GEOMETRIA EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE MATEMATICA DE CUARTO DE SECUNDARIA EN WORD.pdf

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CONCEPTOS GEOMTRICOSFUNDAMENTALES

OPERACIONES CON SEGMENTOS

I. OBJETIVO DE LA GEOMETRAEl objeto de la geometra es el estudio de lasfiguras geomtricas desde el punto de vistade su forma, extensin y relaciones queguardan entre s.

Geometra plana.- Estudia las figurasplanas, esto es, aquellas cuyos puntos seencuentran en un mismo plano. Llamadatambin Planimetra.

Geometra del espacio.- Estudia lasfiguras slidas o del espacio, esto es,aquellas cuyos puntos no se encuentran enun mismo plano.Ejm: cubo, prisma, pirmide, esfera, etc.

II. FIGURA GEOMETRICASe llaman figuras geomtricas a losconjuntos de puntos, tales como las lneas,superficies y cuerpos. El punto representael conjunto unitario. En toda figura, menosen el punto, distinguiremos su tamao, suforma y su posicin.

Clasificacin de las figuras planas:

Congruentes. Cuando tienen igual formay tamao.

Semejantes. Cuando tienen igual formapero diferente tamao.

Equivalente. Cuando tienen la mismarea o el mismo volumen pero diferenteforma o tamao.

III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DELA GEOMETRALos elementos geomtricos fundamentalesson:1) El Punto2) La Recta y3) El Plano

1. Punto: Lmite mnimo de la extensin,que se considera sin longitud, latitud niprofundidad. La idea de puntogeomtrica nos lo da la punta de unalfiler o la marca que deja la punta deun lpiz. Expresa tan solo una idea yno un objeto real.

2. Lnea Recta: Sucesin continua depuntos que se desplaza hacia ambosextremos en forma ilimitada.

3. Plano: Superficie imaginaria ilimitada,es engendrada por una lnea rectacuando se desplaza paralelamente a suposicin original.

IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS

1. Lnea: Est formada por una sucesincontinua de puntos con una soladimensin que es la longitud.

2. Semi-recta: Parte de la recta quecarece de punto de origen.

3. Rayo: Parte de la recta que poseepunto de origen.

4. Segmento de recta: Porcin de rectacomprendido entre dos puntos que sonlos extremos.

Conjuntos Convexos

Definicin: Un conjunto P del planorecibe el nombre de conjunto convexo, si ysolo si, para cada par de puntos A y B deP, se cumple que PAB .Un conjunto que no es convexo se llamaCNCAVO.

A

B

AB

A

B

a) b) c)

d) ___ ___e)

De los conjuntos precedentes (a) sonconjuntos convexos.

SEGMENTO DE RECTA

Definicin: Para dos puntoscualesquiera A y B, el segmento AB es elconjunto de los puntos A y B y de todoslos puntos que estn entre A y B. Lospuntos A y B se denominan extremos.

Segmentos consecutivos: Dos o mssegmentos se llaman consecutivos,cuando cada uno tiene con el siguiente unextremo comn. Los segmentosconsecutivos pueden pertenecer a unamisma recta o a una poligonal.

Congruencia de segmentos: Se diceque dos segmentos son congruentescuando tienen la misma longitud.

Punto Medio o Punto Bisector de unsegmento:Se dice que el punto M de AB es unpunto medio. Si: AM=MB

A M B

a a

AM=MB= a

Observaciones:a) Todo segmento tiene exactamente un

punto medio.b) Si los puntos extremos de un segmento

PQ , tienen por coordenadas 11 y,x y 22 y,x , entonces su punto mediotiene por coordenada (m;n).

Donde:2

xxm 21

;

2

yyn 21

Ejemplo:Si: P=(2;4) y Q=(6,8)Hallar la coordenada de su puntomedio.

Solucin: 42

62m ;

62

84n

Luego: M= (4,6)

c) Si los puntos extremos de AB tienenpor coordenadas 21 xyx , es decir:

1xA y 2xB , entonces, su puntomedio tiene por coordenada:

2

xxm 21

Distancia entre A y B:

12xxAB

OPERACIONES CON SEGMENTOS

A) Suma de Segmentos:

A B C D

ADCDBCAB

B) Resta de Segmentos:

GEOMETRA

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com

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M

atematica1


A B C D

BDADAB PROBLEMAS RESUELTOS

01.En una recta se encuentran los puntos

consecutivos A, B, C donde BC mide 10y AC , 40. Hallar la medida del segmentoAB .

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Solucin:Sea la recta:

A B C10

40

BCACAB 1040 AB 30AB

Clave C

02.Los puntos colineales y consecutivos A, B,C y D; son tales que: AD = 18, BD =13 yAC = 12. Hallar BC

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 5

Solucin:

A B C D

18

1312

ACADCD

1218CD

)1..(..........6CD

)2......(CDBDBC Reemplazando (1) en (2):

613BC

7BC

Clave B03.En una recta se encuentran los puntos A,

B, C y D consecutivos tal que AC = 18 yBD = 20.Hallar ABCD

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solucin:

A B C D18

20

x

BCACAB .......(1)x18AB

BCBDCD .......(2)x20CD

Restando: (2) menos (1)x)(18x20ABCD

x18x20ABCD

2 ABCDClave B

04.Los puntos colineales y consecutivos sontales que: AB + BC = 15;

20CDAB;17CDBC ; hallar AB BC + CD

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15e) 16

Solucin:

A B C D

a b c

(*) a + b = 15 ........(1)(*) b + c = 17 .......(2)(*) a + c = 20 ........(3)

Sumando: (1) + (2) + (3):2(a+b+c) = 52(a+b+c) = 26 a = 9

17Luego: 6b y 11c Por tanto:a b + c = 9 6 + 11 = 14

Clave C

05.P, Q y R son 3 puntos consecutivos de unarecta PQ = 2QR + 1 y PR = 31. HallarQR.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

Solucin:

P Q R

a b

Del enunciado tenemos:a = 2b + 1.......(1)a + b = 31 .......(2)Reemplazando (1) en (2):3b + 1 = 31 b =10Luego:

10bQR

Clave B

06.Sobre una lnea recta se ubicanordenadamente los puntos A, B, C y D, siAB = 3BC = 4CD y AD=19m.Calcular la longitud de BC .

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Solucin:

A B C D

a b c

Del enunciado:(*) a = 3b = 4c = k ...... (1)(*) a + b +c = 19 ..........(2)

De (1)a = kb = 3

k

c = 4k

Reemplazando en (2)

194k

3kk

k = 12Por tanto:

3

12

3

kbBC

4BC Clave: A

07.Sobre una lnea recta se ubican los puntosconsecutivos: A, B, C, D y E. Si AC + BD+ CE = 44, AE = 25 y DE = 2AB.Calcular la longitud de AB .

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solucin:

A B C D E

a b c d

Del Dato:(*) a + b + b + c + c + d = 44

a + 2b +2c + d = 44 ....... (1).....25dcbaAE (2)

.....a2dAB2DE (3)Reemplazando (2) en (1):(a+b+c+d) +b+c=44

25 + b+c=44b+c=19 ......(4)

Reemplazando (4) en (2):a+d+19=25a+d=6 ...... (5)

Reemplazando (3) en (5)

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com

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M

atematica1


a+2a=6a=2

Luego:

2aAB Clave: B

08.Sobre una lnea recta se ubicanordenadamente los puntos A, B, C, D y E;si AC + BD + CE = 32 y adems:

5

AE3BD . Calcular la longitud de AE .

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Solucin:

A B C D E

a b c d

Del Dato:32CEBDAC

32dccbba 32dc2b2a ...... (1)

Adems:

dcba5

3cb

d3c3b3a3c5b5 )2......(d3a3c2b2

Reemplazando (2) en (1):32d)d3a3(a

)3........(8da Reemplazando (3) en (2):

)da(3c2b2 )8(3)cb(2

)4........(12cb

Sumando (3) y (4):20dcba

20AE Clave: B

09.A, C, D y E son puntos colineales yconsecutivos tal que D sea punto medio deCE y AC +AE = 50. Hallar AD.

a) 25 b) 12.5 c) 50d) 20 e) N.a.

Solucin:

A

a

C D E

bb

Del enunciado:50AEAC

Reemplazando:50b2aa

50)ba(2 25ba

25baAD Clave: A

10.A, B y C son puntos colineales yconsecutivos, tales que 7AB =8BC yAC = 45, hallar BC.

a) 25 b) 19 c) 23d) 21 e) N.a.

Solucin:

A B C

a b

Del enunciado, tenemos:

)1........(kb8a7 )2...(..........45ba

De (1):

8

kb

7

ka

Reemplazando a y b en (2):

458k

7k

k = 168Luego:

8168

8kbBC

21BC

Clave: DPRCTICA DE CLASE

01.AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ

A B C D

x

a a b bP Q

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

02.AB = 60 cm ; BC = 40 cmAM = MC . Calcular x

A M B N

Cx

a) 50 b) 30 c) 20d) 15 e) 5

03.AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD = 17cm. Hallar x

A B C D

x

a) 4 b) 10 c) 12d) 7 e) 8

04. PR + QS = 20 mts QR = 6 mts.Calcular : x

P Q R S

x

a) 14 b) 11 c) 13d) 10 e) 9

05.7 PC = 2 PD + 5 PB2AD + 5AB = 14 mts. Calcular x

P A B C D

x

a) 2 b) 7 c) 4d) 8 e) 6

06. AM = 4 mts , OR = 6 mts

1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar x

A M O R

x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. CD = AB + BC ; AD = 10 mtsCD/BC = 2/5. Hallar x

A B C D

x

a) 3 b) 6 c) 8d) 10 e) 7

08. AC = 3 mts ; AB . AC = )BCAB(2 22 Calcular x

A CB

x

a) 2 b) 5 c) 8d) 3 e) 1,5

09.AM = MD ; AB + CD = 10 mtsBM - MC = 2 mts. calcular x

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com

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M

atematica1


A DB M C

x

a) 7 b) 4 c) 6 d) 9 e) 2

10. AP;AQ/1AB/2AP/1 = 2 mts

BQ = 3 mts. Calcular : x

A BP Q

x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.2

CDACAB

; 1BD2BD

2

Calcular : x

A DB C

x

a) 9 b) 1 c) 7d) 2 e) 0,8

12.Los puntos consecutivos A, M, B y Cpertenecen a la misma recta. M es el puntomedio de AC . Hallar MB; si AB BC =32.

a) 8 b) 32 c) 18d) 16 e) 24

13.En una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B, C y D cumpliendo larelacin: AD BD 2CD = 1. Hallar AD,si AB = 3 y AC = 5.

a) 5 b) 6 c) 8d) 9 e) 7

14.Sean los puntos colineales y consecutivos:A, B, C y D. Calcular AD si : AC = 7 ;BD = 9 y BC = 4.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15.Se tiene los puntos A, B, C y D, colinealesy consecutivos, tal que AB=4 y AB.BD =AC.CD. Calcular CD.

a) 2 b) 22 c) 4d) 6 e) 8

16.Sobre una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B y C de tal manera que :AC+AB=18 ; si M es punto medio deBC . Calcular AM.

a) 12 b) 9 c) 8d) 7,5 e) 6

17.Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D tal que M espunto medio de AB y N es punto mediode CD . Calcular MN si AC = 6 yBD = 8.

a) 7 b) 9 c) 12d) 10 e) 5

18.Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, y D de manera queAC = 8, BD = 7 y AD = 4BC.Calcular BC.

a) 2,5 b) 3 c) 3,5d) 4 e) 5

19.Sobre una recta se dan tres puntosconsecutivos M, A y B , tal que AB = 2y MB . MA = 24.Calcular la distancia de M al punto mediode AB .

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

20.Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D.Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60.Hallar AC.

a) 45 b) 30 c) 15d) 10 e) 20

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Se tiene los puntos colineales A, B, C y D.AC=2BD. Calcular BC.Si: 2AB + 8 = 3BC + 4CD

a) 8 b) 12 c) 9d) 10 e) 11

02.En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D, E, tal queAC+BE = 20 . Hallar BC, si AE=BC+12.

a) 6 b) 3 c) 4d) 5 e) 8

03.Sobre una recta se dan los puntosconsecutivos A, B, C. Luego se toma elpunto medio M de BC .

Hallar AM, si: AB+AC=14.

a) 7 b) 14 c) 28d) 3,5 e) N.A.

04.Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D, cumplindoseque AC + BD = 10 y BC=3. HallarAD.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.A.

05.En una recta se encuentra los puntosconsecutivos A, B, C, D y cumplen lasiguiente relacin:4AB - BD - 2CD = 4 ; AB = 3 ; AC = 5Hallar AD:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) N.a.

06.Sobre una lnea recta se marcan los puntosconsecutivos A, B, C y D de modo que AB,BC y CD estn en progresin aritmtica. SiAD = 27 y CD = AB + 6. Hallar ABa) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

07.Tres segmentos tienen sus longitudesproporcionales a los nmeros 5, 8 y 12. Si elmayor tiene 56 unidades ms que elmenor, entonces la longitud del segmentoque no es mayor ni menor es:

a) 20 b) 32 c) 64d) 72 e) 86

08.Se tienen los segmentos consecutivos

colineales CDyBC,AB . El primero es elcudruple del segundo y el tercero es el

doble de AC . Si AD = 30. Hallar ladistancia entre los puntos medios de

CDyAB .

a) 8 b) 12 c) 15d) 16 e) 18

09.En una recta se toman los puntos colineales

O, A, B. Si .m13OBOA Calcular la distancia de O al punto mediode AB.

a) 5 b) 6 c) 5,5d) 6,5 e) 7,5

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com

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M

atematica1


10.En una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B, C, D. Si AB = 2CD; BCigual a 5CD y BC = 3m.

Calcular AB .

a) 1,2 b) 6 c) 2,8d) 1,4 e) 1,6

11.Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B y D de modo que AC =CD.Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

12.En una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B, C y D de modo que:

3

CD

2

BCB A . Si AD = 24m.

Calcular AB.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

13.Sobre una recta se dan los puntosconsecutivos A, B y C. Hallar AM2 BM2.Sabiendo que AB x AC = 16 y que M espunto medio de BC.

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

14. Sobre una recta se toman los puntos A, B,C, D.Calcular AD, si: BC = 6

CD

AD

BC

AB;

2

3

CD

AB

a) 36 b) 38 c) 42d) 56 e) 64

15.En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D, hallar AD, S:

4

CD

3

BC

2

AB y AC = 4 + CD

a) 4 b) 16 c) 27d) 36 e) 45

TAREA DOMICILIARIA

01. Se tienen los puntos consecutivos: M ,A, O y B, siendo O punto mediode AB. Calcular OM, sabiendo que

4

AB2+ MA . MB = 81

a) 18m b) 12 c) 6d) 3 e) 9

02. Se tiene los puntos consecutivos P, Q,R y S de manera que: PR + QS =20m, si QR = 6m, halle PS

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

03. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C yD; siendo B punto medio de AC. CalcularAB, si:

m22ADy3

AC

4

BD

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 12

04. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D, y E hallar BE, si:

51AE,7

DE

5

CD

3

BC

2

AB

a) 6 b) 9 c) 24d) 36 e) 45

05. Sobre una recta se dan los puntos: A, B,C, D de modo que AC = 12m, BD =15m, BC = CD/2, calcular el valor de AB.

a) 5m b) 6m c) 7md) 8m e) 9m

06. Sobre una recta XX1 se dan los puntos O,A, C, B de tal manera que OA = 6cm,OB = 15cm y AC CB/2, se pidedeterminar la longitud OC.a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 5

07. Sobre una recta se dan los puntos A,B, C,D, E y F consecutivamente de modo queBE = 5/8. AF y AC + BD + CE + DF =26m. Hallar el valor de AFa) 13cm b) 14 c) 15d) 16 e) 17

08. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D y E de tal maneraque se cumpla:

AB = BC/2 = CD/3 = DE/4.Calcular AE si AC = 6m

a) 20m b) 21 c) 24d) 25 e) 18

09. Sean los puntos colineales y consecutivosL, M, N, P, Q, siendo: 2LM = MN y

51

MQLN

.

HallarLM

NQ

a) 12 b) 1/12 c) 13d) 1/13 e) N.a.

10. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos P, Q y R entre los puntos Q yR se toma un punto H, tal que:

.28PQ4QRy4

HRPH

Hallar QH.

a) 7 b) 5,6 c) 4,8d) 4,5 e) N.a.

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com

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M

atematica1


Definicin: Es la reunin de dos rayos quetienen un punto extremo comn, es decirtienen el mismo origen.Los dos rayos son los lados del ngulo y elpunto extremo comn se llama VRTICE delngulo.

A

BO

Elementos del ngulo.

1. Lados: OA y OB2. Vrtice: O3. Simbologa: AOB, AOB; AOB

4. Notacin: AOB = OA OB5. Medida: m AOB =

ngulos congruentes. ()

Dos o ms ngulos son congruentes si tienenigual medida.

A

BO

P

QO

POQAOB

Bisectriz de un ngulo. La bisectriz de unngulo es el rayo que partiendo del vrticedivide al ngulo en dos ngulos congruentes.

OX : es bisectriz del AOB mAOX = XOB = AOX = XOB

A

BO

x

Clasificacin de los ngulos.Los ngulos se clasifican segn su medida, deacuerdo a su posicin y segn suscaractersticas.

I. SEGN SU MEDIDA

1. ngulo Agudo: Es aquel ngulo cuyamedida es menor que 90 pero mayor que0.

A

BO

90O

2. ngulo Obtuso: Es aquel ngulo cuyamedida es mayor que 90 pero menor que180.

A

BO

18090

3. ngulo Llano o rectilneo: Es aquelngulo cuyos lados son dos rayosopuestos; es decir son colineales y sumedida es 180.

O

180

180AOBm

4. ngulo Recto: Es aquel ngulo cuyamedida es igual a 90

A

BO

90

5. ngulo Nulo o Pergono: Es aquelngulo cuya medida se considera igual a0.

A

BO

0AOBm

II. SEGN LA POSICIN DE SUSLADOS

1. ngulos adyacentes:Se dice que dos ngulos son adyacentescuando tienen el mismo vrtice y un lado

comn tal que los lados se encuentren a otroy otro lado del lado comn.

BO

lado comn

A

C

Los ngulos: AOB y BOC son adyacentes(*) dos o ms ngulos sern adyacentesconsecutivos cuando cada uno de ellos esadyacente con su inmediato.

2. ngulos opuestos por el vrtice:Son dos ngulos determinados al trazar dosrectas secantes.

A

B D

C

AOB CODm AOB = m COD

III. SEGN SUS CARACTERSTICAS.

1. ngulos adyacentes complementarios:Se dice que dos ngulos son adyacentescomplementarios, cuando tienen el mismovrtice y cuyos lados tienen el mismo vrticey cuyos lados no comunes forman unngulo recto.

A B

O

C

NGULOS

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com

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M

atematica1


Los ngulos AOB y BOC son adyacentescomplementarios.

902. ngulos adyacentes suplementarios:

Se dice que dos ngulos son adyacentessuplementarios, cuando tienen el mismovrtice y cuyos lados tienen el mismo vrticey cuyos lados no comunes forman unngulo recto.

A

B

O

C

PROBLEMAS RESUELTOS

01.La diferencia entre el suplemento y elcomplemento del ngulo , es igual a 6veces el ngulo . Hallar dicho ngulo.

a) 30 b) 90 c) 60d) 15 e) N.a

SolucinSea el ngulo Por da:(*) Suplemento = 180 - (*) Complemento = 90 - Planteando la ecuacin:(180 - ) - (90 - ) = 690 = 6

15

02.Si a un ngulo se le resta su complementoes igual a la cuarta parte de su suplemento.Hallar dicho ngulo.

a) 80 b) 45 c) 15d) 60 e) 75

SolucinSea el ngulo Luego: - (90 - ) 1/4 (180 - )2 - 90 = 1/4 (180 - )8 - 360 = 180 - 9 = 540

60

03.Si a uno de 2 ngulos suplementarios se ledisminuye 35 para agregarle al otro, estenuevo resulta ser 8 veces mayor de lo queera el primero. El menor de los ngulossuplementarios mide:

a) 50 b) 45 c) 125d) 55 e) N.a.

Solucin:Sean los ngulos y

Por dato + = 180 ............................. (1)

Si se agrega y disminuye 35, se tiene:( + 35)= 8( - 35) + 35 = 8 - 2808 - =315 .............................. (2)

Sumando (1) + (2)

+ = 1808 - = 315

4 = 495

= 55 = 125

Clave: D

04.En la figura: OP y OR son bisectrices

?COB,160RQP

A D

P

B

O

C

R

a) 80 b) 140 c) 100d) 120 e) N.a.Solucin:De la grfica:

A D

P

B

O

C

R

PQR = 160 + + = 160 ......................... (1)Adems: + + ( + + ) = 180

+ + 160 = 180 + = 20 ........... (2)

Reemplazando (2) en (1) + + = 160

20 + = 160

= 140Clave: B

05.En la figura: AOC = 140, BOD = 120,BOC = ?

A D

CB

O

a) 80 b) 50 c) 70

d) 60 e) N.a.

Solucin:De la grfica:

A D

CB

O

Se tiene, segn los datos:AOC = + = 140 ............... (1)BOD = + = 120 (2)

Adems: + + = 180 ... (3)Sumando (1) y (2) y reemplazando en (3)= 260

+ 180 = 260

BOC = = 80

Clave: A

06. En la figura: AOC = 150, BOD = 110.Calcular: BOC

AD

C B

O

a) 80 b) 90 c) 85d) 55 e) N.a.

Solucin:Del dato tenemos:

AOC = AOB + BOCBOD = COD + BOC

AOC+BOD= AOB+BOC+COD+BOC

Reemplazando:

www

com

.

.

M

atematica1


150 + 110 = 180 + BOC

BOC =80Clave: A

PRCTICA DE CLASE

01.Tres ngulos consecutivos, situados a unmismo lado de una recta estn enprogresin aritmtica. Calcular los ngulos,si el menor y el mayor estn en relacin de3 es a 7.

a) 36, 60, 84 b) 0, 60, 84c) 60, 20, 70 c) 40, 50, 80e) N.a.

02.Cinco ngulos situados alrededor de unpunto estn en progresin aritmtica.Calcular el mayor de los ngulos si losmenores estn en relacin de 4 es a 5.

a) 84 b) 48 c) 96d) 40 e) N.a.

03.En el siguiente grfico BD es bisectriz delngulo CBE y la suma de los ngulosABC + ABE = 86. Cul es el valor delos ngulos ABD?

B

A

C

D

E

a) 45 b) 35 c) 43d) 48 e) 60

04.Sabiendo que:AOBdetrizsecBiOQ

48BOCyAOCdetrizsecBiOR

Calcular QOR

O

A

C

R

B

Q

a) 14 b) 24 c) 12d) 26 e) 10

05. En el siguiente grfico:

O

C

D

B

A

AOC + BOC = 100AOC - BOC = 40

DOBHallar.AOCdetrizsecBiOD

a) 8 b) 6 c) 5d) 15 e) 10

06.Se tiene tres ngulos consecutivos AOB,BOC y COD de tal manera que lasbisectrices de los ngulos AOB y COD sonperpendiculares y el ngulo BOD mide 80.Calcular la m AOC.

a) 100 b) 50 c) 70d) 80 e) N.A

07.Si los puntos A, O y B es una recta, OQ esbisectriz del ngulo AOM y

75

QOBmQONm

. Hallar la medida del

ngulo NOB.

A B

N

M

O

a) 18 b) 25 c) 30d) 45 e) 60

08.En la figura, calcular la medida del nguloformando por la bisectriz del ngulo AOB yCOD.

A DO

B

C

120

70

120

a) 85 b) 90 c) 95d) 100 e) 105

09.En la figura si: medida del ngulo

BON= 20 ON bisectriz del ngulo AOQ.

OM bisectriz del ngulo AOP. Calcular x

P QO

C

xx

A

a) 51 b) 52 c) 53d) 54 e) 55

10.Se tienen los ngulos adyacentes

suplementarios AOB y BOC . Si OM esbisectriz del ngulo AOB. Calcular lamedida del ngulo BOM. Siendo ademsm BOC - m AOB = 40.

a) 40 b) 20 c) 10d) 30 e) 35

11.De que ngulo se debe restar sucomplemento para obtener 10.

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

12.Si el suplemento del suplemento delsuplemento de la medida de un ngulo sela aade el complemento del complementodel complemento del doble de la medidade dicho ngulo, se obtiene el triple de lamedida del ngulo mencionado. Calculardicho ngulo.

a) 60 b) 45 c) 30d) 55 e) 50

13.Se tiene los ngulos consecutivos AOB,

BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y

OQ de los ngulos AOB y CODrespectivamente. Si m POQ = 70 ym BOD = 120. Hallar la medida delngulo AOC.

a) 60 b) 20 c) 40d) 50 e) 30

14.Dados los ngulos consecutivos M O N y

QON , OX es bisectriz del NOM , OY , es

www

com

.

.

M

atematica1


bisectriz del QON , OZ es bisectriz del

YOX . Si m NOQ - m MON = 60.Calcular m NOZ:

a) 20 b) 15 c) 30d) 25 e) N.a

15.Sabiendo que los ngulos superpuestos

BOA y COA son complementarios, siendo

OX , bisectriz del ngulo BOC, entonces elngulo AOX mide:

a) 30 b) 37 c) 60d) 53 e) 45

16.De la figura: Hallar x:

x2x

a) 30 b) 60 c) 45d) 53 e) 36

17. Se tiene los ngulos consecutivos AOBBOC y COD tal que OC es bisectriz delngulo BOD; adems se cumple:m AOB +m AOD = 100. Hallar m AOC

a) 100 b) 80 c) 50d) 60 e) 40

18. Se tienen los ngulos consecutivos AOB yBOC; el primero es mayor que el segundoen 40. Se traza la bisectriz OX del nguloAOC. Calcular la m BOX.

a) 40 b) 50 c) 80d) 20 e) 70

19.Sobre una lnea se tiene cinco ngulosconsecutivos, los cuales se encuentran en

progresin aritmtica. Si el mayor de losngulos excede al menor en 20. Hallar elmenor de dichos ngulos.

a) 20 b) 50 c) 36d) 40 e) 70

20.Hallar x. Si: m AOD = 220; mBOD=230, m AOC = 240.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50


01.Encontrar la mitad de la tercera parte delcomplemento del suplemento de un nguloque mide 96.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a.

02.Si a un ngulo se le resta su complementoes igual a la cuarta parte de su suplemento;calcular dicho ngulo.

a) 80 b) 45 c) 15d) 60 e) N.a.

03.Dados los ngulos consecutivos AOB, BOCy COD, calcular la suma de AOC y BOD siel ngulo formado por las bisectrices vdeAOB y Cod es de 90

a) 150 b) 135 c) 160d) 180 e) N.a.

04.La diferencia de dos ngulos adyacentes es90. Cul s la diferencia de los ngulosformados por sus bisectrices?

a) 40 b) 50 c) 45d) 30 e) N.a.

05.Hallar x en la figura, si POQ = 100.

x

A

R

X

B

P

Y

a) 50 b) 40 c) 30d) 20 e) N.a.

06.En la figura:OB bisectriz de AOEOC bisectriz de BOEOC bisectriz de COESi BOD = 36. Hallar AOE

A

C

E

B

D

a) 96 b) 72 c) 48d) 24 e) N.a.

07.En la figura AOC y BOC sonsuplementarios. AOB = 80. Hallar AOC.

A

C

O

B

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) N.a.

08.La suma del complemento de un ngulo con el suplemento de un ngulo doblees igual a 3/2 del complemento de unngulo y - = 24. Calcular elcomplemento del ngulo de .

a) 36 b) 18 c) 24d) 45 e) 38

09.En la figura AOM = BOXBON = 22.BOX = ?ON es bisectriz de AOXOM es bisectriz de AOX

A

B

X

M

OX'

N

a) 28 b) 14 c) 56d) 95 e) 69

10.Calcular la medida de un ngulo, sabiendoque su complemento es a su suplementocomo 1 es a 10.a) 80 b) 75 c) 70d) 95 e) 69

11.Se tienen tres ngulos consecutivos, AOB,BOC y COD de tal manera que lasbisectrices de los ngulos AOB y COD sonperpendiculares y el ngulo BOd mide 80.Calcular la m ADC.

a) 100 b) 50 c) 70d) 80 e) N.a.

12.Si los puntos A, O y B estn en una recta,OQ es bisectriz del ngulo AOM y

75

QOBmQONm

. Hallar la medida del

ngulo NOB.

www

com

.

.

M

atematica1


Q

B

M

OA

N

a) 18 b) 25 c) 30d) 45 e) 60

13.En la figura la medida del ngulo formadopor la bisectriz del ngulo AOB y COD.

B

B

C

OA70

120

a) 85 b) 90 c) 95d) 100 e) 105

14.En la figura si: m BON = 20. ON bisectrizdel ngulo AOQ, OM bisectriz del nguloAOP. Calcular x

QP

M

O

A

Nx

x

B

a) 51 b) 52 c) 53d) 54 e) 55

15.Se tienen los ngulos adyacentessuplementarios AOB y BOC. Si OM esbisectriz del ngulo AOB. Calcular lamedida del ngulo BOM, siendo ademsm BOC - m AOB = 40

a) 40 b) 20 c) 10d) 30 e) 35

TAREA DOMICILIARIA

01.Se tiene los ngulos consecutivossuplementarios AOB y BOc que sediferencian en 38. Calcular la medida delngulo formado por la bisectriz del nguloAOC y el rayo OB.

a) 76 b) 38 c) 20d) 19 e) 24

02.Hallar x

x

30

a) 30 b) 60 c) 70d) 50 e) 25

03.Se tiene los ngulos consecutivos AOB ,BOC y COD, siendo 2(AOB) = 3(COD);AOC = 92 y BOD = 76. Hallar lamedida de BOC.

a) 24 b) 16 c) 54d) 44 e) 64

04.El doble de la medida de un ngulo esigual al triple de la media de sucomplemento. Hallar la medida del ngulo.

a) 54 b) 36 c) 44|d) 27 e) 58

05.Si a la medida de un ngulo se le resta dosgrados mas que a la tercera parte de sucomplemento, resulta un cuarto delsuplemento del ngulo, disminuido en ungrado. Cunto mide dicho ngulo?

a) 45 b) 46 c) 44

d) 48 e) 38

06.Alrededor de un punto O, en sentidohorario, en forma consecutiva se trazan los

rayos ODyOC,OB,AO , siendo

ODOCyOBOA . Hallar la medida

del ngulo que forman las bisectrices deAOC y BOD.

a) 135 b) 45 c) 120d) 150 e) 90

07.Se tiene los ngulos consecutivos: AOB,BOC y COd de tal modo que AOD = 100y BOC = 60. Calcular el ngulo queforman las bisectrices de los ngulos AOB yCOD.

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) 85

08.Sean los ngulos AOB y BOC adyacentes,suplementarios d modo que BOC - AOB =44. Se trazan:OX: Bisectriz del ngulo BOCOY: Bisectriz del ngulo AOXOZ: Bisectriz del ngulo XOYHallar el suplemento del complemento dela medida del ngulo BOZ.

a) 24 b) 24 30 c) 25d) 27 30 e) 115

09.Los rayos OEyOD,OC,OB,OA y seencuentran ubicados en un mismo planode modo que la bisectriz del ngulo OX delngulo AOB es perpendicular a la bisectrizOD del ngulo BOE. Si XOE = 160.Calcular el complemento del ngulo BOD

a) 70 b) 40 c) 140

d) 30 e) 20

10.La tercera parte de la mitad del suplementode la medida de un ngulo excede de 2 alos 3/5 del complemento de la medida delmismo ngulo.

a) 60 b) 30 c) 10d) 120 e) 45

www

com

.

.

M

atematica1


RECTAS PARALELAS

ngulos formados por dos rectas paralelas.

Si L1 // L2

a bd c

npq

m

L

L

Entonces:1. Internos .........................................

...........................................................

...........................................................

...........................................................

2. Externos .........................................................................................................................................................................................................................

Internos ...............................................................................

3. Alternos Externos .............................................................................

Internos ...................................................................

4. Conjugados Externos .....................................................................

5. Correspondientes ...............................................................................................................................................................................................................

Practica de Clase:

01. En la figura, L1 // L2 y + = 160.Hallar

L

L

1

2

a) 35 b) 40 c) 50d) 55 e) 80

02. Hallar el ngulo en la figura, si L1 // L2

L

L

1

2

x

3x/2

a) 144 b) 154 c) 134d) 136 e) 146

03. Si 'YY//'XX .Hallar - .

X

X'100100

Y Y'38

a) 72 b) 32 c) 10d) -32 e) -10

04. En la figura, DE;EF//AB es

perpendicular a AC y y son entre si

como 2 es a 7. Hallar -

A

B

CD

E Fa) 100 b) 80 c) 0d) 60 e) 40

05. En la figura 'YY//'XX . Hallarx

X X'

Y Y'

x

30

30

a) 30 b) 60 c) 90d) 120 e) 150

06. En la figura mostrada 'YY//'XX .

Determinar +

X X'

Y Y'

35

120

150

a) 175 b) 185 c) 65d) 155 e) 95

07. En la figura 'YY//'XX y ABCD es un

cuadrado. Hallar el ngulo .

X X'

Y Y'

120

A

B

C

D

a) 60 b) 30 c) 45d) 15 e) N.a.

08. En la figura L1 // L2. Hallar la medida de

DEADyBCADsiFED

L1A

C x40

B

D

EF

L2

a) 15 b) 10 c) 25d) 30 e) 40

09. En la figura L1 // L2 y L3 // L4. Calcular x/y

www

com

.

.

M

atematica1


L1

140

L2

L3 L4

60y

x

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 1/4 e) 1/3

10. En la figura: L1 // L2. Clacular la medida

del ngulox sabiendo que: - = 160

L1

L2

x

a) 35 b) 40 c) 50d) 39 e) 50

11. En la figura L1 // L2. Si el tringulo ABCes equiltero, hallar +

L1

L2

A

B

Ca)240 b) 180 c) 210d) 120 e) 300

12. En la figura, hallar a. Si L1 // L2

L1

L2

2x

3xx

a

a

a) 15 b) 45 c) 30d) 50 e) 60

13. En la figura adjunta EFyCD,AB son

paralelas, BEF

= 65 y DBE

= 15,

entonces BDC

es igual a:

A B

xC D

E F

a) 110 b) 145 c) 30d) 50 e) 60

14. En la figura, determinar el suplemento deb, si se sabe que L1 // L2 y adems 4a - b= 30

L1

L2 a

b

4a

a)90 b) 105 c) 120d) 135 e) 130

15. Del grfico, calculae el valor de x. Si L1// L2:

L1

L2

x

5

3 4

a) 10 b) 50 c) 70d) 80 e) N.a.

16. Si L1 // L2. Hallar:3

)xy(

L1

L2

y

35

30

x

a) 5 b) 6 c) 7d) 10 e) N.a.

17. En la figura mostrada, L1 // L2. Calcularx

L1

L2

3

2nn

x

mm

a) 100 b) 135 c) 140d) 180 e) 200

18 En la figura, calcular x. Si L1 // L2

L1

L2

3

xw

wx

a) 36 b) 40 c) 50d) 20 e) N.a.

19. Segn el grfico, L1 // L2. Calcular elvalor de x:

L1

L2

x

130

a) 10 b) 15|d) 30 e) N.a.

20. Si L1 // L2, hallar x:

L1

L2

x

x

8x

a) 45 b) 20d) 25 e) 18


01. Si L1 // L2. Hallar x

L1

L2

2x

3x

x

www

com

.

.

M

atematica1


a) 15 b) 18 c) 12d) 20 e) 30

02. Si L1 // L2. Hallar x, Si a + b + c +d = 140

L1

L2

b

a

x

c

d

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

03. Hallar x si L1 // L2

L1

L2

b

x

aa

b

a) 60 b) 75 c) 105d) 135 e) N.a.

04. Si L1 // L2, hallar x

L1

L2 a

x

2a

110

a) 40 b) 60 c) 80d) 100 e) N.a.

05. Si L1 // L2. Hallar x. Si a + b + c +d = 122

L1

L2

c

a

x

b

d

a) 41 b) 51 c) 60d) 61 e) 71

06. Hallar x, si L1 // L2

L1

L2

x

30

40

a) 120 b) 100 c) 80d) 110 e) 150

07. Si L1 // L2. Hallar x:

L1

L2

2x

4x

a) 15 b) 20 c) 30d) 45 e) 60

08. En la figura AB, Cd y EF so paralelas mFEB = 65, m EBD = 15. Entoncesm CDB

A B

C D

E F

a) 125 b) 130 c) 115d) 145 e) 135

09. Hallarx, si L1 // L2

L1

L2

2

2

x

a) 30 b) 45 c) 60d) 80 e) 90

10. Si L1 // L2. Hallar x

L1

L2 4x7x

3x

2x

x

a) 12 b) 10| c) 9d) 15 e) 18

11. En la figura L1 // L2. Hallar x:

L1

L2

a) 10 b) 15 c) 12d) 18 e) 13

12. En la figura Ab.BC. Hallar el ngulo xen funcin de , si FG // AC.

A

B C

F

G

x

a) 90 / 2 b) 180 c) 90 + 2d) 180 - / 2 e) 90 + 3 / 2

www

com

.

.

M

atematica1


13. Hallar el valor del ngulo x. Si COF

=L1 // L2 y L3 // L4

L 1

L2

L3 L4

FG

O

a) 45 b) 45 c) 270d) 30 e) 180 - 2

14. Calcular el valor de (L1 // L2)

L 1

L2

a) 1230 b) 15 c) 13d) 10 e) 8

15. En la figura mostrada. Calcular x, si L1// L2

L 1

L 2

60

80

x

a) 64 b) 168 c) 166d) 170 e) 172

TAREA DOMICILIARIA

01. Si L1 // L2 que se cumple

L 1

L 2

3ba

a3b n

m

a) m - n b) m + n = 90c) m + 2n = 90 d) m = 2ne) 2m = n

02. Hallar L1 // L2

L 1

L 2

45

a) 2 b) 5 c) 10d) 15 e) N.a.

03. AB//EF . Calcular

F

AB

E

40

a) 2 b) 5 c) 10

d) 15 e) N.a.

04. Si: m // n. Calcular

F

A

80

a) 80 / 3 b) 50 / 3 c) 80d) 50 e) N.a.

05. En la figura calcular x, si: 270 ym // n

m

x

a) 45 b) 60 c) 37d) 90 e) N.a.

06. Si: L1 // L2 y = 300Calcular:

L

x

1

L 2

a) 10 b) 20 c) 30d) 41 e) N.a.

07. Si: 6 y m // n.Calcular x

m

n

x

a) 84 b) 50 c) 37d) 45 e) 90

08. En la figura L1 // L2.Calcular x

L

L

x + 2

x

145

x

2

2

1

2

a) 30 b) 33 c) 40d) 43 e) N.a.

09. Si: = 260 y L1 // L2// L3.Calcular x

www

com

.

.

M

atematica1


L

L

1

2

L 3

x

a) 20 b) 30 c) 50d) 58 e) N.a.

10. Hallar L1 // L2

L

L

1

2

a)10 b) 20 c) 30d) 50 e) N.a.

www

com

.

.

M

atematica1

GEOMETRIA EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE MATEMATICA DE CUARTO DE SECUNDARIA EN WORD.pdf

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