as su!esi5amente.

:n polgono es regularsi sus lados son iguales entre s1 3 si no" esirregular.Los tringulos se !lasif!an en,

#l issceles tiene

dos lados!ongruentes

#l equiltero tiene

sus tres lados!ongruentes

#l escaleno no

tiene lados!ongruentes


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Los tringulos tienen la propiedad de ser indeformables" por ello seles usa en la industria para dar !onsisten!ia a las estru!turas deedif!ios" puentes" a5iones" torres" et!.

Los tringulos se denotan !on el smolo seguido de lastres letras de los 5rti!es.

A

C

B I se lee, tringulo ;" B"

C.

#l tringulo adjunto se denotaas,

ABCJ


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#n todo tringulo" la suma de sus ngulos interiores es igual a

69&o.

a c

b180a b c+ + = R R R

nm

Drazo au


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:n polgono es convexosi el segmento que une a !ualesquierados puntos en el interior del polgono" est totalmente en elinterior1 3 si no" es cncavo.

#s !on5e


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La suma de los ngulos interiores de un polgono !on5e sea" para !ada 5alor

de n" se tiene que . Fe donde . ;dems lasuma de los ngulos interiores de los tringulos 0ormados" es igual ala suma de los ngulos interiores del polgono. or tanto,

n N

2n N = 2N n=


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@Cunto suman los ngulos interiores de un he


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#n la fgura que sigue son ise!tri!es 3

Cal!ule la medida de todos los ngulos de la fgura.

yAD BE

y0 20ACB ABC= = R R

K

C

E

D

BA

La bisectride un ngulo es el ra3o

o semirre!ta que di5ide al ngulo endos ngulos de igual medida.


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Cal!ule el 5alor dex3 dey en !ada fgura.

A

B

C

O

x y

x

y

(*o

x

y

7&o

9&o

%&o


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Fin

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