Geometría de Proporción Prof. Isaías Correa M.. APRENDIZAJES ESPERADOS Identificar triángulos...
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Geometría de Geometría de Proporción Proporción
Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.
1. Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
3.5 Postulados de semejanza
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
1212
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4 Área = 4
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
A
E
D
C
B
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
A
E
D
C
B
G
F
J
I
H
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.
= k
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
Recuerda: Teorema de Euclides
hC = a · bc
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo:Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k 5
10= 1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdemás
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
E
F
D
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además BAC=DFE y CBA=FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
=
4. División de un segmento4.1 División interior
CA B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB
= m n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
QA B
45
AQQB
= 35
Solución:
AQ45
= 35
AQ =3∙45
5
AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD
= m n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
20∙2
5
BD = 8
BA D812
20Solución:
4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m
ACCB
= = nADBD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
12+y y
Solución:
x y
ACCB
= 32
= 32
3x = 2(12 - x) 12- x x
3x = 24 - 2x5x = 24
ADBD
= 32
= 32 24 + 2y = 3y
365
x = 245
24 = y
245
24A C B D
12 - x
12
4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX
= AX BX
ó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?
5
Solución:
(AP)2 = (AP + 5)∙5
(AP)2 = 5∙AP + 25
(AP)2 - 5∙AP - 25 = 0
5
PA B
(AP)2 = AB∙PB