GEOMETRIA 9°

CUARTO PERÍODO

NOVENO

PROGRAMA

CUADRANTES EJES DE ORIGEN COORDENADAS SIGNO DE LAS COORDENADAS EL EJE DE LAS ABSCISAS Y COORDENADAS LOS EJES CONSIDERADOS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS DESIGNACIÓN DE UN PUNTO LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO OTRAS COORDENADAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DISTANCIA DE UN PUNTO AL ORIGEN ÁREAS POSITIVAS Y NEGATIVAS ÁREA DE UN TRIÁNGULO FÓRMULA DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO ÁREA DE UN POLÍGONO CUALQUIERA ÁREA NULA

LOGROS

1. DEFINE LA REPRESENTACIÓN CARTESIANA 2. REALIZA DISTANCIAS Y ÁREAS 3. REPRESENTA Y DESARROLLA ECUACIONES EN EL PLANO.

DEFINICIONES REPRESENTACION CARTESIANA

1. CUADRANTES : Si se trazan dos rectas dirigidas X’X,Y’Y ,perpendiculares

entre sí ,dividen el plano en cuatro regiones ,llamadas cuadrantes (fig. 1)

Por convecciones XOY es el primer cuadrante ,YOX’es el segundo ,X’OY’ el

tercero y Y’O X el cuarto.

2. EJES Y ORIGEN: Las rectas X’X, Y’Y se llaman ejes o líneas de referencia

y el punto de intercesión, origen o cero.

El eje horizontal es el eje de las X y el vertical y el vertical, el de Y.

3. CORDENADAS: La posición de un punto en un plano esta determinada por

medio de sus distancias a cada uno de los ejes (fig. 2).

Abscisa de un punto P es su distancia NP al eje vertical; se representa con

X.

Ordenada de un punto P es su distancia MP al eje horizontal; se representa

con Y.

La abscisa y la coordenada de un punto P se llaman coordenadas

rectilíneas o coordenadas cartesianas de ese punto.

La palabra cartesianas proviene de Descartes, indicador de esta manera de

localizar un punto en el plano.

4. SIGNO DE LAS COORDENADAS: Por convención ,las rectas dirigidas que

forman los cuatro cuadrantes ,son positivas en el sentido X’X , Y’Y , y

negativas en el contario según esto:

1ª Toda abscisa a la derecha de Y’Y es positiva.

2º Toda abscisa a la izquierda de Y’Y es negativa.

3ª Toda abscisa a la derecha de X’X es positiva.

4ª Toda abscisa ala izquierda de X’X es negativa.

5. EL EJE DE LAS ABSCISAS Y EJE DE LAS CORDENADAS: En la fig. 2,

la abscisa NP es igual a OW, y la ordenada MP es igual o ON ;por tanto

,pueden tomarse las abscisas en el eje X’X y las ordenadas en Y’Y ;por eso

en dichos ejes se llaman también eje de las abscisas y eje de las

ordenadas .

6. LOS EJES CONSIDERADOS COMO LUGARES GEOMETRICOS:

Considerado como lugar geométrico, es decir, como conjunto de puntos

que gozan de una propiedad común, el eje de las equis es el lugar de los

puntos de ordenada cero, y el eje de las yes es el lugar de los puntos de

abscisa cero.

7. DESIGNACION DE UN PUNTO: Para designar un punto R de abscisa 3 y

ordenada 4 ,se escribe R(3,4) ;para un punto S de abscisa 5 y ordenada (-

7) ,se escribe S (5,-7).Si las coordenadas de un punto P son variables, se

indican escribiendo P(x,y).

La coordenada horizontal se escribe siempre primero.

8. LOCALIZACION DE UN PUNTO EN UN PLANO : Para localizar un punto

,dado por sus coordenadas ,por ejemplo P

(3,-5), se llevan tres unidades arbitrarias

,negativamente ,en el eje X’X ,a partir del

origen O, y se obtiene el punto Q;en Q se

levanta una perpendicular ,sobre la cual se

cuentan 5 unidades , positivamente ,y se

obtiene así el punto P (fig. 3).

La unidad de medida arbitraria, pero debe

conservarse invariable en el curso de un

mismo problema.-Aunque en la mayor parte

de los casos se hace uso de la misma

unidad para las dos coordenadas, se

toman, aveces, unidades diferentes para la abscisa y para la ordenada,

como por ejemplo en la fig.20.

9. OTRAS COORDENADAS: La posición de un punto en un plano puede

localizarse de otras maneras :

a) Sea la recta PX y el punto P en ella, ambos fijos (fig. 4).

Un punto L queda localizado si se conocen la distancia PL y el

ángulo 0,dos magnitudes variables que constituyen otro sistema de

coordenadas polares, se estudiaran mas adelante.

b) Si se da una recta fija y en ella dos puntos fijos P y Q (fig.5), un

punto T queda también localizado si se conocen los ángulos TPQ y

TQP .Se tiene así otro sistema se coordenadas, llamadas

coordenadas bipolares.

EJERCICIO I

1. Representar los puntos (3,2), (-2,3), (-1,-5), (3,-4), (7,-2), (-5,4).

2. Trácese la recta que une los puntos (3,-1),(-2,3)

3. Por el punto P (-2,0) trácese una paralela a Y’Y, y por Q (0,4) una paralela a

X’X ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección?

10. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Sean A

( ), y B ( , ) los puntos cuya distancia se

quiere calcular (fig.7).

Trácese AC paralela a OX y BC perpendicular al

mismo eje .siendo rectángulo el triangulo ACB,

se tiene:

= + ; (1), pero AC = DC – DA

= -

y CB =EB- EC = -

Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene:

= ( – ( ; de donde;

AB= – si se intercambian y y el

valor de AB no varía, porque: ( – = ( – ; ( = (

Por tanto – = –

11. DISTANCIA DE UN PUNTO AL ORIGEN :Si uno de los puntos es el origen

y el otro es A ( , )la distancia de A al origen es:

OA=

12. APLICACIONES:

1º Calcúlese la distancia de A (-3,4) a B (6,-2).

= (6+3 (-2-4 =81+36=117.

= = 3 .

2ºCalculense las coordenadas del punto P(x,y),fig.8 que equidista de A

(9,3).B(3,7)y C(-2,6).

Debe tenerse PA=PB =PC

O sea: – =

– =

Elévese al cuadrado cada uno de los

dos primeros radicales y redúzcanse :

3 -2 =8 (1)

Elévense al cuadrado el primer radical y el tercero y redúzcanse :

11 -3 =25 (2)

Resuélvase el sistema de (1) y (2) se obtiene : =2 =1 ; P(2,-1).

13. AREAS POSITIVAS Y AREAS NEGATIVAS: Un móvil puede recorrer el

contorno o el perímetro de un polígono o figura cerrada cualquiera, en dos

sentidos, a saber, teniendo constantemente a su izquierda la superficie

limitada por el contorno que recorre, o bien, teniendola siempre a su

derecha.

Por convección, el área de la superficie limitada por el contorno que recorre

el móvil en el primer sentido se considera positiva, y negativa en el caso

contrario.

14. AREA DE UN TRIANGULO: Si se conocen las coordenadas de los

vértices de un triangulo, se puede calcular su área en función de dichas

coordenadas.

EJEMPLOS:

1º Sea calcular el área del triangulo ABC, dados los vértices A(3,0),B(0,4) y

C(-2,0),(fig.9).

Área de ABC = CA × OB = = 10 unidades cuadradas.

2º Calcular el área del triangulo DEF dados los vértices D(1,0)

,E(6,0),F(3,6),(fig.10) .

Área DEF = DE × CF = = 15 .

15. FORMULA DEL AREA DEL TRINGULO Considérense dos casos:

1ºEl triangulo tiene un vértice en el origen .

Sea el triangulo OAB, siendo A ( ) y B ( ),(fig.11).

Proyéctense A y B sobre X’X; se tiene:

OAB =OA’B – OA’BA, (1)

Area OA’B= OA’ × BB’= ( ) (2)

El cuadrilátero OA’BA comprende el triangulo OA’A.mas el triangulo AA’B.

El triangulo AA’B es equivalente al triangulo AA’B ‘.por tener ambos la

misma base AA’ y BB’; por tanto, dicho cuadrilátero es equivalente al

triangulo OB’A; de donde:

Area OA’BA=area OB’A OB’ × A’B= (3)

Sustitúyanse (2) y (3)en (1) ,y se obtiene :

Area OAB= ( ).

Este resultado puede expresarse en forma de determinante, como se indica

a continuación:

Area OAB = .

2ºEL triangulo no tiene ningún vértice en el origen.

Sea el triangulo ABC (fig.12) con A ( ,B( y C .

Únase cada vértice con el origen. Se forman los triángulos OAB ,OBC y

OAC.

Se tiene: ABC=OAB + OBC + OAC.

Sustituyendo valores, según el resultado obtenido en el primer caso ,se

tiene:

Area ABC = ( ) + ( ) + ( )

Area ABC = ( + + ).

O sea, en forma de determinante:

Area ABC =

Restando sucesivamente el primer renglón de cada uno de los restantes,

queda expresada el área del triangulo por medio del siguiente determinante

de segundo orden:

Area ABC =

16. AREA DE

UN POLIGONO CUALQUIERA: Sea el

polígono ABCDE (fig.13), en el que A

( , B ( ,C

( ,D( ,E ( .

Únase el vértice A con los demás no

consecutivos .Cualquiera que sea el

polígono, se forman tanto a triángulos

como lados tiene el polígono ,menos

dos .Luego:

Polígono ABCDE =ABC+ACD+ADE.

Sustituyendo valores. Según el numero

precedente y reduciendo, se obtiene, para el área del polígono:

(

)

Observado los resultados obtenidos, ya sea el área de un triangulo con un

vértice en el origen o no, o bien la de un polígono, se ve que el área de la

superficie es igual a la mitad del resultado que se obtiene al restar, para cada

vértice del producto de su abscisa por la ordenada del vértice consecutivo, el

producto de la abscisa de este por la ordenada del vértice que se precede.

17. AREA NULA: Considérese la figura OABCD (fig.14) .Sean A (5,0), B (3,2),

C (-3,-2) y D( -5,0).

Evidentemente los triángulos OAB y ODC son iguales.

Si se suma el área de la superficie del triangulo OAB y la del triangulo OCD

o bien se aplica directamente la formula obtenida en el numeral anterior

resulta:

Área ABCD=5-(+5)=0

18. APLICACIONES: Calcular:

1º El área del triangulo OAB, dados A (4,2) y B (7,9).

Área OAB= = (36-14)=11

2º El área del triangulo ABC, dados A (2,3), B (-3,4) y C (3,-5).

Área ABC = =