Geometria analitica

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos. El sistema que se emplea para representar gráficas fue ideado por el filósofo y matemático francés Descartes (1596 -1650), quien usó su nombre latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razón se conoce con el nombre de ejes cartesianos.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

a) Punto medio de un segmento de recta

M = (x1+x2

2;y1+ y2

2 )b) Distancia entre dos puntos

por el T. Pitágoras : ABH :

d = √( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2

c) División de un segmento en una razón dada.El punto P(x, y) divide al segmento AB en

la razón .

PROBLEMAS:1. Calcular la distancia entre A(5; -3/5) y B(5;

-1/5). Rpta: 2/5 u2. Determina las coordenadas del punto P,

ubicado en el eje de abscisas, que equidista de los puntos A(0;3) y B(-1; 4).

3. La ordenada de un punto P es 9 y la

distancia de P al punto A(4; 3) es u. Halla la abscisa de P.

4. Se sabe que el punto S(3; 7) divide al segmento determinado por los puntos A(5;

3) y B(x; y) en la relación . Halla las coordenadas de B.

5. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P, si divide al segmento AB de extremos A(5; -2) y B(7; 2) en cuatro segmentos iguales.

6. Determina la distancia del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio ABCD cuyos vértices son A(6; -1), B(4; 4), C(2; 4) y D(-4; -1).

7. Sabiendo que la distancia entre los puntos

(a; 2) y (7; a) es ; hallar el valor de a. Rpta: 5

8. Si la distancia entre los puntos A(3a + 1; 3) y B(a + 1; 6) es 5 u; hallar la distancia entre los puntos C(5; a) y D(-a; -a), siendo a< 0. Rpta: 5u

9. Se sabe que el punto S(3; 7) divide al segmento determinado por los puntos A(5;

3) y B(x; y) en la relación . Halla las coordenadas de B.

10. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P, si divide al segmento AB de extremos A(5; -2) y B(7; 2) en cuatro segmentos iguales.

PENDIENTE DE UNA RECTA.

La pendiente (m) de la recta L es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación α que forma con el eje X, medido en el sentido positivo.

Propiedades:a) Dadas la ecuación de la recta: Ax + By + C

= 0, su pendiente será: b) Las rectas L1 de pendiente m1 y L2 de

pendiente m2, serán: Paralelas si y sólo si: m1 = m2

1 MATEMÁTICA – 5° - 2013 PROF. LUIS CAÑEDO CORTEZ

(y2- y1)

B

d

(x2-x1)

(x2,y2)

(x1,y1)

x

y

O

A

P2

(x2,y2)

(xm,ym)

(x1,y1)

x

y

O

M

P1

ym = y1+ y2

2

xm = x1+x2

2

H

B(x2,y2)

(x, y)

(x1,y1) x

y

O

PA

y =

x =

B

α

A(x2, y2)

(x1,

y1)

X

Y L

α


Perpendiculares si y sólo si: m1.m2 = –1

Problemas:1. Determina la pendiente del segmento AB,

siendo A = (-2; 6) y B = (-8; -2). Rpta: 4/3

2. Determinar la pendiente del segmento que une los puntos medios de los segmentos AB y CD, si: A(-3; 2), B(6; 0), C(-2; 0) y D(1; 6). Rpta: -1

3. Si los puntos A(-5; 2), B(a; 2a) y C(7; 8) son colineales, determinar las coordenadas de B. Rpta: (3; 6)

4. El ángulo de inclinación de una recta es 135°. Si pasa por A(-2; y) y B(-7; 4), calcula el valor de y.

5. Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las siguientes rectas:a) 2y = - 8 b) 2y = - 4x + 5c) -15 = 3x – 8y

d)6. Si las rectas L1 y L2 son paralelas, donde:

L1 : y = (a – 5)x + 2L2 : y = (2a – 7)x + a Hallar el valor de a. Rpta: 2

7. ¿Para qué valor de k la recta 3x + 2y – 5 = 0 es perpendicular a la recta kx – 5y + 8 = 0.

8. Calcula el valor de la constante k en la ecuación de la recta 2kx – y – 1 = 0, que es paralela a la recta de ecuación 3x– 2y+6= 0.

9. Se sabe que las rectas:L1: 5y = (2n – 16)x + 5nL2: (3n – 5)y = 2x + 3n – 5 Son perpendiculares. Hallar la pendiente de la recta L3: nx + (n – 1)y + 6 = 0 Rpta: -3/2

ECUACIÓN DE LA RECTA

1. Ecuación principal: Ecuación de la recta conociendo su pendiente m y un punto P(0 ; b). y = mx + b

2. Ecuación punto-pendiente: Ecuación de la recta L de pendiente m y pasa por el punto P1(x1 ; y1)

3.Ecuación cartesiana: Ecuación de la recta conociendo las coordenadas de dos de sus puntos: P1(x1 ; y1) , P2(x2 ; y2).

4.Ecuación simétrica de la recta.

Cuando se conoce los puntos: A(a ; 0) y B(0 ; b).

5.Ecuación general de la recta. Ax + By + C = 0Del cual podemos obtener:

a) La pendiente m: b) Punto de corte b con el eje “y” :

Problemas:1. Si el ángulo de inclinación de una recta es

37°, hallar la ecuación de dicha recta, si pasa por el punto (1; 2).

2. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (-3; 1).

3. Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el origen del sistema cartesiano y es paralela a la recta que pasa por los puntos (4; 1) y (6; 5).

4. Determinar la ecuación de la recta que tiene un intercepto con el eje y en -3/2 y su ángulo de inclinación es 127°.

5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5; 3) y (-3; -4). Rpta: 7x – 8y – 11 = 0

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por

los puntos y . Rpta: 12x + 12y – 5 = 0

7. Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos (0; 7) y (6; 0).

8. Una recta L de pendiente -3/2 pasa por el punto (2; 3). Hallar el área de la región del triángulo formado por dicha recta y los ejes coordenados.a) 18 u2 b) 15 u2 c) 12 u2 d) 10 u2 e)

9 u2 9. Hallar la ecuación de la recta L mostrada

en la figura:a) 3x + 4y – 24 = 0b) 3x – 4y + 24 = 0c) 3x + 4y + 24 = 0d) 4x + 3y – 24 = 0e) 4x + 3y – 12 = 0

10. Hallar la ecuación de la mediana relativa al lado AB de un triángulo ABC, siendo A(-1; 4), B(7; 2) y C(1; 6).


y

xo 8

53°


a) 5x + y – 11 = 0 b) 3x + y – 9 = 0 c) 5x – y + 1 = 0 d) 3x + 2y – 15 = 0

11. Determinar la tangente del ángulo que forman las rectas: 3x + 2y – 5 = 0 y 2x + y + 2 = 0, al cortarse en un punto P.

12. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es – 1 y que pasa por el punto de intersección de las rectas: x + 2y – 12 = 0 y x – 2y – 12 = 0

13. Determinar el valor de los coeficientes a y b de la ecuación de la recta: ax – by + 4 = 0, que pasa por los puntos (-3; 1) y (1 , 6).

14. Hallar la ecuación de la recta mediatriz del segmento que tiene por extremos a: A(1; 2) y B(-1; 0).

15. Sea L una recta cuya ecuación es: 4x + 2y + m = 0; si los puntos (m + 1; 3) y (n + 2; 5) pertenecen a la recta L, hallar n.a) 3 b) -3 c) 4 d) -4 e) 12

I. LA CIRCUNFERENCIALa circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C).

Ecuación ordinaria de la circunferencia:

a) Con centro C(h; k) y radio r:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 b) Con centro en el origen de

coordenadas C(0;0) y radio r: x2 + y2 = r2

Ecuación general de la circunferencia:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

donde podemos concluir que:

(Centro)

(Radio)

Ejercicios:1. Hallar la ecuación de la circunferencia

de centro (5, -2) y de radio 3. Rpta: x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0

2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2; 1), si el punto (-2; -2) pertenece a la circunferencia.

Rpta: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 253. Hallar la ecuación de la circunferencia que

pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas x + 3y – 6 = 0 ^ x – 2y – 1 = 0.

4. Si la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 tiene su centro en (2; 5) y el punto (1; 8) pertenece a la circunferencia, hallar: D+ E+ F. Rpta: 5

5. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro C(0;0) que pasa por el punto P(3; 4).

6. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos P(4;7), Q(0; 9) y R(3; 0) e identificar su centro radio. Rpta: x2 + y2 – 8y – 9 = 0, C(0; 4) y r = 5

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.

8. Encuentra la ecuación general de la circunferencia tangente al eje Y y con centro en (-3; 4). Rpta: x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0

9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de extremos A(2; 3) y B(-4; -9). Rpta: x2 + y2 + 2x + 6y – 33 = 0

10. Determinar el valor de k para que la ecuación x2 + y2 – 10x + 8y + k = 0 representa una circunferencia de radio 8 u.

11. Encuentra la ecuación general de la circunferencia de radio 2 u, concéntrica con la circunferencia x2+ y2– 4x+2y– 3= 0 Rpta: x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0

12. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas L1: y – 2x – 1= 0 con L2: x + y – 7= 0. Si ella pasa por el punto S(6;2), halla su ecuación ordinaria.

13. Utiliza la estrategia de completar cuadrados para obtener las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación 2x2 + 2y2 – 4x + 6y + 3 = 0



14. Hallar la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1). Rpta:

II. LA PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos P(x; y) del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (L). Es decir: d(P, foco) = d(P, directriz)

Elementos de la parábola

Recta Directriz : D⃗D ' (d)

Eje focal : E⃗E ' Foco : F Vértice : V

Cuerda : AB

Cuerda Focal : RS

Lado recto : MN (L.R. = )

Ecuación de la parábola:La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h; k) y cuya distancia al foco es p es:

Ecuación: (y – k)2 = 4p (x – h) Obs.-

Si : p > O se abre hacia la derecha p < O se abre hacia la izquierda

La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje y, vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

x2 =4py

(x – h)2 = 4p(y – k)

Obs: p > O se abre hacia arribap < O se abre hacia abajo

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA:Eje focal paralelo al eje X: y2 + Ay + Bx + C = 0Eje focal paralelo al eje Y: x2 + Ax + By + C = 0

PROBLEMAS:1. Hallar la ecuación de la parábola con

vértice V(0; 0) y foco F(0; 3).2. Analiza la parábola de ecuación y2 = - 16x3. Analiza la parábola (y + 4)2 = - 6(x – 5/2).4. Determina el vértice, foco y directriz de la

parábola 2x2 – 12x – 40y + 98 = 0.5. Determinar el foco de la parábola cuyo

eje focal es paralelo al eje Y, y pasa por los puntos P(0; 6), Q(2; 7) y R(4; 4).

6. Determinar la ecuación general de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por los puntos P(1; 2), Q(-1; 3) y R(-8; 4).

7. Halla la ecuación general de la parábola de vértice (2; 3), eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por el punto (0; 5).


F E

B

D

D’

E’ H

P P

S N

M R A

y D

F VH O

D’

x

E E’

y

x O

D

F V

H

P(x,y)

D D’H

y

P(x,y)

F

(0,0) V x

(h,k

F P(x,y)

V

y

H D’

O

D x

F(p; 0)d: x = - p

F(0; p)d: y = - p

Ecuación: y2 = 4px

V(h;k) ; F(h + p, k) ; d: x= h – p

V(h;k) ; F(h, k + p) ; d: y= k – p

V


8. Halla la ecuación ordinaria de la parábola si los extremos del lado recto son (5; 4) y (5; -2).

9. Halla la ecuación ordinaria de la parábola de vértice (3; -1), que pasa por el punto (2; -2) y cuyo eje focal está sobre L1: y+1= 0.

10. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (2; 0) y su foco (6; 0).


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