CAPÍTULO: I

LINEAS

SEGMENTO:

Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

El segmento AB de la figura adjunta.

Se denota ó Los puntos A y B son los extremos.

SEGMENTO CONGRUENTE:Son aquellos que tienen igual longitud.

AB = CD

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Se dice que dicho punto biseca el segmento.

PUNTOS COLINEALES:

Son los que pertenecen a una misma recta. Ejemplo los puntos A, B, C, D contenidos en la recta r.

NOTA:En general “n” puntos colineales y consecutivos determinan:

POLIGONAL:

Es el conjunto de dos o más segmentos consecutivos trazados en diferentes direcciones, sin intersecarse dos no consecutivos.

POLIGONALES ENVUELTOS Y ENVOLVENTES

Se determinan al trazar dos poligonales cuyos extremos coinciden, hacia un mismo lado y sin intersecarse en algún otro punto.

ACDEB EnvolventeAMNB EnvueltaSe cumple:

AC + CD + DE + EB > AM + MN + NB

PROBLEMAS

01. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E de modo que: AE = 36 ; BD = 9 , AC = 23 y AB – DE = 5.

a) 1 b) 1, 2 c) 1, 5d) 2, 5 e) 2

02. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D , E y F tal que: AC + BD + CE + DF = 26 m y

BE = AF

Calcular AF.

a) 6 m b) 13 m c) 16 md) 18 m e) 20 m

03. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C cumpliéndose

AB . BC = AC2 y

Luego.

1

a) b)

c) d)

e)

04. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que:AB.AD = 3BC CD.Calcular a + b + c.

Si:

a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

05. En la figura adjunta:

Hallar el máximo valor entero de x.

a) 10 b) 12 c) 11d) 9 e) 8

06. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D tal que , . Calcular

siendo P y Q puntos medios de y respectivamente.

a) 17 b) 20 c) 21d) 12 e) 7

07. A, B, C y D son puntos consecutivos tomados sobre una recta. Si M es punto medio de y :

= 10 y .Hallar

a) 8 b) 6 c) 3d) 12 e) 4

07. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de tal manera que:

; ; ; Hallar

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.A

08. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos M, A y B siendo “O” punto medio de . Calcular sabiendo que:

y .

a) 18 b) 20 c) 24d) 30 e) N.A

09. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D sobre una recta. Hallar , si ;

a) 48 b) 50 c) 54d) 49 e) N.A

10. Sean los puntos A, B, C y D sobre una recta tal que . Hallar: , si

a) 2 b) 4 c) 16d) 8 e) 10

11. Se tiene los puntos colineales A, B, C y D. Hallar si ; .

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

12. se toman los puntos colineales A, B, C y D siendo M y N puntos medios de y . Hallar

; si y .

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

13. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos M, O, A, y B de modo que: y . Hallar y además

a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) N.A.

14. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B , C y D . Hallar , si:

a) 80 b) 100 c) 170d) 160 e) N.A

15. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C , D y E. Hallar si: ,

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) N.A

16. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E ubicados en ese orden. Si: ; ; y . Calcular

a) 5 b) 10 c) 11d) 14 e) 22

17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que:

; ;

Hallar:

2

a) 18 b) 20 c) 24d) 28 e) N.A

18. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos M, A y B, siendo O punto medio de AB, calcular

sabiendo que MA = 2m y AB = 6m.

a) 15 m2 b) 20 m2 c) 25 m2

d) 30 m2 e) 35 m2

19. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar AD, sabiendo que AB + AC = 10 m, AD = 4CD y AC – AB = 2 m.

a) 8 m b) 6 m c) 4 m d) 2 m e) 0

20. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos A, B y D. Entre B y D se toma un punto C, tal

que . Determinar BC sabiendo que:

BD = 4AB = 20.

a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

21. Sobre una recta se dan puntos consecutivos A, B y C. Hallar , sabiendo que: AB x AC = 16 m2 y que M es punto medio de BC.

a) 16 m2 b) 14 m2 c) 12 m2

d) 10 m2 e) 8 m2

22. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B , C y D. Hallar:

sabiendo que = AD x BD.

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 2

23. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar BC, sabiendo que C es el punto medio de AD.

a) b) c)

d) e)

24. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar , sabiendo que C es el punto medio de BD.

a) b)

c) d)

e)

25. Sean los puntos consecutivos A, B, P, Q, sobre una recta, donde:

Calcular AB, si AP = 3 y AQ = 5.

a) 15/4 b) 15/2 c) 15d) 7, 5 e) 0

26. Sean los puntos consecutivos A, B, M, C y D; donde 2AB = CD, BM = MC y AM = 3. Calcular ED.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

27. U, N, C, P, son puntos colineales y consecutivos , , ,

.Hallar el valor entero de “y”.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A.

28. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, ..........

tal que: ...

Hallar LA suma de sus longitudes.

Rpta: ....................

29. Sobre una recta, se tienen los puntos consecutivos A, M, O, R, de tal modo que

y .

Hallar , si

Rpta : .....................

30. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que ,

, .Hallar: .

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 2

31. Sobre una recta se ubican con puntos consecutivos A, B, C y D cumpliéndose:

, Calcular

a) 14 b) 9 c) 12d) 10 e) N.A.

32. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que:

; y .Calcular:

a) 12 b) 6 c) 10

3

d) 8 e) 9

33. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D tal que:

y Hallar: a) 6 b) 5 c) 4d) 8 e) 7

34. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, y E si:

; además:

Calcular:

a) 12 b) 10 c) 9d) 15 e) 8

35. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que:

Además: Calcular:

a) 30 b) 20 c) 10d) 15 e) 12

36. Se tienen los puntos colineales A, E, B, C, F y D siendo “E” y “F” puntos medios de y respectivamente. Calcular siendo:

.

a) 20 b) 25 c) 15d) 10 e) 5

37. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; de tal manera que “B” es punto medio de , además y

. Hallar .

a) 2 b) 1 c) 5d) 3 e) 4

38. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que y

. Hallar:

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 2, 5

39. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C tal que , luego los puntos medios M, N y Q de y respectivamente. Calcular . Si: a) 8 b) 4 c) 2d) 3 e) 6

40. Se tiene los puntos colineales P, M, Q, N, R y S. Tal que M y N son puntos medios de y . Hallar . Si: , .

a) 3 b) 12 c) 2d) 6 e) 5

41. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S tal que .Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y .

a) 3 b) 4 c) 2d) 6 e) 5

42. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos,

O, A B y C, si:

Calcular:

a) b) c)

d) e)

43. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D si: y . Calcular

Si:

a) 25/3 b) 28/3 c) 9d) 10 e) N.A.

44. Sobre una recta se dan los puntos A, M, N y C tal que es la media aritmética entre y . Calcular: si se cumple que:

a) 1 b) 1, 5 c) 2d) 3 e) 2, 5

45. Una hormiga camina sobre una línea recta desde el punto “A” hacia el punto “B”. Si al llegar al punto “M” (“M” es el punto medio de AB). Decide retroceder hasta el punto “p” y se da cuenta que la distancia desde “P” hacia “M” es la cuarta parte de la distancia de “P” hasta “B”. Calcular AB si la hormiga a recorrido 72 metros:

a) 36 b) 45 c) 54d) 108 e) N.A

46. En la figura determinar el valor de “a” sabiendo que es entero.

a) 5 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

47. Los puntos J, A P, O están sobre una misma recta de modo que se cumple:

4

. Hallar

a) b)

c) d) e) N.A.

48. Sobre una recta se ubican “n” puntos consecutivos, tal que se pueden contar como máximo 66 segmentos. Calcular “n”.

a) 11 b) 13 c) 12d) 9 e) N.A

49. Si los puntos A, B, C y D son colineales y consecutivos.Hallar: , si AB . CD = 25.

a) 6 b) 4 c) 12d) 8/3 e) 25

50. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo “B” punto medio de .

Calcular , si: y .

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 12

51. Se tienen los puntos consecutivos P, A, C y D situados de tal manera que:

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

52. Se tienen los puntos consecutivos M, A, O y B, siendo “O” punto medio de .Calcular , sabiendo que:

a) 18 b) 12 c) 6d) 3 e) 9

53. Se tienen los puntos consecutivos P, Q, R y S. De manera que: .Si: . Halle: .a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

54. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E situados de tal forma que:

Además: , calcular: .

a) 21 b) 23 c) 25d) 27 e) 29

55. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F dispuestos de tal forma que:

Además:

. Calcular .

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

56. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F, ......... Z, dispuestos de tal forma que:

, , , ,

, ........... así sucesivamente, calcule:.

a) 4 b) 2 c) 1d) 2 e) 6

57. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, dispuestos de modo que: I. II.

III.

Calcular:

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 8

58. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, dispuestos de modo que: I. B es punto medo de II. es el triple de III. mide 12 metros. Calcular: .

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

59. Se tienen los puntos consecutivos A, B y C, tales que: y

Calcular:

a) 2 b) 3 c) 7d) 1 e) 1/2

60. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, tales que los segmentos y , se hallan en posición aritmética. Si: excede a en 6 y

mide 27. Calcular .

a) 3 b) 6 c) 9d) 8 e) 5

61. Se tienen los puntos consecutivos: A, B, M, C y

D, dispuestos de modo que: “M” es punto medio de .

. Calcular:

a) 3 b) 9 c) 8

5

d) 5 e) 6

62. Se tiene los puntos consecutivos M, N y P, de modo que: y .Hallar el segmento .

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) N.A.

63. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S de tal modo que “Q” es punto medio de ,

y .Calcular .

a) 3 b) 15 c) 7d) 12 e) N.A.

64. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: ; y . Calcular .

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

65. Se tiene los puntos colineales A, B, C y D, siendo “E” y “F” puntos medios de y Hallar , si: .

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 30

66. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. De manera que: , si: , Halle:

.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

67. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo “B” punto medio de . Calcular , si:

y .

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 12

68. Se tiene los puntos consecutivos “M” A, O y B, siendo “O” punto medio de .Calcular , sabiendo que:

a) 18 b) 12 c) 6d) 3 e) 9

69. Se tienen los puntos consecutivos O, A, B y M, dispuestos de manera que: Hallar , si:

a) 12 b) 20 c) 24d) 36 e) 18

70. Se tienen puntos colineales R, S y T, siendo “M” y “N” puntos medios de y , además

. Calcular .

a) 12 b) 10 c) 8 d) 9 e) N.A.

71. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, O y D dispuestos de manera que “O” sea punto medio de . , .Calcular , si además se cumple que:

a) 36 b) 48 c) 42d) 26 e) 51

72. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E, dispuestos de manera que “B” es punto medio de

, “D” es punto de , en estas condiciones, señalar cual de las siguientes proposiciones es verdadera:

a) b) c) d) e)

73. Se tiene los puntos consecutivos A, B, M, C y D, dispuestos de modo que: y “M” es punto medio de .Al reducir la siguiente expresión:

a) b) c) d) e)

CAPÍTULO: II

ÁNGULOS

Es la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen o extremo.

Notación : A O B ; Medida del ángulo : m AOB =

M =

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Rayo que biseca al ángulo.

6

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

I. ÁNGULO CONVEXO: Cuya medida está comprendida entre

0° < < 90°

ÁNGULO AGUDO

0° < < 90°

ÁNGULO RECTO

= 90°

ÁNGULO OBTUSO

90° < b < 180°

ÁNGULO LLANO

= 180°

2. ÁNGULO CÓNCAVO

Se mide más de:

180° < < 360°

+ + + = 360°

POR SU POSICIÓN

ÁNGULOS CONSECUTIVOS O ADYACENTES

Son consecutivos si tiene el mismo vértice, un lado común.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

+ = 90°

Complemento de un ángulo “x” : CX

CX = 90 - x

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

+ = 180°

NOTA:

El complemento del suplemento de “x” : CSX

SSX = X CC =

ÁNGULOS DETERMINADOS SOBRE DOS PARALELOS Y UNA SECANTE

L1 y L2 son los paralelos

7

L3 la secante

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

;

;

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS

;

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS

;

PROPIEDAD:

+ + = X + Y

PROBLEMAS

01. , , , y , son

consecutivos y llano. biseca , biseca y mide 112°. Hallar la medida de .

a) 44° b) 54° c) 64°d) 68° e) 34°

02. Desde un punto “O” es un mismo plano se trazan los rayos OA , OB, OC y OD de modo que se forman los ángulos AOB, BOC, COD y DOA consecutivos, si se sabe que ángulo AOC = 3 AOB

2BOC = COD , DOA = 2COD . Hallar el valor de AOB y BOC.

a) 24° y 48° b) 40° y 20°c) 20° y 40° d) 53° y 37°e) 30° y 60°

03. La suma de los ángulos consecutivos y

es 80° ( < ) se trazan las bisectrices ON y OM de dichos ángulos. Calcular el ángulo BOC sabiendo que la bisectriz del ángulo forma con un ángulo de 10°.

a) 30° b) 60° c) 20°d) 90° e) 10°

04. Siendo L1 // L2 calcular “”

a) 100° b) 80° c) 120°d) 60° e) N.A.

05. Hallar “x” , si L1 // L2

a) 10 b) 20 c) 40d) 60 e) 80

06. Se tiene los ángulos consecutivos AOB , BOC,

COD y DOE tal que .

Calcular:

m AOB + m COD, si: m BOC + m DOE = 40° y mBOD = 30°

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 15°

07. En los ángulos adyacentes AOB y BOC, se cumple que mBOC = 90°; la bisectriz OB del ángulo BOC es perpendicular a OA. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOB y ON.

a) 60° b) 96° c) 71°30’ d) 67°30’ e) 65°

08. Del gráfico, calcular el valor de x. Si:.

a) 245° b) 235° c) 220°d) 215° e) 225°

8

09. Calcular el valor de si

y

a) 40° b) 15° c) 45°d) 60° e) 30°

10. Si: ; toma su máximo valor entero y

las prolongaciones de y se intersecan. Calcular el valor de x.

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°

11. Si: ; calcular el valor de x si: + = 275°.

a) 50° b) 40° c) 35°d) 30° e) 25°

12. Un ángulo externo de un triángulo mide 148°, de los ángulos internos no adyacentes a dicho ángulo externo, una es el triple del otro. Hallar el mayor ángulo del triángulo.

a) 110° b) 111° c) 112°d) 113° e) N.A.

13. El ángulo B de un triángulo ABC mide 78°, sobre y se toman os puntos M, N y P

respectivamente, de modo que: y .

Calcular el ángulo MPN.

a) 102° b) 80° c) 75°d) 60° e) 78°

14. Señalar la proposición o proposiciones verdaderas:

I. Si dos ángulos tienen un lado común x, entonces son consecutivos.

II. Todo ángulo mayor que 90° es un ángulo obtuso.

III. El ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos complementarios, es igual a 45°.

a) Todas b) sólo II c) I y IId) sólo III e) II y III

15. En el interior de un ángulo AOB se tiene el rayo OC, luego se traza OX bisectriz del COB. Hallar el AOX, sabiendo que los ángulos 2AOC y COB son suplementarios.

a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 80°

16. Sobre una recta XX’ se toma un punto “O” y se trazan los rayos OA y OB. Hallar el AOB, sabiendo que BO’ = 30° y XOA = AOB – BOX’.

a) 100° b) 90° c) 80°d) 60° e) 75°

17. Se trazan los ángulos consecutivos AOB y BOC, luego se trazan ON bisectriz de BOC. Calcular AOC, si AOC + AOB = 140°, además: AOB – BON = 20.

a) 90° b) 95° c) 100°d) 115° e) 60°

18. En al figura: m//n . Hallar el valor de “”

a) 30° b) 45° c) 60°d) 75° e) N.A

19. En el gráfico adjunto, se cumple:

a) + = 90° b) = c) + = 180°d) + = 45° e) 2 + 3 = 180

20. Calcular: “x”, si a + b = 170° y L1//L2.

9

a) 120 b) 130° c) 140°d) 150° e) 160°

21. En la figura L1 // L2. Hallar “x”.

a) 10° b) 20° c) 25°d) 30° e) 40°

22. Hallar “x”; si L1//L2.

a) 15° b) 18° c) 36° d) 25° e) 45°

23. En la figura: L1//L2 . Calcular “x”.

a) 42, 5° b) 67, 5° c) 55, 5°d) 45,5° e) 62,5°

24. En la figura L1 // L2; = 40°; hallar : DEF

a) 20° b) 5° c) 15ºd) 25° e) 10°

25. En la figura hallar “x”.

Rpta : .....................

26. SI ABC es un equilátero, L1 // L2. Hallar “x”:

Rpta : .....................

27. Un ángulo mide 280°, se quiere dividir en cuatro partes, de tal manera que ala primera medida le corresponde 40° más que la segunda, a estar 2/3 de lo que le corresponde ala tercera y esta 50° menos que a la cuarta. ¿Cuánto mide la parte mayor?.

a) 78° b) 38° c) 57°d) 107° e) 110°

28. Sean los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD, donde: m < AOD = 120° y m < BOC = 80°, se trazan los rayos y bisectrices de los ángulos AOB y COD respectivamente, luego se

trazan las bisectrices y de los ángulos

AOS y TOD respectivamente. Calcular la medida del ángulo QOR.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 60°

29. En la figura adjunta m < PQR = 100°; es la

bisectriz del < x’ os; es la bisectriz del < AOX. Calcular la medida del ángulo AOB.

a)10° b)15° c)20°d)25° e)45°

30. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC donde m < BOC = 20°. Calcular la medida del ángulo determinado por la paralela trazada desde un punto del rayo ala bisectriz del ángulo AOB con la bisectriz el ángulo AOC.

a) 10° b) 12° c) 14°d) 16° e) 18°

31. Alrededor del punto “O” se tienen los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD, DOE, EOF y FOA.Calcular AOB, si: - y

-

-

-

a) 25° b) 35° c) 45°d) 50° e) 80°

32. Se tienen dos ángulos adyacentes AOB < BOC, de 40° de diferencia. Se trazan:

- OX bisectriz del ángulo AOB- OY bisectriz del ángulo BOC- OZ bisectriz del ángulo XOY Calcular el ángulo BOZ.

a) 20° b) 30° c) 10°

10

d) 40° e) 15°

33. Se tienen los ángulos consecutivos AOC, COB y BOD. Calcular AOB, si:

- OX es la bisectriz del ángulo AOC.- OY es la bisectriz del ángulo BOD.- y

a) 21° b) 41° c) 61°d) 81° e) N.A.

34. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC y COD cuyas medidas son: 25°, 45° y 75°. Calcular el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos APC y BOD.

a) 50° b) 30° c) 70°d) 40° e) N.A.

35. Se tienen los ángulos consecutivos ,

, y , dispuestos de modo que: - La bisectriz OX de es perpendicular a

la bisectriz OD del .

- . Calcular .

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 60°

36. En una recta AF se toma el punto “O” y se trazan las semi rectas OB, OC, OD y OE, hacia un mismo extremo de dicha recta.Calcular el ángulo COD, sabiendo que:

- OD es bisectriz del ángulo FOC.- OE es bisectriz del ángulo DOF.- y a) 18° b) 36° c) 72°d) 50° e) 25°

37. Se tienen los ángulos consecutivos: , se trazan:

- OX bisectriz del ángulo

- OY bisectriz del ángulo .

- OZ bisectriz del ángulo

Calcular: , si:

a) 13° b) 26° c) 39°d) 8° e) 15°

38. En una recta , se toma el punto “O” y se trazan las semirrectas OA y OB, luego las bisectrices:

- OM del ángulo

- ON del ángulo

Siendo: . Hallar

Si además:

a) 7° b) 17° c) 27°d) 37° e) 47°

39. En una recta AD se toma el punto “O” y se trazan hacia un mismo extremo las semirrectas OB y OC. De modo que el ángulo BOC = 120°. Calcular el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 140° b) 90° c) 135°d) 130° e) 150°

40. Se tienen os ángulos consecutivos ,

, y , proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4. Calcular el ángulo BOD.

a) 160° b) 150° c) 240°d) 270° e) 180°

41. Se tienen los ángulos consecutivos ,

, y en torno al punto “O”, sabiendo que:

y Calcular el ángulo formado por las bisectrices de

y .

a) 150° b) 135° c) 90°d) 270° e) 180°

42. Se tienen los ángulos consecutivos ,

¸ , y . Siendo XX1 una

recta. Calcular el ángulo AOB, si:

- = 100°

- es bisectriz del ángulo .

- “ “ “ “ .

a) 80° b) 25° c) 40°d) 10° e) 20°

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

01. El complemento de un ángulo es igual a los 2/5 del suplemento del mismo ángulo ¿Cuál es su valor?.

a) 60 b) 30 c) 45d) 75 e) 90°

02. Si: C complemento

11

S suplemento.Siendo:

C + SC + SSCC4 = 200°Calcular : “”.

a) 10 b) 15 c) 5d) 20 e) 25°

03. Si a un ángulo “” le aumentamos el cuadrado de su complemento se obtiene un ángulo llano. Calcular el complemento del complemento de “”.

a) 80° b) 70° c) 60°d) 50° e) 40°

04. La diferencia entre el suplemento y el complemento de “” es igual al séxtuplo de . Calcular el suplemento del complemento de .

a) 15° b) 35° c) 55°d) 75° e) 105°

05. El suplemento de “” excede en sus 4/7 ala medida de “”. Calcular el complemento del complemento del ...(1007 veces) ... complemento de “”.

a) 54° b) 27° c) 36°d) 45° e) N.A.

06. El complemento del suplemento de “” más el suplemento del complemento de “2” es igual al exceso de un ángulo llano sobre el triple de “”. Calcular “”.

a) 15° b) 30° c) 45°d) 60° e) N.A.

07. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120°.

a) 30° b) 20° c) 15°d) 10° e) 5°

08. Si el suplemento del complemento del complemento del suplemento de “” es 22°33’ 44”. Calcular el complemento del suplemento del suplemento del complemento de “”.

a) 180° b) 90° c) 45°d) 30° e) 22°33’44”

09. Sabiendo que el complemento de ””, más el suplemento del complemento de “”, más el complemento del duplo de “”, más el suplemento del duplo de “” y más el suplemento del complemento del duplo de “” es 500°. Calcular el suplemento del complemento del complemento del complemento de “2”.

a) 40° b) 70° c) 90°d) 130° e) N.A.

10. Sabiendo que la sexta parte del suplemento del complemento de “” es igual a 1/3 de 9° menos que su complemento. Calcular “”.

a) 12° b) 24° c) 36°d) 48° e) 60°

11. La suma de dos ángulos es 120°, el complemento del primero es igual a 11 veces el complemento del segundo. Calcular la relación de los ángulos. (mayor a menor).

a) 1/2 b) 1/7 c) 5/9d) 17/7 e) N.A.

12. La bisectriz de un ángulo “”, forma con uno de sus lados un ángulo “” que es igual a la octava parte del suplemento de “”.Calcula el suplemento del complemento del complemento del suplemento de 3.

a) 36° b) 72° c) 108°d) 18° e) N.A.

13. Se tienen tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, calcular el suplemento el ángulo AOD, sabiendo que el ángulo AOC y BOD son suplementarios y el ángulo BOC = 35°.

a) 35° b) 45° c) 50°d) 70° e) 15°

14. Se tienen cuatro ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE de modo que el ángulo AOE es un ángulo llano, el ángulo COD = 20°. Calcula el ángulo formado por las bisectrices delos ángulos BOC y Doe, si el ángulo AOB y COD son complementarios.

a) 45° b) 70° c) 65°d) 35° e) 25°

15. Sabiendo que el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo ““ y el lado no común es 140°. Calcular “”.

a) 20° b) 30° c) 40°d) 50° e) 60°

16. La bisectriz de un ángulo “”, forma con el lado no común del ángulo complementario de “”, un ángulo que es igual a 75% de “”. Calcular “”.

a) 18° b) 36° c) 54°d) 72° e) 90°

17. Los 2/7 de la diferencia que existe entre el suplemento de un ángulo “” y el suplemento del suplemento de “” es igual al complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento

12

de “”. Calcular el complemento el complemento de “”.

a) 90° b) 70° c) 50°d) 30° e) N.A.

18. La diferencia de los ángulos formados por las bisectrices de dos ángulos suplementarios y el lado común mide 18°. Calcular el complemento del menor ángulo suplementario.

a) 12° b) 18° c) 24°d) 36° e) 42°

19. Sabiendo que el complemento de “a” es al suplemento de “b”, como el suplemento de “a” es el complemento de “b”. Calcular “a + b”

a) 90° b) 360° c) 270°d) 180° e) 540°

20. El suplemento del complemento del triple de “”, es igual al complemento de “”, disminuido en 20°. Calcular “”.

a) 3° b) 5° c) 10°d) 23° e) 45°

21. Si al suplemento de un ángulo “” de un ángulo “” le restamos el complemento de “”, se obtiene el suplemento del quíntuplo de “”. Calcular “”.

a) 10° b) 18° c) 30°d) 52° e) 70°

22. El exceso del suplemento de “a” sobre el suplemento de “b” es igual al complemento de “a”. Calcular el complemento del suplemento del suplemento de “L”.

a) 90° b) 45° c) 30°d) 0° e) 60°

23. ¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo “” para que sea el suplemento de “”?.a) 40° - b) 90° + c) 45°d) 40° e) 45-

24. Si S: suplemento y C: complemento. Hallar “x”.CCSx + CSCCSC 2x + SSS 3x = 160°

a) 30° b) 100° c) 130°d) 120° e) 60°

25. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1° es a 10°.

a) 30° b) 70° c) 90°d) 80° e) 10°

26. El doble del suplemento del doble de un ángulo es igual al triple del suplemento del triple de

dicho ángulo. Calcular el doble del complemento del doble del ángulo.

a) 72° b) 18° c) 36d) 60 e) N.A.

27. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 96?.

a) 2° b) 1° c) 3°d) 4° e) 5°

28. De dos ángulos se sabe que uno de ellos es igual a los 9/13 del complemento del otro y este último es igual a los 5/27 del suplemento del primero. Hallar el suplemento del menor.

a) 160° b) 170° c) 145°d) 15° e) 155°

29. Se tienen los ángulos consecutivos: AOB y BOC de tal manera que: BOC – AOB = 50°. Hallar le valor del ángulo formado por OB y la bisectriz de AOC.

a) 12,5° b) 15° c) 25°d) 20° e) 50°

30. Se tienen 3 ángulos consecutivos : AOB; BOC y COD; tales que: AOC = BOD = 90°. Hallar el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 75°

31. Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de su complemento menos 9°. Hallar la medida de dicho ángulo.

a) 36° b) 48° c) 64°d) 72° e) 24°

32. La medida de un ángulo es x°, si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de x° y el complemento de la mitad de la medida de dicho ángulo excede en x°/15 al doble del complemento de x°.Calcular el suplemento del complemento de x°.

a) 125° b) 135° c) 145°d) 155° e) 165°

33. Sea x° la medida de un ángulo. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de x° y su complemento de x°, es igual a los 4/5 de la diferencia que existe entre el suplemento de x° y el suplemento del suplemento de x°. Calcular el suplemento del complemento de x°.

a) 90° b) 60° c) 135°d) 180° e) 270°

13

34. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento e la medida de un ángulo es igual a 4/9 de la diferencia que existe entre el suplemento de la medida de dicho ángulo y el suplemento del suplemento de la medida de dicho ángulo. Calcular el complemento de la medida de dicho ángulo.

a) 0° b) 2° c) 5°d) 6° e) 15°

35. La medida geométrica de la medida de dos ángulos es 4° y la media armónica 32/17. ¿Cuánto mide el menor de dichos ángulos?.

a) 0° b) 1° c) 2°d) 3° e) 4°

36. A la medida de un ángulo se le quita las 3/5 partes del total menos 4°, luego la cuarta parte del resto más 3° y en seguida los 2/5 del nuevo resto más 12°. Si aún le quedan 24°. ¿Cuál es la medida?.

a) 20° b) 50° c) 100°d) 200° e) N.A.

37. Calcular la medida de un ángulo si el suplemento del complemento del suplemento de k veces la medida del ángulo es igual al suplemento del complemento del complemento de la medida de dicho ángulo.

a) b) c)

d) e)

38. La suma del suplemento y el complemento de la medida de un mismo ángulo, es igual a n veces el suplemento de la medida de dicho ángulo. Calcular su medida.

a) b) c)

d) e) N.A.

39. Las medidas de dos ángulos adyacentes y suplementarios se diferencian en 50°. Hallar la medida del mayor.

a) 100° b) 105° c) 110°d) 70° e) 35°

40. Si los / del suplemento de los / de la diferencia entre el suplemento del suplemento de y el complemento del complemento de es igual a los / del suplemento del complemento de los / de la diferencia entre el complemento del complemento de y el suplemento del suplemento de . Calcular el complemento de la diferencia entre y .

a) 0° b) 60° c) 90°d) 180° e) 270°

41. si a la medida de uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 35° para agregárselo a la medida del otro se obtiene que la medida del segundo es 8 veces lo que queda del primero. Calcular la diferencia de las medidas de estos ángulos.

a) 50° b) 60° c) 70°d) 80° e) 45°

42. Si el complemento del suplemento del suplemento del complemento de un ángulo mide 10°; calcular el suplemento del complemento del complemento de dicho ángulo.

a) 50° b) 20° c) 36°d) 80° e) 170°

43. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 20° y al otro 30°, este último resulta ser igual a los dos tercios de lo que queda del anterior. Hallar el suplemento del complemento de la diferencia de dichos ángulos.

a) 74° b) 106° c) 98°d) 82° e) 168°

44. De qué ángulo debe restarse los 2/3 de la medida de su complemento, para obtener 5°.

a) 19° b) 29° c) 39°d) 49° e) 28°

45. ¿Cuál será la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 99°?.

a) 1°30’ b) 2° 30’ c) 3° 30’ d) 4° 30’ e) N.A.

46. La suma complemento de un ángulo más el suplemento de otro ángulo es 140°. Hallar el suplemento de la suma de ambos ángulos.

a) 50° b) 25° c) 75°d) 40° e) 20°

47. Calcular “”

a) 30 b) 31 c) 33d) 40 e) N.A.

48. El doble del complemento de un ángulo, más el triple del suplemento del mismo, es 500°.Hallar el ángulo

Rpta: ....................

POLÍGONOS

14

01. Calcular el número de diagonales de un polígono si su ángulo central es a su ángulo interior como 1 es a 2.

a) 9 b) 9 c) 10d) 6 e) N.A.

02. Las diagonales de un rombo son 16 y x, si el perímetro del rombo es 40. Hallar x.

a) 10 b) 11 c) 121d) 13 e) 14

03. Las bases de un trapecio están en la relación de 3 a 7, si su mediana mide 50 cm. Halle la base mayor?.

a) 30 b) 70 c) 35d) 15 e) 20

04. ¿En qué polígono regular, la medida del ángulo interior es el triple de la medida del ángulo exterior?.

a) Octógono b) Eneágono c) Decágonod) Dodecágono e) Icoságono

05. Calcular el número de lados de un polígono regular, si cada uno de los ángulos exteriores miden 20°.

a) 28 b) 22 c) 18d) 14 e) 8

06. El ángulo interior de un polígono regular mide 160°. Calcular el número total de diagonales que pueden trazarse en éste polígono.

a) 115 b) 125 c) 127 d) 130 e) 135

07. En que polígono convexo, la suma de los ángulos interiores excede en 720° a la suma de los ángulos exteriores?.

a) Exágono b) Eptágono c) Octógonod) Dodecágono e) Icoságono

08. La suma del número de los de dos polígonos convexos es 20 y la suma del número de diagonales es 74. Determinar el número de lados de cada polígono.

a) 5 y 15 b) 6 y 14 c) 7 y 13d) 8 y 12 e)9 y 11

09. Si a un polígono se le disminuye un lado, el número total de sus diagonales disminuye en 35. Determinar la suma de las medidas de sus ángulos interiores.

a) 2750° b) 2700° c) 2650°d) 2600° e) 6300°

10. La diferencia del número de los lados de dos polígonos convexos es 9 y la suma del número de sus diagonales es 139. calcular el número de lados de cada polígono.

a) 17 y 8 b) 19 y 20 c) 20 y 11d) 21 y 12 e) 23 y 14

11. Si el número de lados de un polígono convexo aumenta en tres, el número de sus diagonales se triplica. Determinar la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono original.

a) 740° b) 730° c) 725°d) 721° e) 720°

12. Si las medidas de los ángulos externos e internos de un polígono regular, se encuentra en la relación de 2 : 7 ; el polígono es:

a) Pentágono b) Eptágono c) Eneágonod) Decágono e) Dodecágono

13. ¿Cuáles son los polígonos regulares cuyo número de diagonales se diferencian en cuatro y las medidas de sus ángulos centrales son como 5 es a 6.

a) Triángulo y Cuadriláterob) Pentágono y Decágonoc) Triángulo y Exágono d) Cuadrilátero y Octógonoe) Pentágono y Exágono

14. Si la medida de un ángulo interno de un polígono regular convexo es igual a cuatro veces de la medida de su ángulo central. Calcular el número total de sus diagonales.

a) 18 b) 26 c) 30d) 35 e) 42

15. Si a un polígono regular convexo se le aumenta dos lados la medida de su ángulo externo disminuye 9°. Calcular el número de ángulos centrales que tiene dicho polígono.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

16. Si se triplica el número de vértices de un polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos internos se cuadruplica. Calcular el número total de diagonales.

a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

17. Calcular la medida del ángulo interno de un polígono regular convexo, cuyo número total de diagonales excede en siete al total de diagonales

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de otro polígono regular convexo que tiene un lado menos.

a) 60° b) 72° c) 90°d) 120° e) 140°

18. Al triplicar el número de lados de un polígono regular la medida de su ángulo interior aumenta en 40°. Calcular el número de diagonales del polígono menor. a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

19. ¿En qué polígono el número de diagonales es igual a su número de vértices?.

Rpta : .....................

20. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar de 9 vértices consecutivos en un polígono de 23 lados?.

Rpta : .....................

21. Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono cuyo número de diagonales es igual al doble de su número de lados.

Rpta : .....................

22. En qué polígono regular se cumple que si se disminuye 5 lados, la medida del ángulo interior disminuye en 6°.

Rpta : .....................

23. Hallar “x”:

a) 140° b) 120° c) 130°d) 150° e) 135°

24. Hallar “x”:

a) 10° b) 15° c) 20°d) 18° e) 16°

25. Hallar “x” (BC // AD).

a) 30° b) 18° c) 37°d) 45° e) 60°

26. AD = 6 ; CH = 2, hallar “”,

a) 10° b) 20° c) 30°d) 25° e) 35°

27. En el trapecio BC = 4, AD = 10, AE = 2 (EB), EF // AD // BC. Hallar .

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

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