Geometria Analitica Funciones
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GeometríaGeometríaAnalíticaAnalítica
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APRENDIZAJES ESPERADOS
• Calcular distancia y el punto medio entre dos puntos del plano.
• Identificar la pendiente y coeficiente de posición en una ecuación de recta dada.
• Representar gráficamente ecuaciones de recta.• Determinar la ecuación principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente.
• Determinar si dos rectas son paralelas.• Determinar si dos rectas son coincidentes.• Determinar si dos rectas son perpendiculares.• Ubicar puntos en un sistema tridimensional.
• Determinar la pendiente entre dos puntos.
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5. Ecuación de la recta
Contenidos
5.1 Ecuación General de la recta5.2 Ecuación Principal de la recta
4. La recta
5.5 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente5.6 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella
1. Distancia entre dos puntos
3. Pendiente entre dos puntos2. Coordenadas del punto medio
5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta5.4 Gráfica de la línea recta
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1. Distancia entre dos puntos
La “distancia” entre dos puntos del planoP1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Si dos puntos difieren sólo en una de sus coordenadas, la distancia entre ellos es el valor absoluto de su diferencia.La distancia entre (4,6) y (-5,6) es:
|-5 – 4| = |-9| = 9
Ejemplo:
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El “punto medio” M entre dos puntos del plano
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
x1 + x2 y1 + y22 2
M = ,
2. Coordenadas del punto medio
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Ejemplos:a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169d = 13
x1 y1 x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
-3 + 9 , 4 + -12 2
M =
M = (3, 1,5)
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
x1 y1 x2 y2
x1 + x2 y1 + y22 2
M = ,
/
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A
B
Veamos la distancia directamente en el plano:
4
8
2 24 8 16 64
80
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La pendiente entre los puntos:P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se obtiene a través de la siguiente fórmula:
Ejemplo:1. La pendiente entre los puntos
x1 y1 x2 y2(-4, -2) y (1, 7) es:
3. Pendiente entre dos puntos
y2 – y1 x2 – x1
m =
7 – (-2) 1 – (-4)
m = 9 5m =
OBS. La pendiente es igual a la tangente, la que permite calcular el angulo que tiene la recta con el eje “x”.
m=tg(α)
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Ejemplo:2. La pendiente entre los puntos (8, 5) y (8, 10) es:
x1 y1 x2 y2
Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.
10 – 5
8 – 8m = 5 0m =
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Tipos de pendiente
x
y
m = 0
x
y
NO existe m (Indefinida)
x
y
x
ym > 0 m < 0
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4. La recta
Definición Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
Ejemplos:1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7 3. 6x + 4y = 7
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5. Ecuación de la recta
5.1 Ecuación General de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.
Ejemplos:1. 5x + 6y + 8 = 02. 2x - 4y + 7 = 03. -x + 12y - 9 = 0
Obs. m= n= ab c
b
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5.2 Ecuación Principal de la rectaEs de la forma:
El coeficiente de posición (n), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,n).
y = mx + nm : pendiente
n : coeficiente de posición
1) y= 2x -3 m=2 n=-3Ejemplo:
2) y= 3x – 4 2
y=3 x – 2 2
m= 32 n=2
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5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta
a
b
x
y
1x ya b
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Ejemplo:
Representación gráfica de: y = 2x + 3
1-2
Si un punto (x,y) pertenece a esta recta, entonces se debe cumplir la igualdad al reemplazarlo en la ecuación.Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3
5.4 Gráfica de la rectaPara graficar una recta dada su ecuación, basta encontrar dos puntos de ella.
x y0 3
72
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Ejemplos:
1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal.
n = 3.
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
5 – 3 1– 0m =
2 1m = = 2
-1-2
-2-1
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2. En las siguientes ecuaciones hallar m y
n:
b) y = 4x
c) 6x – y+ 13 = 8
m = -6/-1 = 6n = -5/-1 = 5
6x – y + 5=0 Luego, m = 6 y n = 5.
3. ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?
a) y = x – 8
Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las fórmulas dadas para m y n:
m = 4 y n = 0m = 1 y n = -8
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y – y1 = m (x – x1)
5.5 Ecuación de la recta, dado un punto de ella y la pendienteLa Ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (x1, y1) y tiene pendiente “m”, se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
Ejemplo:La ecuación de la recta de pendiente m = -6, que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3)y + 2 = -6x + 18y = -6x + 16
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5.6 Ecuación de la recta, dados dos puntosLa Ecuación de la recta que pasa por los puntos:P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
y – y1 = (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
2 2
2 1 2 1
y y x xy y x x
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Ejemplo:La ecuación de la recta que pasa por los puntos
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3) 5 – 2
y + 3 = (x – 2) 9 3
y + 3 = 3 (x – 2)
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
y = 3x – 9
x1 y1 x2 y2
y – y1 = (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
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Ejemplo 2
Dados los puntos A(3,-2) y B(4,5), encontrar la ecuación general dela recta que pasa por esos puntos.
Al aplicar directamente la fórmula: 5 4
5 ( 2) 4 3y x 5 4
5 2 1y x 5 47 1y x 1( 5) 7( 4)y x
7 5 28 0x y
5 7 28y x 7 23 0x y
/* -1
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5.7 La ecuación a partir del gráfico:
6
5
x
y
1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=n2° Determinar la pendiente: m= , es decir,
3° Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos: 56 5y x
Ejemplo:
Encuentre la ecuación de la recta
56
yx
4° También se puede usar la forma de segmentos: 6 5 1yx /*30
5x – 6y – 30=0 OBS: Ambas ecuaciones representanla misma recta.
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6. Posiciones de dos rectas en el plano:
Rectas paralelas:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición.
Ejemplo:
L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10 (m = 5) (m = 5)
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Rectas coincidentes:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición.
Ejemplo: L1: y = 5x + 4 y L2: y = 10x + 83 6
Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.
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Rectas perpendiculares:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo:
L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x - 102 5
(m = -5 )2
(m = 2 )5
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7. Geometría en el espacio
Sistema Tridimensional
P (a, b, c)a: abscisab: ordenadac: cota
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Ejemplo:
Q (2, 7, 6)a: abscisab: ordenadac: cota
Siempre los planos son perpendiculares entre sí, formando planos cartesianos.Plano XY (x,y,0)Plano YZ (0,y,z)Plano XZ (x,0,z)