Geometría 2°

UNIDAD III Los rieLes siempre paraLeLos

Capítulo 1Ángulos determinados entre dos rectasparalelas y una secante .................................. 59

Capítulo 2operaciones entre ángulos determinadospor rectas paralelas ....................................... 67

Capítulo 3aplicaciones de ángulos entrerectas paralelas ............................................... 74

Capítulo 4recordando lo aprendido................................ 82

Capítulo 5Triángulos ................................................. 88

UNIDAD II Todo sobre ángulos

Capítulo 1Identificando y midiendo ángulos .................. 27

Capítulo 2operaciones con ángulos ............................... 34

Capítulo 3solo con enunciados ...................................... 43

Capítulo 4Complemento y suplemento de un ángulo .... 48

Capítulo 5repaso bimestral ........................................... 54

UNIDAD II ConoCiendo a la geometría

Capítulo 1introducción ................................................. 5

Capítulo 2Segmento de recta ........................................ 12

Capítulo 3Punto medio y el segmento de recta ............. 18

Capítulo 4recordando lo aprendido ............................... 23

UNIDAD IV El triángulo dE las bErmudas, ¿vErdad o fantasía?

Capítulo 1líneas notables en el triángulo i ................... 97

Capítulo 2lineas notables en el triángulo ii .................. 105

Capítulo 3repaso bimestral ........................................... 113

índicE

TRILCE

Geometría UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTA

Capítulo 1Estudiando las figuras de más de tres lados ................................................. 120

Capítulo 2¿Cuál será la suma de ángulos internos ......... 129

Capítulo 3Estudiando las figuras de cuatro lasdos ......... 136

Capítulo 4Conociendo los paralelogramos .................... 144

Capítulo 5Operaciones en el cuadrilátero ...................... 152

UNIDAD VII Región y áRea, ¿lo mismo?

Capítulo 1Perímetro es lo mismo que área .................... 182

Capítulo 2Conociendo las regiones poligonales ............. 190

Capítulo 3Calculando el área de regiones triángulares .. 199

Capítulo 4Calculando el área de diversas regiones ........ 208

UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GeOMÉTRICOS

Capítulo 1Reconociendo los elementos ......................... 215

Capítulo 2¿Area es lo mismo que volumen? .................. 223

Capítulo 3Recordando lo estudiado ............................... 231

UNIDAD VI calculando la suma de los lados

Capítulo 1¿Qué es perímetro? ........................................ 159

Capítulo 2calculando el perímetro de diversas figuras .. 167

Capítulo 3Repaso general .............................................. 175

ApreNDIZAjes esperADos

UNIDAD 1

La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos

Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.

¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?

CoNoCIeNDo A lA geometríA

UNIDAD 1

• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.

• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.

• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.

• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.

• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.

CEILTRColegios

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Adiariovemosobjetosdediversasformas,quesiquisiéramosdescribirlostendríamosqueusartérminosgeométricos.

•¿Quédiferenciahayentreuncuboyundado?•¿Esigualcírculoquecircunferencia?

Introducción

En este capítulo aprenderemos:

• Areconocerelementosyfigurasgeométricasenelplano.• Areconocerelementosyfigurasgeométricasespaciales.• Aidentificarygraficarrectasparalelasysecantes.• Aidentificarygraficarplanosparalelosysecantes.• Acontarpuntosdecorteentrerectasyfigurasgeométricasplanas.

5

1

Central: 619-8100 Unidad I

CAPITULO

6CEILTR

Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I

Introducción

Conceptos básicos

Figura geométricaSonlasideasobtenidasapartirdelaformadeunobjeto

Objeto Figura geométrica

esfera

cubo

cilindro

Elementos geométricosSon las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes: El punto Eslaideageométricamáspequeña.Lamarcadeunlápiz,ungranodeazúcar,unresiduodetiza,etc.,nosdanlaideadepunto.Senombraconunaletramayúscula.

A Punto "A" M Punto "M"

La recta Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta.

Rectall

Rectaa

a

El plano Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener completamentefigurasgeométricas.Selenombraconunaletramayúscula.

PlanoRR

7CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I

1División de la GeometríaParaelmejorestudiodelageometríaelementalsedivideen: Geometría plana Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano.

PentágonoCircunferencia

Centro Radio

r

Triángulo

Vértices

Cuadrilátero

Lados

Geometría del espacio Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más

planos.

Cono Prisma Tetraedro

Rayo Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido.

AORayoOA:OA

B

P

RayoPB:PB

a es paralela a b (a // b)

a

b

m y n son secantes"P" es el punto de intersección

m

nP

Rectas secantesDos rectas son secantes si tienen un punto encomún.

Rectas paralelas Dos rectas paralelas son aquellas que no

tienen punto de corte.

Ten en cuenta

8CEILTR


Introducción

Número de puntos de corte

• Entre dos rectas paralelas y una secante.

"P" y "Q" son planos paralelos (P//Q)

Planos paralelosSon aquellos que no tienen ni un punto en común.

Planos secantesSonaquellasquetienenunarectaencomún.

l

"R"y"Q"sonplanossecantes

leslaintersecciónentre"R"y"Q"

Dos puntos de corte

• Entretresrectassecantes.

Unpuntodecortecomo mínimo

Tres puntos de corte como máximo

9CEILTRColegios


1

Conceptos básicosAplica lo comprendido

10 x 550

1. Graficar un rayo OA en posición horizontal.

2. Graficar un rayo PB en posición vertical.

3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos opuestos. ¿Qué se forma?

4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen?

5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximonúmerodepuntosdecorte.

6. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes.

7. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un triángulo y tres rectas secantes.

8. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un cuadrilátero y tres rectas secantes.

9. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un pentágono y dos rectas secantes.

10.Calcular el número de puntos de corte entreuna circunferencia y seis rectas paralelas.

• Entreunacircunferenciayunarectasecante.• Entreuntriánguloyunarectasecante.

Dos puntos de corte.

Dos puntos de corte

• Entreunacircunferenciaydosrectassecantes.

Tres puntos de corte como

mínimo.

Cinco puntos de corte como máximo.

Comunicación matemática

1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

• SegúnEuclides,loselementosgeométricossoncuatro ........................................................ ( )

• LaGeometríasedivideenplanaydelespacio. ................................................................... ( )


• Lasrectasparalelastienenunpuntodeintersección. ........................................................... ( )

• Lasrectassecantesnotienenningúnpuntoencomún. ........................................................ ( )

Conceptos básicosAprende más...

10CEILTR


Introducción

Resolución de problemas

6. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre cinco rectas secantes.

7. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes.

8. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre seis rectas paralelas y dos rectas secantes.

9. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre una circunferencia y cuatro rectas secantes.

10.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre una circunferencia y cinco rectas secantes.

Aplicación cotidiana• SupongamosqueenelPerúsequiereconstruirlamayorcantidaddecarreterassubterráneasrectilíneasparatreneseléctricos,quefacilitaríanelviajeentrelosdepartamentosmostrados.

Arequipa

Piura

Lima

Ica

Ayacucho

11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho?

12. ¿CuántascarreterasseformanentreLima,ArequipaeIca?

13. ¿CuántascarreterasseformanentreLima,Ayacucho,IcayArequipa?

14. ¿CuántascarreterasseformanentrePiura,Arequipa,IcayAyacucho?

15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos?

3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:

• Laintersecciónentredos............................estárepresentadopor..........................recta.

• Elrayotieneun.........................deorigenyesilimitadoenunsolo..................................

rectas-punto-planos-dos-una-sentido-número

4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H".

5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".

11CEILTRColegios


1Conceptos básicos ¡Tú puedes!

1. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentrecincorectasparalelasycuatrorectassecantes.

2. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentreseisrectassecantes.

3. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentresieterectassecantes.

4. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentreseisrectassecantesydosrectasparalelas.

5. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentrecincorectassecantesytresrectasparalelas.

1. Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre tres rectas secantes y una circunferencia.

2. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre ocho rectas paralelas y una circunferencia.

3. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un triángulo y tres rectas paralelas.

4. Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre un triángulo y una circunferencia.

5. Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre dos rectas secantes y un triángulo.

6. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorte

entre dos rectas secantes y un cuadrilátero. 7. Calcular el máximo número de puntos de

corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas paralelas.

8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?


10.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.

11.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corte

entre cinco rectas paralelas y una circunferencia.

12.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre seis rectas paralelas y un triángulo.

13.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre tres rectas secantes y un triángulo.

14.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre un cuadrilátero y una circunferencia.


Practica en casa

18:10:45

Conceptos básicosPractica en casa

18:10:45

12CEILTR

Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100

Saberes previos

segmentos de rectaEn este capítulo aprenderemos:• Aidentificaralsegmentoderectayasumedida.• Arelacionarsegmentosconsecutivosynoconsecutivos.• Asumaryrestarlongitudesdesegmentosconsecutivos.

Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término "segmento"significa parte o porción de algo con lo cual lopodemosconjugaratérminosanteriores.

•¿Quélíneasobservas?

• Unidadesdelongitud- Centímetros, metros, kilómetros.

- Pulgadas, pies, yardas, millas.

• Unidaddepeso:.......................

Unidaddetemperatura:.........................

• Ecuacionesdeprimergrado:2x+10=18⇒ x=

3x+x+5=25⇒ x=

CAPITULO 2

En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea recta",peronoeselúnicotipodelínea,enlanaturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.

13

Geometría

Unidad ICEILTRColegios

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Observación

Definición de segmento de recta

Eslapartedeunalínearectaquetieneporextremosadospuntos.Sumedidaestarepresentadaporladistancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros,metros,pulgadas, pies, etc.).

R

S8 cm

• SegmentoRS : RS o SR

• MedidadeRS : mRS=8cm

RS=8cmL

• Cuandonoseconocelamedidadeunsegmento de recta, se usan variables como en el Álgebra.

• También se usan unidades arbitrariasde longitud, es decir, si no son centímetros, pulgadas, etc. se emplea la letra "∝" de unidades. PQ=12cm

12 cm

QP

"x"µ

NM

Puntos colineales Son puntos que pertenecen a una línea recta.

"A", "B" y "C" son puntos colineales por que pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta.

A B CL

Segmentos consecutivos Sonsegmentosquetienenunextremocomúnysondedostipos:

A C

B

C

A

B

DSegmentos

no colineales

A B C

A B C D

Segmentoscolineales

Conceptos básicos

CEILTRColegios


Segmento de recta

Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales.

EH=8+14=22cm

8 cm

E F H

14 cm

AD=6+10+14=30cm

6 cm 10 cm

A B C D

14 cm

PQ=36-12=24cm

P Q R12 cm

36 cmLE=23-(13+7)LE=3cm

13 cm

A L E J7 cm

23 cm

MP=a+b

AN=x-y

A

x

Ny

Q

M

a b

N P

1+2+3=6segmentosA B C D

1+2=3segmentosP Q R

1+2+3+4=10segmentos

M EN F Q

L

L

L

Número máximo de segmentos de recta

Suma y resta con variables

Ten en cuenta

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2

Unidad I


10 x 550

1. Si:AC=42cmyBC=31cm,calcular"AB".

A B C

2. Si:EH=56uyFH=14u,calcular"EF".

E F H

3. Si:MN=13u;NE=8uyEF=18u,calcular"MF".

M EN F

4. Si:PR=24cm;QS=36cmyQR=100cm,calcular "PS".

P RQ S

5. Si:AC=58cm;BD=76cmyBC=32cm,calcular "AD".

A CB D

6. Si:EH=41u;FN=38uyEN=52u,calcular"FH".

E F NH

7. Si:PT=22u;QU=45uyPU=59u,calcular"QT".

P Q UT

8. Si:EL=120cm;EJ=30cmyKL=70cm,calcular"JK".

E J LK

9. Si: AB= 17,2u; CD= 41,8u y AD= 80u,calcular "BC".

A B DC

10. Si:PT=56cm,calcular"x".

P Q

2x 5x

T



• Elsegmentoderectaestáformadopordospuntos ................................................................. ( ) • Elsegmentoderectatieneunacantidadindeterminadadepuntos ......................................... ( )

2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro:

• Lamenor................................entredospuntosestárepresentadoporel................................derecta que los une.

• Dosomássegmentosde................................sellamancolineales,si................................aunamisma recta.

plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes.


CEILTRColegios


Segmento de recta


6. En el gráfico: AC= 17 cm; BD= 22 cm yBC=6cm.Calcular"AD".

A CB D

7. Si:PR=19u;QS=26uyQR=4u,calcular"PS".

P RQ S

8. Si:AF=11u;EN=19uyAN=25u,calcular"EF".

A FE N

9. Si:PQ=2x;QE=8u;EF=5xyPF=43u,calcular"x".

P EQ F

10. Si:AB=x+ a ; BC=6x - a yAC=63u,calcular"x".

A B C

11. Si:AB=x;BC=2x;CD=5xyAD=40u,calcular"x".

A B C D

12. Si:PQ=3k;RT=7k;QR=38uyPT=118u,calcular "k".

P Q R T

Aplicación cotidiana• Ungrupodealumnosvandeexcursiónpartiendodeunpunto"A",enunacarreterarecta,siendosu

destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F" es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km.

A FE B

13. Calcular la distancia entre "A" y "E".

14. Calcular la distancia entre "E" y "F".

15. Calcular la distancia entre "F" y "B".

3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase:

E P Q EQ= ..........+.........

P M N PM= .........–.........

4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC,talque:AB=2cmyBC=3cm.Luegomide la longitud del segmento AC.(Usarreglacalibradaencentímetros)

5. Usandounareglacalibradaencentímetros,graficarlossegmentosconsecutivosnocolineales:PQ=3cmyQR=5cm.LuegomidelalongituddePR.

CEILTRColegios


2

Unidad I


18:10:45

1. Si:AC=46uyBC-AB=14u,calcular"AB"

A B C

2. Si:PQ=2(QR)yPR=36u,calcular"QR".

P Q R

3. Si: AC +BD=53uyAD=30u,calcular"BC".

A CB D

4. Si:PQ+PR=65cmyQR=3(PQ),calcular"PQ".

P Q R

5. Si:BC=3(AB)yCD=5(AB),calcular"AB".

A B C D

135 cm

1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos "A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como máximosedeterminan?

2. Si:AB=72u,calcular"x".

A E

x 8x

B

3. Si:AC=120cm,calcular"x".

A B

3x 7x

C

4. Si:MQ=124uyNQ=80u,calcular"MN"

QNM

5. Si:EF=20u;MH=30uyMF=16u,calcular"EH".

HM FE

6. Si:PR=16u;QT=23uyQR=9u,calcular"PT".

TQ RP

7. Si : EN=24u;MH=43uyEH=57u,calcular "MN".

HM NE

8. Si:AE=96cm,calcular"x".

A B C D

2x x 4x 5x

E

9. Si:AP=60u,calcular"AB".

A B

2x 8x

P

10. Si:EF=16u;TQ=22uyEQ=53u,calcular"FT".

QF TE

11. Si:PR=21u,calcular"RT".

P Q R

4a 3a 10a

T

12. En el problema anterior, calcular "PT"

13. Si:AL=4x;LE=6xyAJ=24x,calcular"x".

A L E

28 cm

J

14. Si:MT=98u,calcular"x".

M N Q

5x 26u 7x

T

15. ¿Cuántossegmentossecuentancomomáximoen la siguiente figura?

A CB ED

Conceptos básicos ¡Tú puedes!

18CEILTR


punto medio del segmentode recta


• Aubicarlospuntosmediosdelossegmentos,conociendosusmedidas.• Ausarvariablespararepresentarsegmentoscongruentes.• Ausarelcompásparaubicarelpuntomediodelsegmentoderecta.

CAPITULO

3

En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son:

• 1metro = 100centímetros • 1kilómetro = 1000metros

En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros.

Porejemplo,enNorteAméricaseusan: pulgadas;pies;yardasymillas.

1yarda=3pies1pie=12pulgadas 1milla=1760yardas

Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla esaproximadamente1,6kilómetros

19

Geometría



Saberes previos

Conceptos básicos

•

r

B

O

AO:

r:

mAO=mOB

Circunferencia • Trazarconelcompásunacircunferenciade2,5cmderadio.

•AC=.........+.........CD= .........–.........AD=.........+.........CBA D

ya

b

Definición del punto medio de un segmento de recta

Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide alsegmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales)

Q M

aa

R

A P 19 cm

38 cm

19 cm B

• "P"espuntomediodeAB

• AP es congruente con PB (AP ≅ PB)

• mAP=mPB

• Sinoseconocelamedidaseusanvariablesiguales:QM=MR=a

• "M"espuntomediodeQR

Ubicación del punto medio del segmento usando el compásDado el segmento RGytomandocomocentroacadaextremosetrazancircunferenciasconelmismoradio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF es el buscado punto medio "M" de RG.

F

GMR

E

CEILTRColegios


Punto medio y el segmento de recta



10 x 550

1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usarreglacalibradaencentímetros)

2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usarreglacalibradaencentímetros)

3. Si:AB=15cm;BC=42cmy"M"espuntomedio de BC, calcular "AM".

CB MA

4. Si:PQ=48u;QR=14uy"N"espuntomediode PR, calcular "NQ".

RN QP

5. Si:EF=23u;NG=25uy"F"espuntomediode EN, calcular "EG".

GF NE

6. Si:AB=21uyBC=65u,hallar"MN",si"M"y "N" son puntos medios de AB y BC.

A M B N C

7. Si:AM=79u;MF=31uy"E"y"N"sonpuntosmedios de AM y MF respectivamente, calcular "EN".

FNMEA

8. Si:RB=70u;"A"espuntomediodeRM y "C" es punto medio de MB, calcular "AC".

R Aa ba b

M C B

9. Si:PR=55u,calcular"MN";siendo"M"y"N"puntos medios de PQ y QR.

RNyx yx

QMP

10. Si:EF=118cm,calcular "AB", siendo"A"y"B" puntos medios de EK y KF respectivamente.

FA K BE



• Cadasegmentoderectatienesolounpuntomedio ................................................................ ( ) • Elpuntomediodeunsegmentoderectaequidistadelosextremosdedichosegmento .........( )

2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.

• Dos..........................derectaquetieneniguallongitudsedenominansegmentos.......................... • El..........................mediodeunsegmentoderecta..........................aésteenotrosdossegmentos

congruentes.

iguales-semejantes-congruentes-punto-recta-segmentos-divide-determina

3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.

CEILTRColegios


3

Unidad I


6. Si:AB=31u;BC=75uy"M"espuntomediode AC, calcular "BM".

CB MA

7. Si:EQ=86u;FQ=32uy"N"espuntomediode EF, calcular "NQ".

QN FE

8. Si:MQ=33u;MN=97uy"P"espuntomediode QN, calcular "MP".

NQ PM

9. Si:AC=40u;BD=80uyBC=10u,calcular"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente.

DB CM NA

10. Si:PR=43u;QS=47u;QR=13uy"A"y"B"son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB".

SQ RA BP

11. Si:AB=26u;BC=58u;"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y BC y además "P" es punto medio de MN, calcular "BP".

CB PM NA

12. Si:PQ=72u;QR=28uy"E","F"y"M"sonpuntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular "MQ".

RM QE FP

4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR,talque:PQ=2,8cmyRP=3,6cm(usarregla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa?

5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide elsegmentoderectaqueunedichospuntosmedios?(Usarreglacalibradaencentímetros)

Aplicación cotidiana

• Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer pisotiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura.

13. ¿Qué altura tiene el edificio?

14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso?

15. ¿Quéalturasubeunapersonaqueviveenelsextopiso?

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Punto medio y el segmento de recta

Conceptos básicos¡Tú puedes!


18:10:45

1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A","B","C"y"D".Si:AB=CDyAD+BC=16,calcular "BD".

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: AB+ AC= 28, calcular"AM", siendo "M" punto medio de BC.

3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A","B","C"y"D".Calcular"AD",si:AC=12µ yAD+CD=28µ.

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B","C"y"D".Si: AC+BD=64µ, calcular "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y CD respectivamente.

5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "P","Q","R"y"S".Si"M"espuntomediodePS, PQ+ RS= 17m yQM -MR= 3m,calcular"RS".

1. Si:AC=40cm;BD=60cmyAD=90cm,hallar "BC".

DB CA 2. Si:AB=11cm;BD=28cmy"C"espunto

medio de BD, hallar "AC".

DB CA

3. Si:PM=58;TM=34y"Q"espuntomediodePT, hallar "QM".

MQ TP

4. Si:AC=24;CB=50y"M"espuntomediodeAB, hallar "CM".

BC MA

5. Si:AB=18;BC=32,"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y AC , hallar "MN".

CBM NA

6. ¿Cuántos segmentos hay?

QFE TP

7. Si:AB=42;BC=19;CD=64y"M"y"N"son puntos medios de AB y CD, hallar "MN".

DBM C NA

8. Si:AE=26;EF=32;FH=48y"M"espuntomedio de EF, hallar "MH - AM".

HE M FA

9. Si:PE=MT=38;EF=11yPT=127,hallar"FM".

TE F MP

10. Si:AB=7uyBC=19u,hallar"PQ",siendo"P" y "Q" puntos medios de AB y BC.

CP B QA

11. Si:AR=27cm;TQ=32cmyTR=18cm,hallar "AQ".

QT RA

12. Si:EN=48;EM=26y"N"espuntomediodeMF, hallar "EF".

FM NE

13. Si "E" es punto medio de AF y AG= 60u,calcular"x".

A E F G

3xx

14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u,calcular "PQ".

P Q R T

2x 3x

15. Si "C" es punto medio de ADyAD=160cm,calcular"x".

A B C D

5x 3x

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4




• Darelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones("V"o"F")

1. Por un punto pasan infinitas rectas. ............................................................................ ( ) 2. Por dos puntos solamente pasa una recta .................................................................... ( ) 3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta. .................. ( ) 4. Siunpuntotieneigualdistanciaalosextremosdeunsegmentoderecta,entonceses

necesariamente el punto medio. ................................................................................. ( ) 5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales. ........................... ( )

• Completarlassiguientesproposicionescorrectamente,usandolostérminosdelrecuadromostrado:

6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ...................................

7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento.

8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una mismarectaytienenun...................................encomún.

extremos-medio-plano-congruentesconsecutivos - geométricos - calculan

punto - pertenecen - tiene - recta - medida

• Completarcorrectamentelosrecuadrosadjuntosacadagráfico:

9.

BC < ...............

CA

B

3 cm

1 cm

10.

AC=...............

CB

3 cm 1 cm

A


recordando lo aprendido

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Recordando lo aprendido



11.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.

12.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre dos rectas paralelas y tres rectas secantes.

13.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre dos circunferencias y tres rectas paralelas.

14. Si:AB=28u;BC=12uy"P"y"Q"sonpuntosmedios de AC y BC respectivamente, calcular "PQ".

CP B QA

15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ respectivamente, calcular "MN", si además: EQ=60u

QM NE

16. Si:PE=78u;PR=32u;QE=60uy"M"espunto medio de QR,calcular"MR".

ERQ MP

17. Si:AB=DE=x;BC=3x;CD=5xyAE=130u,calcular "AC".

EDB CA

18. Si:AB+AC=96uyBC=54u,calcular"AB"

CBA

19. Si:PQ-QR=31uyPR=59u,calcular"QR".

RQP

20. Si:EQ=80u;PF=140uyEF=170u,calcular"MN", si además "M" y "N" son puntos medios de EP y QF.

FQ NM PE

1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el máximonúmerodesegmentosdeterminados.

2. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos"A","B"y"C",talque:AC+BC=68uy"M"espunto medio de AB. Calcular "MC".

3. Setienenlospuntoscolineales"P","Q"y"R"(PQ > QR )talque:PQ-QR=18u.Calcular"MQ",siendo "M" punto medio de PR.

4. Setienen10rectassecantes.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorte.

5. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre12rectasparalelasy10rectassecantes.

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4

Unidad I


18:10:45

1. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre dos triángulos.

2. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre cuatro rectas secantes.

3. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre cinco rectas secantes.

4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia?

B

CA

5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas?

6. Si:AD=58cm,calcular"x".

A B C

x 18 cm 3x

D

7. Si:AB=11u;BC=39uy"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y BC respectivamente, calcular "MN"

A M B N C

8. Si:PF=59uyEF=21u,calcular"MF",siendo"M" el punto medio de PE.

P M E F

9. Si:AD=48uyBC=15u,calcular:a+b

A B C D

a b

10. Si:AB=12u;BC=10u;CD=18uy"M"espunto medio de BD, calcular "AM".

A B C DM

11. Si:AM=38u;MP=54u;PQ=22uy"N"espunto medio de AQ, calcular "NP".

A M N QP

12. Si:AD=72u,calcular"y"

A B C

y 16u 7y

D

13. Si:AC+AB=72uyBC=50u,calcular"AB"

A CB

14. Si:QR-PQ=16uyPR=60u,calcular"PQ"

P RQ

15. Si:AB=24u;BC=30uy"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y BC respectivamente, calcular "MN"

A B CM N


UNIDAD 1

Existentressistemasdemediciónangularyelsistemaqueusaremoseselsexagesimal.Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.

¿Cómo se mide un ángulo?

toDo sobre áNgUlos

UNIDAD 2

• Usodeltransportadorycompásparalamedidaangularytrazodelabisectriz.

• Resolverejerciciossinusareltransportador.

• Relacionar ángulosde acuerdo a sumedida, tomandocomo referencia al ángulo recto y alángulo llano.

• Resolucióndeproblemasgráficosconvariablesyecuacionessobreángulosconsecutivos.

• Interpretarenunciadosparalaelaboracióndegráficossobresegmentosyángulos.

• Elaborarpropiedadesapartirdeejerciciosnuméricos.

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Identificando y midiendo ángulos

Antigüamente;al tomarcomobase ladivisióndelañoen360díassedividióalcírculoen360partes,dandocomoorigenalsistemasexagesimalpara lamediciónangular,queposteriormentesirviópara laelaboracióndelreloj.Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve;perodiscernible,contraelfondodelasestrellasparacompletaruncircuitocompletodetodoelcampo de estrellas.LosegipciossabíanqueelSoltardabaaproximadamente360días,poresofuequesedividióelcírculoen 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada.Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que losrestantescinconoexistían,almenosoficialmente.Esteperiodoeradedicadoafestejosybanquetesconanimales especialmente sacrificados para este periodo.

¿Por qué una vuelta mide 360º?

1º:ungradosexagesimal

360º1º

12

6

11

5

101º

4

9 3

8

2

7

1


• Adiferenciarentreángulo,medidaangularyregiónangular.• Aclasificaralosángulosdeacuerdoasumedida.• Ausareltransportadorparagraficary/omedirángulos.• Atrazarlabisectrizdeunánguloconelusodelcompásyconelusodeltransportador.

CAPITULO

27

1

Central: 619-8100 Unidad II

28


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Clasificación de ángulos

Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.

θº 0º<θº<90º

Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares

A

O B

m AOB=90º

OA OB

Los rayos OA y OB son

perpendiculares

Observación

Saberes previos

Conceptos básicos

•O A

OA es un .............................

• Algunasletrasgriegas:

α = Alpha β = Beta θ = Tetha

• Dosrayosopuestosconelmismoorigenformanuna ........................................

AO

B

Definición de ánguloEl ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura entre sus lados.

αº

A

B

O Regiónangular

Vértice : OLados : OA y OBMedida : αº

Elementos

Ángulo AOB : AOB; BOA;AOB;BOA.

Medida del AOB: m AOB=αºNotación

29

1

Unidad IICentral: 619-8100

Clasificación de ángulos

Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.

θº 0º<θº<90º

Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares

A

O B

m AOB=90º

OA OB

Observación

Los rayos OA y OB son

perpendiculares

Ángulo obtuso Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º.

αº 90º<αº<180º

Ángulo llano Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos.

m AOB=180ºA BO

180ºRecta

Ángulo no convexo Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º.

180º<βº<360º

βº

O

M N

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10 x 550

Uso del transportador

Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo.

110º

O M

F

E

• Con cualquier abertura se traza elcompás obteniéndose los puntos "E" y "F" .

• Luego, tomando como centros aestos puntos "E" y "F", se trazan circunferencias con el mismo radio;obteniéndose el punto "M".

• Finalmente,elrayoOMeslabisectrizdel ángulo.

1. Mide los siguientes ángulos mostrados y clasifícalos.

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1

Unidad II

Conceptos básicos Aprende más...

2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto "E".

EL

3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos.

4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás.

5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado.

6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador.

7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador.

8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador.





• Elángulodeunavueltamide360º .................................................................................... ( )

• Elángulollano mide 90º ................................................................................................... ( )

2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.

• La...................................deunángulodivideaésteen...................................iguales.

• Dosángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ...................................

rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos

3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º.

4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º.

5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB=230º.

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6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C" usando el transportador.

AC

B

7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y "D" usando el transportador.

DA

BC

8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el transportador.

O C

BA

9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD usando el transportador.

A

D C

BO

10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el transportador.

C

B

DO

A

Recta

11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB=100ºym BOC=60º.¿CuántomideelánguloAOC?(Usareltransportador)

12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN tal que: m PQM=70ºym MQN=50º.¿CuántomideelánguloPQN?(Usareltransportador)

13.Usandoelcompás,trazarlabisectrizdelánguloAOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados OA y OB

O

A

B

Aplicación cotidiana• Lasagujasdelreloj(horarioyminutero)sonobservadasporAnita

que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que:

14.Alescucharlacampanitadelrelojsiendolas8a.menpunto,lasagujasformanunángulode:

15. Luegodedoshorasvuelveaescucharlacampanitaylasagujasdelrelojformanunángulode:

http

://es

.123

rf.co

m

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1

Unidad II


18:10:45


1. Graficarunángulonoconvexode240ºyluegotrazarsubisectrizusandoeltransportador.

2. Graficarunángulonoconvexocualquierayluegotrazarsubisectrizconelusodelcompás.

3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC.

4. En el problema anterior, calcular: m MOB.

5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices.

A O C

B

• Graficaryclasificaralossiguientesángulos(usael transportador)

1. 35º 2. 65º 3. 104º

4. 170º

5. 28º

6. 126º

7. 58º 8. 220º

• GraficaralosángulosconsecutivosAOByBOC.Luego, calcular m AOC.(Usaeltransportador)

9. m AOB=30ºym BOC=60º





14. m AOB=130ºym BOC=80º 15. m AOB=100ºym BOC=50º

Geometría

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Ordenamiento lineal y circular

Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad,que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de

los alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevasalfinaldelalfabeto:fiyji,pararepresentar sonidos aspirados que no existíanenfenicio,ypsi.

En el Álgebra se usan variables como "x", "y" y "z" para señalar valoresnuméricos, en general trabajandobásicamente con las operaciones.En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan

letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ";

etc

operaciones con ángulos


• A relacionar ángulos por sus lados• A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano.• A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos.

2

A α alfa N ν niB β beta Ξ ξ xir γ gamma O o ómicron∆ δ delta ∏ π piE ε épsilon P p roZ ζ dseta ∑ σ sigmaH η eta T τ tauΘ θ zeta ϒ υ ipsilonI ι iota Φ ϕ fiK κ kappa X χ jiΛ λ lambda Ψ ψ psiM µ mi Ω ω omega

Geometría

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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 35Unidad II

Saberes previos

Conceptos básicos

• Rectas .................................................

• Rectas ..................................................

• Unavueltamide ..................................

• ElánguloPOQmide ............................

P

QO

• ElángulollanoAOBmide.................... OA B

Ángulos opuestos por el vérticeSon los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes.

M αº

αº

N

F

E

AVértice

Los ángulos MAN y EAF son opuestos por el vértice

m MAN=m EAF=αº

θº

B

P Q

A C

Vértice

θº

Los ángulos PBQ y ABC son opuestos por el vértice

m PBQ=m ABC=θº

CEILTRColegios


Operaciones con ángulos

Ángulos consecutivosSondos,tresomásángulosquetienenelmismovérticeyunladoencomúnrespectivamente.

En el gráfico:

m AOC=40º+60º=100º40º 60º

O

C

B

A

AOB y BOC son consecutivos o adyacentes

En el gráfico:

m POR=50º+70º=120ºm QOS=70º+20º=90º

O

SQ

R

20º70º

50º

P

POQ;QORyROSsonconsecutivos

En el gráfico:

m POR=35º+65º=100ºm ROS=180º-100º=80ºO S

Q

R

65º

35ºP

Recta

POQ;QORyROSsonconsecutivos.

Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables.

B

βºαºA

C

O

yº

yº=αº+βº

βº

αº

αº+βº=90º

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2

Unidad II


10 x 550

xº=βº–θº

Oθº

βºxº

A

B

C

m AOB=180º-θº

A O C

B180º–θº

θº

xº

90º–xº

Q

RO

P

m QOR=90º-xº

O

αºβº

θº

αº+βº+θº=180º αº+βº+θº+ωº=360º

ωº βº

αº

θº

1. Calcular"xº",si:m AOF=18º

O

E

B

FA

2xº

xº

2. Si: m EOF=130º;m EON=100ºyOM es

bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM

O

M

F

N

E

3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC=32º,calcular:m MOC.

COA

M

B

4. Si: m MOA=48ºym MOQ=142º,calcular:m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON

QO

AM

N

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5. Calcular"xº"

4xº

xº

6. Si: m AOB= 38º;m BOC= 72º yOM es bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº".

O

A

B

θº

M

C

7. Si: m AOB=28º;m BOC=102ºyON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON

O

AB N

C

8. Si: m EOF=αº y m FOH=5αº, calcular "αº"

F

E O H

9. Calcular "αº".

αº8αº

10. Calcular "αº".

80º 4αºαº



• Lamedidadeunángulollanoeseldobledelamedidadeunángulorecto. ........................ ( ) • Labisectrizdeunánguloesunrayoquedivideenmedidasigualesadichoángulo. ............ ( )

2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:

• Dosángulos.......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ...........................................

• Dosrectassecantesy..........................................formancuatroángulos......................................consecutivos.

perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos - iguales - consecutivos - lados - ángulos

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2

Unidad II

Completarlasrelaciones,segúnlosgráficos:

3.

m AOE=........− ........

A O

βº

EB

4.

m FOM=........− ........

E O M

F

αº

5.

αº+βº+θº+ωº=........

θº

βºαº

ωº


6. Si: m COD=23º,calcular:m AOB.

A O

C

B

D

7. Si: m AOC= 74º; m BOC= 22º yOM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC.

A

M

BO

C

8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON.

O

A

B N

C

9. Calcular "αº"

2αº

4αº

3αº

αº

A B

C

D

O

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10.Calcular"xº",si:m AOD=148º.

A

O

C

B

Dxº68º3xº

11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOC

A

M

BC

N

26ºDO

34º

12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. Si: m AOB=36º,calcular:m MON

A

B

M

C

N100º

DO

13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C, calcular: m EOF

A

FB

E

30ºC

O

Aplicación cotidiana• Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa

está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes.

14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado?

15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor?

1. Si: m BOC=80º;OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON.

DA

M

BC

N

O

2. Calcular"xº",si:m AOC+m BOD=130º.

xº

A B

C

DO

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2

Unidad II


18:10:45

3. SetienedosángulosconsecutivosPOQyQOR.Se traza OM bisectriz del ángulo POQ.

Si: m POR + m QOR =140º, calcular lam MOR.

4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular lam MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC.

B

CM

A O

5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.

1. Si: m AOB=20°ym AOC=100°,calcule:m BOC.

B C

O

A

2. Si: m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º,calcule: m AOB.

OA

B

C D

3. Calcule "α°"

32º αº

4. Calcule"x°"

4xºxº

5. Calcule"x°",si:m AOD=110°.

50º2xºxº

O

A

BC

D

6. Calcule"x°"

120º3xºxº

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7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC.

C

O

BM

A

8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectrizdelánguloPOR,calcule:m MOQ.

P

M Q

O

R

9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º.

A

M B NC

O

10. Si: m AOB=36°,OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON.

A O D

N

C

BM

11. Calcular: m BOC.

A

B C

D

5xº3xº

2xº

O8xº

12.Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC

64ºxº

A

BM

C

O

13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°".

O

A

M

48º θº

5θº B

C

14. Calcule "β°"

A

BC

38ºβº

64ºRecta

DO

15. Si: m AOB=30°ym BOC=80º y además OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM.

O

A

BM

C

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Conceptos básicos

3

43

¿Qué es generalizar?

¿Qué es para ti una fórmula?

12

3n

........

"n" puntos segmentos( )n n2

1-1

23

3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos

12

34

En la Aritmética, estudiamosalosnúmeroshaciendooperacionesqueresuelvenproblemasdiversosdelavida cotidiana como compra, venta, edades, etc.

En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidadesconocidasydesconocidas.Unafórmulaalgebraicasurgejustamentedelageneralizaciónqueimplica la representación de cantidades por letras.

En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es

importante entenderlo y dominarlo paraaplicarloencapítulosmáscomplejos.

solo con enunciadosEn este capítulo aprenderemos:• A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos.

• Agraficarproblemasparasuresoluciónconociendosusvaloresousandovariables.

• Arepresentarmedianteunaecuaciónlasumayrestadesegmentosyángulos.

• "Q"espuntomediodeAN

A Q N

a a

• Puntos y segmentos consecutivos ycolineales.

A B C

ayb

D

AB =a – bAD=a+y

Recuerda que...

44

Solo con enunciados

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•

• Sumayrestadeángulosconsecutivos.

m AOB=θº - βºm AOD=θº+αº

O

A B C

βº

θº

αº

D

E

F

A

αºαºO

OF es bisectriz del ángulo AOE

1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que:AC=25u.Calcular lalongitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC.

Resolución: Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se

conocen los valores de AB y BC se ponen letras.

A M B

25uN C

a a b b

• Delgráfico:2a+2b=25u,simplificando:a+b=12,5u

• Nospiden:MN=a+b ∴MN=12,5u

Ejemplos

2. SetienendosángulosconsecutivosAOByBOC;talque:m AOC=128º.Calcular lamedidadelángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC.

Resolución:

O

P

A

Bxº

Q

αºθºθº

αº

C

• SetrazanlasbisectricesOP y OQ,siendoelánguloPOQelpedidoenelejercicio. • Sumandoángulosconsecutivos: 2θº+ 2αº= m AOC 2θº+ 2αº= 128º θº + αº = 64º • Finalmente:m POQ=xºydelgráfico: xº= αº + θº ∴xº= 64º

Recuerda que...

45

3

CEILTRColegios



10 x 550


1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A";"B"y"C"talque:AB=32uyAC=46u.Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC.

2. Setienenlospuntoscolineales"P";"Q"y"R",talque:PQ=56uyQR=38u.Calcular"MQ",siendo "M" el punto medio de PR.

3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN",siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF respectivamente.

4. PQ y QR son segmentos colineales y consecutivostalque:PQ=84uyQR=62u.Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de PR.

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B","C"y"D"talque:AB=20u;BC=16uyCD=34u.Calcular"MN",siendo"M"y"N"puntos medios de AB y CD respectivamente.

6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB=76ºym BOC=48º.Calcularm BOM, siendo OM bisectriz del AOt C.

7. SetienenlosángulosconsecutivosPOQyQOR,tal que: m POR=140ºym POQ=110º.Calcularm POE, siendo OE bisectriz del QOR.

8. Dados los ángulos consecutivosAOB;BOCyCOD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y m AOD=144º.Calcular:m BOD.

9. DadoslosángulosconsecutivosPOQyQOR,tal que: m POQ=2m QORym POR=126º.Calcular: m QOR.

10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3m NOE y m MOE=128º.Calcular: m NOE.


1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:

• Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente.

• La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ..................................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos.

distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud


• El ángulo de una vuelta mide 360º ...................................................................................... ( ) • Elángulonoconvexoesmayorde90ºymenorque180º ................................................... ( ) • Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º .................................................................. ( )

3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas?

4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas?

5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?

46

Solo con enunciados

CEILTRColegios




6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos"A","B"y"C"talque:AB=86uyBC=58u.Siendo"M"puntomediodeAC, calcular "BM".

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68uyPQ=22u.Calcularladistanciaentre"P"yelpunto medio de QR.

8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y"D"talque:AB=18u,BC=24uyCD=30u.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D"talque:AC=36u,BD=48uyBC=10u.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m AOB=68º ym AOC=138º.Calcular la medida del ángulo formado por OA y la bisectriz del ángulo BOC.

11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QORquemiden100ºy50ºrespectivamente.Calcular el ángulo formado por OQ y la bisectrizdelánguloPOR.

12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Si: m AOB=38ºym COD=76º,calcular:m BOC.

13. Enelejercicioanterior,calcularlamedidadelángulo formado por las bisectrices de AOt B y COt D.


• Alejandritaesaficionadaalacarpinteríayaqueayudaasupapáenlaelaboracióndeunmuebleparasucuarto.ElpapálediceaAlejandritaquecorteconunasierralamaderamostradade2metrosdelongitudentrespartes,talquelamenorpartemida40cmylamayorparteexcedaalaparteintermediaen20cm.

1. Setienenlospuntoscolineales"A","B","C"y"D"talque:AC=42u;BD=78uyCD=3(AB).Calcular "AB".

2. Setienenlospuntoscolineales"P","Q","R"y"S"talque:PR+QS=124u.Calcular:PS+QR.

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB=48º.Calcularlamedidadel ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC

4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB=90º.Calcularlamedidadelánguloformado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.

5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC.

14. ¿CuántoscortesrealizaAlejandrita?

15. ¿Cuánto miden las otras dos partes?

2 metros

47

3

CEILTRColegios



18:10:45

1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si:AC=21u;BD=28uyAD=30u,calcular "BC".

2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si:AC=19u;BD=24uyAD=27u,calcular "BC".

3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R","S"y"T".Si:PQ=QR;RS=ST;PR=12uyRT=20u,calcular"QS".

4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR.

P

18u

22u30u

RQ S

5. Calcular"x",si:AM=MD;AC=5myAD=16m.

A C M D

x

6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos "P","Q","R"y"S"talque"Q"espuntomediodePR.Si:PR=30myRS=10m,hallar"QS".

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P","Q","R"y"S",talque:PR=10m;QS=12myQR=4m.Calcular"MN",siendo"M"y"N"puntos medios de PQ y RS.

8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D".Si:AB=BC;AC=CDyAD=48u,calcular"BC".

9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AC y BD respectivamente.

18u12u 8u

A CB D

10.Calcular"xº".

2xº40º

11.Calcular"xº".

3xº 2xº

12.Calcular"xº".

3xº+5º 4xº-10º

13.Calcular"xº".

2xº-15º 2xº+15º

60º

14.Calcular"xº".

2xº-10º 3xº+10º

15.Calcular"xº".

4xº

AB

Cxº+10º

O

Geometría

CEILTRColegios


Complemento y suplemento de un ángulo



• A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano.• Arelacionargráficamenteyalgebraicamenteelcomplementoysuplementodeun

ángulo.• Aidentificaradosánguloscomplementariosysuplementarios.

Torre de PisaLatorredePisa(Italia)seconstruyóverticalmente,

pero por lo débil de los cimientos de la torre

se produjo una ligera inclinación dejando

la torre en tres pisos. Después de 100 años

aproximadamente se reinició la construcción

de los cuatro pisos restantes con la finalidad de

corregir la inclinación pero la torre se inclinó

más.

Desdeel2001sereabrióelaccesoalpúblico

yaquenoexisteriesgoalguno.

Actualmente se hacen edificaciones con

inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le

da un aspecto de modernidad.

• ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa?

• ¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede?

http

://w

ww

.via

jesm

ag.c

om

CAPITULO 4

Geometría

CEILTRColegios


Conceptos básicos

Saberes previos

• ElángulorectoAOBmide......................O

A

B

• Unarectasegraficaidénticamenteaunángulo 180º

• 5–[12+(8-2)]=...........................................

16–[24–(12–5)]=...........................................

2x–[6x+10x–(6x–3x)]=...........................................

18a–[12a–3(4a–a)]=...........................................

.............................................

Definición de ángulos complementariosSon aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º.

O

A

αº

B

E

H

F

θºαº+θº=90º

Los ángulos AOB y EFH son complementarios.

Definición de ángulos suplementariosSon aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º.

Φº+ωº=180º

P

ωº

R

Q

Φº

N

M

O

LosángulosMONyRPQsonsuplementarios

CAPITULO

CEILTRColegios



Complemento de un ánguloEs el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º

Complementode30º=90º-30ºComplementode30º=60º

C30º=60º

30º

Complementode50º=90º-50ºComplementode50º=40º

C50º=40º

50º

θºCθº

Complemento de "θº":Cθº=90º–θº

Suplemento de un ángulo

Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º.

Suplementode40º=180º-40ºSuplementode40º=140º

S40º=140º

40º


S60º=120º

60º


S100º=80º

100º


S130º=50º

130º

Suplemento de ωº=Sωº=180º-ωº

ωºSωº

Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo

agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos.

Ten en cuenta

CEILTRColegios


4

Unidad II


10 x 550

Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos prácticoscomoporejemplo:

1. Si nos piden: • Calcularelcomplementode40ºyluegoelsuplementodelresultado.

La solución es: C40º=90º-40º=50º

S50º=180º-50º=130º

Respuesta:130º

• En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º.

La solución es: SC40º=180º-(90º-40º)

SC40º=180º-50º

∴ SC40º=130º

2. Si nos piden: • Calcularelcomplementodelresultadodelsuplementode110º.

La solución es: S110º=180º-110º=70º

C70º=90º-70º=20º

Respuesta:20º

• En forma práctica: CS110º=90º-(180º-110º)

CS110º=90º-70º

CS110º=20º

1. Calcular el complemento de 53º.

2. Calcular el suplemento de 81º.

3. Calcular la suma entre el complemento de 10º y el suplemento de 100º.

4. Calcular la suma entre el complemento de 30º y el suplemento de 70º.

5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 70º y el complemento de 50º.

6. Calcular la diferencia entre el suplemento de 50º y el complemento de 50º.

7. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 60º.

8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 80º.

9. Calcular el complemento del suplemento de 125º.

10. Calcular el suplemento del complemento de 75º.

Ten en cuenta

CEILTRColegios






• Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos ................................................. ( ) • Tresángulosquemiden30º;40ºy110ºsonsuplementarios ............................................... ( )

2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado:

• Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ................................. o igual a 180º.

• El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un ángulo llano también es .................................

ángulo - recto - suplemento - complemento consecutivos - cero - igual - tiene - mayor

menor - llano - centro

3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios.

4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios.

5. Completarlosrecuadros,segúnlosgráficos:

θº

...... − ......

...... − ......

αº



7. Calcular el suplemento del complemento de 72º.

8. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 68º.

9. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 57º.

10. Calcular la diferencia entre el complemento de 14º y el suplemento de 158º.

11. Calcular el suplemento del suplemento de 131º.

12. Calcular la medida de un ángulo, si su complemento es 35º.

13. Calcular la medida de un ángulo, si su suplemento es 128º.

14. Si "xº" es la medida de un ángulo y elcomplementode"xº"es39º,calcular"xº".

15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento de "θº" es 63º, calcular "θº".

CEILTRColegios


4

Unidad II


18:10:45


1. Sielcomplementode"xº"esigualaldoblede"xº",calcular"xº".

2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº".

3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º.

4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo.


2. Calcular el suplemento de 83º.


4. Calcular el suplemento de 100º más el complemento de 50º.

5. Calcular el suplemento de 80º menos el complemento de 60º.

6. Calcular el complemento de 70º más el suplemento de 130º.



9. Calcular el complemento del complemento de 39º.

10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º.

11. Calcular el complemento del complemento de 83º.

12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º. 13. Calcular la suma del complemento y el

suplemento de 25º. 14. Calcular la diferencia entre el suplemento y el

complemento de 65º.

15. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 45º

Geometría

CEILTRColegios


Ordenamiento lineal y circular



10 x 550

repaso bimestral

1. Si:BC=3(AB)yAC=72u,calcular"AB".

A B C

2. Si:PQ=5(QR)yPR=54u,calcular"QR".

P Q R

3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD.

A C DB

4. Calcular "αº"

42ºαº2αº

5. Calcular "xº".

5xº-26º 2xº+19º

6. Calcular "2θº"

74º3θº

θº

7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º ym BOC=60º,calcular:m MON. (OM y ONson bisectrices de los ángulos AOB y COD.)

O

D

CB

A

8. Calcular el suplemento del complemento de 70º más el complemento de 60º.

9. Calcular el complemento del suplemento de 160º más el suplemento de 95º.

10. Calcular el complemento del suplemento de 115º menos el complemento de 85º.



• El complemento de 100º es -10º .......................................................................................... ( ) • El suplemento de 200º es -20º .............................................................................................. ( ) • El suplemento de 300º es 60º ............................................................................................... ( ) • Losángulosquemiden20º;30ºy40ºsonconsecutivos ...................................................... ( )

5

Geometría

CEILTRColegios



6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C" talque:BC=AB+12uyAC=32u.Calcular"AB".

7. Setienenlospuntoscolineales"P","Q","R"y"S"talque:PQ=6u;QR=14uyRS=36u.Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS.

8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que: m BOC=2m AOB. Calcular: m AOB.

9. Se tienen los ángulos consecutivos y complementarios AOB y BOC tal que: m AOB=4m BOC. Calcular: m BOC.

10. Calcular la diferencia entre el suplemento del complemento de 65º y el complemento de 55º.

11. Calcular la diferencia entre el complemento del suplemento de 98º y el complemento de 86º.

12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º, calcular el complemento de dicho ángulo.

13.Calcularelmáximonúmerodesegmentosquese determinan en una recta al ubicar 21 puntos.

2. Completar las siguientes relaciones gráficas:

x

yA B C

BC=......− ...... m MOE=.......− .......

αº

θº

N

E

M

m AOB=........− ........

2ωº A

C

B

3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos.

4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º.

5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º.

O

O

Aplicación cotidiana• EnunencuentrodefútboleldelanteroWaldylanzaunbalóndelargadistanciaalarqueroRonaldo;

pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo que forman estas trayectorias mide 105º.

http

://w

ww

.futb

olre

d.co

m

14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados.

15. Calcular el complemento del menor de los ángulos anteriores.

CEILTRColegios


Repaso bimestral



18:10:45

1. En ACseubicaelpunto"B",talque:AB-BC=10u.Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC. (AB>BC)

2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "G","M","A"y"B".Calcular"GB",si:GA=20uyGB+AB=50u.

3. Calcular"xº",si:βº=20º.

xº

2βºβº

4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular lam BOC.

OA D

C

B

5. Si el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento de un ángulo es 80º, calcular la medida de dicho ángulo.

1. Calcular"x",si:AB=52.

EA F B

x 12 3x

2. Si:PM=33;MN=45yPQ=98,calcular"NQ".

MP N Q

3. Calcular"x".

EA F D

17 x

78

49

4. Si: AB= 14; BC= 16 y CD= 26, calcular"MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y CD.

M B CA N D

5. Si: m AOC=148ºym BOC=82º,calcularel complemento del ángulo AOB.

B

CO

A

6. Si: m AOB=42º,m BOC=104ºyOM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.

MB

CO

A

7. Calcular"xº".

xº3xº2xº4xº

CEILTRColegios


5

Unidad II

8. Calcular el complemento de "αº".

CB

DA

O

2αº 100º αº

139º

9. Calcular el complemento de 16º más el suple-mento de 128º.

10. Si:AQ=48cm;NP=72cmyAP=96cm,

calcular "NQ".

N Q PA

11.Calcular"MN",si:AB=18;BC=40y"M"y"N"son puntos medios de AB y AC.

M B NA C

12.Calcular"BE",si:AC=18.

B CA

x 2x 4x

E

13. Si: m AOB=46º;m BOC=72ºyOM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.

BM

CO

A

14. Calcular el suplemento de "αº".

48º

2αº

αº

15. Si: m AOB=44º;OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON.

C

N

O

BMA

Central: 619-8100

geometría

59www.trilce.edu.pe


UNIDAD 1





UNIDAD 1






Central: 619-8100

geometría

59www.trilce.edu.pe

1ángulos determinados entre

dos rectas paralelas y una secante

En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficardosrectasparalelas.• Areconocerlosángulosalternosinternosentredosrectasparalelas.• Aplantearlaspropiedadescorrespondientesalosángulosalternosinternos.• Areconocerlosánguloscorrespondientesdeterminadosentredosrectasparalelas.• Aplantearlaspropiedadesrelacionadasalosánguloscorrespondientes.• Adesarrollardiversosproblemas.

El PartenónEl diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella de más de 18 metros de anchura, dividida en tres naves mediante una doble columnata conformada por dos órdenes superpuestos de estilo dórico. La nave central medía diez metros de anchura. Dentro de la cella del lado este, la columnata se dispuso en forma de "U"yestabacompuestapornuevecolumnas con un entrepaño entre cada una de ellas, en los lados largos de la "U". Tres columnascon dos entrepaños formaban el lado corto.En la zona oeste, al fondo del interior de la columnata de cuatro columnas,existíaelbasamentodela estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce.La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el Partenón.LadecoraciónescultóricadelPartenónesunacombinaciónúnicadelasmetopas(esculpidasenaltorrelieveextendiéndoseporloscuatroladosexternosdeltemplo),lostímpanos(rellenandolosespaciostriangularesde cada frontón) y un friso (esculpido enbajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). Enellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban pintadasdecoloresvivos.ElPartenónes,sinduda,elmáximoexponentedelordendórico,comosepuedeapreciar en el diseño del friso o sus columnas. • Desdelaantigüedadyaseconocíaelconceptodeparalelismo,¿lascolumnasdelPartenónson

paralelas?

http://oyukimacias.files.w

ordpress.com/2010/06/partenon.jpg

CAPITULO

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe60

Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante

Conceptos básicos

Saberes previos

• Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos suplementarios

αº θº

αº+θº=180º

αºαº

L1 L2

• En la bisectriz:

θºθº

A

O B

bisectriz delBAOB

• En un triángulo:

αº

θº

βº

αº+θº+βº=180º

También:

Rectas paralelasDosrectassonparalelassiestánenunmismoplanoyno tienenpuntosencomún,esdecirno tienenpuntos de corte.

Se lee: "La recta L1 es paralela a la recta L2".

L1

L2

Gráfico:

Notación:

!

!L1 //

!

!L2

αº

βºL2

L3

L1

•

!

!L1 //

!

!L2.

•

!

!L3 es la recta secante a

!

!L1 y

!

!L2

• "αº" y "βº" son las medidas de los ángulos alternos internos.

αº=βº

Entonces:

fº

θºL2

L3

L1

θº=fº

Entonces:•

!

!L1 //

!

!L2

Ángulos alternos internosSon los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta secante.

Central: 619-8100 61Unidad III

1


10 x 550

Ángulos correspondientesSon los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada recta paralela.

αº=βº

Entonces:L1

L2

L3αº

βº

•

!

!L1 //

!

!L2

•

!

!L3 es la recta secante a

!

!L1 y

!

!L2

• "αº" y "βº" son las medidas de los ángulos correspondientes.

También:θº

fº•

!

!L1 //

!

!L2 θº=fº

Entonces:

L1

L2

L3

1. Calcular "αº", si:

!

!L1 //

!

!L2

L1

L2

72º

αº+10º

2. Calcular "θº", si:

!

!L1 //

!

!L2

62º

θº+5º

L1

L2

3. Si:

!

!L1 //

!

!L2, calcular "θº"

L1

L2

θº+20º

142º

4. Si:

!

!L1 //

!


L1

L2

135º

θº+40º

5. Si:

!

!L1 //

!

!L2, calcular "αº"

L1

L2

48º

2αº+10º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

140º

7θº

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe62



Comunicación matemática1. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)lassiguientesproposiciones.

• Lasrectasparalelassonaquellasquealserprolongadasnotienenningúnpunto encomún ............................................................................................... ( ) • Enelgráfico:(L1 // L2)

L1

L2

αº

θº

Se muestran dos ángulos alternos internos. ................................................................ ( )

• Dosrectasparalelas

!

!L1 y

!

!L2 se denotan como:

!

!L1 //

!

!L2 .............................................. ( )

2. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:

αº=..........

L1

L2

αº

θº

• Si:

!

!L1 //

!

!L2

• Si:

!

!L1 //

!

!L2

L1 L2

aºbº

aº=..........

7. Si:

!

!L1 //

!

!L2, calcular "αº"

L1L2

3αº54º

8. Si:

!

!a //

!

!b, calcular "αº"

ab

94º

4αº+10º


!

!L1 //

!

!L2

L1L2

5θº145º

10.Calcular"xº",si:

!

!L1 //

!

!L2

L1

L2

154º

xº+35º


13. Grafica haciendo uso de la regla:

• Dosrectashorizontalesparalelas

!

!L1 y

!

!L2 y una recta secante a ellas oblicua

!

!L3.

4. Relacionamedianteflechas,si:

!

!L1 //

!

!L2

L1

L2

αº

θº

L1

L2

βº

ωº

•Ánguloscorrespondientes

•Ángulosalternosinternos

5. De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación.

• Si:

!

!L1 //

!

!L2

L1

L2

θº

αº

Ecuación: αº+..........=...........


6. Si:

!

!L1 //

!


L2

L1

145º

5θº+10º


!

!L1 //

!

!L2.

L13θº+10º

L2

76º

8. Si:

!

!L1 //

!

!L2,calcular"xº"

L1 L2

xº+5º78º

9. Calcular"xº",si:

!

!L1 //

!

!L2

L1

L2

138º

xº+35º

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe64




El solLos rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura. El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "αº";"βº" y "θº"

14. Si un alumno observa que: αº=46º,calcular"βº".

15. Con las condiciones anteriores, calcular "θº".

1. Si:

!

!L1 //

!

!L2, calcular "θº".

L1

L2

2θº

58º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

xº50º

65º

3. Si:

!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3,calcular"xº"

L1

L2

L3

70º

45º xº

4. Si:

!

!L1 //

!

!L2,calcular"xº".

L1

L2

72º

xº

60º


!

!L1 //

!

!L2.

124º

2xº+10ºL2

L1


!

!m //

!

!n

m

n3αº

70º–2αº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

4xº

132º


!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

135º 3θº

αº βº θº

haz "1" haz "2"


1


18:10:45


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

75º

xº


!

!L1 //

!

!L2.

120º

3xºL2

L1


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

3θº

72º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

45º

3θº


!

!a //

!

!b .

150º

3xº

a

b


!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

66º6θº


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

5αº+30º

145º

8. Calcular "βº", si:

!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

65º 5βº+20º

5. Si:

!

!L1 //

!

!L2 , calcular "θº".

L1

L2

120º

40º θº

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe66



!

!L1 //

!

!L2.

L1L2

3θº+27º

162º


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L13αº+mº

171º+mº


!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

nº+5βº

70º+nº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

146º

xº

13. Calcular "yº", si:

!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

108º

4yº


!

!m //

!

!n .

3xº–1º

n

m

71º

15. Si:

!

!a //

!

!b , calcular "θº".

2θº–1º

139ºa

b

...................................................... ( )

Central: 619-8100

geometría

67www.trilce.edu.pe

geometría

67

operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas

En este capítulo aprenderemos:• Aaplicarlaspropiedadesdadasaángulosalternosinternos.• Aaplicarlaspropiedadesdadasaánguloscorrespondientes.• Adesarrollardiversosproblemassobreángulosdeterminadosporrectasparalelas.

• Enlasvallasmostradas,¿observarásobjetosparalelos?

Postes paralelosLa valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra intrusos. Suelen ser de madera o metálicas.Las vallas se colocan alrededor deunterrenoojardínytienenlafunción de impedir la entrada al mismo o de proteger la intimidad de sus habitantes. Las vallas se instalan en granjas, terrenosagrícolas o en otros espacios privados como, por ejemplo,los jardines de las viviendasunifamiliares.Unavallaclásicaestáformadaporuna serie de tablones o estacas de madera colocados en vertical y terminados en punta o de forma redondeada. Los tablones se clavan al terreno y se unen por medio de otras tablas horizontales que se clavan a las anteriores. Existen también vallas metálicasque consisten en una malla de alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida.

CAPITULO

2

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe68

Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas


10 x 550

Saberes previos

• Ángulosopuestosporelvértice

αº αº

• Ángulosalternosinternos

Si:

!

!a //

!

!b .

θº

θº

a

b

• Ángulosconsecutivosysuplementarios

βºαº

αº+βº=180º

• Ánguloscorrespondientes

Si:

!

!m //

!

!n .

θº

θº

m

n

1. Si:

!

!L1 //

!


144º

3θº

L1

L2

2. Si:

!

!L1 //

!

!L2,calcular"xº".

L1

L2

126º

9xº


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

xº+40º

35º

4. Si:

!

!a //

!

!b , calcular "θº".

4θºa

b20º


2



!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

5αº 60º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

xº

40º

65ºL1

L3

L2


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

xº

42º

L1

L3

L2

48º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1 L3L2

xº

62º 58º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1L3L2

xº35º125º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

θº

L1

L3

L2

135º

52º



αº+......=.......

L1

L2

βº

αº

• Si:

!

!L1 //

!

!L2.

• Si:

!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

xº=.....+.....xº

βº

L1

L3

L2

αº

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe70




!

!a //

!

!b .

3θº

126º

a

b


!

!L1 //

!

!L2.

3θº+70º

5θº+40ºL1

L2

2. Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "αº";"βº" y "θº" (

!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3)

Ecuación: ......=.........+.........

L1 L3L2

θº

αº βº

3. Graficar haciendo uso de la regla:

• Tresrectasparalelasverticales

!

!a ;

!

!b y

!

!c .

4. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.

a

bαº

θº

• Enelgráfico,donde:

!

!a //

!

!b

Tenemos que: αº=θº ................. ( )

θº

yº

xº a

b

c

• Enelgráfico,donde:

!

!a //

!

!b //

!

!c

Tenemos que: θº=xº–yº...............()

5. Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado. • Unirmediantesegmentoslospuntos"A";"B"y"C".

L1

L3

L2A

B

C


2

Aplicación cotidianaLa reja de la ventanaPor seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de sucasacomolomuestralafigura.Sitodaslasrejashorizontalessonparalelasentresíylasrejasoblicuastambiénsonparalelasentresí.

Calcular:

14. ¿Cuál es la relación que cumple "αº" y "βº" de acuerdo a las condiciones dadas?

15. ¿Qué relación cumple "αº" y "θº" de acuerdo a las condiciones brindadas?

αº θº

βº


!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

6θº2θº–20º


!

!a //

!

!b //

!

!c .

xº

53º

28ºa

b

c


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1 L3L2

120ºxº 62º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1

L3

L2

xº

51º

38º


!

!a //

!

!b //

!

!c .

xº

a

c

b

134º

128º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1

L3

L2

xº

138º

62º

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe72



18:10:45


1. Si:

!

!a //

!

!b ,calcular"xº".

2θº 50º

xº θº

a

b


!

!L1 //

!

!L2.

150º

120º

xº

L1

L2


!

!L1 //

!

!L2.

70º

L1

L2

125º

xº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

xº

23º

58º


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

βºβº

αºαºxº


!

!L1 //

!

!L2.

2xº

50º

L1

L2


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

50º

xº


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L162º

xº


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

126º

xº



!

!a //

!

!b .

129º

a b

3αº


!

!a //

!

!b //

!

!c .

xº

a

c

b

43º

22º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1L3L2

θº72º

141º

8. Calcular"xº",si:!

!L1 //

!!L2 //

!!L3.

L1

L3

L2

xº

120º

135º

9. Si:

!

!L1 //

!

!L2 //

!


θº L1

L3

L2

64º

10. En la figura, calcular "θº", si:

!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1 2θº

34º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L2

L3

L1

82º

αº

132º


!

!a //

!

!b //

!

!c .

a

c

b

25º

αº

93º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

100º

αº

40º

L2

L3

L1


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1

L3

L2

θº

62º

15.Calcular"xº+yº",si:

!

!a //

!

!b //

!

!c

a

c

b

yº

xº130º

34º

Geometría

CEILTRColegios


3

Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas

En este capítulo aprenderemos:• Areconocerlosángulosalternosinternosdadosentredosrectasparalelas.• Aaplicarlaspropiedadesdadasalosángulosalternosinternos.• Areconocerlosánguloscorrespondientesentredosrectasparalelas.• Aaplicarlaspropiedadesdadasenlosánguloscorrespondientes.• Aconocernuevaspropiedadesydesarrollardiversosproblemas.

• ¿Elconceptodeparalelismoseusabaparalaconstruccióndetemplos?

Los cuatro postesEl templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas (stylos),existenteenlacasaMicénicayqueeralahabitaciónmásimportantedelacasagriegaysantuariode los dioses familiares, tal como lo describe Vitrubio. En las invasiones y guerras, los ganadores derruían el palacio del rey vencido, pero respetaban el Megaron puesto que era la casa del dios de la región. Así, el templo más antiguo era el In-antis, quetiene todo el aspecto de ser una habitación que ha perdido la casa que tenía alrededor.Son construcciones arquitrabadas que se alzan sobre una plataforma con gradas (krepis o krepidoma), llamándose estilóbato al últimoescalón. La planta definitiva del templo griego constaba de un local llamado cella, un espacio interior, de forma rectangular, que constituye el núcleo de laconstrucción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una divinidad distinta.

3

CAPITULO

Geometría

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 75Unidad III

Conceptos básicos

Saberes previos

L1

L2

d d

L1 // L2

• Rectasparalelas

θº

θº


βºαº

αº +βº =90º

• Ánguloscomplementarios

• Ángulosconsecutivosysuplementarios

αº βº

αº +βº =180º

• Si:

!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3,calcular"xº"entérminosde"aº"y"bº".

L1

L3

L2

aº

bº

xº

Resolución:

L1

L3

L2

aº

aº

bº

bº

xº

xº=aº+bº

• Trasladamoslosángulosalternosinternos(ángulos de igual medida) "aº" y "bº"

• Poradicióndeángulos:

Recuerda que...

CEILTRColegios




10 x 550

• En general:

xº

L1

L2bº

aº Si:

!

!L1 //

!

!L2

Entonces: xº=aº+bº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

5θº+10º

4θº+60º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

4θº+5º

65º


!

!a //

!

!b .

a

b

58º

2xº

4. En la figura , calcular "θº", si:

!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

9θº

72º


!

!a //

!

!b //

!

!m.

xº

30º

45º

a

m

b


!

!m //

!

!n .

m

n

63º

7αº

Recuerda que...

CEILTRColegios


3



!

!a //

!

!b .

5θº+20º

75º

a

b


!

!L1 //

!

!L2.

xº

L1

L2

38º

45º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

46º

αº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

148º

xº


1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico.

αº +.....=......

βº

αº+θºa

b

• Si:

!

!a //

!

!b . • Si:

!

!m //

!

!n .

zº

xº+yº m

n

zº =.....+......

2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda,enlossiguientesenunciados.

• Enelgráfico:

L1

L2

αº

βº

xº

Tenemosque:xº=αº+βº, si:

!

!L1 //

!

!L2 ............................................................................ ( )

• Enlosángulosopuestosporelvértice,lasmedidasdelosángulossondiferentes ......... ( )

CEILTRColegios





!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

5αº

65º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

3xº+20º

xº+80º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

80º

5θº+15º


!

!a //

!

!b .

5xº

xº

a

b

3. Completaelgráfico,segúnelenunciado:

• Unemediantesegmentosderectalospuntos"A"con"B"y"A"con"C".

A

B C

4. Relacionaconflechas,si:

!

!a //

!

!b .

a

bαº

αº•Ánguloscorrespondientes

•Ángulosalternosinternos

θºθº

a b

5. Plantealaecuacióndeacuerdoalgráfico,entérminosde"xº";"yº"y"zº"

Si:

!

!a //

!

!b

a

b

xº+zº

yº Ecuación: .........................=.........

CEILTRColegios


3



!

!m //

!

!n //

!

!r .

xº

70º

65º

m

n

r


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

4xº+5º

65º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

xº

62º

65º


!

!a //

!

!b .

100º

48º

xº

a

b


El vaso de agua

Unvasocontieneaguahastaciertamedida.Unalumno lo inclina 40º como muestra la figura y se originan los ángulos "αº" y "βº".

14. Calcular la medida del ángulo "αº".

15. Calcular la medida del ángulo "βº".

40º βº

αº

1. Si:

!

!a //

!

!b ,calcular"xº".

xº

a

b

130º+mº

150º–mº


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1

L3

L2

2θº

xº

8θº

CEILTRColegios




18:10:45


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1 48º

6θº


!

!a //

!

!b .

55º

5αº

a

b


!

!a //

!

!b .

2θº

58º

a

b


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

5αº

60º


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L12αº

80º


!

!L1 //

!

!L2.

L2L1

5xº+20º

60º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2θº θº

βº60º

25º

4. Calcular"mº–nº",si:

!

!a //

!

!b

120º

nº

mºa

b

5. Calcular "xº+yº", si: αº+βº=50º y además:!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

yºαºαº

xºβºβº

CEILTRColegios



!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

140º

7xº


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1 3xº

75º


!

!L1 //

!

!L2.

L2L1

3xº–10º

50º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

75º

7θº+5º


!

!a //

!

!b .

a

b65º

40º

xº


!

!L1 //

!

!L2.

60º

L1

L2

33º

αº


!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

αº

114º150º


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

75º

80º

xº

15. Calcular "αº+θº", si:

!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

130º

40º 60º

2αº

αº

θº

Geometría

CEILTRColegios


4

Saberes previos

recordando lo aprendidoEn este capítulo aprenderemos:

• Areconocerlaspropiedadesaprendidasanteriormente.• Adiferenciarlostiposdeproblemaspararesolverlosdemaneraadecuada.• A aplicar las propiedades ya sea en los ángulos correspondientes o en

alternos internos, etc.

Carpintería metálica

Carpintería metálica se denomina al taller, al oficio y al producto elaborado del carpintero que emplea metales para la fabricación de muebles, puertas, ventanas, accesorios, etc.Se conoce como empresas de carpintería metálica a las que utilizan profesionales que se dedican a la fabricación y comercialización de productos metálicos, como acero y aluminio, para los mercados de la construcción, industria y decoración, así como la gama de productos orientada al cerramiento integral de la vivienda: puertas, ventanas, persianas laminadas, extrusionadas,deseguridad,cajonesderegistrolaminados,extrusionados,yderoturadepuentetérmico, contraventanas de lamas orientables, mosquiteras,accesoriosdeaccionamiento,rejasdehierroyforjadoartístico,etc.

• En el gráfico, ¿puedes observar líneasparalelas?

θº θº


αºβº

αº +βº =180º

• Ángulosconsecutivossuplementarios

αº

βº

αº+βº=90º

• Ángulosconsecutivoscomplementarios

CAPITULO 4

Geometría

CEILTRColegios



10 x 550


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L260º

2xº+10º


!

!a //

!

!b .

8θº

152º

a

b


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

7xº

63º


!

!m //

!

!n .

m

n

14xº

70º


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

αº

157º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

61º

βº


!

!a //

!

!b .

θº

152º

a b


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L2

L3

L1

xº

42º

53º


!

!a //

!

!b //

!

!c .

xº

50º

60º

a

b

c


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

xº

34º

125º

CEILTRColegios






L2

L1

xº

yº

xº+......=........

• Si:

!

!L1 //

!

!L2

xº=......+.....

a

bxº

yº+zº

• Si:

!

!a //

!

!b

2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F),segúncorrespondaenlossiguientesenunciados.

• Enlosánguloscorrespondientes,susmedidassondediferentemedida .........................( ) • Enlosángulosalternosinternos,susmedidassuman180º ............................................( )

3. Compararlacolumna"A"conlacolumna"B",usandolossignos">";"<"ó"=".

Columna A Signo Columna B

θºαº

"αº+θº"

Si: !

!a //

!

!b .

θº

ωº

a

b

"θº+ωº"

4. Nombra cada figura:

m

n

θº

θº

5. Indicarquerectassonparalelasentresí:

L2

L3

L4

L145º

45º

• ...............................................................

• ...............................................................

CEILTRColegios


4Resolución de problemas


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L23xº–1º

71º


!

!L1 //

!

!L2.

L2L1

78º

4βº–2º


!

!a //

!

!b .

56º

5xº–4º

a

b

9. Calcular"xº",si:!

!m //

!!n .

m

n

3xº

15º–2xº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

132º

2θº

11. Si:

!

!m //

!

!n , calcular "αº".

m

n2αº

58º


!

!a //

!

!b .

4βº5βº

a b

13. Calcular "θº", si: !

!L1 //

!!L2.

L1L2

168º152ºθº


El posteUn alumno está ubicado en la posición indicada. Al serencendido el poste emite un haz de luz como se indica en la figura, originando los ángulos "αº" y "βº". Dato: PQ // BC.

14. Si: m BABC=62º,calcularlamedidadelángulo"βº".

15. ¿Cuál será la medida de "αº"?

βº

P

Q C

B

Haz de luz

αº

A

CEILTRColegios




18:10:45


1. Si:

!

!L1 //

!

!L2 y

!

!L3 //

!


L1

L2L4L3

4θº6θº


!

!a //

!

!b //

!

!c .

72º

xºθº2θº

a

b

c


!

!L1 //

!

!L2.

L1 L2

60º

xº

4θºθº


!

!a //

!

!b .

a

b

θº

2θº

2αºxº

αº

5. Si:

!

!L1 //

!

!L2,calcular"xº".

L1 L2

xº

126ºθº αº

2θº 2αº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

5αº

65º


!

!a //

!

!b .

a

b

24º

12θº


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

16xº

80º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

139º

θº

CEILTRColegios



!

!a //

!

!b .

a

bθº

137º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L2

L3

L1

xº

60º

135º


!

!a //

!

!b //

!

!c .

b

c

a

xº

50º

80º


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1

2θº–110º

θº


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1αº

32º

85º


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

60º

4θº

11. Calcular "θº+αº", si:

!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1

L2

L3 θº

αº

55º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L3

L2

L1142º

125º

αº

13.Calcular"xº",si:αº+βº=85ºy!

!L1 //

!!L2.

L1

L2

βº

αº

xº


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

60º

xº θº2θº

L2

L3

L1


!

!L1 //

!

!L2.

L2

L1θºθº

αºαº

35º xº

Geometría

CEILTRColegios


5triángulos

En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficaruntriángulo.• Aconocerlaclasificacióndelostriángulos.• Areconocerloselementosdeuntriángulo.• Aidentificaryaplicarlaspropiedadesfundamentaleseneltriángulo.• Areconocerladiferenciaentreángulosinternosyexternosdeltriángulo.

• Losvelerossonembarcacionesparausorecreativoydeportivo,ensuestructura.¿Puedes observaralgúntriángulo?

El veleroLos egipcios fueron los primeros constructores de barcos de vela de los que se tiene noticia. Hace al menos cinco mil años que los fabricaban para navegar por el Nilo y más tarde por el Mediterráneo.Las embarcaciones de vela fueron los primeros medios de transporte a través de largas distancias de agua (ríos, lagos, mares). Actualmente tienen un uso de carácter recreativo, deportivo o educativo. Sin embargo, en algunas zonas del Océano Índico siguen utilizándose con un sentido comercial.Las embarcaciones de vela también tuvieron un uso militar, especialmente en naciones con un fuerte desarrollo colonial transoceánico (Inglaterra, España,Holanda, Francia), hasta el siglo XIX.Hay muchos tipos, pero todas tienen ciertas cosas básicas en común.Todaslasembarcacionesdevelatienenuncascoprotegidoporlaquilla,aparejo,almenosunmástil para soportar las velas y una orza para no derivar y compensar la fuerza lateral del viento.

CAPITULO

5

Geometría

CEILTRColegios


Conceptos básicos

Saberes previos

L1

L2

θº θº

• Ángulosopuestosporelvértice.

• Ángulosalternosinternos(

!

!a //

!

!b ) • Ánguloscorrespondientes(

!

!m //

!

!n )

• Ángulosconsecutivosysuplementarios.

αº θº

αº+θº=180º

θº

θº

a

b αº

αº m

n

DefiniciónUn triánguloesaquella figurageométrica formadapor launiónde trespuntosnocolinealesmediantesegmentos de recta.

Clasificación El triángulo se clasifica de acuerdo a las longitudes de los lados y a la medida de sus ángulos interiores.

De acuerdo a sus lados

Triángulo escaleno

Tiene lados de diferentesmedidas

Triángulo isósceles

Tiene dos lados de igual medida

θº θºbase

Triángulo equilátero

Presenta sus tres lados de igual medida.

60º

60º 60º

βº

αº θºA

B

C

Elementos:

• Vértices:A;B;C

• Lados:AB;BC;AC.

• Medidadeángulosinternos:αº;βº;θº.

Notación: triángulo ABC ( ABC)

CEILTRColegios


Triángulos

De acuerdo a sus ángulos

βº

αº θº

Triángulo acutángulo

Todos sus ángulos internos son agudos

θº

Triángulo obtusángulo

Unángulointernoesobtuso

θº

αº

Triángulo rectángulo

Unángulointernoesrecto

βº

αº θº

αº+βº+θº=180º

Ángulos determinados

Propiedades fundamentales Suma de ángulos internos: La suma de medidas de los ángulos internos en todo triángulo es 180º.

Medida del ángulo exterior: Entodotriángulo,lamedidadeunánguloexterioresigualalasumadelas medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

zº

yº

xºαº

βº

θº

Medida de los ángulos:

• Internos:αº;βº;θº

• Externos:xº;yº;zº

xº=βº+θº

βº

θºxº

zº=αº+βº

βº

αº

zº

También:

CEILTRColegios


5Conceptos básicosAplica lo comprendido

10 x 550

1. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloPQR.

85º

76º xºP

Q

R

2. Calcular "θº".

62º

20º

θº

3. Calcular "fº" y clasifica el triángulo ABC.

fº 33ºA

B

C

4. Calcular "βº"

24º 32º

βº

5. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloABC.

xº

124º

A

B

C

6. Calcular "βº".

32º 48º

2βº

7. Calcular "θº"yclasificaeltriánguloPQR.

θº 48º

102º

P

Q

R


3xº xº

80º

A

B

C

9. Calcular "fº",si:AB=BC.

34º

fº

A

B

C

10.Calcular"xº"

5xº

14xº

CEILTRColegios


Triángulos



1. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorrespondaenlossiguientesenunciados.

• Eltriánguloeslafigurageométricaqueresultadelaunióndetrespuntosconsecutivos ....( ) • Enunvértice,unángulointerioryunánguloexteriorsuman180º ...................................( )

2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico:

xº

αº βº

xº=....+....

θº αº

αº=........

αº θº

βº

αº+....+....=.......

3. Relacionamedianteflechas.

Triánguloequilátero

80º

60º 40º

••

Triánguloacutángulo••

Triánguloisósceles

60º

60º 60º••


• EltriángulorectánguloPQRtalque:mBQ=90º.

• EltriánguloisóscelesABC,debaseAC,donde:AB=BC.

5. Completa el gráfico:

• Haciendousodelaregla,unemediantesegmentosderectalospuntosnoconsecutivos"P";"Q"y"S".

¿Qué figura resulta?

....................................

Q

P S

CEILTRColegios



6. Calcular "θº" y clasifica el triángulo ABC.

2θº 45º

3θº

A

B

C

7. Calcular"xº"

xº

4xº

130º

8. Calcular"xº",si:AB=AC

24ºxº

A

B

C

9. Calcular "θº"yclasificaeltriánguloEDU.

θº20º

18º

E D

U

10.Calcular"xº"

40º

20º

xº15º

11.Calcular"xº"

32º

118º xº

85º

12. Calcular "θº" y clasifica el triángulo

θº θº

2θº

13.Calcular"xº"30

º

50º 60º

xº


El globo aerostático

Ungloboaerostáticoseencuentrasuspendidocomosemuestraenelgráfico y es sostenido por tres cables: AP;PB y PC.

14. Si la mBBPC=20º,calcular:mBAPB.

15. El triángulo formado por los cables AP;PB y el suelo AB, ¿qué clase de triángulo es?

P

CEILTRColegios


Triángulos


18:10:45

1. De la figura, calcular "αº+βº"

βº

3βº

2αº

3αº40º

2. Calcular"xº".

2xº

5xº

6xº

3. Calcular"xº".

2xº

125º

xº

100º


!

!L // AC.

70º130º

xº

A

B

C

L


!

!L1 //

!

!L2

θº θº θº

30ºxº

L1

L2

120º

1. Calcular "θº" y clasifica el triángulo ABC.

132º

40ºθºA

B

C

2. Calcular "αº".

60º

50º

αº

3. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloPQR

82º

73º xºP

Q

R

4. Calcular "θº" y clasifica el triángulo

θº


CEILTRColegios


55. Calcular "θº".

62º50º

54ºθº

6. Calcular"xº"yclasificaeltriángulo.

54º

4xº 2xº

7. Calcular"xº"

135º

3xº

2xº


xº

40ºA

B

C

9. Calcular "θº".

38º

41º

50º θº

10. Calcular "αº".

4αº αº

46º 44º

11.Calcular"xº".

30º

125º

82º

xº

12.Calcular"xº"yclasificaeltriánguloPQR.

xº2xº

3xº

P

Q

R

13.Calcular"xº",si:AB=BC.

30º40º

xº

A

B

CP

Q

14.Calcular"xº"yclasificaeltriánguloABC.

xº

A

B

CM

15.Calcular"xº".

54º

xº

Central: 619-8100

geometría

97www.trilce.edu.pe


UNIDAD 1

Existentressistemasdemediciónangularyelsistemaqueusaremoseselsexagesimal.Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.

¿Cómo se mide un ángulo?

toDo sobre áNgUlos

UNIDAD 2

• Usodeltransportadorycompásparalamedidaangularytrazodelabisectriz.

• Resolverejerciciossinusareltransportador.

• Relacionar ángulosde acuerdo a sumedida, tomandocomo referencia al ángulo recto y alángulo llano.

• Resolucióndeproblemasgráficosconvariablesyecuacionessobreángulosconsecutivos.

• Interpretarenunciadosparalaelaboracióndegráficossobresegmentosyángulos.

• Elaborarpropiedadesapartirdeejerciciosnuméricos.

Central: 619-8100

geometría

97www.trilce.edu.pe

1líneas notables en el triángulo I

En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficarlabisectrizeneltriángulo.• Adefinirygraficarlamedianaeneltriángulo• Areconocerladiferenciaentrelabisectrizylamedianaeneltriángulo.• Adesarrollardiversosproblemas.

• Hayconstruccionesquepresentanestructurastriangulares,unejemploeslacabañamostradaenel gráfico.

En uso moderno, una cabaña es una vivienda, típicamente en un área rural, o semi-rural fabricada con materiales humildes (aunque hay viviendas de estilo de cabaña en las ciudades).OriginalmenteenlaEdadMedia,lascabañasalbergaronatrabajadoresagrícolasyasusfamilias.Así,lascabañas eran unidades campesinas más pequeñas. En un período temprano, una referencia documental a una cabaña significaría habitualmente no una vivienda independiente pequeña como hoy, sino una viviendayunagranjacompletas (noobstante,pequeñas).Asíen laEdadMedia, lapalabracabaña (lat cotagium) parece haber significado no solo una vivienda, sino al menos una vivienda (domus) y un granero (grangia), así como, generalmente, un terreno vallado de tierra cerrado por una puerta (portum). Algunos ejemplosdeestosepuedenencontrarenlosrollosdelosjuzgadosdelsigloXV.Laviviendadetipocabañaacuñó el nombre latino: domum dicti cotagii, mientras que el granero de la cabaña fue llamado grangia dicti cotagii.

Casa triangular CAPITULO

CEILTRColegios


Líneas notables en el triángulo I

Saberes previos

Conceptos básicos

θºαº

αº+θº=180º


αº

βº

θº

• Labisectriz: • Ángulossuplementarios:

• Eneltriángulo: • Puntomediodelsegmento:

a a

A P B

"P": Punto medio del segmento AB

A

O B

Bisectriz delángulo AOBθº

θº

MedianaEselsegmentoderectaquetieneporextremosaunvérticeyalpuntomediodelladoopuestodedichovértice.

Bisectriz Bisectriz interior: Es el segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales.

A

B

CP

θº θºBP: Bisectriz del triángulo

ABC relativa a AC.

P

Q

N

Rαº

αº

PN: Bisectriz del triángulo PQRrelativaaQR.

A

B

CM

BM: Mediana del triángulo ABC relativa a AC.

P

Q

N

R

PN: Mediana del triángulo PQRrelativaaQR.

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 99Unidad IV

1


10 x 550

Bisectriz exterior:Eselsegmentoquedivideaunánguloexternoenmedidasiguales.

BE: Bisectriz exterior del triánguloABC relativa a AC.

αº

αº

A

B

C E RS:Bisectrizexteriordeltriángulo PQRrelativaaPQ.

P

Q

R

S

βºβº

1. Si BNesmedianayNC=13cm,calcular"x".

A

B

CN2x–1

2. Si PEesmedianayQE=12cm,calcular"x".

P

Q

R

E2x–4

3. Si CMesmedianayAB=18cm,calcular"y".

A

B

C

M

3y–3

4. Si CE es bisectriz interior, calcular "θº".

A

C

BE80º

θº

30º

5. Calcular"xº",siPS es bisectriz interior.

P

Q

R

S

xº 40º

80º

6. Calcular "θº", si BR es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

60º θº

A

B

C R

CEILTRColegios




Comunicación matemática1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico:

P

Q

S R

θº αº

θº=...........

• QS: bisectriz interior

A

B

C

M

x

y

x=...........

• AM: mediana


• Lamedianarelativaaunladodivideadicholadoendospartesiguales ..........................( ) • Labisectrizexteriordividealánguloexteriorentrespartesdeigualmedida ...............................( )

3. Relacionamedianteflechas:

• Bisectriz interior

• θº

θº

• Mediana •

• Bisectriz exterior

•αº

αº

7. Calcular "βº", si BM es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

A

B

C M

80º

βº

8. Calcular "xº", siQS es bisectriz exterior deltriánguloPQR.

P

Q

R S40º 62º

xº

9. Calcular "αº", si QF es bisectriz interior del triánguloPQR.

42º αº 88ºP

Q

RF

10. Calcular "βº", si RS es bisectriz exterior deltriánguloPQR.

R30ºP

Q

S

βº

CEILTRColegios


14. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro.

• La.......................dividealladoopuestoen..............................iguales. • La..................................dividealángulo..................................endosángulosdeigual

medida.

dospartes-bisectrizexterior-mediana-externo


• EltriánguloABCytrazalamedianaCE relativa al lado AB.

• EltriánguloPQRytrazalabisectrizinteriorPE relativa al lado QR.


6. Si QNesmediana,calcular"y",si:NP=18.

E

P

Q

Ny+24

7. Calcular "θº", si BN es bisectriz interior.

A

B

CN

75ºθº+20º

8. Calcular "βº", si MN es bisectriz exterior deltriángulo ATM.

40ºA

T

M

N

βº

100º

9. Calcular"x",siAM es mediana.

A

B

C

M3x+1

13

10.Calcular"xº",siBF es bisectriz interior.

35º 65ºA

B

CF

xº

11.Calcular "xº", si RE es bisectriz exterior deltriánguloARQ.

35º 95º xºA

R

Q E

12. Calcular "θº", si QF es bisectriz interior.

P

Q

F R30º 80ºθº

13.Calcular "xº", si CP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

54ºA

B

C

P

86º

xº

CEILTRColegios




Aplicación cotidianaTiro al blancoRubén,JulioyEduardoestánpracticandotiroalblanco,paralocualse colocan de manera alineada sobre la línea AC.RubényEduardoseencuentranenlosextremos"A"y"C".

14. SiladistanciaentreRubényEduardoesde14myseobservaque en el triángulo AMC, MBesmediana,calcular"x".

15. Julio desea calcular la mBAMC y observa que mBAMB=50ºyMB es bisectriz interior del triángulo AMC. A

B

C

x+6

M

1. Si AE y CF son bisectrices interiores, calcular "θº".

A

B

θºC

EF

70º

2. Calcular "BC", si AM es mediana.

A

B

C

M

x2+16

8x

3. Calcular "xº", si BE es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

xº

60º

155º

A

B

C E

4. Calcular "AM", si BM es mediana y el perímetro del triángulo ABC es 28 m.

A

B

CM

7 m 9 m

5. Calcular "θº", si AP es bisectriz interior.

A

B

C

P

θº

72º

35º

CEILTRColegios


1Conceptos básicosPractica en casa

18:10:45

1. Calcular "AC", si BM es mediana.

A

B C

M6 cm

2. Calcular"xº",siBM es bisectriz interior.

A

B

CM

2xº

30º–xº

3. Calcular "θº", si BE es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

θº

A

B

CE

80º

4. Calcular"PR",siQS es mediana.

P

Q

RS12

5. Calcular "αº", si BM es bisectriz interior.

A

B

CM

82º 30º

αº

6. Calcular "βº", si UM es bisectriz exterior deltriánguloEDU.

82º βºE

D

M

U

7. Calcular "θº", si QS es bisectriz interior.

70º

50º

θºP

Q

RS

8. Calcular "αº", si BM es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

50ºαº

A

B

C M

9. Si AE es bisectriz interior, calcular "θº".

A

B

E

C

θº75º

25º

10. Si AE es bisectriz interior, calcular "θº".

32º θºA

B

C

E

Central: 619-8100

geometría

105www.trilce.edu.peCEILTRColegios



11. Calcular "θº", si BP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

θº

35º 85ºA

B

C P

12.Calcular"x",siBMesmedianayAM+AC=42cm.

A

B

CMx

13. Calcular "θº", si AP es bisectriz interior.

A

B

P

C

θº

60º

32º

14.Calcular "xº", si BM es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

60º 80º xºA

B

C M


θº32ºA

B

C P

Central: 619-8100

geometría

105www.trilce.edu.pe

2

CEILTRColegios


líneas notables en el triángulo II

En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficarlaalturaeneltriángulo.• Adefinirygraficarlamediatrizeneltriángulo• Areconocerladiferenciaentrelaalturaylamediatriz.• Adesarrollardiversosproblemas.

• EnlaestructuradelpuenteCentenariodePanamá,seobservaunasimetríaenlaestructura.

El puente Centenario El puente Centenario es el segundo puente permanente en cruzar el canal de Panamá, el primer puente fue el "Puente de las Américas". Otros puentes de menor tamaño fueron construidos en las compuertas delasesclusasdeMirafloresyGatún,peroestospuentessolosepuedenusarcuandolaspuertasdelascompuertas están cerradas y además tienen un límite de capacidad muy estricto.El puente Centenario se ubica a 15 kilómetros (9 millas) al norte del "Puente de las Américas" y cruza el Corte Gaillard cerca de las esclusas de Pedro Miguel. Las nuevas secciones de la autopista que conectan a Arraijáncon el este a Cerro Patacón en la vía este del puente, alivian significativamente la congestión con el "Puente de las Américas".El puente tiene un diseño atirantado con un largo total de 1 052 m (3 451 pies) su arco principal mide 320 m (1 050 pies) y con una elevación de 80 metros (262 pies) sobre el canal de Panamá permitiendo que los grandes buques pasen por debajo de este. El puenteesta apoyado por dos torres de 184 m (604 pies) de alto. Tiene la capacidad de albergar 6 carriles de tráfico a través del canal.

El puente fue diseñado para soportar los temblores los cuales son registrados con frecuencia en la zona del canal.La torre oeste del puente fue construida con 50 metros tierra adentro para permitir la ampliación del canal de Panamá.

CAPITULO

CEILTRColegios


Líneas notables en el triángulo II

Conceptos básicos

Saberes previos

L1

L2

αº θº

βº


• Rectasperpendiculares: • Distanciadeunpuntoaunarecta:

• Puntomedio: • Eneltriángulo:

P

L

d"d": distancia de "P" a

!

!L

P

A

Bm

m

"P": punto medio del segmento AB

• Enlafigura:

A

P

B

El punto "P" equidista de los puntos "A" y "B"

AlturaEs el segmento trazado desde un vértice en forma perpendicular al lado opuesto de un triángulo.

En el triángulo acutángulo

A

B

CH

BH: altura del triángulo ABC relativa a AC.

En el triángulo obtusángulo

A

B

CH

BH: altura del triángulo ABC relativa a AC.

En el triángulo rectángulo

A

B

C

AB: altura del triángulo ABC relativa a AC.

CEILTRColegios


2


10 x 550

MediatrizEs la recta perpendicular en el punto medio de un segmento de recta.

L

A B

!

!L : mediatriz de AB

P

Q

m

!

!m: mediatriz de PQ.

Mediatriz en el triángulo:

A

B

C

L

!

!L : mediatriz del lado AC.

Q

P R

m

!

!m: mediatriz del lado PQ.

!

!n : mediatriz relativa al lado BC del triángulo ABC.

A

B

Cn

1. Calcular"xº",siBQ es altura.

A

B

CQ

xº

30º

2. Calcular "θº", si BH es altura.

30º

10º

θº

A

B

CH

3. Calcular"x",si

!

!L es mediatriz de AByAB=12cm.

A B

CL

x

4. Calcular "θº", si

!

!m es mediatriz de PF.

P

E

F

m

θº

65º

CEILTRColegios




5. Calcular "αº", si

!

!L es mediatriz de PR.

P R

LQ

60º

100ºαº

6. Calcular "θº", si AH es altura.

A

B

C

H

θº 45º


!

!L es mediatriz de AC.

A

B

C

L

95º

60º

αº

8. Calcular "θº", si QP es la altura relativa a PR.

θº

32ºP

Q

R

9. Calcular"x",si

!

!L es mediatriz de BCyBC=22cm.

A

B

CL

3x–1


!

!L es mediatriz de BC.

30º θº

25º

A

B

C

L

Comunicación matemática1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico.

x=............

L

P

Q

x

y

•

!

!L : mediatriz de PQ.

xº=..........

A

B

C

H

xº

• AH: altura

2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorrespondaenlossiguientesenunciados:

• Laalturaesunarectaquedividealladoopuestoendospartesiguales .............................. ( ) • Lamediatrizenuntriánguloequiláterocoincideconlaaltura ........................................... ( )

CEILTRColegios



Bisectriz interior • •

Mediatrizθºθº

• •

Altura • •

4. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro.

•La..........................esla........................perpendicularaun..........................ensupuntomedio.

•La.......................essiempreperpendicularallado..............................

altura - mediatriz - recta - lado - opuesto

5. Grafica haciendo uso de la regla.

• EneltriánguloABCmostrado,trazalamediatrizrelativaaAB.

A

B

C


6. Calcular "αº+βº", si BH es altura.

αº60º

70º βºA

B

CH

7. Calcular "αº", si BH es altura.

A

B

CH

45º

15º

αº

8. Calcular"x",si

!


A

B

C

L

2x+1 13


A

B

C

θº

35ºH

CEILTRColegios





El puente

Unpuenteessujetadomediantecablesenlospuntos"A";"B";"C";"D";"E"y"F";paradarlemayorestabilidad.Dato:AB=BC=CQ=QD=DE=EF.

14. Sielcable:AP=15kmyPF=3x–6,calcular"x".

15.UningenieroobservaquemBQPD=20º.Calcular"θº".

1. Calcular"xº",si

!

!L es mediatriz de AC:

2θº

θºA

B

P

C

L

60º

xº


A

B

CH

θº

5θº–80º


!


P

Q

R

L

65º

αº


!

!m es mediatriz de BC.

70º

80º

A

B

C

m

θº

12.Calcular"xº",siBH es altura.

A

B

CH62º

xº


!

!n es mediatriz de BC.

5θº

3θº

θºA

B

C

n

A B D E F

P

QθºC

CEILTRColegios


2


18:10:45


A

B

CH

θº

50º

2. Calcular "αº", si CP es altura.

A

B

C

P 70º

αº


A

B

CH

θº

55º

4. Calcular"xº",si!


P

Q

R

L

75º

80º

xº


!

!n es mediatriz de QR.

Q

P R

n

θº 25º

6. Calcular"x",si

!

!L es mediatriz de AB y además

AB=14cmyAP=2x –1.

A

B

P

C

L

3. Calcular el ángulo formado por AH y CP.

30º

40º

A

B CH

P

4. Calcular"x",si

!

!L es mediatriz de AC

A

B

C

L

3αº αº

P80º

xº

5. Si

!

!m y

!

!n son mediatrices de BC y AC, calcular

"xº".

A

B

C

120º

130º

xº

n

m

Central: 619-8100

geometría





!

!m es mediatriz de CB.

40º θº

15º

A

B

C

m

8. Calcular "θº", si QH es altura.

θº

36º

P

Q R

H

9. Calcular"xº",siFM es altura.

A

M

F

E

42º 36ºxº

10.Calcular"xº",si

!

!n es mediatriz de AB.

A

Bn

Cxº

54º

68º

11.Calcular"xº–yº",siAH es altura.

A

E

H

N

yºxº

80º

70º


!


25º

100ºθº

A

B

C

L

13. Calcular "θº", si BH y AP son alturas.

A

BP

CH

3θºθº

14. Calcular "θº", si BH y CP son alturas.

AC

B

H

Pθº

45º30º

15.Calcular"xº",si

!

!L es mediatriz de AB.

30º

32º

A

B

C

L

xº

Central: 619-8100

geometría


3

CEILTRColegios


• Enelgráficomostrado,¿puedesobservartriángulos?

PitágorasnacióenlaisladeSamosenelaño582a.C.SiendomuyjovenviajóaMesopotamiayEgipto(también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides de Siros y tal vez con su padre, BadiodeSiros).TrasregresaraSamos,finalizósusestudios,segúnDiógenesLaercioconHermodamasdeSamos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el surdeItalia,dondefundósusegundaescuela.Lasdoctrinasdeestecentroculturaleranregidasporreglasmuyestrictasdeconducta.Suescuela(aunquerigurosamenteesotérica)estabaabiertaahombresymujeresindistintamente,ylaconductadiscriminatoriaestabaprohibida(exceptoimpartirconocimientoalosnoiniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras serexpulsadosporlospobladoresdeCrotona,lospitagóricosseexiliaronenTarentodondesefundósutercera escuela.Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias exceptoladescripcióndeunamarcadenacimientollamativaquePitágorasteníaenelmuslo.Esprobableque tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron dehaber influidoaPitágorasensu juventud.Elesfuerzoparaelevarsea lageneralidaddeun teoremamatemáticoapartirde sucumplimientoencasosparticularesejemplificaelmétodopitagóricopara lapurificaciónyperfeccióndelalma,queenseñabaaconocerelmundocomoarmonía;envirtuddeésta,eluniversoerauncosmos,esdecir,unconjuntoordenadoenelqueloscuerposcelestesguardabanunadisposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientesalosintervalosdelaoctavamusical.Enunsentidosensible,laarmoníaeramusical;perosunaturalezainteligibleeradetiponumérico,ysitodoeraarmonía,elnúmeroresultabaserlaclavedetodas las cosas.

Pitágoras

CAPITULO repaso bimestral

CEILTRColegios


Repaso bimestral


10 x 550


!

!L1 //

!

!L2 .

L1

L2

10βº

70º


!

!a //

!

!b .

a

b

35º

2xº–1º


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L2

L3

L1

xº

50º

62º

4. Calcular"xº".

3xº

54º

5. Calcular"xº"

xº

80º

112º

6. Calcular "θº", si BE es bisectriz interior.

A

B

CE

θº

82º 40º

7. Calcular "θº", si QM es bisectriz exterior deltriánguloPQR.

62º

P

Q

R M

θº

8. Calcular"x",siBM es mediana.

A

B

CM3x–4 11

9. Calcular "αº", si QS es altura.

P

Q

R41º

S

αº


!

!n es mediatriz de AC.

A

B

C

n42º

60ºθº

CEILTRColegios


3Conceptos básicos Aprende más...


1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico.

θº

αº xº

xº=.....+.....

αº θº

αº+θº=........

θºωºA

B

C

M

θº=...........

AM: bisectriz


• Enuntriángulorectángulo,lasumadesusángulosagudoses90º .................................. ( ) • Lamediatrizesunarectaperpendicularenelpuntomediodeunsegmento .................. ( )


Ángulos alternosinternos• •

θº

θºMediatriz• •

Altura• •

4. Completa los enunciados.

• Eltriánguloquetienesustresladosdeigualmedidasellama ......................................... • Eltriánguloquepresentaunánguloobtusosellama .......................................................

5. Grafique haciendo uso de la regla.

• TracelaalturaBH y la mediana BM, luego sombrea el triángulo HBM.

A

B

C

• TrazalamediatrizrelativaaAC y que corta a BC en "Q", sombrea el triángulo ABQ.

A

B

C

116

Repaso bimestral

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe



!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

150º

3xº


!

!a //

!

!b .

85º 5xº–15º

a b


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L1 L3L2

xº

60º

140º

9. Calcular "yº".

40º

120ºyº

10.Calcular"xº"

80º70º

xº60º

11.Calcular"x",siAM es mediana.

A

B

C

M

3x+10

5x–4

12. Calcular "αº", si BP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.

48º112º

αº

A

B

CP


!

!m es mediatriz de BC.

12º

30º θºA

B

C m


El helicóptero

Unhelicópterodereconocimientotratadedetectarlos cuarteles de abastecimiento de las tropas enemigas. Al ser detectado por los radares del enemigo, el cañón "A" y el cañón "B" le disparan misiles con ángulos de inclinación "αº" y "βº";comosemuestraenlafigura.

14. Si en un determinado momento: αº=54º yβº=67º,sepidecalcular:mBAHB.

15. Para las condiciones anteriores, un observador desea calcular la mBBHP.

αº βºA BP

H

117Unidad IV

3

Central: 619-8100


18:10:45



!

!a //

!

!b .

a

b

2xº

3xº

3xº

xº

2. Calcular"xº",si:a+b=270º.

xº

aº

bº

3. Si

!

!m es mediatriz de AC y AS es bisectriz

interior, calcular: mBABC.

A

B

C

S 130º

60º

m

4. Calcular"xº"

62º

θºθº

αºαº

xºA

B

C

5. Calcular "AB", si

!

!m es mediatriz de AC y

además:PC=13cm.

A

B

P

C

m

αº

2αº


!

!L1 //

!

!L2.

42º

3xº+6º

L1

L2


!

!L1 //

!

!L2.

L1

L2

143º

αº


!

!L1 //

!

!L2 //

!

!L3.

L2

L3

L1

xº120º

132º

4. Calcular "αº".

80º

αº+30º αº+16º

118

Repaso bimestral

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe

5. Calcular "θº".

62º

θº

6. Calcular "θº"

85º

60º 45º

θº

7. Calcular "αº", si CH es altura.

86º αºA

B

C

H

8. Calcular"x",siBM es mediana.

A

B

CM2x–4 18

9. Calcular "y", si QS es mediana.

Q

P

R

S30

y2–6


A

B

C P

θº

60º 80º

11. Calcular "βº", si RM es bisectriz exterior deltriánguloPQR.

P

Q

R

M

40ºβº


!


A

B

C

L

60º

θº

13. Calcular "βº".

42º

65º

βº

14. Calcular "θº".

P

Q

M R

40º

θº

15. Enlafigura,calcular"xº".

P

Q

36º

xºA

B

C


UNIDAD 1





UNIDAD 1






Geometría

CEILTRColegios


Ordenamiento lineal y circular1

• Tangrandes fueronlos incasquelodemostraronensuarquitectura.¿Observasalgúnpolígonoenlafigura?Piedradelosdoceángulos,enlacalleHatumRumiyoc,Cusco

estudiando las figuras de más de tres lados

En este capítulo aprenderemos a:

• Definireidentificaralpolígonoysuclasificación.• Reconocerloselementosdelpolígono.• Graficaralpolígonoconsusrespectivoselementos.

http

://co

ndor

2008

.wik

ispa

ces.

com

La arquitectura desarrollada en el incario se caracteriza por la sencillez de sus formas, su solidez, susimetríayporbuscarquesusconstruccionesarmonicenelpaisaje.Adiferenciadesociedadescosteñas,comolaChimú,losincasutilizaronunadecoraciónbastantesobria.Elprincipalmaterial

utilizadofuelapiedra,enlasconstruccionesmássimpleseracolocadasintallar,noasíenlasmáscomplejase importantes. Los constructores incas desarrollaron técnicas para levantar muros enormes, verdaderos mosaicosformadosporbloquesdepiedratalladaqueencajabanperfectamente,sinqueentreellospudierapasar ni un alfiler. Muchas veces esos bloques eran tan grandes que resulta difícil imaginar su colocación, lasmejoresmuestras de esta habilidad se encuentran en la zona del Cusco. Se sabe que losmejorestalladores de piedra eran collas, provenientes del Altiplano y que muchos de ellos fueron llevados al Cusco para servir al estado.

La arquitectura en el Incanato

1

Geometría

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 121Unidad V

Conceptos básicos

Saberes previos

A B

C

D

• Puntosnocolineales

"A";"B";"C"y"D"sonpuntosnocolineales

A

B

C

Lado Lado

Lado

"A";"B"y"C":vértices

• Eneltriángulo

A

B

• Menordistanciaentredospuntos

θºαº

• Dosángulossuplementarios

αº+θº=180º

A

B

C

D

E

Regióninterior

Elementos

• Vértices:"A";"B";"C";"D";"E"• Lados : AB;BC;CD;DE;AE

Notación: Polígono ABCDE.

Definición

Polígono es aquella figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano mediante segmentos de recta.

CEILTRColegios


Estudiando las figuras de más de tres lados

• Diagonales:AC;BD;...

• Medidadeángulosinternos:"αº";"βº";"θº";"ωº";"fº"

• Medidadeángulosexternos:e1;e2;e3;e4;e5

A

B

C

D

Ee1

e2

e3

e4

e5

βº

αº

θº

fº

ωº

• 1B interior+1Bexterior=180º

Ejemplo:

αº+e1=180º ωº+e4=180º

Elementos asociados

Clasificación

Según su región interior

Polígonoconvexo Polígononoconvexo

Según las medidas de sus elementos

Polígono equilátero: Es aquel polígono que tiene todos sus lados de igual medida.

Polígonoequiláteronoconvexo Polígonoequiláteroconvexo

Polígono equiángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos de igual medida.

θº

θº θº

θº

θºθº

Ten en cuenta

CEILTRColegios


1


10 x 550

Númerodelados Nombre

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Nonágono

10 Decágono

11 Endecágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

20 Icoságono

Polígono regular: Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.

Cuadrado

60º

60º 60º


Según su número de lados

1. Segúnsuregiónynúmerodelados,nombraelpolígono mostrado.

A

B

C

D

E

2. Segúnsunúmerodelados,nombraelpolígonomostrado.

A

B

C D

E

G

F

CEILTRColegios



3. En la figura, traza las diagonales AD y AC.

A

B

C D

E

4. En la figura, traza todas las diagonales del polígono. ¿Cuántas son?

AB

C

D E

F

5. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "B".

A

B

C

D

E

F

6. Segúnsunúmerodeladosyregión,nombraelpolígono mostrado.

A

B CD

E F

7. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P".

A

B

CD E

P

8. Según su número de lados y región, nombrael polígono mostrado y traza cuatro de sus diagonales.

A

B C

D E

H

F G

9. En la figura, se han trazado dos de sus diagonales, ¿cuántas faltan trazar?

AB

C

DE

F


CEILTRColegios




1. Nombra los elementos del siguiente polígono:

A

B

C

D

Eαº

βº ωº

fº

θº • Vértices:........................................

• Lados:...........................................

• Ángulosinternos:...........................

2. Nombralospolígonosmostrados,segúnsunúmerodelados:

................................................... .........................

3. Identificaalpolígonoconvexoyalnoconvexo.

.............................................. ..............................................

4. Traza las diagonales del siguiente polígono:

A

B

CD

5. Indicaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:

• Untriánguloesunpolígonoconvexo ............................................................................... ( )

• Uncuadradoesunpolígononoconvexo ........................................................................ ( )

• Unadiagonalesunsegmentoqueunedosvérticesnoconsecutivosdeunpolígono ....... ( )

• Untriánguloequiláteroesunpolígonoregular ................................................................. ( )

• Lospolígonos,deacuerdoasuregión,puedenserconvexosonoconvexo ..................... ( )

CEILTRColegios




6. Según su región, nombra los polígonosmostrados.

A

BC

A

B C

DE

F

7. Según su número de lados, nombra lospolígonos mostrados.

A

B

CD

8. GraficaunheptágonoconvexoABCDEFGytrazatodas las diagonales posibles del vértice "A".

9. Graficaunpentágononoconvexoy trazadosde sus diagonales.

10.Graficaun cuadrilátero convexo y traza todassus diagonales.

11. Según su número de lados, nombra lospolígonos mostrados.

12. Traza las diagonales del vértice "P".

A

B C

D

P

13. Traza las diagonales de los vértices "A" y "B".

A

B

C

D

E


Cercando el terreno

Eduardocompróun terrenode formahexagonalequilátera,comosemuestra en la figura.

14. SielladoAF=10m,calculaelperímetrodelterrenodeEduardo.

15. Si Eduardo coloca estacas como en la figura mostrada y cerca su terreno con un cerco metálico, ¿cuánto gastará en dicho cerco, si el costo por metro es de S/. 20?

A

B

C

D

E

F

10 m

CEILTRColegios


1


18:10:45


1. Grafica un endecágono.

2. Segúnsunúmerodeladosyregión,nombraelpolígono mostrado.

3. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en la figura?

A

B

C

D E

F

G

4. Grafica un dodecágono.

5. Si el polígono mostrado es equilátero y su perímetroes"13x+18",calcula"x".

x+3

1. Nombra el polígono, de acuerdo a su región.

2. Nombraelpolígono,deacuerdoasunúmerode lados.

3. Grafica las diagonales del vértice "P".

P

4. En la figura, traza todas las diagonales de los vértices"Q"y"R".¿Cuántasson?

R

Q

5. En la figura, grafica todas las diagonales trazadas desde "P".

P

6. Graficaun cuadrilátero convexo y traza todassus diagonales.

Central: 619-8100

geometría




7. En la figura, ¿cuántas diagonales faltan trazar?

8. ¿Cómo se llama el polígono mostrado, de acuerdoasunúmerodelados?

9. Graficaunpentágonoconvexoydesdeunodesus vértices traza todas las diagonales posibles.

10.Graficaunpentágononoconvexoytrazatodassus diagonales.

11.Grafica un hexágono convexo y traza desdedos vértices consecutivos todas las diagonales posibles.

12. ¿Cómo se llama el polígono de 20 lados?

13. ¿Quépolígonossonconvexos?

I) II)

III) IV)

14.Graficaunheptágonoconvexoytrazatodassusdiagonales desde un solo vértice.

15.Grafica un octógono convexo en el que unángulo interno mida 120º.

Central: 619-8100

geometría


2

CEILTRColegios


• Maquetadeunacúpulageodésica.¿Observasalgúnpolígonoenlafigura?

¿Cuál será la suma de ángulos internos?


• Calcularlasumadeángulosinternosusandolasdiagonalesdelpolígono.• Mencionaryaplicarlapropiedaddelasumadeángulosinternos.• Desarrollardiversosproblemassobrelapropiedaddesumadeángulosinternos.

Lascarasdeunacúpulageodésicapuedensertriángulos,hexágonosocualquierotropolígono.Losvértices deben coincidir todos con la superficie de una esfera o un elipsoide (si los vértices no quedan enlasuperficie,lacúpulayanoesgeodésica).Elnúmerodevecesquelasaristasdelicosaedroo

dodecaedro son subdivididas, dando lugar a triángulos más pequeños, se llama frecuencia de la esfera o cúpulageodésica.ParalaesferageodésicasecumpleelteoremadepoliedrosdeEuler,queindica:

C+V−A=2Lascúpulasgeodésicas,adiferenciade lascúpulasconformadasporcelosías tridimensionales,puedensufrir pandeo global sin que ninguna de las barras comprimidas que las forman haya sufrido pandeo local.Eso implica que un cálculo como estructura lineal convencional, y comprobación posterior de pandeo local, puede no ser adecuado en muchos casos, y para grandes luces se requiere de un cálculo no-lineal, con el fin de determinar sus cargas críticas y asegurarse de que no se producen fenómenos de inestabilidad elástica.

http

://bi

oant

u.ni

ng.c

om

CEILTRColegios



Conceptos básicos

Saberes previos

A

B

CD

E

αºθº

αº+θº=180º

• Eneltriángulo

• Diagonaldeunpolígono

• Enelgráfico

AC y AD : Diagonales trazadas del vértice "A"


αº

βº

θºA

B

C

En todo polígono

Númerodelados=Númerodevértices=n

A

B

C

D

Númerodelados=4

Númerodevértices=4

⇒ n=4

A

B

C D

E

F

Númerodelados=6


⇒ n=6

A

B

C

D E

F

G

H

Númerodelados=8


⇒ n=8

EjEm

plo

EjEm

plo

CEILTRColegios


2


10 x 550

Suma de ángulos internos (Si)

αº θº

βº

mº

nº

pº

Si=180º×2=360º

En el cuadrilátero

αº

βº

θº yºzº

xºmº pº

nº

Si=180º×3=540º

En el pentágono

Si=180º×4=720º

En el hexágono

En un polígono de "n" lados

Si=180º(n–2)

1. En la figura, traza las diagonales del vértice "A". ¿Cuántos triángulos se forman?

A

B

C

D

E

2. En la figura, traza todas las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman?

P

3. Traza todas las diagonales del vértice "B" y calcula la suma de ángulos internos del polígono.

A

B

C

DE

F

4. Trazatodaslasdiagonalesdelvértice"R".

R

5. Calcula la suma de ángulos internos del polígono.

A

BC

D

E

6. Calcula la suma de ángulos internos del nonágono.

7. Calcula la suma de ángulos internos del pentadecágono.

8. Calcula la suma de ángulos internos del icoságono.

CEILTRColegios




9. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono.

10. Enlafigura,calcula"xº"

A

B

C

D

E

xº

xº

100º

120º

120º


1. En las figuras, trazando diagonales desde un vértice, ¿cuántos triángulos se forman en cada caso?

Númerodetriángulos

Númerodetriángulos

2. Completa de acuerdo con el enunciado.

• Pentágono n=

• Octógono n=

• Pentadecágono n=

• Icoságono n=

3. ¿Cuántos vértices tienen las figuras mostradas?

Númerodevértices =



4. Completa en cada caso, la suma de ángulos internos (Si).

• Pentágono Si=

• Dodecágono Si=

• Cuadrilátero Si=

• Heptágono Si=

CEILTRColegios


25. Completa en cada caso:

•

αº

βº

θº

αº+βº+θº=

• Entodopolígono: Si=180º( – ) donde: "Si" es la suma de ángulos internos.


6. En la figura, traza las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman?

P

7. En la figura, traza las diagonales del vértice "R"ycalcula la sumadeángulos internosdelpolígono.

R

8. Calcula la suma de ángulos internos de un polígono de trece lados.

9. Calculaelnúmerodeladosdelpolígonocuyosángulos internos suman 900º.

10.Calcula el número de vértices del polígonocuyos ángulos internos suman 1 260º.

11.Calculaelnúmerodeladosdelpolígonocuyosángulos internos suman 2 520º.

12. En el gráfico, calcula "αº".

40ºαº

αº

αºαº

A

B

CD

E

13. Enlafigura,calcula"xº".

A

B

C

D E

F

G

xº

xº

xº

xº 140º

100º

120º


La ronda

Unosniñosestánsujetandocuerdas,comosemuestraen la figura regularABCDEF.

14. SiAF=4m,calculalalongitudtotaldelacuerdausadaenestejuego.

15. Calcula el ángulo formado por el niño que está en la posición "D".A

B

C

D E

F

CEILTRColegios




18:10:45



xº

xº

xº

120º

120º

2. Enelgráfico,calcula"xº",si:αº+θº=180º

xº

xº

xº

αº

θº

3. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado.

4. Enlafigura,calcula"xº"

xº

xº

xº60º

70º

50º

5. Enelgráfico,calcula"mº+nº"

A

B

C D

E

F

140º

mº nº

130º 110º

120º

θºθºαº αº

1. En la figura, al trazar las diagonales del vértice "A", ¿cuántos triángulos se forman?

A

2. En la figura, trazando las diagonales del vértice "P", ¿cuántos triángulos se forman?

P

3. Trazalasdiagonalesdelvértice"R"ycalculalasuma de ángulos internos del polígono.

R

4. Calcula la suma de ángulos internos del octógono.

5. Calcula la suma de ángulos internos del decágono.

6. Calcula la suma de ángulos internos del endecágono.

CEILTRColegios


27. Calcula la suma de ángulos internos del

polígono de catorce vértices.

8. Calcula la suma de ángulos internos del polígono de dieciocho lados.

9. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado.

10. Si la suma de ángulos internos de un polígono es5400º,calculaelnúmerodelados.

11.Calculaelnúmerodeladosdelpolígonocuyosángulos internos suman 4 320º.

12.Calcula el número de vértices del polígonocuyos ángulos internos suman 2 160º.


xº

2xºxº

xº

140º

A

B

C

D

E


2xº xº

xº 150º

100º

15.Calcula el número de lados de un polígono,sielnúmerodeladosmáslasumadeángulosinternos es 364.

Geometría

CEILTRColegios



• Lasvelasdemuchasembarcaciones,enlaantigüedad,presentabanformastrapezoidales.¿Observasalguna vela con dicha forma?

estudiando las figuras de cuatro lados


• Definiruncuadrilátero.• Reconocerydiferenciaruntrapezoideyuntrapecio.• Graficaruntrapecioyuntrapezoide.• Reconoceryaplicarlaspropiedadesenuntrapezoideyuntrapecio.

Elvelerodemástilesaltosogranveleroesunbarcotradicionalequipadoconvelamenyaparejosaptospara la navegación propulsada por el viento. Entre estos populares barcos de mástil alto se encuentran las goletas, brics (tipo bergantín con velas trapeciales, además de la mesana, que tiene velas alineadas

proa-popa), fragatas y bergantines.Losaparejostradicionalesdeestetipodebarcospuedenincluirvelascuadradasyvelasaúricasconmástilygaviaseparados.Estosaparejossonporlogeneralmáscomplejosquelosencontradosenlosbarcosdevela modernos, los cuales utilizan materiales contemporáneos, como el aluminio y acero, que les permiten tener mástiles más altos y ligeros, con menos pero más versátiles velas.El término "velero de mástil alto" se popularizó a partir de la segunda mitad del siglo XX con el desarrollo de las carreras de veleros de mástiles altos.

http

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ww

.pla

tafo

rmaa

rqui

tect

ura.

cl

3

Geometría

CEILTRColegios


Conceptos básicos

Saberes previos

A

BC

D

Cuadriláteroconvexo

P

Q

S R

Cuadriláteronoconvexo

αº

βºθº

fºA

BC

D

αº+βº+θº+fº=360º

Definición El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados.

Tipos de cuadriláteros convexos

Trapezoide Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos.

αºθº

αº+θº=180º

• Enlafigura

αº

θº

L1

L2

αº+θº=180º

• Enelgráfico(L1 // L2)

d

L1

L2

• Distanciaentrerectas(L1 // L2) • Triánguloisósceles

θº θº

Base

d : distancia entre "L1" y "L2"

138CEILTR


Estudiando las figuras de cuatro lados

A

B C

D

Base menor

Altura

Lado lateral

Base mayor

• BC // AD

A

B C

D

a bEn la figura:

• BC // AD

• a≠ b

Trapecios Es el cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos, a los que se les llama bases.

Clasificación de trapecios Trapecio escaleno Es aquel que tiene sus lados laterales de diferente longitud.

En la figura:

• BC // AD

A

B C

D

a a

αº αº

θºθº

En la figura:

• BC // AD

A

B C

D

Trapecio isósceles Es aquel que tiene sus lados laterales de igual medida.

Trapecio rectángulo Es aquel que tiene dos de sus ángulos interiores consecutivos rectos.

En la figura:

• BC // AD

A

B C

D

βº

αº fº

θº

αº+βº=180º θº+fº=180º

Propiedad de todo trapecio

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 139Unidad V 139


10 x 550


A

BC

D

3xº4xº

2xº xº


xº

140º

60º

3. En el trapecio ABCD (BC // AD),calcula"xº".

A

B C

D

xº

80º

4. En el trapecio ABCD (BC // AD),calcula"xº".

A

B C

D

5xº

4xº

5. Eneltrapecioisósceles(AB=CD),calcula"xº".

A

B C

D

xº

65º

6. Eneltrapeciorectángulo,calcula"xº".

A

B C

D

110º

xº+10º

7. En la figura (AB // CD),calcula"xº".

A

B

C

D78º

xº

8. Eneltrapezoide,calcula"xº".

xº

85º 75º

9. En el trapezoide, calcula "θº".

60º 80º

θº

10. En la figura, calcula "αº".

80º

140º

αº

140CEILTR





1. Completa, dependiendo de cada gráfico.

βº

αº

θº

fº

αº+βº+θº+fº=

αº

θºA

B C

D

αº+ =

Si: BC // AD

βº

θºA

B C

D

βº+ =

Si: BC // AD

2. Para el trapecio mostrado (BC // AD),marca"V"o"F"segúncorresponda:

θºβº

αº fºA

B C

D

• BC y AD son las bases ............................................................................................... ( ) • AAB se le llama lado lateral ...................................................................................... ( ) • Enlafigura:αº+θº=180º .......................................................................................... ( ) • Enlafigura:αº=fº ..................................................................................................... ( )

3. En el trapecio mostrado, completa los elementos de la figura:

A

B C

D

4. GraficauntrapezoideconvexoABCDytrazatodassusdiagonales.

5. Marca"V"o"F",segúncorresponda:

• Untrapezoideesuncuadriláteroquenopresentaladosopuestosparalelos ............... ( ) • Lasumadeángulosinternosdeuntrapezoidees360º ............................................... ( )

• En la figura: αº

θº αº+θº=90º .............................................................................. ( ) • Lostrapezoidessonuntipodetrapecios .................................................................... ( )

CEILTRColegios




xºxº

80º 70ºA

BC

D


xº

130º

xºA

BC

D

8. En la figura, calcula "θº",si:AB=CD.

A

B C

D

2θº+20º

θº+40º

9. Si: BC // AD,calcula"xº".

A

B C

D

xº+40º

xº+10º

10. En la figura, calcula "αº".

3αº

2αº

11.Delafigura,calcula"xº".

10xº12xº

6xº 8xº


20º

50º

120º xº

13. En la figura (CD // AB),calcula"xº+yº".

2xº4xº

3yº6yº

A

B

C

D


La repisa

Unfloreroestáapoyadoenunarepisadeformatrapecial.(BC // AD).

14. Si: βº=2αº, calcula "αº".

15. Si:AB=CD,calcula"θº".

αº

βº θº

A

B C

DBase mayor

Base menor

142CEILTR




18:10:45


1. Calcula"xº".

xº 70º

130º

65º

2. Si: BC // AD,calcula"xº".

A

B C

D

xº

αºαº

θºθº

3. Calcula"xº".

50º

2xº 3xº

70º


140º

αºαº θº

θºxº

5. Enelgráfico,calcula"xº".

xº130º

60º 70º

A

BC

DE

FG

H

1. Calcula"xº".

xº

80º 85º

2. Calcula"xº",si:AB // CD.

D

A B

C

120º

xº

3. En el trapecio isósceles, calcula "θº".

3θº

θº


125º

5xº


CEILTRColegios


3

xº85º

120º

6. En la figura, calcula "θº"

135º

θº

7. En la figura, calcula "θº".

145º

85º

θº

80º


138º

82º xº

9. Eneltrapecioisósceles,calcula"xº".

3xº

xº

10. En la figura, calcula "θº" (BC // AD).

5θº

4θºA

B C

D

11.Calcula"xº".

140º

60º

70º

xº

12. Calcula "θº".

4θº

2θº

13.Calcula"xº".

2xº

45º xº

14. Eneltrapecio,calcula"xº"(AB // CD).

D

A B

C

125º

5xº


6θº

2θº 4θº

3θº

Geometría

CEILTRColegios


4

• Muchosjardinespresentanformasrectangulares–JardinesdeBahai-Israel

Conociendo los paralelogramos


• Definirdemaneracorrectaunparalelogramo.• Conoceryaplicarlaspropiedadesbásicasdetodoparalelogramo.• Reconocerlosdiferentestiposdeparalelogramos.• Graficarcorrectamentecualquiertipodeparalelogramo.

Unjardín(delfrancésjardín, huerto), es una zona del terreno donde se cultivan especies vegetales, con posible añadidura de otros elementos como fuentes o esculturas, para el placer de los sentidos. En castellano se llamaba antiguamente "huerto de flor" para distinguirlo del huerto donde se

cultivan hortalizas. La adopción de la palabra francesa hizo más fácil la distinción entre uno y otro vocablo.Hacerestoshuertossinfinalidadeconómica,únicamenteporgoceestético,arrastraunalargatradición,yya eran famosos los Jardines colgantes de Babilonia, considerados como una de las maravillas del mundo antiguo,loquedenotaqueestosespaciosdeociotienendesdeentoncesunalargatradición,olosjardinesde Bahai, que demuestran perfección en sus formas tanto rombales como rectangulares.

http

://w

ww

.cs.

tech

nion

.ac.

il

4

Geometría

CEILTRColegios


Saberes previos

Conceptos básicos

αº

θºL1

L2

• Enelgráfico:(L1 // L2) • Entodotriángulo

• Enlafigura • Enuncuadriláteroconvexo

αº

βº

θº

αº+θº=180º

xº=αº+θº


αº+βº+θº+fº=360º

αº

θº

xº

θº

fºαº

βº

Paralelogramos Definición Es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

En la figura: AB // CD y BC // AD

A

B C

D

Propiedades • Entodoparalelogramo,losladosopuestossonparaleloseiguales.

En la figura: AB // CD y AD // BC

A

B C

D

a a

b

b

CEILTRColegios


Conociendo los parelelogramos

• Entodoparalelogramo,losángulosopuestossondeigualmedida.

Además:

A

B C

D

αº

αºθº

θº En la figura: AB // CD y AD // BC

αº+θº=180º

Clasificación de paralelogramos Cuadrado Es el paralelogramo de lados y ángulos de medidas iguales.

a

a a

a

A

B C

D

Rombo Es el paralelogramo cuyos lados son de igual medida.

Rectángulo Es el paralelogramo cuyos ángulos internos miden 90º y sus lados son de diferente medida.

Romboide Es el paralelogramo cuyos lados consecutivos son diferentes y cuyos ángulos internos no miden 90º.

a

a a

a

A

B C

Dαº

αºβº

βº

b

a

A

B C

D

A

B C

D

αº

αº θº

θº

b

a

CEILTRColegios


4



10 x 550

1. SiABCDesunparalelogramo,calcula"x".

A

B C

D

17

2x+3

2. SiABCDesunparalelogramo,calcula"xº".

A

B C

D2xº–30º

xº+20º

3. Grafica un cuadrado ABCD de lado 3 cm.

4. GraficaunrectánguloABCD,donde:AB=3cmyBC=5cm.

5. EnelromboABCDmostrado,calcula"x".

A

B C

D

2x+40

4x–10

6. En el gráfico, ABCD es un romboide, calcula "xº"

A

B C

D3xº+20º

2xº

7. EnelcuadradoABCD,calcula"x".

4x–18

2x+10

A

B C

D

8. Grafica el romboide ABCD, tal que: m ABC=120º; AB=3cmyBC=5cm.

9. Grafica un rombo ABCD cuyo lado mida 5 cm y uno de sus ángulos, 40º.

10. EnelromboideABCD,calcula"xº".

A

B C

Dxº

70º


1. De acuerdo con el gráfico mostrado, completa la relación correcta.

A

B

x

yC

D

x=

Rombo

a

a

xº=

Cuadrado

x m

x=

Rectángulo

A

B C

Dαº

θº

αº+=

Romboide

xº

CEILTRColegios



2. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda:

• Elromboeselparalelogramoquetienetodossusángulosinternosiguales................... ( )

• Elcuadradopresentatodossusángulosinternosdeigualmedida ................................. ( )

• Entodoparalelogramo,susángulosopuestossondeigualmedida ................................ ( )

• Elromboideesunparalelogramoequilátero .................................................................. ( )

3. Grafica, de acuerdo con el enunciado:

• UnromboideABCD,talque:AB=3,5cmyAD=5cm.

• UnrectánguloABCD,talque:AB=3cmyBC=6cm.

4. Completa el gráfico, de acuerdo con el enunciado.

• EnelcuadradoPQRS,trazalasdiagonales PR y QS.

• EnelromboideABCD,trazalasdiagonales AC y BD.

A

B C

D P

Q R

S

5. Relacionaconlíneas:

•a

a

• Rectángulo

•a

b

θº

θº

αº

αº • Cuadrado

• b

a

• Romboide

CEILTRColegios



6. En el romboide ABCD, calcula su perímetro.

A

B C

D

5

6

7. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula "θº".

A

B C

D65º θº+25º

8. En el gráfico, PQRS es un paralelogramo.Calcula "θº".

P

Q R

S

70ºθº

θº

9. Enlafigura,ABCDesunromboide.Calcula"x".

A

B C

D

6

11

3y

x+y

10.GraficaelromboABCD,donde:AD=6cm.

11. GraficaelcuadradoABCD,talque:AB=6cm.

12.GraficaelrectánguloPQRS,talque:RS=4cmyQR=5cm,ytrazalasdiagonales.

13. En la figura, calcula "θº", si PQRS es unromboide.

P

Q R

S

2θº3θº


La pizarra

A

P

BQ

CR

DS

Borde de aluminio

150 cm

400 cm

En el colegio Trilce hay una pizarra ABCD, cuyas longitudes están mostradas (en cm) y presenta un borde de aluminio de espesor constante de 5 cm. Calcula:

14. El perímetro de la pizarra ABCD.

15. ElperímetrodelafigurainternaPQRS.

CEILTRColegios




18:10:45


1. En el romboide ABCD, calcula "θº", si: AM=MN.

A

B C

D

M 80º

θºN

2. SiABCDesunromboide,calcula"x".

A

B C

D

70º

55º

x

6

5

E

3. En el paralelogramo ABCD, calcula "BP".

A

B C

D

αºαº

12

x

7

P

4. Calcula la medida del lado menor de un rectángulo, si es 5 cm menor que el lado mayor y además su perímetro es 50 cm.

5. Enlafigura,PQRSesunromboidedeperímetro40cm.Calcula"QR".

P

Q R

S3x

x

1. Calcula"x",siABCDesunromboide.

A

B C

D

2x–1 13

2. SiABCDesunparalelogramo,calcula"xº".

A

B C

D

3xº–20º

100º

3. SiPQRSesunrombo,calcula"x".

P

Q R

S

3x

21

4. SiPQRSesuncuadrado,calcula"x".

30–x

x–10

Q R

P S

CEILTRColegios


45. Calcula "θº" en el romboide ABCD.

30º–θºA

B C

D

θº

6. GraficaelromboPQRS,talque:PQ=3cm.

7. Grafica el romboide PQRS, tal que: m PQR=130º,PQ=4cmyQR=7cm.

8. Calcula"xº"enelparalelogramoABCD.

A

B C

D

xº65º

9. Calcula"x"enelrectánguloABCD.

3x–10 x+30

A

B C

D

10. Calcula "αº"enelcuadradoPQRS.

Q R

P S9αº

11.GraficaunromboidePQRS,talquem R=65º,QR=6cmyRS=4cm.

12. EnelromboABCD,calcula"x".

A

B C

D

3x+14

4x–1

13.Calcula"xº"enelromboidePQRS.

2xº

130º

P

Q R

S

14. En la figura, calcula "xº", si PQRS es unromboide.

75º

P

Q R

Sxº

M

15. En la figura, calcula "xº", si ABCD es unromboide.

A

B C

D

20º

xº

Geometría

CEILTRColegios



• Enlaparteexternadeestacúpula,¿observasalgunaformarectangular?

operaciones en el cuadriláteroEn este capítulo aprenderemos a:

• Reconocerlasdiferentescaracterísticasypropiedadesdeloscuadriláteros.• Aplicarlaspropiedadesvistasenloscuadriláterosadiferentesproblemas.• Graficarcorrectamenteuncuadriláteroconsusrespectivoselementos.

LaDeutscherWerkbund(Federaciónalemanadel trabajo) fueelprimermovimientoarquitectónicorelacionado con el expresionismo producido enAlemania. Fundada enMúnich, el 9 de octubrede1907,porHermannMuthesius,FriedrichNaumannyKarlSchmidt,incorporóposteriormentea

figurascomoWalterGropius,BrunoTaut,HansPoelzig,PeterBehrens,TheodorFischer,JosefHoffmann,WilhelmKreis,AdelbertNiemeyeryRichardRiemerschmidt.Herederadel Jugendstil y de la Sezession vienesa, e inspirada en el movimiento Arts & Crafts,suobjetivoeralaintegracióndearquitectura,industriayartesaníaa travésdel trabajoprofesional, laeducacióny lapublicidad,asícomointroducireldiseñoarquitectónico en la modernidad y conferirle un carácter industrial. Las principales características del movimiento fueron: el uso de nuevos materiales, como el vidrio y el acero, y la importancia del diseño industrialyelfuncionalismodecorativo,comolosusadosenlasestructurasdelascúpulas.

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uark

i.com

5

Geometría

CEILTRColegios



10 x 550

1. Segúnlafigura,calcula"θº".

130º

80ºθº

2. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "αº".

A B

CD2αº

100º

3. EnelromboidePQRS,calcula"θº".

P

Q R

S

120º

3θº

4. Delafigura,calcula"xº".

4xº

2xº

5. En el trapecio rectángulo, calcula "θº".

4θº

60º

6. SiABCDesunparalelogramo,calcula"x+y".

2y

3x

18

15

A

B C

D

7. En el rectángulo ABCD mostrado, de perímetro 120 cm, calcula "BC".

x

4xA

B C

D

8. Eneltrapecioisósceles,calcula"xº".

DA

B C110º

2xº

9. En el romboide ABCD mostrado, calcula "θº".

A

B C

D

74ºθº


100º

θº

θº 80º

CEILTRColegios


Operaciones en el cuadrilátero



1. Nombra cada tipo de trapecio mostrado.

θº θº

2. Nombra cada paralelogramo mostrado.

a

a

a

b

a

a

a

a

3. Completa cada relación, de acuerdo con:

A

B C

D

θº

αº

Si: BC // AD

αº+= αº=

Si: AB // CD y BC // AD

αº

θº

A

B C

D

4. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda.

• Unromboideesunparalelogramoequilátero .............................................................( ) • Enuntrapezoideconvexo,lasumadesusángulosinternoses540º ...........................( ) • Unromboesunparalelogramodeladosiguales ........................................................( ) • Entodocuadrilátero,lasumadeángulosinternoses360º ..........................................( )

5. Grafica,segúnelenunciado.

• UntrapezoideconvexoPQRS.


CEILTRColegios



6. Si ABCD es un cuadrado y CPD es un triángulo equilátero, calcula "θº".

A

B C

D

P

θº

7. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "xº"(AB // CD)

A

BC

D

4xº

2xº

8. EnelromboABCDmostrado,calcula"x".

A

B C

D3x+10

4x–1

9. En la figura, ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. Calcula "θº".

A

B C

D

θº

P

10. Si ABCD es un rectángulo y CPD es un triángulo equilátero,calcula"xº".

A

B C

D

Pxº

11. En el romboide ABCD mostrado, calcula "θº".

A

B C

D

3θº

6θº

12. En la figura, ABCD es un trapecio (BC // AD) y ADResuntriánguloequilátero.Calcula"θº".

Aθº

110ºB C

D

R

13. En la figura, ABCD es un romboide y ADEF es uncuadrado.Calcula"xº".

A

B C

D

EF

xº

65º

Aplicación cotidianaLa mesaJuan se inscribe en un curso de carpintería y construye la mesa mostrada con las siguientes dimensiones, como se muestra en la figura.

14. Si las dimensiones están erradas, ya que el largo (BC) debe medir 20 cm más y el ancho (AB) debe medir 5 cm más, ¿cuál sería el perímetro de la mesa, haciendo las correcciones debidas?

15. Si no hubiera falla, ¿cuál sería el perímetro de la mesa?

A

B C

D

150 cm100 cm

CEILTRColegios


Operaciones en el cuadrilátero


18:10:45


1. Si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero, calcula "θº".

A

B C

D

E

θº

2. SiABCDesun trapecio isósceles (AB=CD) yCPDesuntriánguloequilátero,calcula"xº".

xº

110º

A

B C

D

P

3. En la figura, ABCD es un romboide, calcula "xº".

4xº

A

B C

DH

xº

4. Si ABCD es un cuadrado y BCQP es un rombo, calcula"xº".

A

B C

D

P Q120º xº

5. En el romboide ABCD, AB=2 cm. Calcula"BC".

P

θºθº αº

αº

A

B C

D

x

2

1. Calcula"xº".

100º

80ºxº

2. EneltrapecioABCD,calcula"xº"(BC // AD).

A

B C

D

120º

2xº

3. En la figura, calcula "θº", si PQRS es unromboide.

80º

4θºP

Q R

S

4. Calcula"xº".

100º

80º

3xº

xº

CEILTRColegios


55. Calcula "θº".

120º

3θº 3θº

6. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "θº".

A

B C

D

4θº

60º

7. Calcula"x",siABCDesunromboide.

A

B C

D

4x–1 2x+9

8. En el gráfico, calcula "θº".

4θº

2θº

9. Calcula "θº",siPQRSesunromboide.

P

Q R

S

120º

θº

H

10.Calcula"xº",enelromboideABCD.

A

B C

D

xº

72º

11. Calcula "θº", si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero.

A

B C

D

θº

P

12. Si las figuras ABCD y CPD son polígonos regulares, calcula "θº+fº".

A

B C

D

P

θº

fº

13. Calcula "θº",siPQRSesunromboide.

P

Q R

S

θº

68º

14. Calcula "3θº".

5θº

60º4θº

15. EnelrectánguloABCD,calcula"x".

A

B C

D

5x+1

3x+41

Central: 619-8100

geometría



UNIDAD 1





UNIDAD 1






Central: 619-8100

geometría


1

• A las abejas se les considera los arquitectos de la naturaleza. En la parte superior semuestra unamuestradesutrabajo,¿quéformapoligonalobservas?

¿Qué es perímetro?En este capítulo aprenderemos a:

• Definirelconceptodeperímetro.• Calcularelperímetroendiferentesregionespoligonales.• Desarrollardiferentestiposdeproblemassobreperímetro.

Lamieltienemuchaspropiedadesterapéuticas(Havsteen2002).Sepuedeusarexternamentedebidoasus propiedades antimicrobianas y antisépticas. Así, la miel ayuda a cicatrizar y a prevenir infecciones en heridas o quemaduras superficiales. También es utilizada en cosmética (cremas, mascarillas de

limpieza facial, tónicos, etcétera) debido a sus cualidades astringentes y suavizantes.Lamieltambiénseempleaenlamedicinatradicional.Esunexcelenteconservantenatural.Sinembargo,no siempre es saludable. Debido a que procede de flores silvestres, hay algunos momentos y lugares en los quelamielproducidaporlasabejasesaltamentetóxica.Losrododendrosyazaleasproducenunnéctaraltamente venenosopara loshumanos, aunque inofensivopara las abejas, queproducen así unamielmortífera. En algunas regiones del mundo las colmenas se vacían inmediatamente después de la temporada deflores,eliminandocualquierresiduoparaevitarenvenenamientosaccidentales.Existenhistoriasdelusode miel venenosa como arma de guerra en la antigüedad, pero no son corroborables. Dicha miel venenosa esmuydifícildeencontrar.Laformadelaflordeazaleahacequealasabejasleresultedifícilaccederalnéctar,yenlaépocaenlaqueflorecenhaycasisiempreotrasfloresmásatractivasparalasabejas,yasílotrabajenensucolmenaquepresentalaformabrindadaenelgráfico.

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tafo

rmaa

rqui

tect

ura.

cl

CEILTRColegios


¿Qué es perímetro?

Conceptos básicos

Saberes previos

• Paralelogramos

A

B C

D

Cuadrado

θº

θº αº

αº

Rombo Rectángulo

• Trapecios

αº αº

θº θºA

B C

D

Trapecio isósceles

Perímetro Longitud de perímetro Es la suma de las longitudes de todos los lados de una región poligonal.

Notación del perímetro: (2p)

En la figura:

2pFigura=AB+BC+CD+DE+EF+AF

A

B

C D

EF

Regiónpoligonal

La palabra perímetro proviene del latín perímetros, que a su vez deriva de un concepto griego. Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno.

Perímetro=16cm4 cm 4 cm

4 cm

4 cm

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 161Unidad VI

1


10 x 550

En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad.Conocerelperímetrodeuncampo,porejemplo,permitedefinirquecantidaddematerialsenecesitaparaalambrarlo. De igual forma, el perímetro es un dato esencial para diseñar la seguridad de una casa o de un barrio cerrado.Cabe destacar que, así como el perímetro es el dato que permite calcular los bordes de la superficie, el área es la que posibilita el conocimiento de su superficie interior. Así, el perímetro nos dirá cómo podemos alambrar un campo, mientras que el área aportará la información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o que cantidad de fertilizante utilizar.

1. En la figura, calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular.

A

B

C8cm

2. En el rectángulo mostrado, calcula su perímetro.

3 cm

7 cm

3. En el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro.

θº θºA

B C

D

7

3

11

4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro.

7

P

Q R

S

5. Si el polígono ABCDEF es regular, calcula su perímetro.

5A

B

C D

E

F

6. Si el perímetro de la figura regular ABCDE es 70cm,calcula"x".

x

A

B

C

D

E

CEILTRColegios




7. Si ABCD es un rombo y ADEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la región ABCDEF.

5

A

B C

D

EF

8. Si ABCE es un cuadrado y CED un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la región ABCDE.

4A

B C

E

D

9. Si ABEF es un cuadrado y FECD un rectángulo, calcula el perímetro de la región ABCD.

5

7

A

B C

D

E

F

10.CalculaelperímetrodelhexágononoconvexoABCDEF.

2422

12

6

A

B C

DE

F


1. Indicalosperímetrosdelassiguientesfiguras.

2p =

a

cb

d

e

2p =

a c

bC

B

A

2. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda: • Elperímetroeslasumadelaslongitudesdetodoslosladosdeunpolígono ................. ( ) • Unpolígonoregularesaquelquetienetodossusladosdeigualmedida ....................... ( ) • Eltriánguloequiláteroeselpolígonoregularmássimplequehay ................................. ( )

CEILTRColegios


1

Hexágonoregular

Pentágono regular


108º108º108º 108º

108º

120º

120º120º 120º

120º

120º

60º

60º 60º


6. Calcula"x",sielperímetrodelasiguientefiguraregular es 24 cm.

A

B

C2x

7. En el rectángulo mostrado, calcula "x", si superímetro es 48 cm.

x

5x

8. En el hexágono regular de lado "x+2" yperímetro60cm,calcula"x".

x+2A

B

C D

E

F

9. Enlafigura,calculaelperímetrodelhexágonoABCDEFnoconvexo.

26

14

A

B C

D E

F

3. Compara los perímetros de las figuras regulares con los signos ">", "<"o"=".

4

2p

3

3

2p

4. Grafica de acuerdo con los enunciados:

• UnheptágonoregularABCDEFGcuyoladomida2cm. • Unhexágonocóncavoequilátero.

5. Relacionaconlíneas:

CEILTRColegios



10.CalculaelperímetrodelhexágononoconvexoABCDEF, si ABCF es un cuadrado y EFCD un trapecio isósceles (EF // DC).

12

5

7A B

C

D

E

F

11. Calcula el perímetro del heptágono no convexo ABCDEFG, si ABCDG es unpentágono regular y DEFG es un cuadrado.

12

A

B

C

D

E

FG

12. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero.

A

B C

D

P

7

13. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada,siABCDEFesunhexágonoregulary PDEQ es un cuadrado.

A

B

C D

E

F

P

Q

10


La losa de fulbito

A

B

C

D

Elgráficomuestraunalosadeportiva.Juanobservaque:AB=2(AD)yqueelperímetrodelalosadeportivaes 108 m.

14. Calcula la longitud de "BC".

15. Si:AB=3(AD)yelperímetroes120m,calcula"AD".

CEILTRColegios


1


18:10:45


1. Calcula el perímetro de la figura sombreada.

4

5

7

8

3


5

10

6 460º 60º

3. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si AED es un triángulo equilátero y ABCD es un romboide.

A

B C

D

E

7

5


6

6

A

BO

5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si el triángulo DEF es equilátero.

4 cm

E

D

F


P

Q

R14

2. DadoelromboidePQRS,calculasuperímetro.

6

14P

Q R

S

3. Dado el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro.

θº θºA

B C

D

5

4

3


20

Central: 619-8100

geometría





A

B

C

D

E

20 cm

6. Si el perímetro del rombo ABCD es 48 cm, calcula"x".

A

B C

D2x

7. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 60 cm, calcula"x".

2x+1

A

B C

D

8. Si ABPQ es un cuadrado y PCDQ es un rectángulo, calcula el perímetro de ABCD.

10

4

A

B C

D

P

Q

9. Si ABCP es un rombo y CPD es un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la figura ABCD.

25

A

B C

DP

10. Calcula el perímetro de la figura, si es un cuadrado.

50–x

30+xA

B C

D

11. Calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular.

A

B

C

D E

F

G

H10

12. Calcula el perímetro de un icoságono regular, si uno de sus lados mide 5 cm.

13. Calcula el perímetro de un pentadecágono regular, si uno de sus lados mide 3 cm.

14. Calcula el perímetro de un nonágono regular, si uno de sus lados mide 6 cm.

15. Calcula el perímetro de la siguiente figura sombreada.

20

14

Central: 619-8100

geometría


2

CEILTRColegios


• En la arquitecturamostrada en la parte superior, ¿observas formas poligonales o algún polígonoregular?

Calculando el perímetro de diversas figuras


• Calcularelperímetrodediferentesregionespoligonales.• Desarrollardiferentesproblemassobreelcálculodeperímetros.

Laarquitecturapracticadaen lasúltimasdécadas,desde la segundamitaddel sigloXX,puede serentendida, desde las perspectivas denominadas potsestructuralistas o potsmodernas, como una reacción a las propuestas del movimiento moderno: unas veces los arquitectos actuales releen los

valores modernos y proponen nuevas concepciones estéticas (lo que eventualmente se caracterizará como unaactitudllamadaarquitecturaneomoderna);otras,proponenproyectosdemundoradicalmentenuevos,unejemplodelosúltimossonlostrabajosdeestructurasgeodésicas.

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tafo

rmaa

rqui

tect

ura.

cl

CEILTRColegios




10 x 550

Saberes previos

• Polígonosregulares

• Trapecios

• Paralelogramos

60º 60º

60º

Triánguloequilátero

Cuadrado

αº

αº

αº

αº αº

Pentágonoregular

θº θº

θº

θº

θº

θº

Hexágonoregular

Trapecio isósceles

αº αº

θº θº

Trapecio rectángulo

a

b

Rectángulo

a

b

αº

αºθº

θº

Romboide

a a

a

a

Rombo

1. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rombo y CFED es un cuadrado.

5A

B C

D

E

F

2. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero.

A

B C

E

D

4

CEILTRColegios


23. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si

ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo.

12

5

A

B C

D

EF

4. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un rombo y CED es un triángulo equilátero.

A

B C

DE

6

5. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero.

A

B C

D

P

7

6. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y ABP es un triángulo equilátero.

A

B C

D

P

10

2


8

2

3

10A

B C

DE

F


20

2 2

14

8


16

12

10. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDEFesunhexágonoregularyAPQFesuncuadrado.

8A

B

C D

E

F

P Q

CEILTRColegios




Comunicación matemática1. Nombra las siguientes figuras:

θº

θº

θº

θº θº 60º 60º

60º

θº

θº

αº

αº

2. Grafica, de acuerdo con los enunciados:

• Un hexágono regular ABCDEF y el triánguloequiláteroAPF,interioralhexágono.

• Un cuadrado ABCD y el triángulo equiláteroCPD,exterioralcuadrado.

3. De acuerdo con el enunciado, sombrea las figuras mostradas.

A

B C

D

P

• LaregióninterioralcuadradoABCDyexterioral triángulo APD.

• LaregióninternaalpentágonoABCDEyexternaal cuadrilátero BPQA.

A

B

C

D

E

P

Q

4. Completa la relación correcta.

A

B

Cl60º

60º

Perímetrodeltriángulo=

l

Perímetrodelcuadrado=

5. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda.

• Elromboesunpolígonoregular ..................................................................................... ( ) • El perímetro se calcula mediante la suma de los lados de un polígono, dividida entre dos . ( ) • Todoparalelogramoesunpolígonoregular ................................................................... ( )

CEILTRColegios



6. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDQ es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la región ABCQDes20cm,calcula"x".

xA

B C

D

Q

7. Enlafigura,calcula"x",siPQRSesuncuadrado,SMResun triánguloequiláteroyelperímetrode la región sombreada es 30 cm.

P

Q R

S

M

x

8. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABEF es un cuadrado y BCDE es un rombo.

12A

B

C D

E

F

9. Calcula el perímetro de la región sombreada.

8

20

35

8

10. Calcula el perímetro de la región sombreada.

40

50

11. En la figura, BPC es un triángulo isósceles y ABCD es un cuadrado. Calcula el perímetro de la región ABPCD.

15

12

θº θº

A

B C

D

P

12. Si el perímetro de la figura PQCD es 24 cm, calcula el perímetro del cuadrado ABQP.

2x

xA

B C

DP

Q

13. Si el perímetro de la figura ABCD es 48 cm, calcula el perímetro del triángulo equilátero APB.

3x

x

A

B C

P

D

CEILTRColegios





El dormitorio

32

7

15

8

Dormitorio

Sala

El dormitorio de Luis presenta las siguientes medidas, de acuerdo a la figura mostrada.

14. Calcula el perímetro del dormitorio de Luis.

15. Calcula el perímetro de la sala de Luis

1. Enlafigura:a+b=32cm.Calculaelperímetrode la figura sombreada.

a

b

2. En la figura, ABCD es un romboide y PCD es un triángulo equilátero. Calcula el perímetro de la figura sombreada.

10

15A

B P C

D

3. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada.

40

50

4. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada.

20

36

1812 60º 60º

5. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y APD es un sector circular de centro "A".

60ºA

B C

P

D

4

8

CEILTRColegios



18:10:45

1. En la figura, ABCF es un cuadrado y FCDE es un trapecio isósceles. Calcula el perímetro de la figura ABCDEF.

θº

θºA

BC

D

E

F

8

15

5

2. Calcula el perímetro de la figura ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero.

A

B C

E

D10

3. Si ABCF es un rombo y CDEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la figura ABCDEF.

A

B C

D

EF

4. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado yARDun triánguloequilátero.

A

B C

D

R

15

5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDE es un polígono regular y CMD es un triángulo equilátero.

A

B

C

D

E

M

11

6. Calcula el perímetro de la figura ABCED, si ABCD es un trapecio isósceles y CED es un triángulo equilátero.

12

6

5

A

B C E

Dθº θº


11

3

3

14


11

27

Central: 619-8100

geometría




9. Si la figura es un polígono regular, calcula su perímetro.

31

A

B

C D

E

F

10. En la figura, calcula el perímetro del trapecio rectángulo.

3

4

6

11. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo.

12

20A

B C

D

E

F


35

10

13. Calcula el perímetro de la figura ABCDEFG, si ABCDG es una figura regular y FGDE es un cuadrado.

3

G

A

B

C

F E

D

14. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABC es un triángulo equilátero y BEDC es un cuadrado.

5

A

B

C

E

D


60º 60º

19

14

8 8

Central: 619-8100

geometría

175www.trilce.edu.pe 175

3

CEILTRColegios


• Enlaestructuradelosautosmodernosobservamosquelosingenierosusanmuchasformaspoligonales,como en este Lamborghini Gallardo. ¿Observas alguna forma geométrica estudiada?

repaso general

En este capítulo aprenderemos a:• Repasartodoloaprendidoanteriormente.• Recordaryaplicarlosconceptosaprendidos.

YahansalidoalaluzlasimágenesoficialesdeloúltimodeLamborghini,elsustitutodelGallardo,para aguantar en el mercado unos añitos hasta la llegada de su sustituto. Pero no se trata solo de eso, hayvarioscambios:motor,traccióntotalpermanenteynuevasuspensiónmejoranlasprestaciones

y la dinámica del superdeportivo italiano.Laaerodinámicahamejorado,aefectosdeestabilidadyforma,enlaestructuraconformaspoligonales:aaltasvelocidades(amásde120km/h)seliberaelspoiler.Tambiénmejoralarefrigeracióndelmotorcontomasdeairemásgrandes.Seharediseñadoeldifusortraseroylosbajos.Laeficienciaaerodinámicaesun31%superioralmodeloprevio,segúnlamarca.

http

://w

ww

.sob

reco

ches

.com

CEILTRColegios


Repaso bimestral


10 x 550


A

B

CD

F

E

G

2. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P".

A

R Q

P

3. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono.

A

B

C D

E

4. En el trapecio rectángulo, calcula "θº".

57º

θº

5. En el trapezoide, calcula "αº".

100º2αº

2αº αº

6. En el romboide mostrado, calcula "θº".

A

B C

D

45º

3θº

7. Calcula el perímetro del trapecio isósceles.

αºαºA

B C

D

2

7

5

8. Calcula el perímetro del hexágono regularABCDEF, de lado 12 u.

A

B

C D

E

F12

9. Enlafigura,calcula"x",siABCDesunromboidede 40 cm de perímetro.

x

A

B C

D4x

10. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCDE es un pentágono regular y ABP es un triángulo equilátero.

A

B

C

D

E

P

12

CEILTRColegios




1. De acuerdo con el gráfico, completa la relación correcta.

αº fº

θºβº

αº+βº+θº+fº= αº+ =

θº

αºA

B C

D

• SiABCDesuntrapecio:

2. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.

• Enunparalelogramo,losángulosinternosopuestossondeigualmedida ................( ) • Elromboesunparalelogramoequilátero ................................................................( ) • Unpolígono,deacuerdoconsuregión,puedeserconvexoynoconvexo..............( ) • Entodocuadrilátero,lasumadeángulosinternoses540º .......................................( )

3. Delospolígonosmostrados,¿cuálessonconvexos?

a) b) c) d)

4. Nombra las siguientes figuras.

60º 60º

60º

αº

αºθº

θº αº

αºθº

θº

5. Grafica de acuerdo con el enunciado.

• UncuadriláteronoconvexoABCD.



6. En el pentágono no convexo mostrado, trazatodas las diagonales posibles del vértice "B".

AB

C D

E


60º 60º

xº

CEILTRColegios


Repaso bimestral

8. En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD), calcula "θº".

3θº

30ºA

B C

D

9. Calcula el perímetro del romboide ABCD.

1–a

A

B C

D

5+a

10. EnelromboABCDmostrado,calcula"xº".

A

B C

D

140º

2xº–10º

11.Calculaelnúmerodeladosdeaquelpolígonoque cumple que sus ángulos internos sumen 1 080º.

12. Calcula el perímetro de la región ABCDEFG.

60º60º8 5

12

18A

B C

D

EF

G

13. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado, EFG es un triángulo equilátero y ADEG es un trapecio isósceles (AD=EG).

7

3

12A

B

C

D E F

G


Las habitaciones

En el gráfico se muestra el conjunto de habitacionesde Eduardo, conformado por una sala de estudio, un baño y un dormitorio. Si la sala de estudio y el baño son cuadrados y el dormitorio es un rectángulo, con las dimensiones dadas en el gráfico, analizar cada situación y luego calcula lo que se pide.

14. Elperímetrodetodoelconjuntodehabitaciones.

15. Compara el perímetro de la sala de estudio con el delbañoyeldormitorio,enconjunto.¿Quéperímetroesmayor?

8

4

2

Sala de estudio

Dormitorio

Baño

CEILTRColegios


3


18:10:45


1. En el trapecio isósceles mostrado, calcula su perímetro.

18

6

8

θº θº

2. Eneltrapeciomostrado,calcula"xº".

θºθº

αº αº

xº140º

50º

3. Enelpolígonomostrado,calcula"xº".

A

B

C

D E

F

G

H

xº

xº xº

xºxº

100º

100º 140º


14 cm

3 cm

16 cm

5. En la figura, calcula el perímetro del romboide ABCD.

A

B C

DP 2,5

θºθº αº

αº

1. Nombraelpolígono,segúnelnúmerodelados.

2. Traza las diagonales del polígono mostrado, desde el vértice "Q".

Q

3. ¿Cuántos triángulos se forman, trazando las diagonalesdesdeelvértice"R"?

R

4. Calcula "θº", en el siguiente gráfico.

θº

52º

CEILTRColegios


Repaso bimestral

5. En el rombo ABCD, calcula "αº".

A

B C

D

αº

224º–αº

6. En el hexágono regular ABCDEF, calcula elperímetro.

A

B C

D

EF 15

7. Calcula la suma de ángulos internos de un decágono.

8. Si el perímetro de la figura es 40 cm, calcula "x".

x

9x

9. Calcula la suma de ángulos internos de un pentadecágono.

10. Calcula "θº" en el trapecio mostrado.

134º

θº

11.Calcula"xº".

3xº

2xº 2xº

xº

12.Calcula"xº".

70º

10º

15º

xº

13.Calcula"x"enelrombo.

A

B C

D

3x–10

2x+5

14. Calcula "θº" en el trapecio ABCD.

24º

4θº

A

B C

D

15. Calcula "θº".

2θº

4θº


UNIDAD 1





UNIDAD 1






CEILTRColegios


Geometría

CEILTRColegios



• ¿Puedesobservaralgunaregión?.Enestasregionestrabajadasdemaneratanperfecta,nadiehastaelmomentopuedeexplicarsuorigen.

¿perímetro es lo mismo que área?En este capítulo aprenderemos a:

• Definirydiferenciarelconceptoderegiónyárea.• Reconocerladiferenciaentrelosconceptosdeáreayperímetro.• Conoceryaplicarlasfórmulasparaelcálculodeáreasdeuncuadradoyunrectángulo.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasdeuncuadradoyunrectángulo.

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ga.n

et/p

osts

/imag

enes

ReferentealfenómenoOVNIysufenomenología,ufológoshanpostuladoqueelfenómenoOVNIhabría sido probablemente ya conocida por distintas culturas indígenas y civilizaciones las cuales han relatado este tipo de sucesos de generación en generación por vía oral o incluso mediante

dibujosypinturasrupestres.Enestetraspasodeinformacióndeculturasatravésdelossiglos,postulanqueseríaposiblereconocerlaexistenciadeepisodiosrelacionadosalapresenciadeOVNISyseresasociadosalaaparicióndetalesobjetosysusfenómenosasociados.ExistenpinturasqueexhibenciertosobjetosaniveldelcieloquepuedenserinterpretadossugerentementecomoOVNIS.Enalgunaspinturasrupestresinclusosedescubrentrazosquerepresentanseresantropomorfosdesconocidos, que pudieran ser confundidos con seres que en la actualidad se asocian a visitas de tripulantes OVNI(ovninautas)oseresextrañosqueseaparecenjuntoconlapresenciadeOVNIS.Algunoscríticosargumentan,sinembargo,quelaspresuntaspruebasdelfenómenoOVNIenlaantigüedad,nodejadeserunaexplicaciónadhoc,yaquelasnubesycarrosdefuegopodríansermetáforasempleadasen los relatos religiosos, yqueestas representacionespudieran serproductodeexperiencias y tranceschamánicos o representaciones de valor de cada tribu indígena.

1

Geometría

CEILTRColegios


Geometría

183Unidad VII

Conceptos básicos

Saberes previos

• Polígonoequilátero

• Rectángulo

• Paralelogramo

• Cuadrado

a

A

B C

D

E

a

aab

a

αº

αºβº

βº

a

aDiag

onal

b

a

a

Diagonal

RegiónEs una parte de la superficie y está limitado por una línea cerrada llamada contorno o frontera. A la región seledenominadeacuerdoalcontornoquepresente,porejemplo:

Contornotriangular

Regióntriangular

Contornocuadrangular

Regióncuadrangular

Contornopentagonal

Regiónpentagonal

ÁreaEslamedidadeunaregiónyseexpresamedianteunnúmeropositivoacompañadodeunidadescuadráticas,porejemplo:

Área=28cm2

Se interpreta: El área de la región cuadrangular es de 28 cm2

Área=36km2

Se interpreta: El área de la región hexagonalesde36km2

CEILTRColegios


Perímetro es lo mismo que área

Cálculo del área de una región cuadrada

1 cm

1 cm

S=(1cm)(1cm)

S=1cm2

2 cm

2 cm

S=4cm2

S=(2cm)(2cm)

3 cm

3 cm

S=9cm2

S=(3cm)(3cm)

• Engeneral:

l

l

S: Área de la región cuadrada

S=l2

Cálculo del área de una región rectangular

a

b

S: Área de la región rectangular

S=a.b

2 m

2 m

• Perímetrodelcuadrado=2+2+2+2=8m

• Áreadelcuadrado=(2)2=4m2

2 m

5 m

• Perímetrodelrectángulo=2+2+5+5=14m

• Áreadelrectángulo=(2)(5)=10m2

En el cuadrado:

En el rectángulo:

No es lo mismo área y perímetro

Ten en cuenta

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 185Unidad VII


10 x 550

1. En la figura, el perímetro del cuadrado ABCD es 20 cm, calcula el área de la región cuadrada.

A

B C

D

2. Si el perímetro del rectángulo es de 18 cm, calculaeláreadelaregiónrectangularPQRS.

2 cm

P

Q R

S

3. Calcula el área de la región sombreada.

10 m

10 m

3 m

3 m


2 m

7 m4 m

7 m

5. Si el perímetro del rectángulo ABCD es 72 cm, calcula el área de la región rectangular.

2x

4xA

B C

D

6. Si el área de la región rectangular mostrada es 27 m2, calcula el lado mayor.

x

3x


13 m8 m

3 m

15 m

8. Si el cuadrado mostrado tiene igual área que la delrectángulo,calcula"x".

x

x 9 m

4 m

9. Calcula el área de la región cuadrada mostrada (en cm2).

2x–5

3x–12

10. En un cuadrado, su perímetro es numéricamente igual al área, calcula el lado del cuadrado.

CEILTRColegios





1. Relacionaconlíneas.

Regióncuadrangular

Regióntriangular

Regiónhexagonal

••

••

••

2. Indicaelvalordeverdad("V"o"F")delassiguientesproposiciones:

• Losconceptosderegiónyáreasonlomismo ............................................................ ( )

• Laregiónsenombradeacuerdoalcontornoquepresenta ........................................ ( )

• Losconceptosdeáreayperímetrosonlomismo ....................................................... ( )

3. Completa las relaciones mostradas de acuerdo al gráfico.

l

l

Área=()2 Área=().()

a

b

4. Sombrea de acuerdo al enunciado:

• Laregióninternaalrectánguloyexternaal cuadrado.

• Laregiónexternaalcuadradoeinternaal pentágono.

5. Completa de acuerdo al gráfico.

m

m

Perímetro=

CEILTRColegios



6. En el cuadrado ABCD, su área mide 81 cm2, calcula "y".

y

yA

B C

D

7. EnelrectánguloPQRSmostradodeárea663m2, calcula su perímetro.

17

aP

Q R

S

8. Calculaeláreadelaregiónsombreada,siPQRSes un cuadrado.

12 m

20 m

8 m 6 mP Q

RS

A

B C

D

9. Si losperímetrosdelas figurasABCDyPQRSson iguales, calcula:

yx .

4x

xA

B C

D 3y

2yP

Q R

S


24 m

6 m

8 m

8 m

20 m

11. En el triángulo equilátero ABC de 5 cm de lado, calcula el área de la región cuadrada ACSRmás el área de la región rectangular sombreada BPQC.

1A

B

C

P

Q

R S

12. En el rectángulo mostrado, un lado es el triple delotro.SieláreadelaregiónrectangularPQRSes 48 m2, calcula el perímetro del rectángulo.

P

Q R

S

13. Si las áreas de las figuras mostradas son iguales, calcula"x".

x

x

8

x–2

CEILTRColegios





La puerta

210 cm

135 cm

40 cm

1. En la figura, a2–b2=M.Calculaeláreadelaregión rectangular mostrada .

a–b

a+b

2. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 24 m, calcula el área de la región sombreada.

A

B C

D

3. Calcula el área de la región rectangular ABCD en términos de "M" y "N".

A

B C

D

P

M N

4. Calcula el área de la región cuadrada CDEF, si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD) de perímetro igual a 34 m.

A

B

D

F

E

C

13 m

5 m

θº θº

5. Si las figuras mostradas son equivalentes, calcula:

yx .

2x

2x

3y

y

Uncarpinterodeseahacerunagujerodeformacuadradade40cmdelado. Si las dimensiones de la puerta son 210 cm de alto y 135 cm de ancho como se muestra en la figura:

14.Calculaeláreadelapuertaconelagujeroyarealizado.

15.Calculaelperímetrodelapuertaconelagujeroyarealizado.

R

S

CEILTRColegios



18:10:45

1. Calcula el área de la región cuadrada mostrada.

8

8

2. Si el área de la región rectangular es 63 cm2, calcula "y".

y

9

3. Calcula "x", si PQRS es un cuadrado de área169 cm2.

x

xP

Q R

S

4. Calcula"x",siABCDesunrectángulodeárea48 cm2.

x

16 cmA

B C

D

5. Calcula el perímetro de un cuadrado, si el área de su región es 81 cm2.

6. Calcula el área de una región rectangular, si un lado es el doble del otro y su perímetro es 24 cm.

7. CalculaeláreadelaregiónrectangularPQRS,silabase es el triple de la altura y el perímetro es 56 m.

8. En la figura, calcula "p", si el área de la región rectangular ABCD es 180 cm2.

12

A

B C

Dp+5


12

15

3

5

10. Calcula "l", si ABCD es un cuadrado de área 1 600 m2.

l

lA

B C

D

11. Calcula el área de una región rectangular, si su perímetro es 160 cm y la base mide seis veces más que la altura.

12. Calcula el área de la región de un rectángulo, donde el lado mayor es el cuádruplo del menor y su perímetro es 140 cm.

13. Si las áreas del cuadrado y el rectángulo son iguales,calcula"x".

x

x

28

7

14. Calcula el área de la región no sombreada.

6

6 6

6

36

30

15. Calcula el área de la región de un cuadrado, si su área y su perímetro son numéricamente iguales.

Geometría

CEILTRColegios



• LosJardinesenmuchoscasospresentanregionesdediferentesformas. JardinesdelacatedralSantaCécile-Albi–Francia

Conociendo las regiones poligonales

En este capítulo aprenderemos a:• Conoceryaplicarlasfórmulasparaelcálculodeáreasdeuntriángulorectánguloyun

romboide.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasdeunaregiónencerradaporun

triángulo rectángulo y un romboide.

Los Jardines tienen su origen entre los años 1630 y 1640, cuando el Conde-Duque de Olivares (Don GaspardeGuzmányPimentel),validodeFelipeIV(1621–1665),leregalóalreyunosterrenosquelehabíansidocedidosporelDuquedeFernánNúñezparaelrecreodelaCorteentornoalMonasterio

delosJerónimosdeMadrid.Así,conlareformadelCuartoRealquehabíajuntoalMonasterio,seiniciólaconstruccióndelPalaciodelBuenRetiro.Contabaentoncesconunas145hectáreas.Aunqueestasegundaresidencia real iba a estar en lo que en aquellos tiempos eran las afueras de la villa de Madrid, no estaba excesivamentelejosdelalcázaryresultóserunlugarmuyagradableporestarenunazonamuyboscosay fresca.

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free-

phot

os.c

om

2

Geometría

CEILTRColegios


Geometría

191Unidad VII

Conceptos básicos

Saberes previos

• Romboide • Triángulorectángulo

αº+θº=180º

αº

αº

θº

θº

a

b

Cateto

Cateto

Hipotenusa

• Rectángulo

b

b

a aI

II

RegiónI=RegiónII

Cálculo del área de la región de un triángulo rectángulo

b

a

A

B C

D

ÁreadelrectánguloABCD=S

(a).(b)=S

b

a

A

B C

D

S/2

S/2ÁreadeltriángulorectánguloACD= S

2

Área del triángulo rectángulo ACD =

.a b2

Trazamos una diagonal del rectángulo (AC).

CEILTRColegios



Cálculo del área de una región romboidal

b

a

A

B C

D

ÁreadelrectánguloABCD=S

(a).(b)=S

• En general:

Trazamos una paralela a la diagonal AC que pase por "B".

Área = ( ) ( )x y2

x

y

b

a

A

B C

D

S/2

S/2

P

b b

a

A

B C

D

S/2

P

S/2

Trasladamos la región ACD a la región PBA por ser regiones iguales.

ÁreadelromboidePBCA= S S2 2

+

ÁreadelromboidePBCA=S

ÁreadelromboidePBCA=a.b

CEILTRColegios


2


10 x 550

• Engeneral:

h

b

Área =b.h

Área =m.hhm

1. En cada caso, calcula el área de la región sombreada.

6 u

4 uA=

12 u5 u A=

2. Calcula el área de la región sombreada de cada romboide.

A=12 u

5 u

A=7 u10 u


6

8

5


6 u

6 u

10 u

Observación

CEILTRColegios





15 m

8 m

8 m

14 m


5 m12 m

13 m13 m

13 m


A

B C

D

P

12

6

7


A

B C

D

M

18

6

10


M 10 u

6 u

4 u

2 uP

Q R

SN


P

3 m

A

B C

D

Q

14 m

8 m

6 m


1. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado.

• LaregióninternaalcuadradoPQRSy externaaltriánguloABS.

P

Q R

S

A

B

• LaregiónexternaalrectánguloBPQRe interna al romboide ABCD.

A

B C

D

P Q

R

CEILTRColegios


2 • Enelromboide:

m

H

Área =()()

• Eneltriángulorectángulo:

Área =( )

( ) . ( )

m

n


• Paracalculareláreadeuntriángulorectángulosenecesitalosdoscatetos ................... ( )

• Paracalculareláreadeunromboidesenecesitaunladoyunadiagonal ...................... ( )

• Laregióncuadrangularesaquellaqueestálimitadaporuntriángulorectángulo ........... ( )

4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado.

• Eláreadeunrectángulosecalculacomoel.......................dela......................porla ......................

• Eláreadeun...................rectángulosecalculacomoel............................delos..................

semiproducto–altura–base–catetos–producto–triángulo

5. Menciona que figuras componen las regiones compuestas.

La región heptagonal esta compuesta por:

•

•

•

a

b

c

La región pentagonal esta compuesta por:

•

•

a

b

2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado.

CEILTRColegios





17

4

158

7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD esunromboideyED=5m.

A

B C

D

E

16 m

8. Si el área de la región del romboide ABCD es 260 cm2, calcula "h".

A

B C

D

h

26 cm

9. Si el área de la región del triángulo rectángulo es la mitad del área de la región del romboide, calcula"x".

6

8

x

6


12 m

12 m

6 m

7 m

P

F


26 m

8 m

14 m

10 m

θº θºA

B C

D


12 cm

10 cm

5 cm

6 cmP

RQ

S

N

M

13. Calcula el área de la región sombreada, si: BC=6cmyCD=8cm.

2 cm

A

B

CD

E18 cm


La cochera

En la figura se muestra el plano de una cochera

14. ¿Cuál es el área designada para la cochera? (en m2)

15. Si Eduardo desea comprar la cochera y el costo por metro cuadrado es de $20, ¿cuál será el monto que pagará Eduardo por la cochera? 10

4

4

8 8

8A

B C

DP

Q

R

S

Habitación

Cochera

CEILTRColegios


2


18:10:45


1. Si el área de la región del triángulo rectángulo es 48 cm2, calcula el cateto mayor.

2 k

3 k

2. Si el área de la región rectangular es 60 cm2, calcula el área de la región triangular APD.

A

B C

D

P

3. En el rectángulo ABCD: AB+AD=120 cm,calcula el área de la región rectangular.

3 k

5 kA

B C

D


10 m

2 m

18 m

4 mθº θº

5. El área de la región de un triángulo rectángulo es 30 cm2. Si un cateto se duplica y el otro cateto se triplica, ¿cuál será su nueva área?


4 cm

7 cm

2. Calcula el área de la región sombreada ABCD.

5 cm

A

B C

D

9 cm

3. Calcula el área de la región sombreada, si ABDE es un cuadrado.

5 m

4 m3 m

A

B

C

D

E


8 cm

8 cm

4 cmθº θº

Central: 619-8100

geometría





8 m

10 m

4 m


5 cm

5 cm

2 cm

12 cm

7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide.

7 cm

4 cm 2 cm

5 cm

A

B C

E

D


4 cm 7 cm

5 cm


8 cm 4 cm

6 cm

6 cm

5 cm8 cm


25 m

4 m

10 m

8 m


24 m

10m

12m

4m


10m

6m

8m

13.Calculaeláreadelaregiónsombreada,siPQRSes un romboide.

12m

10m

P

Q R

S

H

14. Si las áreas de las regiones del romboide y del triángulorectángulosoniguales,calcula"x".

6 m

4m

8 m

x

15. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del romboide y el triángulo rectángulo.

5 m

6 m

10 m

4 m

Central: 619-8100

geometría


3

CEILTRColegios


• ¿QuétipoderegionespuedesobservarenlahabitacióndelHotelRoyaldeDubai?

Calculando el área de regiones triangulares

En este capítulo aprenderemos a:• Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones triangulares cualquiera.• Conoceryaplicarlasfórmulasparaelcálculodeáreasderegionestrapecialescualquiera.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasdeuntrapecioyuntriángulocualquiera.

Unhotel es un edificio planificado y acondicionado para otorgar servicios de alojamiento a laspersonas temporalmente y que permite a los visitantes sus desplazamientos. Los hoteles proveen a los huéspedes de servicios adicionales como restaurantes, piscinas y guarderías. Algunos

hoteles tienen servicios de conferencias y animan a grupos a organizar convenciones y reuniones en su establecimiento. El hotel de 4 estrellasManorHouseHotel enCastleCombe,Wiltshire, Inglaterra,fueconstruidoenel sigloXIV,elhotel tiene48habitacionesy1,5km²de jardines. Loshotelesestánnormalmente,clasificadosencategoríassegúnelgradodeconfort,posicionamientoyelniveldeserviciosque ofrecen. En cada país pueden encontrarse las categorías siguientes: • Estrellas(de0a7) • Letras(deEaA) • Clases(delacuartaalaprimera) • Diamantesy"WorldTourism".

Estasclasificacionessonexclusivamentenacionales,elconfortyelniveldeserviciopuedenvariardeunpaísaotroparaunamismacategoríaysebasanencriteriosobjetivos:amplituddelashabitaciones,cuartodebaño, televisión, piscina, etc. A nivel empresarial, al hotel se le puede considerar una empresa tradicional, se utiliza a menudo el término "industria hotelera" para definir al colectivo, su gestión se basa en el control de costos de producción y en la correcta organización de los recursos (habitaciones) disponibles, así como enunaadecuadagestióndelastarifas,muchasvecesbasadasencambiosdetemporada(alta,mediaybaja)yenlanegociaciónparaelalojamientodegruposdegenteenoposiciónalalojamientoindividual.

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com

CEILTRColegios


Calculando el área de las regiones triángulares

Conceptos básicos

Saberes previos

• Altura • Trapecio

• Distanciamínimadeunpuntoaunarecta • Enunparalelogramo

A

B

C

H"H": Altura relativa

a AC

Base menor

Altura

Base mayor

"H": Altura relativa a PRH

P

Q

RM

Distanciamínima

PL S

S

Cálculo del área de la región de un triángulo acutángulo

A

B C

D

h

b

ÁreadelromboideABCD=S

b.h=S

Trazamos la diagonal BD.

A

B C

D

h

b

S2

S2

ÁreadeltriánguloABD= S2

ÁreadeltriánguloABD= .b h2

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3

Trazamos la diagonal BD.

• Engeneral:

Cálculo del área de la región de un triángulo obtusángulo

ÁreadelromboideABCD=S

b.h=S

A

B C

D

h

b

A

B C

D

h

b

S2

S2

ÁreadeltriánguloACD= S2

ÁreadeltriánguloACD= .b h2

A

B

C

h

b

Área = .b h2

• Engeneral:

Cálculo del área de la región de una región trapecial

A

B

C

h

b

Área = .b h2

ÁreadeltrapecioABCD=S

b

a

A

B C

D

h

CEILTRColegios




10 x 550

Trazamos la diagonal AC.

• Engeneral:

Área =( ) ( )a b h2+

b

a

A

B C

D

h

b

a

A

B C

D

hh

ÁreadeltrapecioABCD=S

ÁreadeltriánguloABC+ÁreadeltriánguloACD=S

.a h2

.b h2+ =S

( )a b h2+ =ÁreadeltrapecioABCD

1. Calcula el área de la región triangular en cada caso.

A

B

C

5 m

8 m

A=

A=

Q

P R

3 m

4 m

2. Calcula el área de la región del trapecio mostrado.

9 m

3 m

7 m

3. En la figura, calcula el área de la región del triángulomostrado,si:BC=8m.

A

B

C

H

7 m

4. Enlafigura,si:a+b=17m,calculaeláreadela región del trapecio.

b

a

12 m

5. En la figura, calcula la diferencia de áreas entre lasregionestriangularesABCyPQR.

P

Q

R

3m 4m7cm

6cmA

B

C

CEILTRColegios


3


6. En la figura, calcula "h", si el área de la región triangular ABC es 36 cm2.

A

B

C

h

9 cm

7. Calcula "h", si el área de la región del trapecio PQRSes50cm2.

14 m

6 m

h

P

Q R

S

8. Calcula el área de la región triangular sombreada, si ABCD es un cuadrado.

8 cm

8 cm

A

B C

DP

9. Calcula"x",sieláreadelaregióndeltrapecioABCD es 22 cm2.

7 m

x

4 m

A

B C

D


2 m

5 m

θº θº αº αº



• Enelromboidemostrado:

b

h

Su área se calcula como "b . h" .......................................................................................... ( )

• Enuntriángulorectángulo,suáreasecalculacomoelsemiproductodecatetos ............... ( )

• Enuntrapecio,suáreasecalculacomolasemisumadebasesmultiplicadoporsualtura .. ( )

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• LaregiónexternaaltriángulorectánguloAPQeinterna al trapecio ABCD.

• LaregiónexternaaltrapeciorectánguloPQRSeinterna al romboide ABCD.

A

B C

D

P

Q A

P

BQ

CR

D

S


b

a

h

Área =( ) ( )+

• Eneltrapecio. • Eneltriángulorectángulo.

Área =( )( )2

n

m

4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado.

• Eláreadeun....................secalculacomola.....................delas........................multiplicado por la altura.

• El................deun......................esigualasu.........................elevadoalcuadrado.

trapecio - semisuma - área - cuadrado - lado - bases

2. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado.

5. Completa la ecuación de acuerdo a la condición dada.

• El área del triángulo rectángulo es la terceraparte del área del trapecio.

Ecuación: ............................................

b

a

h

y

x

• Eláreadeltrapecioesigualaláreadeltriángulorectángulo

Ecuación: ............................................

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6. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares mostradas.

8 m

5 m 9 m

4 m

7. Calcula la suma de áreas de las regiones trapeciales mostradas.

9 m

3 m

6 m

7 m

2 m

8 m


43

8

9

5


8 cm

5 cm

20 cm

20 cm

10. Calcula"x",sieláreadelaregióntriangularABCes25 cm2.

10 cm

x

A

B

C

11.Calcula "x", si el área de la región triangularABC es 28 cm2.

A

B

C

x

8 cm

12.Calcula"x",sieláreadelaregióndeltrapecioes la tercera parte del área de la región del triángulo.

7 m

4 m

x

11 m

6 m


6m

15 m

θºθº

αº αº


El frontis de la casa

En el gráfico se muestra el frontis de la casa de un alumno.Si su padre lo envía a pintar dicho frontis, calcula:

14. El área del frontis mostrado.

15. Si un balde de pintura rinde 6,1 m2;¿cuántosbaldesdepinturasenecesitarán para pintar dicho frontis?

4 m

3 m

2,5 m

5 m 5 m2 m

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18:10:45


1. Si el área de la región triangular ABC es 20 m2, calcula"x".

x+3

x

A

B

C

2. Calcula el área de la región sombreada en términos de "m".

m

m

A

B C

D

P

3. Si el área de la región del trapecio PQRS es80 m2, calcula "a".

3a

a

8

P

Q R

S

4. Calculaeláreadelaregiónsombreada(PQRSes un trapecio).

10

8

4

P

Q R

S

M N

5. Si el área de la región del trapecio ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada, si "P" es punto medio.

A

B C

D

P


6 m

7 m


9 m

5 m

3m


12 cm

5 cm


6 m5 m

CEILTRColegios


35. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares.

7 m 8 m

14 m

4 m

6. Calcula la diferencia de áreas entre las regiones de los trapecios.

8 m

4 m

7 m

6 m

3m

6 m

7. Calcula "x", si el área de la región triangularABC es 20 m2.

8 m

x

A

B

C

8. Calcula"x",sieláreadelaregióndeltrapecioABCD es 42 cm2.

10 cm

x

7 cm

A

B C

D

9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.

12 cm

A

B C

D


4 m8 m8 m

3 m

12 m

11. Si el área de la región del trapecio y el área de la región del triángulo rectángulo son iguales, calcula "h".

8 m

16m

12 m

4 m

h


14 m

A

B C

D

8 m

13. Calcula el área de la región sombreada del triángulo.

18 m

8 m

14. Calcula el área de la región sombreada, si BPQC es un cuadrado y ABCD es un trapecio.

17 m

12 m

3 m

A

B C

D

P Q

15. Si el área que encierra el rectángulo ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada.

4 m

10 m

A

B C

D P

Geometría

CEILTRColegios



• Laspiscinassonunaformaderecreaciónencontradasporelhombre,quepuedentenerdiferentesformas.

Calculando el área de diversas regiones

La palabra piscina proviene del latín y originalmente se utilizaba para designar pozos para peces de agua dulce o salada. También se utilizó para designar los depósitos de agua conectados a los acueductos. Los primeros cristianos utilizaron la palabra piscina para designar la pila bautismal.

Existe una larga tradición de construcciones artificiales dedicadas al baño, entre las que destacan losnumerosos yacimientos de termas romanas, como los encontrados en la ciudad inglesa de Bath.Hoyendíalaspiscinashanexperimentadounsignificativoavancetecnológico,sobretodoentérminosde depuración del agua. Se emplean derivados de cloro para mantenerlas limpias, y se controla su pH y en ocasiones incluso la temperatura del agua, asimismo, existen variasmodalidades, como las fijas,las portátiles y las desmontables. Y de distintos materiales, como poliéster, de concreto, recubiertas de mosaico, etc.

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En este capítulo aprenderemos a:• Repasarloaprendidoenloscapítulosanteriores.• Recordarlasfórmulasparaaplicarlasluego.

4

Geometría

CEILTRColegios


Geometría

209Unidad VII


10 x 550

1. Calcula el área de la región triangular ABC.

10 cm12 cm

A

B

C

2. CalculaeláreadelaregióntriangularPQR.

12 m

9 mP

Q

R

3. Calcula el área de la región cuadrada ABCD, si su perímetro es 24 cm.

A

B C

D

4. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del rectángulo y del romboide.

15 m

10 m

9 m

13 m


8 m

4 m

4 m

13 m

6. Si ABCD es un rombo, calcula el área de su región.

5 m 4m

A

B C

D

7. Silasregionestienenáreasiguales,calcula"x".

20 m

6 m

30 cm

x

8. Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada.

A

B C

D P

7 m

15 m

9. En la figura, calcula el área de la región sombreada.

20 m

5 m

14 m

4 m


12 m

6 m

9 m

6 m

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Comunicación matemática1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico:

n

m

Área=

En el triángulo:

Área=

m

n

En el romboide:

Área=( )( )

m

x

n

En el trapecio:


• Unaregiónsenombradeacuerdoasucontorno ....................................................... ( ) • Eláreaesunvalorquepuedesernegativo ................................................................ ( ) • Eláreayelperímetroenuncuadradosonconceptosiguales ..................................... ( )

3. Nombralasregionesmostradas,deacuerdoasunúmerodelados.

4. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado

• LaregiónexternaalrectánguloPQRSeinternaal romboide ABCD.

A

B

C

DP

Q

R

• LaregióninternaaltrapeciorectánguloABCDyexternaaltriángulorectánguloPQR.

A

B C

D

P

Q R

S

5. Grafica (haciendo uso de la regla) un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), traza la diagonal BD y la mediana BE del triángulo ABD y sombrea el triángulo BED.

CEILTRColegios



6. Calcula "b", si el área de la región triangular PQRes84m2.

b

14 m

P

Q

R


8 u 6 u

10 u

A

B C

D

P Q

20 u

8. Si PQRD y ABCD son cuadrados, calcula elárea de la región sombreada.

8 m6 m

A

B C

DP

QR6 m

9. Calcula el área de la región no sombreada.

6

8

5 7A

B C

D

10. Calcula el área de la región triangular CMD.

6

8

14A

B

M

C

D


10 cm

6 cm

6 cm 6 cm

12. Si el área de la región rectangular ABCD es 72 m2, calcula"x".

x

2xA

B C

D

13. En el trapecio rectángulo ABCD: AD=3(BC),calcula el área de su región.

4

6

A

B C

D


La sombra

Un foco al ser encendido refleja la sombra de una tablarectangulardemedidas30cm×20cm,comosemuestraen la figura.

14. Calcula el área en (cm2) de la tabla rectangular que esta siendo proyectada.

15. Silasombrareflejadaenelsueloesunrectángulocuya área es el triple del área de la tabla, calcula "x".

Foco

Suelo

Tablade30×20cm

25 cmSombra

x

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18:10:45


1. En la figura, calcula el área de la región sombreada.

3 m

5 m

9 m

2. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 6 m.

3 m 4 mA D

B C

3. Las diagonales de un rombo miden 18 y 8 u, calcula el área de la región limitada por el rombo.

4. Calcula el área de la región sombreada en términos de "a".

5a

2a

8a

5. En la figura, calcula el área de la región rectangularABCD,si:CD=6cmyAPDResuncuadrado.

A

B

C

DR

P


5m

4 m


4 u

6 u


12 m

5 m

4. Calcula "x", si el área de la región triangularPQRes48cm2.

x

12 cm

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45. Eneltrapeciorectángulo,calcula"x"sielárea

de la región del trapecio es 80 m2.

13 m

7 m

x

6. Si el área de la región rectangular ABCD es 36 m2, calcula"x".

x

4xA

B C

D


5m

9m

4m

2m

4m


8cm 14cm

10cm

16cm

9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y BEDF es un romboide.

6cm

6cm

4cmA

B C

D

E

F

10. En la figura, calcula el área de la región sombreada,si:AB=CD=10m.

A

B

CD


18m

20 m


12m

25 m

16 m 16 mA

B

C

D

13.CalculaeláreadelaregiónrectangularPQRS.

8m

P

Q R

S

Aθº

θº B

αº

αº2m


20m

6m

10m

A

B

C

D

E


4 m2 m

6 m

7 m

9 m

12 mA

B C

D

Central: 619-8100

geometría



UNIDAD 1





UNIDAD 1






Central: 619-8100

geometría


1

• LaspirámidesdeEgiptosonunclaroejemplodepoliedros.Enunadeestaspirámides, ¿cuáles lacantidad de caras que presenta?

reconociendo los elementos del poliedro


• Definircorrectamenteaunpoliedro.• Conocerydiferenciarloselementosdeunpoliedro.• Definirydiferenciarunhexaedroregularyunparalelepípedo.• Graficarcorrectamenteunpoliedro.

Las pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para erigir talesmonumentos conmediosmuy simples; pero nada pareceindicar que hiciera falta una tecnología superior a la que disponían los egipcios representada por

"ingenios" de madera, trineos e, hipotéticamente, usando la rueda, en forma de rodillos de madera y rampas. No se sabe con certeza cómo se construyeron las pirámides, pues no han perdurado documentos de su época que lo describan. Además, se utilizaron diversos materiales (piedra escuadrada, piedra sin tallar, adobe)yvariadastécnicasenlaconstruccióndesusnúcleos(apilamientodebloques,murosresistentesconformando espacios rellenos de cascotes, etc.).Lahipótesismásaceptadaeslasiguiente:previamenteseprocedíaaaplanarelterrenorocoso,yexcavarcanales para inundarlos de agua y así poder marcar líneas de nivel con las que preparar una superficie horizontal.Después se rellenaban los surcos. A continuación se excavaba la cámara subterránea y secomenzabalaedificación.Lamayoríadelosbloquesdepiedraerancortadosencanteraspróximasallugarde construcción. Se transportaban otros de las canteras del sur del país con ayuda de gigantescas barcazas. Los bloques se colocaban a continuación sobre trineos y se arrastraban hasta su emplazamiento definitivo.

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CEILTRColegios


Reconociendo los elementos

Conceptos básicos

Saberes previos

60º

60º 60º

Triángulo equilátero Cuadrado b

a

A=a.b

l

l A=l2

• Polígonosregulares • Áreadeunrectángulo

• Áreadeuncuadrado

Definición de poliedroSon los sólidos geométricos que están formados por polígonos planos que tienen lados comunes y encierran un determinado espacio cuya medida representa el volumen del poliedro.Alladocomúnadoscarasseledenominaaristayalpuntodeconcurrenciadelasaristas,vértice.

Cara

Vértice

Arista

Hexaedro regular o cuboEs el poliedro formado por seis cuadrados iguales.

aa

a

Nº caras 6

Nº vértices 8

Nº aristas 12

CEILTRColegios

www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 217Unidad VIII

1

aa

aa

a

a

a

a

a

a

Paralelepípedo rectangular o rectoedroEs el poliedro formado por seis rectángulos.

b

c

a

Nº caras 6

Nº vértices 8

Nº aristas 12

Desarrollo del paralelepípedo rectangular

b

c

a

a

a

b

b

c

c

a

a

Desarrollo del hexaedro regular

CEILTRColegios




10 x 550

1. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido mostrado.

2. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado?

3. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado?

4. Indicar el númerode caras, vértices y aristasdel sólido mostrado.

5. Indicarelnúmerodevérticesmáselnúmerodecaras del sólido mostrado.

6. Indicarladiferenciaentreelnúmerodecarasyvértices del sólido mostrado.

7. Indicarelnúmerodevértices,aristasycarasdelsólido mostrado.


9. Haciendousodelaregla,graficaunhexaedroregular de 4 cm de arista.

10. Haciendo uso de la regla, grafica un paralelepípedorectangulardearistas2;4y6cm.

CEILTRColegios





• Loselementosdelpoliedroson:losvértices,aristasylascaras ...................................... ( )

• Enunpoliedro,elpuntodeconcurrenciadelasaristassedenominavértice ................. ( )

• Elcuboeselpoliedrocuyascarassontodoscuadradosdiferentes ................................. ( )

2. Nombra los elementos del poliedro en cada caso.

3. Completa de acuerdo al gráfico.

Nº caras

Nº vértices

Nº aristas

4. Graficaunparalelepípedocuyasaristasmidan5;6y4cm(graficahaciendousodelaregla).

5. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado.

• El.............................eselpoliedroformadoporseis.......................iguales.

• Alladocomúndedos......................seledenomina.......................

hexaedroregular-caras-arista-cuadrados


6. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el poliedro mostrado?

7. Calcule la diferencia de caras y vértices en un paralelepípedo rectangular.

8. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido.

CEILTRColegios



9. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido.



12. Indicarelnúmerodevértices,aristasycarasdelsólido mostrado.



La casa de mi mascota

En la figura se muestra el hogar de la mascota de Eduardo. Si él desea pintar la casa de su mascota:

14. ¿Cuántas caras del hogar de la mascota pintará Eduardo?

15. Si por cada cara, él emplea 1/8 de galón de pintura, ¿cuántos galones usará en pintar el hogar de su mascota?

CEILTRColegios


1


18:10:45


1. Calcula el número de caras (C), aristas (A) yvértices(V)luego,halla"C+V–A".

2. Si la suma de las medidas de todas las aristas de un hexaedro regular es 48 cm, calcula lamedida de una arista.

3. Si las aristas de un paralelepípedo rectangular son 4; 7 y 3 cm, calcula el área total de lasuperficie del sólido.

4. Si la diagonal de una cara de un hexaedroregular es 8 2 cm, calcula la suma de las medidas de todas sus aristas.

5. En un paralelepípedo rectangular, ¿cuántas diagonales en total presenta el sólido?

1. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasenelsólido.




5. En el poliedro, suma el número de caras,vértices y aristas.

6. Enelpoliedro,sumaelnúmerodecarasyaristasen el sólido.

Central: 619-8100

geometría





8. En el rectoedro mostrado, calcula la suma del númerodecarasyaristas.

9. Graficaunhexaedroregularde5cmdearista.

10.Calculaladiferenciaentreelnúmerodecarasyvérticesdeunhexaedroregular.

11.Calculaladiferenciaentreelnúmerodecarasyvértices de un paralelepípedo rectangular.

12.Calculaelnúmerodecarasdelsólido

13.Calculaelnúmerodecarasdelpoliedro.

14. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido.

15.Calculaelnúmerodecarasdelpoliedro.

Central: 619-8100

geometría


2

CEILTRColegios


• Las"torresgemelas",¿quéformatenían?,¿ladeunhexaedrooladeunparalelepípedorectangular?

¿área es lo mismo que volumen?


• Reconocerydiferenciarlosconceptosdeáreayvolumenenunpoliedro.• Calculareláreayelvolumendeunhexaedroregularydeunparalelepípedo rectangular.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasyvolúmenes.

La palabra edificio quiere decir hacer fuego (del indoeuropeo æde, fuego y del latín facere, hacer), lo quenodebeextrañarcuandosesiguediciendohogaralavivienda.Se trata de una obra de fábrica, dedicado a albergar distintas actividades humanas: vivienda, templo,

teatro, comercio, etc.Del origen del nombre parece desprenderse que los edificios primitivos sirvieron para albergar el fuego, evitando que lo apagasen la lluvia o el viento, pues no era sencillo encenderlo.Lainventivahumanafuemejorandolastécnicasdeconstrucciónydecorandolasdiversaspartes,hastahacer de la actividad de edificar una de las bellas artes: la Arquitectura.

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CEILTRColegios


¿Área es lo mismo que volumen?

Saberes previos

Conceptos básicos

• Áreadeuncuadrado • Áreadeunrectángulo

• Enunpoliedro

l

l

Área=l2

b

a

Área= a . b

Longitud de la arista

En el hexaedro regular

Área de la superficie total (At)

1cm

1cm1cm

ATotal=6×(1cm)2

ATotal=6cm2

2cm

2cm

2cm

ATotal=6×(2cm)2

ATotAl=24cm2

3cm

3cm

3cm

ATotal=6×(3cm)2

ATotal=54cm2

• Engeneral:

aa

a At =6(a)2

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2 Volumen (V)

1cm

1cm1cm

V=(1cm)3

V=1cm3

2cm

2cm

2cm

V=(2cm)3

V=8cm3

3cm

3cm

3cm

V=(3cm)3

V=27cm3

En el paralelepípedo rectangular

• Engeneral:

Área de la superficie total (At)

Volumen (V)

No olvidar que las caras opuestas del rectoedro son rectángulos iguales

aa

a V =a3

V =a.b.c

aa

cb

At=2(a.b)+2(a.c)+2(b.c)

At=2(a.b+b.c+a.c)

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10 x 550

1. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.

4cm

4cm

4cm

2. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.

5 u

5 u

5 u

3. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.

5cm

4cm10cm

4. En el rectoedro mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.

12cm

6cm4cm

5. Calcula el volumen del rectoedro mostrado.

2cm

5cm8 cm

6. Calcula la diferencia de volúmenes entre loscubos mostrados.

2cm

2cm2cm6cm

6cm

6cm

7. Calcula la diferencia de volúmenes entre elcubo y el paralelepípedo.

3u

3u3u

2u

9u

3u

8. En el cubo mostrado, la suma de las aristas es 36 cm. Calcula el volumen del sólido.

9. Si el área de la superficie del cubo mostrado es de 96 cm2, calcula el volumen del cubo.


15u

6u5u

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1. Marcaverdadero"V"ofalso"F"segúncorresponda.

• Uncubocuyaaristamide4cmtieneunvolumende60cm3 .......................................( )

• Unparalelepípedorectangulartambiénesllamadoortoedro .........................................( )

• Unparalelepípedopresentadocearistasyseisvértices .................................................( )


m

mm

AT = ............

• Enelhexaedromostrado,eláreatotaldela superficie es:

V = ................

m

p

n

• Enel rectoedromostrado,elvolumenes:

3. Graficaunhexaedroregular,cuyaaristamida5cm.

4. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado.

• El........................tambiénesllamado..............................

• Un......................rectangulartambiénesllamado................................

hexaedro-rectoedro-paralelepípedo-cubo


mp

n

AtotAl=2(.......+........+.......)


6. Calculaelvolumendelhexaedromostrado.

9 cm

9 cm9 cm


2 u

5 u10 u

CEILTRColegios



8. En el cubo mostrado, calcula su área, si el volumen del cubo es 216 cm3.

9. Calcula el área del cubo mostrado, si la suma de aristas del sólido es 96 cm.

10. En el rectoedro, el área de la cara sombreada es 50 cm2. Calcula el volumen del sólido.

5 cm

12 cm

11. En el rectoedro mostrado, el área de la cara sombreada es 60 m2. Calcula el área de la superficie del sólido.

8 cm

5 cm

12. Si los volúmenes de los sólidos son iguales,calcula"x".

x

x

x

1 cm

3 cm9 cm

13.Calcula "x", si el volumen del rectoedromostrado es 720 cm3.

10cmx

8 cm


El juego

UnalumnodelcolegioTrilcetienecubosparacolocardemaneraexactadentrodeunacajarectangularde4;16y12cm.Loscubosacolocarsontodosigualesa2cmdearista.

2cm

2cm2cm

12cm

4cm

16cm

Calcula:

14. Elvolumendelcuboyelvolumendelacajaquevaaparticipareneljuego.

15. Sieljuegoconsisteenllenaraltopelacajadeloscubos,¿cuántoscubospodrácolocarelalumnodentrodelacajaparacumplirconlacondicióndeljuego?

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2


18:10:45


1. Calcula "θº" en el gráfico, si el sólido mostrado es un cubo.

θº

2. Calcula lasumade lasaristasdeunhexaedroregular, si su volumen es numéricamente igual al triple de su área.

3. El volumen de un rectoedro es 24 cm3. Si el largo es el triple del ancho y el ancho es igual a la altura, calcula el área lateral del sólido.

4. Si el sólido mostrado es un cubo de arista 3 cm, calcula "AB".

A

B

5. Las áreas de las tres caras indicadas del rectoedromostradoson:12;15y20u2. Calcula el volumen del sólido.

20u2

15u2

12u2

1. Calcula el volumen del cubo mostrado.

2cm

2. Calcula el área total de un cubo, cuya arista mida 8 cm.

3. Calculaelvolumendeunrectoedrode5;2y3cm de aristas.

4. Para el problema anterior, calcula el área total del sólido.

5. Calcula el volumen y el área total del rectoedro mostrado.

5cm8cm

16cm

6. La suma de aristas de un cubo es 120 cm, calcula el volumen del sólido.

7. La suma de aristas de un cubo es 72 cm, calcula el área total del sólido.

8. En el gráfico, calcula el volumen del cubo.

8cm

Central: 619-8100

geometría




9. Calculaeláreatotaldelrectoedrode8;7y10ude aristas.

10. Calcula el volumen de un cubo cuya área es 216 m2.

11. Calcula la suma de aristas de un cubo, si su área es 384 m2.

12.Calcula "x", si el volumen del rectoedro es144 cm3.

6cm12cm

x

13.Calcula"x",sielvolumendelcuboes64 cm3.

x

xx

14.Calcula la diferencia de volúmenes de lossólidos mostrados.

3m

3m3m5m

10m

3m

15.Calcula "x", si el volumen del rectoedro es560 m3.

7m

x10m

Central: 619-8100

geometría


3

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• LasTorresPetronasdeMalasiasonunasdelasmásaltasdelmundoypresentanunasuperficietotalde 350 000 m2 compuestas de vidrio.

recordando lo estudiado

Las Torres Petronas fueron diseñadas por el arquitecto argentino César Pelli y terminadas en el año1998. Con 88 pisos, de estructura mayoritariamente de hormigón y vidrio, evocan motivos tradicionales del arte islámico, haciendo honor a la herencia musulmana de Malasia. Pelli utilizó un diseño geométrico

islámico en su planta al entrelazar dos cuadrados, de tamaño gradualmente decreciente en la parte superior, la cual está basada en un motivo muy tradicional en la cultura islámica: una estrella de 12 picos incluyendo un círculo en cada intersección. La construcción de las torres comenzó en el año 1994.La estructura básica se tomó de un proyecto no realizado para una torre en Chicago.Ensuconstrucciónseinvolucróatrabajadoresdedistintasnacionesqueaportaronconsuconocimientoytrabajo.Enlaconstruccióndeambastorressediseñóunaestrategiaquepermitióacelerareltrabajo.Secrearondosequipos,unoconformadoportrabajadorescoreanosyelotroporjaponeses,unoacargodecadatorre,demodoquehubounagrancompetenciaporlograrelmejorymásrápidotrabajo.Las torres se encuentran unidas por una pasarela de doble altura aérea entre los pisos 41 y 42, que forma un portal. El skybridge, como es llamado, es el punto más alto accesible para los visitantes. Las visitas son gratuítas, pero limitadas a 1 200 personas diarias.En su interior las torres se encuentran compuestas por oficinas, entre las que destacan las de la compañía petrolera Petronas y la sede en Malasia de la empresa Microsoft.AlpiedelatorreseencuentraelKualaLumpurConventionCenter(KLCC)yelpopularcentrocomercialSuria kentuki.

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ia.o

rg

En este capítulo aprenderemos a:• Repasarloaprendidoanteriormente.• Recordaryaplicarlosconceptosaprendidos.

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Recordando lo estudiado

Sintesis teórica

A= .b h2

b

hh

b

l

l

A=l2

A=a.ba

b

A=b.h

b

h

CÁLCULO DE ÁREAS

b

a

h

A=( ) ( )a b h2+

Área de regiones triangulares

Área de paralelogramos

• Aplicableatodotipodetrapecios

Área de trapecios

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3


10 x 550

SÓLIDOSGEOMÉTRICOS

Cara

Arista

Vértice

Elementos del poliedro

a

a

a

At=6a2

V=a3

Hexaedro o cubo

bc

a

V=a.b.c

At =2(a.b+b.c+a.c)

Paralelepípedo rectangular o rectoedro


5m12m

A

B C

D

13m

4m


4u

12u

5u

10u

3. Si el área de la región del trapecio es 160 m2, calcula"x".

12 m

8 m

x

4. Calcula el área total del paralelepípedo.

5u

4u11u

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11m

11m

11m


2 m

8 m

6 m

3 mA

B C

D


10 m7 m

3 m

8. Calcula el número de caras, vértices y aristasdel poliedro mostrado.

9. Calcula la diferencia de volúmenes en lossólidos mostrados.

3m

3m3m1m

10m

3m

10. En la figura, las áreas de las regiones sombreadas soniguales,calcula"x".

10 m

8 m

x

5 m



Volumen=()3

m

m

m

• Enelcubo

Área=().()

h

A

B C

D

n

• EnelromboideABCD

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3

• TrazaladiagonalPQ del cubo.

P

Q

A

B

P

Q

• TrazalasdiagonalesAB y PQ.


• Uncubode6cmdearistatieneunvolumende216cm3 .......................................... ( )

• Eláreadelrectángulosecalculacomoelproductodelabaseporlaaltura ................ ( )

• Elperímetroeslomismoqueelárea .......................................................................... ( )

3. Sombrea de acuerdo al enunciado. • LaregiónexternaalromboideABCDeinternaaltrapeciorectángulo.

A

B C

D

4. Nombra los elementos del poliedro mostrado.

5. Grafica con regla de acuerdo al enunciado.



4cm

A

B C

D

6cm

4cm


5u

4u

20u

12u

8. Si el área de la región del rectángulo ABCD es 80 m2,calcula"x".

x

5x


5 m

5 m

5 m

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10. Calcula el volumen del rectoedro.

9 cm6 cm

3 cm

11. Si el volumen del cubo y del rectoedro son iguales,calcula"x".

9m

6m

4mx

x

x

12. Calcula el área de la región del trapecio.

12 m

5 m

6 m

13.Calculaladiferenciaentreelnúmerodecarasyelnúmerodevérticesenelpoliedromostrado.


El cubo mágico

Un curioso alumno de Trilce desea saber de manera exactaalgunas medidas de un cubo mágico. Si una cara está compuesta por nueve cuadrados iguales de 4 cm2 de área, calcula:

14. El área total del cubo mágico.

15. El volumen del cubo mágico.

1. Calcula el área sombreada en términos de "m" y "n".

n

m

2. Calcula la altura del rectoedro mostrado, si el volumen del rectoedro y el volumen del cubo son iguales.

16m

x

18m

12m

x12m

12m

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3


18:10:45

1. Calcula el área total del cubo.

3m

3m

3m


3 m5 m


5m

4m

5 m

4. Calcula"x",sieláreadelaregiónsombreadaes300 cm2.

x

3x

5. Calcula el área total del rectoedro.

4cm

5cm

10cm

6. Calculaladiferenciadevolúmenes.

8 m3 m

5 m4 m

4 m

4 m


4 m

4 m

8. Calcula el área de la región del triángulo rectángulo.

14m

5m

3. Calcula "H", si: a+b=20 m y el área deltrapecio es 240 m2.

a

b

H

4. Las longitudes de las aristas de un rectoedro estánenlarelaciónde1;2y3.Silasumadesus aristas es 24 cm, calcula el volumen del rectoedro.

5. Calcula el área total del sólido.

3 m

2 m

4 m 5 m

CEILTRColegios



9. ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro mostrado?

10. Calcula el área de la región sombreada. ABCD : trapecio.

10 m

16 m

6 m

A

B C

D


A

B C

D

P

5 m

12 m

12. Calcula el volumen del paralelepípedo.

15m

7m8m

13. Si el área de la región triangular es 105 m2, calcula"x".

x

21m

14. Calcula el área del rectángulo ABCD, si: AC=10 cm.

8 cmA

B C

D

15.Calculaelvolumendelcubo,si:AB=6 2 m.

A

B

Geometría 2°

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