GEOMETRIA básica Nº1

APUNTES DE GEOMETRIA. Angulos.

Orlando Tapia Riveros. - 1 - Conceptos Básicos de Geometría.

CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA.

I.- ANGULOS. Definición 1 : Un ángulo es la figura formada por dos semi-rectas con un origen en común llamado vértice. Las semi-rectas se llaman lados. Notación. ∠ AOB Figura 1: Definición 2 : La bisectriz de un ángulo es la semi-rectas que tiene como origen al vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales. A Figura 2 : O C ∠ AOC = ∠ COB B Sistemas de Medida Angular. Existen tres sistemas de medida angular. • Sistema Sexagesimal : En este sistema el ángulo completo mide 360º. Cada grado tiene

sesenta minutos. • Sistema Centesimal : En este sistema la medida de un ángulo es de 400 grados. Cada

grado tiene 100 minutos y cada minuto tiene 100 segundos • Sistema Circular : En este sistema se usa como unidad el radian. La medida de un

ángulo completo corresponde a 2π radianes. Radian es un ángulo cuyo arco es igual al radio con que fue

descrito.

B

A

O

r r

r

O

A

B



Clasificación de los ángulos. Los ángulos se clasifican según su medida en: • Angulo recto : Es aquel que mide 90º, tiene sus lados perpendiculares. • Angulo Agudo : Es aquel que mide menos de 90º. • Angulo extendido : Es aquel que mide 180º. • Angulo obtuso : Es aquel que mide más de 90º y menos de 180º. Angulo recto Angulo agudo Angulo extendido Angulo obtuso Tipos de ángulos. • Angulos suplementarios : Son los ángulos que suman 180º. El suplemento de un ángulo

es lo que falta para completar 180º. • Angulos complementarios : Son los ángulos que suman 90º. El complemento de un ángulo

es lo que falta para completar 90º. • Angulos adyacentes : Son los que tienen un lado y vértice en común. • Angulos opuesto por el vértice : Son los ángulos en que los lados de uno de ellos se

forman prolongando los lados del otro.



• Angulos inscritos : En una circunferencia es el que está formado por dos cuerdas que parten de un mismo punto de la circunferencia.

• Rectas perpendiculares : Son las que forman ángulos adyacentes iguales entre sí e

iguales a 90º. Angulos entre rectas paralelas cortado por una transversal. 1 2 l1 3 4 5 6 l2 7 8 l • Angulos correspondientes : Son los que están situados al mismo lado de las paralelas y

al mismo lado de la transversal l. Son iguales entre sí. ∠ 1 = ∠ 5 ∠ 2 = ∠ 6 ∠ 3 = ∠ 7 ∠ 4 = ∠ 8



• Angulos Alternos : Son los que están a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la transversal l. Son iguales entre sí.

Alternos externos Alternos internos ∠ 1 = ∠ 8 ∠ 3 = ∠ 5 ∠ 2 = ∠ 7 ∠ 4 = ∠ 6 Angulos de lados paralelos : Si ∠ α y ∠ β tienen sus lados paralelos resulta que: ∠ α = ∠ β. α β Angulos de lados perpendiculares : Si ∠ α y ∠ β tienen sus lados perpendiculares resulta que: ∠ α = ∠ β. α β

APUNTES DE GEOMETRIA. Polígonos.


II.- POLIGONOS. Definición 1 . Un polígono es una figura plana formada por la reunión de varios segmentos de modo que no se crucen y se toquen solamente los extremos. • Los puntos de intersección son los vértices del polígono. • Los segmentos determinados, son los lados del polígono. • Los lados forman los ángulos interiores del polígono. A E B D C Definición 2 . Un polígono se denomina convexo si al unir dos puntos cualesquiera de él, el segmento que los une queda completamente incluido en él. En caso contrario el polígono se denomina cóncavo. Polígono convexo. Polígono cóncavo. Los polígonos se denominan según el número de lados que lo formen. • Triángulo : polígono de tres lados. • Cuadrilátero : polígono de cuatro lados. • Pentágono : polígono de cinco lados. • Hexágono : polígono de seis lados. • Heptágono : polígono de siete lados. • Octógono : polígono de ocho lados. • Decágono : polígono de diez lados. • Dodecágono : polígono de doce lados. • Icoságono : polígono de veinte lados.

APUNTES DE GEOMETRIA. Polígonos.


Proposición 1. El número de diagonales que podemos trazar desde un vértice en un polígono de n lados es: d = n - 3. Proposición 2. El número total ( D ) de diagonales que podemos trazar en un polígono de n lados es:

D = ( )n n − 3

2

Observación : Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados. Los polígonos que tienen todos sus lados iguales se denominan equiláteros y los tienen todos sus ángulos iguales se denominan equiángulos. Los polígonos que son simultáneamente equiláteros y equiángulos se denominan polígonos regulares. Teorema 1. La suma de las medidas de los ángulos interiores ( S ) de un polígono de n lados es: S = 180º ( n - 2 ). Teorema 2. La suma de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360º.

APUNTES DE GEOMETRIA. Triángulos.


1.- TRIANGULOS. Definición 1: Un triángulo es un polígono formado por tres lados. C b γ a α β A c B Clasificación de los triángulos. Los triángulos los podemos clasificar según sus lados y según sus ángulos. Según sus lados se clasifican en : • Triángulo equilátero : Es aquel que tiene todos sus lados iguales. • Triángulo isósceles : Es aquel que tiene dos lados iguales. Al lado diferente se llama

base. • Triángulo escaleno : Es aquel que tiene sus tres lados distintos. Según sus ángulos se clasifican en : • Triángulo acutángulo : Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos. • Triángulo rectángulo : Es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo

recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

• Triángulo obtusángulo : Es aquel que tiene un ángulo obtuso. Observaciones: • En todo triángulo equilátero sus ángulos interiores son iguales y miden 60º. • En todo triángulo isósceles sus ángulos básales son iguales. • Todo triángulo equilátero es acutángulo.



Teoremas relativos a los triángulos. Consideremos el siguiente triángulo ABC C γ’ γ b a α β β’ A α’ c B 1.- En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es 180º. α + β + γ = 180º 2.- En todo triángulo la suma de sus ángulos exteriores es 360º. α’ + β’ + γ’ = 360º 3.- En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. α’ = β + γ β’ = α + γ γ’ = α + β 4.- En todo triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el tercer lado. a + b > c a + c > b b + c > a Elementos secundarios de un triángulo. En todo triángulo ABC se conocen los llamado elementos secundarios , los cuales son: • Alturas. • Bisectrices. • Simetrales. • Transversales de gravedad. • Medianas.



Alturas : Son los segmentos perpendiculares bajados desde un vértice a lado opuesto o a su prolongación. En todo triángulo podemos trazar tres alturas las cuales se interceptan en un mismo punto que se llama ortocentro.

C hc hb ha A B Bisectrices : Son los segmentos que unen un vértice con el lado opuesto bisectando el ángulo

interior correspondiente. En punto de intersección de las bisectrices de un triángulo equidista de sus lados, el cual es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. El centro de la circunferencia inscrita en el triángulo se llama inscentro.

C bβ bγ A bα B Simetrales : Son los segmentos que son perpendiculares en los puntos medios de los lados. El

punto de intersección de las simetrales es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo se llama circuncentro. C

sb sa B A sc



Transversal de gravedad : Son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres transversales de gravedad se interceptan en un mismo punto el que se llama centro de gravedad.

C ta tb A B tc Medianas : Son los segmentos que unen los punto medios de los lados. C A B



Semejanza de triángulos. Definición 2: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos son proporcionales. Teorema fundamental de la semejanza de triángulos. Toda paralela a un lado de un triángulo determina un triángulo semejante al primero. C D E A B Existen cuatro criterios para decidir si dos triángulos son semejantes entre sí. a) Primer caso de semejanza : Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales. b) Segundo caso se semejanza : Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos. c) Tercer caso de semejanza : Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. d) Cuarto caso de semejanza : Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales. Congruencia de triángulos. Definición 3: Dos figuras son congruentes, si al superponerlos coinciden en toda su extensión. Es decir dos figuras son congruentes si tienen idéntica forma y superficie. Definición 4 : Para que dos triángulos sean congruentes es necesario que tengan elementos homólogos iguales, siendo al menos uno de ellos lineal. Observación : • Lados homólogos son los que se oponen a ángulos iguales. • Angulos homólogos son los que se oponen a lados iguales.



Casos de congruencia. Primer caso : ( A.L.A ) Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y dos ángulos adyacentes iguales. C C’ A B A’ B’ Segundo caso : ( L.A.L) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales. C C’ A B A’ B’ Tercer caso : (L.L.L) Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados respectivamente iguales. C C’ A B A’ B’



Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. Teorema de Euclides. ( referente a la altura ) En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente al vértice del ángulo recto es media proporcional geométrica entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.

hc2 = p · q

C

b a hc A q p B Teorema de Euclides. ( referente al cateto ) En todo triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa entera y su proyección sobre ella. b2 = c · q a2 = c · p C

b a hc A q p B Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. a2 + b2 = c2



Teorema general de Pitágoras para triángulos acutángulos. En todo triángulo acutángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él. a2 = b2 + c2 - 2cq C b hc a A q B Teorema general de Pitágoras para triángulos obtusángulos. En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, más el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él. a2 = b2 + c2 + 2qc C hc b a q A c B

APUNTES DE GEOMETRIA. Cuadriláteros.


2.- CUADRILATEROS. Definición 1: Es aquel polígono de cuatro lados. Clasificación de los cuadriláteros. Los cuadriláteros se clasifican en: • Paralelogramos : Son cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos. Se clasifican en:

cuadrado, rectángulo, rombo, romboide. Cuadrado Rombo Rectángulo Romboide • Trapecios : Son cuadriláteros con un sólo par de lados paralelos. Se clasifican en: - Trapecios isósceles : lados no paralelos son iguales. - Trapecios rectángulos : Un lado no paralelo es perpendicular a la bases. - Trapecios escálenos : Los lados no paralelos son diferentes. Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Trapecio escaleno • Trapezoides : No tienen lados paralelos.

APUNTES DE GEOMETRIA. Cuadriláteros.


Propiedades de los cuadriláteros. 1.- En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es 360º. 2.- En un cuadrado, sus cuatro lados son iguales; los cuatro ángulos interiores son rectos; sus diagonales son iguales y se dimidian , son perpendiculares entre sí y bisectan los ángulos de los vértices. 3.- En un rectángulo sus lados opuestos son iguales, sus ángulos interiores son rectos y sus diagonales son iguales y se dimidian. 4.- En un rombo tiene sus cuatro lados iguales, los lados opuestos son paralelos, sus ángulos interiores opuestos son iguales, las diagonales se dimidian, son perpendiculares entre sí y bisectan los ángulos de los vértices. 5.- En el romboide los lados opuestos son iguales; los ángulos opuestos son iguales y sus diagonales se dimidian. 6.- En el trapecio isósceles sus diagonales son iguales; sus ángulos básales son iguales Definición 2 : La mediana de un trapecio es el segmento que une el punto medio de los lados no paralelos. Es paralela a las bases e igual a la semi-suma de ellas.

APUNTES DE GEOMETRIA. Circunferencia y Circulo.


III.- CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. Definición 1 : La circunferencia es una línea curva plana, cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Definición 2 : Es la región encerrada por la circunferencia. l l’ T O E A B C D Definiciones: • Radio : Es el segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. • Cuerda : Es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. En la fig.

CD es una cuerda. • Diámetro : Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

En la fig. AE es un diámetro. • Secante : Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. En la fig. l' es una

secante. • Arco : Es una parte de la circunferencia. En la fig. AB es un arco. • Tangente : Es una recta que toca en un punto a la circunferencia. La tangente puede

considerarse como una cuerda mínima en que los dos puntos estarían infinitamente cerca. El punto donde toca a la circunferencia se llama punto tangencial.

• Sector Circular : Es la superficie comprendida entre dos radios y un arco. En la fig. la

superficie AOB es un sector circular.



Angulos en una circunferencia. • Angulo del centro : Es un ángulo de vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados son los radios. En la figura el ángulo α es central. • Angulo inscrito : Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. En la figura el ángulo β es un ángulo inscrito. Teorema 1: La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, siempre que ambos se les oponga el mismo arco.

2

AOBAPB ∠=∠

Observación : Un ángulo inscrito en una semi-circunferencia es un ángulo recto. Si se inscribe un cuadrilátero en una circunferencia los ángulos opuestos son

suplementarios. • Ángulo semi-inscrito : Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia con uno de sus lados tangentes y el otro lado secante a la circunferencia. Teorema 2 : La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, si ambos subtienden el mismo arco.

2α∠

=∠ABC

P

B

A

O α

C

B

A

O α



• Ángulo interiores : Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia. Teorema 3: La medida de un ángulo interior es igual a la semi-suma de las medidas de los arcos correspondientes.

2

EDACABC +=∠

• Ángulo exterior : Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia. Teorema 4: La medida de un ángulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

2

BDAE −=α

E D

C A

B

α C

E D

B A



Relaciones métricas en el circulo. Teorema 1: En la figura EDCEEBAE ⋅=⋅ Teorema 2: En la figura AMANAEAF ⋅=⋅ Teorema 3: En la figura ( ) ABACAT ⋅=

2

A D

B C

E

A

N M

E F

B C

T

A

APUNTES DE GEOMETRIA. Areas y Perímetros.


IV.- AREA Y PERIMETROS DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES: Definición 1: El perímetro de un polígono, es la longitud de su contorno, es decir la suma de sus lados. Definición 2: La superficie se refiere a la forma. Hay superficies rectángulares , cuadradas, circulares, etc. Definición 3: Es la medida de una superficie. El área se refiere al tamaño.

FIGURA. PERIMETRO. AREA. -Triángulo. b a hc c

P = a + b + c

A = 12

base altura×

- Triángulo equilátero. a a a

P = 3a

A = a2 3

4⋅

- Cuadrado. a a

P = 4a

A = a2

- Rectángulo. b a

P = 2 ( a + b )

A = a · b

FIGURA. PERIMETRO. AREA.



-Rombo. h a a

P = 4a

A = a · h

A= e f⋅

2

- Romboide. h b a

P = 2 ( a + b )

A = a · h

- Trapecio. b d h c a

P = a + b + c + d

A = ( )a b

h+

⋅2

- Polígono regular de n lados.

P = n · a

A = n a⋅ ⋅ ρ

2

- Circunferencia

P = 2 · π · r

----------- r



FIGURA. PERIMETRO. AREA.

- Circulo.

----------

A = π · r2

- Sector circular.

----------

A = π α⋅ ⋅r2

360º

- Arco de circunferencia.

P = π α⋅ ⋅r180º

---------

r

r

r

APUNTES DE GEOMETRIA. Cuerpos Geométricos.


V.- CUERPOS GEOMETRICOS. Definición 1 : Se llama cuerpo geométrico a una porción de espacio limitada por una o más superficies. Los cuerpos geométricos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos. Definición 2: Se llama Poliedros a un cuerpo limitado por porciones de planos. En todo poliedro distinguimos los siguientes elementos: • Cara : Son las distintas regiones poligonales que forman o componen el poliedro. En la

fig. ABB’A’ • Arista : Son los segmentos de recta formados por la intersección de dos caras. En la fig.

AB es la intersección de las caras ABB’A’ y ABCDE. • Vértice : Son los puntos formados por la intersección de tres o más aristas. En la fig. A, B

C, A’, B’, etc • Diagonal : Es el segmento de recta que une dos vértices no situados en la misma cara. En la

fig. A’D Definición 3: Un poliedro se dice convexo, si al intersectarlo con un plano se obtiene un polígono convexo. Observación: Los poliedros se designan en general por el número de caras que tienen. • Tetraedro : Poliedro de 4 caras. • Pentaedro : Poliedro de 5 caras. • Hexaedro : Poliedro de 6 caras. Los poliedros, según la forma de sus caras se clasifican en poliedros regulares e irregulares.

D

A’ B’

E’ C’

C

A B

E

D’



Poliedros regulares. Son aquellos que tienen todas sus caras formadas por polígonos regulares y congruentes. Teorema 1. Hay sólo cinco poliedros regulares convexos, estos son: • Tetraedro regular : Formado por 4 caras. • Hexaedro regular o : Formado por 6 caras. cubo. • Octaedro regular : Formado por 8 caras. • Dodecaedro regular : Formado por 12 caras. • Icosaedro regular : Formado por 20 caras. Poliedros irregulares. Se llaman poliedros irregulares a todos aquellos que no son regulares. • Prismas : Se llama prima a un poliedro limitado por tres o más caras laterales que son

paralelogramos unidos a dos caras basales que son polígonos congruentes y paralelos. base base base Las caras paralelas se llaman bases del prisma y sus lados se llaman aristas basales. Las demás caras se llaman caras laterales y son aristas laterales todas las que no son basalaes. Observaciones: 1.- Los primas se denominan según el número de lados que tengan sus bases:

• Prisma triangular • Prisma cuadrangular. • Prisma pentagonal.

2.- Un prisma se denomina prisma recto si sus aristas laterales son perpendiculares a sus bases. Un prisma se denomina oblicuo si sus aristas laterales no son perpendiculares a sus bases. 3.- Se denomina altura de un prisma, a la distancia entre sus bases.



4.- En un prisma recto, las aristas laterales son iguales a la altura. 5.- Un prisma cuyas bases son paralelogramos se denominan paralelepípedo. 6.- Un prisma recto que tiene por bases un polígono regular se denomina prisma regular. • Pirámides : Se llama pirámide a un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y

cuyas caras laterales son triángulos que tienen un vértice común. El punto común de las caras laterales se denomina vértice o cúspide de la pirámide.

Observaciones: 1.- Las pirámides se denominan según el número de lados que tenga su base:

• Pirámide triangular. • Pirámide cuadrada. • Pirámide pentagonal.

2.- Se denomina altura de una pirámide al segmento trazado desde la cúspide perpendicular hasta la base. 3.- Se llama apotema lateral de una pirámide recta regular a la altura de las caras laterales.



Definición 4: Se llaman cuerpos geométricos redondos a aquéllos que están limitados por superficies curvas o por superficies curvas planas. Esfera Cilindro Cono Observación : 1.- En general los cuerpos redondos resultan de hacer girar una superficie en torno a un eje de rotación situado en el mismo plano. Por seta razón los cuerpos redondos suelen denominarse sólidos de revolución. 2.- La superficie que limita un sólido de revolución se denomina superficie de revolución y la línea l l’ que genera dicha superficie se denomina generatriz. l l’ • Cilindro : Se llama cilindro circular recto al sólido de revolución engendrado al hacer girar un rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus lados. AB : generatriz del cilindro. AO : radio basal. OO’: altura del cilindro

B A

O O’



• Cono : Se llama cono circular recto al sólido de revolución engendrado al hacer rotar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos. S AS : generatriz OS : altura del cono. OA: radio basal. A O • Esfera : Se llama esfera al sólido de revolución, engendrado al hacer rotar una semi-circunferencia en torno a un eje situado sobre su diámetro. A ACB : generatriz. OC : radio de la esfera. AB : diámetro de la esfera y de su circulo máximo. O C B

APUNTES DE GEOMETRIA. Superficies y Volúmenes.


VI.- SUPERFICIES Y VOLUMENES DE CUERPOS GEOMETRICOS. Definición 1 : Se denomina área de un cuerpo geométrico a la suma de las áreas de las superficies que lo limitan. Area lateral : Al es la suma de las áreas de las caras laterales. Área basal : Ab es la suma de las áreas de las caras basales o bases. Área total : At es el área lateral más el área basal. base base Definición 2 : Se denomina volumen de un cuerpo geométrico a la medida del espacio que éste ocupa . También podemos decir que el volumen de un cuerpo es su capacidad.

FIGURA. SUPERFICIE. VOLUMEN. - Cubo. a a a

A = 6·a2

V = a3

- Paralelepipedo. b c a

A = 2 · ( ab + bc + ac )

V = a·b·c

- Pirámide.

A = Ab + Al

V = 13⋅ ⋅A hb



FIGURA. SUPERFICIE. VOLUMEN.

-Tronco de una pirámide. b ρ a

Al = na b

⋅+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅2ρ

AT = Al + Ab1 + Ab2

V = ( )hA A A Ab b b b3 1 2 1 2⋅ + + ⋅

- Cilindro.

AT = Al + Ab

Al = 2·π·r·h

Ab = 2·π·r2

V = π·r2·h

- Cono.

AT = Al + Ab

Al = π·r·g

Ab = π·r2

V = 13

2⋅ ⋅ ⋅π r h

- Esfera.

A = 4·π·r2

V = 43

3⋅ ⋅π r

- Tronco de un cono.

AT = Al + Ab

Al = π·g·( R + r )

Ab = π·R2 + π·r2

( ) 22 hrRg +−=

V = ( )13

2 2⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅π h R r R r

r

R

h



GUIA DE EJERCICIOS.

PROFESOR : ORLANDO TAPIA RIVEROS. TEMA : ANGULOS. 1.- Sean l1 // l2 , α = 35°12’18”. Determine el valor de x en la figura N° 1. 2.- Sean l1 // l2 , α = 50° , β = 35°. Determine el valor de x en la figura N° 2. 3.- En la figura N° 3 , ∠ OBC = 80° , ∠ EOC = 140° , OBOC = . Calcule ∠ x + ∠ y = 4.- En la figura N° 4 , α = 30° , AC bisectriz. Determine el valor de : β + γ + δ = 5.- Sean l1 // l2 . Determine el valor de x en la figura N° 5.

Figura N° 1

x

α l1

l2

x

α

β l1

l2

Figura N° 2

E

D B O

C

y

x

Figura N° 3

x

40°

120°

Figura N° 5

l1

l2

δ γ

β

α

Figura N° 4

l1

l2

A

C



6.- Sean l1 // l2 . Determine el valor de x en la figura N° 6. 7.- En la figura N° 7, AB ⊥ BC . Calcule ∠ γ + ∠ β = 8.- En la figura N° 8 BCAC = , ∠ CAE = ∠ EAB , BE bisectriz del ∠ CBD. Determine el valor de ∠ x = 9.- En la figura N° 9, ABCDE pentágono regular, EB y BD diagonales, ∠ EBD = 36°, Calcule ∠ BED = 10.- En la figura N° 10 , AE y CD alturas. Determine el valor de ∠ x =

60°

x

100°

Figura N° 6

l1

l2

Figura N° 7

A C

γβ120°

70°

B

x40°

EC

DBA Figura N° 8

Figura N° 9

EC

B A

D

75°

x E

C

BD AFigura N° 10



11.- En la figura N° 11 , CE bisectriz del ángulo ∠BCD . Determine el valor del ∠ x , si α = 58° , β = 62°. 12.- En la figura N° 12 . Determine el valor de ∠ x = 13.- En la figura N° 13. Determine el valor de x. 14.- En la figura N° 14, PR ⊥ TR Determine el valor de x = ? 15.- En la figura N° 15. Determine el valor de x = ?

x

β α

E C

A B

D

Figura N° 11

Figura N° 12 6x 4x

2x

Figura N° 13

x

x 2x

Figura N° 15

8x

70°

x

R

P

x

50°Figura N° 14

T



16.- En la figura N° 16. Determine el valor de D = ? 17.- En figura N° 17, AD es bisectriz del ángulo ∠ CAB. Determine el valor de ∠ x = 18.- En la figura N° 18, Δ ABC equilátero, Δ ABD isósceles de base AD . Determine el valor del ∠ α. 19.- En la figura N° 19, RM bisectriz del ángulo ∠ SRT. Determine el valor del ángulo ∠ x =

20.- En la figura Nº 20 ΔABC equilátero AD y BD bisectrices. Hallar ∠ x , ∠ y.

Figura N° 16

12 cm

20 cm

34 cm D

Figura N° 18

C

A B

D

α

70°

x

C

D

B A

50°

Figura N° 17

100°

T

M

S R

x

45°

135°

Figura N° 19

A B

C

D x

y

Figura N° 20



21.- En la figura Nº 21 BDAC // , cmOA 5= ,

cmAC 2= , cmBD 6= . Calcule ?=AB 22.- En la figura Nº 22 l1 // l2 ,

3:2: =γα . Hallar α = ? , β = ? , γ = ? 23.- En la figura Nº 23 ΔABC rectángulo en C e isósceles , PQPA = . Hallar ∠ x , ∠ y . 24.- En la figura Nº 24 PQ bisectriz. Hallar ∠ x , ∠ y . 25.- En la figura Nº 25 CD bisectriz del ángulo ∠ SCB , BD bisectriz del ángulo ∠ CBR . Hallar ∠ x .

Figura N° 21

l3

l2

l1

γ

β α

50º

70º

Figura N° 22

D

C

B A O

C Q

A B P

x

40º y

Figura N° 23

P

Q

104º

148º

y

x

Figura N° 24

A B

C D

60º 115º

55º x

R

S

Figura N° 25

APUNTES DE GEOMETRIA. Áreas y Perímetros.


GUIA DE EJERCICIOS.

PROFESOR : ORLANDO TAPIA RIVEROS TEMA : AREAS Y PERIMETROS.

1) El perímetro de un disco volante es de 6123 mm. Calcule el diámetro.

2) Una plantilla de chapa tiene una longitud de arco de 312 mm y un ángulo central de 106°. Calcule el diámetro.

3) Una caja rectangular tiene un perímetro de 3168 mm. La proporción de los lados es de 3:5. Calcule la longitud de los lados.

4) Se quiere fabricar una cubierta protectora con una longitud de arco de 818 mm y un radio de 310 mm. Calcule el ángulo central.

5) De un circulo se corta un sector circular de 140 mm2. Calcule el ángulo central para un diámetro de 30 mm.

6) En una ranura de ventilación de 240 mm de radio se mide un arco de 320 mm de longitud. ¿ Cual es la sección transversal de ventilación ?

7) Una polea de transmisión tiene un diámetro de 450 mm. ¿ Cuántas revoluciones ejecuta en un trecho de un kilometro ?

8) El área de un triángulo equilátero es de 18 3 cm2 . Calcule su perímetro.

9) Si el área de un triángulo equilátero es 144 3 cm2 . Calcule su altura.

10) Una ventana de ventilación en forma de triángulo equilátero tiene una longitud de lado de 450 mm. ¿ Que superficie tiene la sección transversal de ventilación ?

11) Las dimensiones de un patio rectangular son de 8 m y 3 m. ¿ Cuántas baldosas de 10 cm de lado se necesitan para embaldozarlo completamente.

12) Un tubo tiene un espesor de pared de 6 mm y un diámetro exterior de 42 mm. Calcule la superficie de la sección del material.

13) La relación de los lados de una cubeta de aceite rectangular es de 2 : 5 y el contenido de la superficie es de 0,162 m2. Se quiere agrandar la superficie en 3,4 dm2. Calcule la longitud de los nuevos lados

14) Determine el área de un cuadrado cuya diagonal es 3 2 cm2.

15) Para el refuerzo de un soporte se requiere una chapa de forma de rombo. Se mide una base de 182 mm y una perpendicular de 153 mm. Calcule la superficie del refuerzo.



16) Determine el área de un trapecio isósceles cuyas bases están en la razón 2:1, el lado no paralelo es 5 cm y el perímetro es 25 cm.

17) Las bases de un trapecio han de estar en la relación 3:5. Siendo la superficie de 371,84 cm2 y la altura de 112 mm. Calcule las bases.

18) Calcule las bases de un trapecio cuya diferencia es de 2 cm, siendo la superficie de 735 mm cuadrados y la altura de 21 mm

19) Un travesaño ha de ser reforzado por dos chapas trapezoidales. Las bases tienen una longitud de 320 mm y 730 mm, la altura es de 160 mm. Calcule la sección transversal requerida.

20) El área del triángulo ABC es el 40% del área del rectángulo ADEB. Calcule el perímetro de la figura N° 1 , si AC = 6 cm , BC = 8 cm

21) Determine el perímetro de la figura N° 2.

22) Determine el área de la región achurada en la figura N° 3.

23) Determine el área de la región achurada en la figura N° 4. Si R = 10 mm y r = 3 mm.

24) Determine el área de la región achurada de la figura N° 5. Si ABCD es un cuadrado de área 144 mm2

25) Determine el área de la región achurada en la figura N° 6. Si 12=AB cm , 8=BC cm ,

ABAE ⋅=31 y ABCD rectángulo.

26) Determine el área de la región achurada en la figura N° 7.

27) En la figura N° 8 ABCD trapecio isósceles de área 44 cm2 . Si 14=AB cm , 8=CD cm ,

ABAE ⋅=21 , determine le área del Δ EBD.

28) Determine el área de la región achurada en la figura N° 9 , si R = 100 mm.

29) En la figura N° 10 determine el valor de D, si el área de la región achurada es de 2,54 cm2.

30) ¿ Que porcentaje representa el área achurada de la figura N° 11, si ABCD es un cuadrado y E , F , G , H son puntos medios ?



Figura N° 1 E

B

C

A

D Figura N° 2

1 mm

4 mm

7 mm

Si r = 5 mm

Figura N° 3

r

Figura N° 4

R

r

Figura N° 6 E

C

BA

DD C

BA Figura N° 5

Figura N° 7

R = 9

E

D C

B A

Figura N° 8

d = 24 mm

Figura N° 10

D = ?

Figura N° 9

R240 mm

300 mm

G

G

F

E

D C

B A

Figura N° 11



31) Determine el valor de la incógnita en cada uno de los casos.

Figura N° 1 Figura N° 2 Figura N° 3 Figura N° 4




Figura N° 17

Figura N° 19

Figura N° 18

Figura N° 21 Figura N° 23 Figura N° 22



32) Calcule la superficie en cada uno de los siguientes figuras. ( Las medidas están dadas en mm )







33) Calcule la superficie requerida y el porcentaje de desperdicio. ( Las medidas están dadas en mm. )

Figura N° 1

Figura N° 6 Figura N° 5

Figura N° 4 Figura N° 3 Figura N° 2





GUIA DE EJERCICIOS.

PROFESOR : ORLANDO TAPIA RIVEROS. TEMA : SUPERFICIE Y VOLUMENES.

1) Un cono tiene las siguientes dimensiones d = 75 mm , h = 120 mm. Calcule volumen y superficie.

2) Se quiere construir un barril de petróleo cilíndrico y cerrado con una altura de 4 pie, de manera que el área superficial total sea de 10π pie2. Determine el diámetro del barril.

3) Un cilindro tiene un diámetro de 12 cm y una altura de 30 cm. Calcule el volumen y superficie total.

4) Hallar el volumen de un cubo si el área total es 150 cm2.

5) Si el radio de un cono es 3,5 cm y la altura 7 cm. Hallar el área total y el volumen.

6) Si el radio de un cono es de 7 mm y la generatriz es de 15 mm. Hallar la superficie total y su volumen.

7) Un vaso cilíndrico graduado contiene 300 cm3 de un liquido, el diámetro es de 80 mm. Calcule la altura en mm.

8) La capacidad de un recipiente en forma de cono es de 444 cm3. ¿ Qué altura corresponde en mm al cono siendo su diámetro de 120 mm?

9) Se quiere fabricar un recipiente cilíndrico de 600 mm de radio interior y 955mm de altura con chapa de 3 mm de espesor. Calcule la superficie de chapa requerida.

10) El volumen de un silo en forma de cilindro circular recto coronado por una semi esfera es de 60π m3 . Determine la altura del silo sabiendo que el radio es de 30 dm

11) Se tiene un estanque en forma de cono circular recto abierto de radio 2 cm y altura 2 2 cm. Determine la cantidad de impermeabilizante necesario para cubrir todo el estanque, si se sabe que un litro de impermeabilizante cubre π 3 cm2.

12) Se tiene un estanque en forma de cono circular recto abierto cuya capacidad es de 12π cm3 y su altura es de 4 cm. Determine la cantidad de pintura necesaria para cubrir toda la superficie del estanque, si se sabe que un litro de pintura cubre 3π cm2 .

13) Un cajón colector de virutas en forma de pirámide truncada de 285 mm de altura tiene 425 mm de longitud de arista de base y una boca de 625 × 625 mm. Calcule su capacidad en cm3 .

14) Un cono truncado de 12,065 cm de apotema tiene los diámetros de 60 mm y 85 mm. Calcule la altura del cono truncado.



15) Un compensador de dilatación cilíndrico tiene 35 cm de diámetro y 450 mm de altura. ¿Cuántos litros caben en el recipiente ?

16) Se quiere pintar un gasómetro en forma de cilindro recto con base circular cuyo diámetro exterior es de 22 m y 12 m de altura. ¿ Cuántos m2 hay que pintar ?

17) El volumen de una rueda motriz en forma de cono truncado es de 12,43 dm3. Siendo el diámetro menor de 135 mm y la altura de 450 mm, calcule el diámetro mayor.

18) Calcular el volumen del cuerpo compuesto de la figura Nº 1. Si el cuerpo se obtiene de un trozo de acero de 52 × 52 × 85 mm. ¿ Cuánto material se pierde ?

19) Calcular el volumen del cuerpo de rotación de la figura Nº 2.

20) Calcule la superficie y volumen total de la figura Nº 3.

21) El frasco de la figura Nº 4, contiene agua destilada. ¿ Cuántos litros caven llenándolo del todo?

Figura N° 2

Figura N° 3

Figura N° 1

Figura N° 4



22) Calcular el volumen de la pieza , si el ancho de esta es de 80 cm. 23) ¿ Cuántos cm3 caben en el embudo ? 24) Calcular el volumen del cuerpo, si este se obtiene de un trozo de acero 35 × 20 × 40 cm. ¿Cuánto material se pierde expréselo en porcentaje ?

25) El deposito de combustible que muestra la figura está 80% lleno. ¿ Cuántos litros tiene ?

21 cm

32 cm 22 cm

3,5 cm

1,6 m 1,6 m

2,5 m

0,6 m 0,6 m 6 m

5 cm5 cm

30 cm

15 cm

40 cm

10 cm 10 cm

40 cm

40 cm

20 cm



26) Determine el volumen de la pieza y el porcentaje de desperdicio. 27) Determine el volumen de cada una de las siguientes figuras.



515 mm

410 mm

5,45 dm

39,4 cm

2 dm

2,28 dm

2,74 dm



GUIA DE EJERCICIOS.

PROFESOR : GABRIEL SALDIAS ARAYA. TEMA : PROBLEMAS DE APLICACIÓN. 1.- El forro de un embrague de fricción como lo muestra la figura tiene un diámetro de

cmD 20= y mmd 130= .¿ Cuál es la superficie de fricción del embrague en cm2 ? 2.- El forro de un embrague de fricción tiene un diámetro de cmD 26= y mmd 120= .¿ Cuál es la superficie de fricción del embrague en mm2 ? 3.- En una polea de 180 mm de diámetro como muestra la figura va gravada la marca del punto muerto superior P.M.S. ¿ Cuál es la longitud de un avance de encendido de 15° ? 4.- La válvula de admisión de motor Otto de 4 tiempos se abre 16° antes del punto muerto superior P.M.S., el diámetro del volante de impulsión es de 260 mm. Calcular la longitud del arco hasta el P.M.S. 5.- La válvula de escape se cierra cuando la marca de la polea ha rebasado 60 mm del punto muerto superior. ¿ Cuál es el ángulo de cierre de la válvula ? 6.- Un cilindro de freno tiene un diámetro de 60 mm. La carrera de su pistón es de 22 mm. ¿ Cuántos cm3 de liquido de freno pasan al tubo de freno ? 7.- El motor de un cilindro de una motocicleta tiene una cilindrada de 245 cm3 y un diámetro de 68 mm. ¿ Cuál es la longitud de la carrera ? 8.- Un motor de una monocilindrico tiene 66 mm de diámetro de cilindro y una carrera de 58 mm. Calcular la cilindrada en litros. 9.- Un motor tiene una cilindrada total de 1988 cm3 , el diámetro del cilindro es de 87 mm y la carrera es de 83,6 mm. ¿ Cuántos cilindros tiene el motor ? 10.- Un motor tiene una cilindrada total de 4,3 litros, el diámetro del cilindro es de 93 mm y la carrera es de 105,6 mm. ¿ Cuántos cilindros tiene el motor ?

Dd



11.- Se tiene un motor de 4 cilindros opuestos de cilindrada total 1584 cm3 y 69 mm de carrera. Determinar en diámetro de cada cilindro. 12.- Calcular el volumen de del soporte rectangular de cojinete , si el ancho es de 40 mm.

8 mm 8 mm

4 cm 20 mm 20 mm

0,4 d m

0,1 m

2 cm

APUNTES DE GEOMETRIA. Respuesta a los Ejercicios Propuestos.


RESPUESTAS A GUIAS DE EJERCICIOS. Guía de Angulos. 1.- 144°47’42’’ 6.- 140° 11.- 60° 16.- 41,23 cm 21.- 10 cm 2.- 15° 7.- 30° 12.- 15° 17.- 75° 22.- 48º,60º,72º 3.- 120° 8.- 20° 13.- 45° 18.- 20° 23.- 65º , 45º 4.- 300° 9.- 72° 14.- 130° 19.- 90° 24.- 16º , 72º 5.- 100° 10.- 105° 15.- 10° 20.- 90º , 30º 25.- 50º Guía de Areas y Perímetros. 1.- d = 1950 mm 11.- 2.400 baldosas. 21.- P = 24 cm 2.- d = 337,5 mm 12.- S = 216 π cm2 22.- A = 21,5 mm2 3.- 594 mm , 990 mm 13.- 2,8 dm , 7 dm 23.- A = 285,74 mm2 4.- 151°15’49’’ 14.- A = 9 cm2 24.- A = 30,96 mm2 5.- 71°20’15’’ 15.- S = 27.846 mm2 25.- A = 32 cm2 6.- 38.383,4 mm2 16.- A = 32,25 cm2 26.- A = 17,415 u2 7.- 707,7 revoluciones 17.- 24,9 cm , 41,5 cm 27.- A = 14 cm2 8.- P = 18 2 cm 18.- 34,9 mm , 35,1 mm 28.- A = 64.150 mm2 9.- h = 12 3 cm 19.- S = 84.000 mm2 29.- D = 30 mm 10.- S = 87.685,1 mm2 20.- P = 36 cm 30.- 25 % 31.- Fig 1 Fig 9 Fig 17 Fig 2 Fig 10 Fig 18 Fig 3 Fig 11 Fig 19 Fig 4 Fig 12 Fig 20 Fig 5 Fig 13 Fig 21 Fig 6 Fig 14 Fig 22 Fig 7 Fig 15 Fig 23 Fig 8 Fig 16 32.- Fig 1 Fig 7 Fig 13 Fig 2 Fig 8 Fig 14 Fig 3 Fig 9 Fig 15 Fig 4 Fig 10 Fig 16 Fig 5 Fig 11 Fig 6 Fig 12

APUNTES DE GEOMETRIA. Respuesta a los Ejercicios Propuestos.


33.- Fig 1 Fig 5 Fig 9 Fig 2 Fig 6 Fig 10 Fig 3 Fig 7 Fig 11 Fig 4 Fig 8 Fig 12 Guía de Superficies y Volúmenes. 1.- S = 19.219 mm2 , V = 176.625 mm3. 15.- 43,27 litros. 2.- d = 2 pie. 16.- 1.588,84 m2. 3.- S = 1.357 cm2 , V = 3392,92 cm3. 17.- D = 2,356 dm 4.- V = 125 cm3 . 18.- V = 180.400 cm3 , desperdicio 21,51%. 5.- S = 124,19 cm2 , V = 89,75 cm3 . 19.- V = 221.357,44 u3. 6.- S = 483 mm2 , V = 682,11 mm3 . 20.- V = 175.360 u3

. 7.- h = 59,71 mm. 21.- 1.898,65 litros. 8.- h = 117,8 mm. 22.- V = 203.360 cm2. 9.- S = 7.237.536,72 mm2. 23.- V = 3.128,5 cm3. 10.- 24.- V = 14.411,25 cm3 , desperdicio 48,5%. 11.- 4 litros. 25.- V = 26.080 litros. 12.- 26.- 13.- 27.- 14.- h = 12 cm. Guía de Problemas de Aplicación. 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.-

GEOMETRIA básica Nº1

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