Geometría (pequeño ensayo)
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La geometría: Un enfoque interdisciplinario. “La geometría como una herramienta poderosa” Ensayo sobre el quehacer de la geometría en sus diferentes enfoques y puntos de vista. 22/04/2012
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l curso de geometría analítica es un curso en el cual
se nos enseñan las habilidades básicas que
deberíamos de tener para enfrentarnos a la solución
de problemas de tipo geométrico. Es interesante ver como esta
materia esta muy estrechamente vinculada con muchas otras, como
por ejemplo el calculo, la geometría diferencial, el algebra lineal, hasta
la termodinámica. Ya que pareciera que sus conceptos son muy
simples y no sirven de nada, podríamos mencionar que la ecuación de
la línea recta es una ecuación básica aplicable a innumerables
problemas. También podríamos decir que la geometría analítica nos
ayuda a tener una mejor concepción espacial, a interpretar
ecuaciones, y a realizar algunas demostraciones. Por ejemplo en el
algebra lineal la ecuación de la recta es una poderosa arma al
momento de trabajar con los espacios vectoriales, así mismo cuando
mapeamos de un espacio a otro vemos que los conceptos como
coordenadas y proyecciones son altamente importantes. En la
linealidad de las ecuaciones la ecuación de la recta también juega un
papel súper importante, es en si una ecuación básica y muy poderosa.
En la termodinámica hablamos de isobaras, isocóricas e isométricas y
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de que la termodinámica trabaja en un espacio PVT (presión, volumen
y temperatura), el cual nos remite a la idea de un espacio vectorial R3.
Ahora también ampliemos más el concepto de la geometría
(analítica), podemos hablar de una geometría vectorial, en la cual
como antes mencioné, la ecuación de la recta es una de las
ecuaciones fundamentales. Hablar de un vector no tendría sentido sin
que supiéramos que es un plano cartesiano, cosa que es meramente
un concepto geométrico creado por el señor René Descartes. Ahora
bien un vector puede tener conceptos muy distintos según sea. Para
un matemático un vector puede ser “un elemento de un espacio
vectorial” (Bravo et. al.) este concepto tendrá una concepción distinta
en el argot de un físico para lo que el un vector es “un elemento
matemático que sirve para representar cosas como las fuerzas” (Bravo
et.al.) Ahora bien si un concepto tiene diferentes acepciones entonces
¿Como deberíamos utilizarlo nosotros en la ingeniería? Pues se me
hace viable utilizar a un vector para representar fuerzas, o sea su
concepción física. Mas sin embargo no debemos dejar de lado su
concepción matemática y toda el algebra y las operaciones que se
desarrollan en torno de estos “entes” ; podríamos ampliar el concepto
de vector y decir que es un caso particular de una cosa que se conoce
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como tensor. Es entonces un vector un tensor de orden uno. Y esto
pareciera que solo ocurre para un espacio de dos dimensiones, pero
he ahí donde radica la fuerza de un vector, se puede representar en
un plano de 3 dimensiones. El elemento básico de la geometría se
podría decir que es el punto, el cual no tiene un concepto bien
definido, es más bien el de la huella que deja un lápiz muy fino sobre
el papel. En tres dimensiones el concepto importante es el del plano.
En el espacio de R2 el concepto importante es la línea recta y en R3
tenemos que es el plano. Ahora sabemos que la intersección de dos
planos es una línea recta. Y la intersección de dos rectas es un punto.
Así mismo podemos extender nuestra geometría hasta n dimensiones
y crear espacios vectoriales de n dimensiones.
Pero para el desarrollo de este sencillo concepto tuvo que pasar
un trabajo que involucró a varios hombres de ciencia tales como
Hamilton con sus cuaterniones, el cual también inventó el operador
nabla. Otro hombre que le dedico parte de su vida a este estudio fue el
matemático alemán Herman Gunter Grassman. “La noción básica en
el trabajo de Grassman es lo que el llamó “cantidad extensiva”, que es
un tipo de hipernumero con n componentes” (Bravo et.al.) Todo el
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trabajo que hizo este señor, contribuyó notoriamente al análisis
vectorial y dio pauta para la teoría de los tensores (que son en realidad
hipernumeros)
Ahora también otro ámbito interesante donde podemos ver el
potencial de los vectores es en el estudio de las variables complejas.
Un número complejo puede ser tratado como un vector. Ahora
regresemos al concepto de plano cartesiano, este nos sirve para
trabajar con números reales, pero, en el caso de los complejos
necesitamos un nuevo lugar de trabajo y este es el plano de Argand.
En éste se construyen los números complejos para ser representados
como un vector.
También existe la llamada geometría diferencial la cual es mucho
más elaborada que la geometría analítica y que la geometría vectorial.
Pero si tenemos una formación solida en los principios básicos de la
geometría, no debería ser mayor dificultad que aplicar los nuevos
conceptos a cosas que ya conocemos.
Entonces el estudio de la geometría no debería de ser cursar
una materia más en la formación de un estudiante, sino que debería
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de dársele una importancia crucial y deben de enseñarse todos los
conceptos de una forma que queden muy firmes en nuestras mentes.
Trabajos citados Silvia Bravo*, Joaquín Quesada**, Francisco Cervantes**. Los vectores y la física.
* Instituto de Geofisica y Depto. de Física. (Fac. de Ciencias UNAM)
** Depto. De Física (Fac. de Ciencias UNAM)