Geometría
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GEOMETRÍA GEOMETRÍA Preparado Preparado por por : ALBEIRO : ALBEIRO VERGARA URANGO VERGARA URANGO LIC. MATEMÁTICAS LIC. MATEMÁTICAS Octubre Octubre 2010 2010
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GEOMETRÍAGEOMETRÍA
PreparadoPreparado porpor: ALBEIRO VERGARA : ALBEIRO VERGARA URANGO URANGO
LIC. MATEMÁTICASLIC. MATEMÁTICASOctubreOctubre 2010 2010
CONCEPTOSCONCEPTOS BÁSICOSBÁSICOS DE DE GEOMETRÍAGEOMETRÍA
En este video podras ver jóvenes En este video podras ver jóvenes practicando el deporte con la patineta practicando el deporte con la patineta y a la vez identifican algunos y a la vez identifican algunos conceptos básicos de geometría.conceptos básicos de geometría.
I N D I C EI N D I C EHistoria de gemetría
Definición de geometría
El punto
La recta
El plano
Segmento
Rayo
Espacio
Puntos colineales
Puntos coplanarios
Clasificación de Ángulos
Ángulo
Vértice
Bisectriz
Ángulo Agudo
Ángulo Obtuso
Ángulo Recto
Ángulo Llano
Ángulos Complementarios
Ángulos Suplementarios
Ángulos Adyacentes o Consecutivos
HISTORIA DE GEOMETRÍA La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: La geometría como palabra tiene dos raíces griegas:
geogeo = tierra y = tierra y metrónmetrón = medida; o sea, significa "medida = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Todo parece indicar que la originó la de la tierra". Todo parece indicar que la originó la necesidad de controlar las inundaciones que necesidad de controlar las inundaciones que ocasionaban las crecidas anuales en el valle del río ocasionaban las crecidas anuales en el valle del río Nilo, Nilo, unos tres mil años antes de Cristo unos tres mil años antes de Cristo en el en el Antiguo Antiguo Egipto en el Medio OrienteEgipto en el Medio Oriente, , que traían como que traían como consecuencia la destrucción de muchos de los límites consecuencia la destrucción de muchos de los límites de tierras privadas. de tierras privadas.
Originalmente la tarea de restaurar los límites de las Originalmente la tarea de restaurar los límites de las parcelas la llevaban a cabo los sacerdotes de esa parcelas la llevaban a cabo los sacerdotes de esa época y para ello aplicaban conocimientos o principios época y para ello aplicaban conocimientos o principios geométricos, muchos de los cueles, sin duda, fueron geométricos, muchos de los cueles, sin duda, fueron descubiertos por ellos.descubiertos por ellos.
También podemos suponer que las construcciones de susenormes templos, no se podían haber llevado a cabo sin su conocimiento considerable de geometría y mecánica.
Los egipcios llamaban a cada catetoDe un triángulo rectángulo “Piremus”,De cuyo nombre se deriva la palabra Pirámide, figura central de toda la Cultura egipcia.
Los griegos utilizaron un trabajo más abstracto que el delos egipcios, ya que fueron atraídos por la belleza visual de la geometría de los puntos, las líneas, las áreas y los volúmenes. Creyeron que una forma particular tiene ciertas propiedades contantes que le son propias, que son independiente de su tamaño.
Así por ejemplo, un triángulo rectángulo que tenga dos lados Así por ejemplo, un triángulo rectángulo que tenga dos lados
iguales puede extenderse hasta la Luna o puede caber en la iguales puede extenderse hasta la Luna o puede caber en la
cabeza de un alfiler, peo en cualquiera de los dos casos cabeza de un alfiler, peo en cualquiera de los dos casos continúa siendo triángulo rectángulo.continúa siendo triángulo rectángulo.
El primero de los griegos en aceptar estas ideas fue TALES El primero de los griegos en aceptar estas ideas fue TALES DE MILETO, un magnate de la industria del aceite de oliva DE MILETO, un magnate de la industria del aceite de oliva que operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entre que operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entre los años 600 al 550 a.C. En sus viajes tomó contacto con el los años 600 al 550 a.C. En sus viajes tomó contacto con el conocimiento de las viejas matemáticas y la astronomía, y conocimiento de las viejas matemáticas y la astronomía, y cuando por fin se retiró, se dedicó a ellas como diversión.cuando por fin se retiró, se dedicó a ellas como diversión.
Hace cientos de años los matemáticosHace cientos de años los matemáticos
chinos, diseñaron un rompecabezas alchinos, diseñaron un rompecabezas al
que llamaron “ch`i ch`iao t`u”(plano deque llamaron “ch`i ch`iao t`u”(plano de
las siete piezas ingeniosas). las siete piezas ingeniosas).
Nosotros lo conocemos como “tangram”Nosotros lo conocemos como “tangram”
DEFINICIÓN DE GEOMETRÍA
La geometría es una rama de la La geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de matemática que se ocupa del estudio de la medición y de la medición y de las propiedades del las propiedades del espacio como son puntos, rectas, planos,espacio como son puntos, rectas, planos, ángulos, sólidos,ángulos, sólidos, polígonos, poliedros, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc., curvas, superficies, etc., asi como de las asi como de las relaciones que guardan entre sí.relaciones que guardan entre sí.
EL PUNTOEL PUNTO
Los puntos no tienen medida. Son Los puntos no tienen medida. Son represetados por letras mayúsculas y no represetados por letras mayúsculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho).tienen dimension (largo, alto, ancho).
A BA B
C C
Con un Círculo
Cortando Líneas
Con un Triángulo
Con un Cuadrado
Formas de Representar
un Punto
LA RECTALA RECTA
Una recta se extiende al infinito en Una recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. Las ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con letras minúscula.rectas se nombran con letras minúscula.
bb
C C
AA
¿CÓMO IDENTIFICAR LAS RECTAS?
La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C están sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos:
palabra recta AC recta CA
símbolo AC CA
C b
A
EL PLANOEL PLANO
Un plano se extiende al infinito en Un plano se extiende al infinito en toda direccion y no tiene grosor alguno. toda direccion y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayusculas o tres nombran con letras mayusculas o tres puntos colineales.puntos colineales.
¿CÓMO IDENTIFICAR EL PLANO?
B
A C R
La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.
En geometría los términos punto, recta y plano se consideran términos primitivos o no definidos porque solo tienen explicación a través del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros términos y propiedades geometricas.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
a. RECTA
Los puntos T y U pertenecen a la recta RS. Escoge dos letras de
las cuatro dadas en la figura, para nombrar esta recta.
1) FU 2) TU 3) R 4) TE U
T S R
Correcto!!!
El punto TU está en la recta.El punto TU está en la recta.
Incorrecto!!
Los puntos de la recta son R, S, T, U. El punto FU no pertenece a la recta.
Incorrecto!!Incorrecto!!
Recuerda…Siempre se nombra la Recuerda…Siempre se nombra la recta con dos puntos.recta con dos puntos.
Incorrecto!!Incorrecto!!
El punto TE no pertenece a la recta. El punto TE no pertenece a la recta.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
b. PLANO MSean los puntos A, B y C del plano M. Utiliza estas letras enorden diferente para nombrar el plano.
A C
B
M 1) YJ 2) CFE 3) N 4) BCA
Correcto!!
Los puntos BCA pertenece al plano M.
Incorrecto!!
Los puntos YJ no pertenece al plano.
Incorrecto!!
La letra N no pertenece al plano M.
Incorrecto!!
Los puntos CFE no pertenece a la recta ABC.
SEGMENTOEl segmento es la parte de una recta que consiste de dos puntos, llamados extremos y de todos los puntos que estan dentro de ella.
EJEMPLO:
A
B En el dibujo hay un ángulo que contine dos puntos. El
segmento se identificaria como:
AB o BA
SEMIRRECTA O RAYOUna semirrecta o rayo RT, se extiende en una dirección a partir de un punto inicial R llamado vértice.
EJEMPLO: R T RT (rayo RT)
Cada punto en una recta determina dos rayos que comparten un mismo extremo. Por ejemplo, el punto A determina los rayos AB y AC, a los que se les llaman rayos opuestos.
C
B A
Explicacion sobre el termino rayo.Explicacion sobre el termino rayo.
EL ESPACIOEL ESPACIO
El espacio es infinito, es tridimencional, es El espacio es infinito, es tridimencional, es el conjunto de todos los puntos.el conjunto de todos los puntos.
PUNTOS COLINEALES O ALINEADOSPUNTOS COLINEALES O ALINEADOS
Son aquellos contenidos en una línea o Son aquellos contenidos en una línea o recta. Los puntos que no se encuentran recta. Los puntos que no se encuentran contenidos en una recta se dice que son contenidos en una recta se dice que son no colineales.no colineales.
EJEMPLO: Obsérvese que los puntos A, B y C están contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.
C i
B
A D
PUNTOS (O RECTAS) COPLANARIOSPUNTOS (O RECTAS) COPLANARIOS
Son aquellos puntos (o rectas) que se Son aquellos puntos (o rectas) que se encuentran contenidos en un plano.encuentran contenidos en un plano.
EJEMPLO: Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno está en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E. U
m k T
Q R S
E
Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.
COMPRUEBA LO APRENDIDO
Encuentra el segmento correcto: M R
L S
N Q
1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML
Muy bien!
El segmento ML pertenece a una misma recta.
Incorrecto!
El semgmento NS no pertenece a una misma recta.
Incorrecto!
El segmento RQ no pertenece a una misma recta.
Incorrecto!
El segmento LS no pertenece a una misma recta.
COMPRUEBA LO APRENDIDO
Seran QP y QR rayos opuestos?
P Q R
a) Si, porque el punto P está entre medio.b) No, sólamente si el punto Q está entre P y R.c) No, porque no son puntos colineales.d) No, porque son más de dos rayos.
Excelente!
Recuerda… que los puntos deben ser colineales (que pertenecen a una misma recta) en este caso lo son, y el punto entre medio tiene que ser P. Seria, QP y QR.
Incorrecto!
El punto P no está entre medio, es el punto Q.
Incorrecto!!
Los puntos si son colineales porque pertenecen a una misma recta.
Incorrecto!!
Solamente se está identificando dos rayos y buscar si son opuestos.
VAMOS A PRACTICAR….
Identifique los puntos colineales y coplanarios:
J w F p
H G T
e
Indica los puntos colineales:Indica los puntos colineales:
a) a) D,U J wJ w F pF p
b) b) A,B H G T H G T
c) c) G,F e e
d) d) J,T
Correcto!Correcto!
Los puntos G,F están contenidos en una Los puntos G,F están contenidos en una misma recta o línea.misma recta o línea.
Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos D,U no aparecen en el dibujo.Los puntos D,U no aparecen en el dibujo.
Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos A,B no aparece en el dibujo.Los puntos A,B no aparece en el dibujo.
Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos J,T están contenidos en Los puntos J,T están contenidos en el dibujo, pero el punto J pertenece a el dibujo, pero el punto J pertenece a una recta y el punto T no está en la una recta y el punto T no está en la misma recta, ni está contenida dentro del misma recta, ni está contenida dentro del plano.plano.
Indica los puntos coplanarios:Indica los puntos coplanarios:
a) a) Q,T,R,S J w pJ w p
b) b) H,N,V,M H GH G
c) c) I,O,F,L F T e F T e
d) d) H,G,J,F
Correcto!Correcto!
Los puntos H,J,G,F estan contenidos en Los puntos H,J,G,F estan contenidos en el plano.el plano.
Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos Q,T,R,S no están contenidos Los puntos Q,T,R,S no están contenidos dentro del plano, ya que el punto T no está dentro del plano, ya que el punto T no está dentro del plano.dentro del plano.
Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos H,N,V,M no se encuentran en el Los puntos H,N,V,M no se encuentran en el dibujo. dibujo.
Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos I,O,F,L no se encuentran en el Los puntos I,O,F,L no se encuentran en el dibujo. dibujo.
CLASIFICACIÓN DE CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOSLOS ÁNGULOS
ANGULOUn ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos no colineales que tienen el mismo origen.
EJEMPLOS:
B
1
P A
Los rayos reciben el nombre de lados del ángulo y su punto extremo común es el vértice.
En el dibujo anterior, los lados del ángulo son PA y PB; el vértice es P. El ángulo se puede denotar como APB,
BPA, P o 1. Obsérvese que si se utilizan tres letras, la letra del vértice es la letra del medio.
PRACTIQUEMOS…
Nombre 1 de otras dos formas
G H
D 1 2
E 1) HEF , FEH
2) GED , DEG
3) GEH , HEG
4) DEH , DEG
Muy Bien!
Los ángulos DEG y GED es la contestación correcta.
Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al 1.
Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al 1.
Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al 1.
VÉRTICEEl vértice del ángulo es el punto en común que es el origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas: Por las letras mayúsculas correspondientes a las
semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA.
Por una letra o número colocado en la abertura a. Por la letra del vértice B.
En éste video explican el término En éste video explican el término vértice, sus lados y nombres del vértice, sus lados y nombres del
ángulo.ángulo.
BISECTRIZ
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.
EJEMPLO: La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2
COMPRUEBA LO QUE APRENDISTES
Identifica la mejor definición para el término vértice:
a) Es el conjunto de todos los puntos.b) Semirrecta que divide el ángulo en dos
partes iguales.c) Es el punto en común que es el origen de
los lados.d) Unión de dos segmentos.
Correcto!
Muy bien! Es la contestación correcta. Recuerda que cuando identifiques un ángulo la letra del medio siempre será el vértice.
Incorrecto!
Intentalo nuevamente. Conjunto de todos los puntos se refiere a algo infinito.
Incorrecto
Analiza bien. ¿El vértice divide al ángulo en dos partes iguales? Si divide al ángulo se está refiriendo a la bisectriz.
Incorrecto!
El vértice no es la unión de dos segmentos. El vértice es solamente un punto en común.
COMPRUEBA LO QUE APRENDISTES
Nombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ángulo y un ángulo que parezca ser bisecado. R
F D
B C
1) JS 2) OP 3) FD 4) AG
Correcto!
Muy bien. El rayo FD biseca al ángulo RFC.
Incorrecto!
El rayo JS no pertenece al dibujo.
Incorrecto!
El rayo OP no pertenece al dibujo.
Incorrecto!
El rayo AG no pertenece al dibujo.
ÁNGULO AGUDOEs todo ángulo cuya amplitud sea menor
que la del recto, es decir, menor de 90º
EJEMPLOS:
ÁNGULO OBTUSO Es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.
EJEMPLOS:
ÁNGULO RECTO
Es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.
ÁNGULO LLANO
Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.
VAMOS A PRACTICAR…
Nombra dos ángulos recto: A E
B P D
T
1) APB , APD
2) BPE
3) DPE , TPE
4) APE
Correcto!
Es la contestacion correcta. Los angulos agudos son de 90 grados.
Incorrecto!
Hay dos ángulos agudos. Observa bien el dibujo.
Incorrecto!
Los ángulos que escogistes no son de 90 grados.
Incorrecto!
El ángulo que escogistes es un ángulo agudo. ¡Analiza bien otra vez!
Identifica la respuesta correcta
¿Cuál es la medida de un ángulo obtuso?
a) 180 grados
b) 0 grados y menor de 90 grados
c) igual a 90 grados
d) superior a 90 grados e inferior a 180 grados
Perfecto!!
Recuerda… 90 grados a 180 grados.
Incorrecto!
Escogistes el ángulo agudo.
Incorrecto!
Escogistes el ángulo llano.
Incorrecto!
Escogistes el ángulo recto.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
ÁNGULOS ADYACENTES O CONSECUTIVOS
