EDUCACIN CVICA

ORTOCENTRO.

Todo tringulo tiene tres alturas, las cuales (o sus prolongaciones) concurren en un punto llamado ORTOCENTRO.

El punto H es el ortocentro.

BARICENTRO.

El punto donde concurren las tres medianas se llama BARICENTRO.

El G es el baricentro de triangulo ABC

PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

CONGRUENCIA DE TRINGULOS

Caso: ngulo-Lado-ngulo (ALA)

Un lado y los ngulos adyacentes a dicho lado.

Caso: Lado-ngulo-Lado (LAL)

Dos lados y el ngulo correspondiente entre ellos.

Caso: Lado-Lado-Lado (LLL)

Los tres lados

Caso: Lado-Lado-ngulo (LLA)

Dos lados y el ngulo opuesto al mayor de los lados.

PROPIEDADES

1. Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del Angulo

2. Cualquier punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

3. Base media de un triangulo

4. En un tringulo rectngulo la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de sta.

.

TRINGULOS NOTABLES

PROBLEMAS1. En la figura adjunta a + b + c + d = 250. Hallar A + B + C.

A) 180

B) 90

C) 200

D) 210

E) 70

2. En la siguiente figura determinar el valor de x.

A) 8

B) 18

C) 16

D) 10

E) 15

3. En la figura, calcular x.

A)37

B)53

C)45

D) 30

E) 15

4. En la figura mostrada, calcular (

A)40

B)50

C)45

D) 30

E) 55

5. En la figura mostrada, calcular x

A)140

B)150

C)145

D) 108

E) 155

6. En la figura mostrada, si AF = FC, calcular 5(.

A)41

B)40

C)45

D) 30

E) 65

7. En la figura mostrada, si m + 2n = 230; calcular x.

A)10

B)25

C)15

D) 20

E) 35

8. En la figura mostrada, calcular x.

A)140

B)150

C)145

D) 130

E) 115

9. En la figura mostrada, calcular(.

A)70

B)75

C)65

D) 60

E) 45

10. En un (ABC, se traza la ceviana AE cuya prolongacin interseca en F a la bisectriz exterior del ngulo C. Si mBAE - mEAC = 20 y mEFC = 30, calcular mABC.

A)40

B)51

C)55

D) 50

E) 57

11. En la figura mostrada si BD = 4 y BC = 6, hallar AD.

A)10

B)20

C)35

D) 30

E) 45

12. En un (ABC, se ubica el punto D en AC tal que AB = BD = DC y AC = BC. Calcular m

A)36

B)37

C)45

D) 38

E) 40

13. En un tringulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz BD del ngulo HBC, tal que AB = 7 y AC = 10. Hallar DC.

A)4

B)5

C)6

D) 3

E) 9

14. En un (ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior del ngulo A que interseca a BH en E y a BC en F de manera que BF = 5 y BH = 8. Hallar HE.

A)2

B)3

C)6

D) 8

E) 9

15. Exteriormente a un (ABC (AB = BC) se construye el tringulo equiltero BEC. Calcular mEAC.

A)30

B)36

C)45

D) 38

E) 40

16. Calcular(, si AB = BC y AC = CE = ED.

A)16

B)17

C)15

D) 18

E) 14

17. Calcular (

A)140

B)100

C)145

D) 130

E) 120

18. Calcular m-n.

A)10

B)15

C)14

D) 16

E) 20

19. Calcular x del grfico.

A)72

B)74

C)75

D) 100

E) 105

20. En la figura, calcular x, si ( = 2( + 3(.

A)40

B)50

C)45

D) 30

E) 60

21. En la figura. Si AB = AC = CD, calcular x, adems ( + ( = 2(

A) 60

B)50

C)45

D) 30

E) 60

22. En la figura: AB = BP = QC. Calcular x.

A) 60

B)50

C)45

D) 70

E) 80

23. En la figura mostrada, calcular (.

A) 6

B)9

C)5

D) 7

E) 8

24. Calcular(.

A)26

B)19

C)15

D)2 7

E) 28

25. Calcular x, si: AD = 1, DC = 7 y BD = 5

A)37

B)45

C)48

D)53

E)60

26. Si BM = 12, calcular PQ.

A) 10 m

B)11m

C)12m

D) 13 m

E) 14 m

27. En la figura, si FC = 18 m. Calcular AB.

A)18m

B)9m

C)9,5 m

D) 10 m

E) 10,5 m

28. En la figura, si AD = 11 m y DC = 3 m, calcular BD.

A)7m

B)6m

C)4m

D)5m

E)8m

29. En la figura, BC + BM = AM y AN = NC. Hallar x.

.A)60

B)30

C)53

D37

E)45

30. En la figura, DC = 2AB. Hallar x.

.A) 22.5

B)30

C)27

D)37

E)45

31. En la figura, AB = 9. Hallar BD.

A) 20

B)12

C)15

D)16

E)N:A

En la figura, hallar DC si BC = 10

A) 8

B)6

C)10

D)12

E)N:A

32. En la figura, si AH = 3 y HC = 8. Calcular x

A) 30

B) 60

C) 53/2

D) 37/2

E) N:A

33. Calcular(, si (+ ( = 24:

A) 24

B)14

C)25

D)2 7

E) 38

34. En la figura AM = CE = CF. Calcular el valor medio y en tero de (.

A) 26

B)16

C)27

D) 30

E) 30

35. Calcular AE del grfico, si AB = CE y AB + DE =15.

A) 16

B)17

C)27

D) 31

E) 15

36. En la figura, si AD = 24, hallar MD.

A) 12

B) 17

C)18

D) 19

E) 20

37. En la figura mostrada, si MC = 20, hallar AB.

A) 20

B) 16

C)17

D) 18

E) 30

38. En la figura. AC = 4NT, AB = NB y mC =15 Calcular la m MAB.

A) 15

B)75

C)70

D) 80

E) 81

39. Del grfico calcular , si AB = CD.

A) 27

B) 28

C)53

D) 30

E) 35

EJERCICIOS1. En el grfico mostrado BD = 5 y m DBC = 6, entonces AC es:

A) 7.58)15C) 5D) 10E) 12,5

2. Hallar a + b + c.

A) 200

B) 250

C) 265

D) 270

E) 280

3. Segn el grfico, AN=AT, BM=BR y CS=CP Calcule ( + ( + (.

A) 360 B) 270

C)135

D) 180E) 300

4. Segn el grfico a+b+c+d = 420 calcule (

A) 25

B) 15

C)10

D) 18

E)20

5. Segn el grfico, calcule x.

A) 15

B) 6

C) 9

D) 12

E) 18

6. En la figura mostrada, calcular x.

A) 20

B)10

C)20

D) 70

E) 30

7. Calcular x.

A) 15

B)16

C)20

D) 17

E) 18

8. Calcular (, si AB = CD y BC ( AD.

A) 16

B)10

C)7

D) 9

E) 3

9. Del grfico, calcular (.

A) 18

B)16

C)17

D) 20

E) 30

10. Se tiene un tringulo equiltero ABC en el cual se trazan las cevianas interiores CN y BM que forman un ngulo cuya medida es 60 Si BN = 3 y MC = 7, hallar AB.

A) 20

B)16

C)27

D) 10

E) 21

11. En la figura: AH = HR y BH = HP. Si mAPR = 18. Calcular la mBAR.

A) 26

B)28

C)27

D) 30

E) 31

12. En la figura, calcular (, si AB = CD.

A) 26

B) 28

C)27

D) 30

E) 35

13. En un (ABC, se traza la mediana CP en el (BPC se traza la mediana BM que 12; luego se traza P//BM (N en AC) Hallar NP.

A) 6

B) 16

C)7

D) 8

E) 10

14. En la figura mostrada, si BM es mediana y PB = 10, hallar MH.

A) 6

B) 5

C)7

D) 8

E) 10

15. En la figura mostrada, si AB = 9 y AC = 17, hallar AH.

A) 6

B) 5

C)4

D) 8

E) 3

16. En la figura mostrada, si PB = 9 y PC = 15, hallar AB.

A) 16

B) 17

C)7

D) 18

E) 20

17. En la figura mostrada, si AB = 10, BC = 8 y PB = 1, hallar MP.

A) 4

B) 6

C)7

D) 8

E) 10

18. En la figura mostrada, si BM = 8, hallar MC.

A) 6

B) 16

C)7

D) 8

E) 10

19. En la figura mostrada, si AM = MC, AB = 4, BC = 6, y MH//AB hallar HM.

A) 6

B) 1

C)7

D) 8

E) 2

20. Calcular x, si HM = 3 y AH = 8

A) 26

B) 28

C)53

D) 30

E) 35

21. Calcular X.

A) 26

B) 28

C)27

D) 30

E) 35

22. Si AM = MB y BC = 2PM, calcular x.

A) 16

B) 18

C)27

D) 30

E) 31

23. Si AB = BC, PQ = 8 y QC = 3, hallar AP.

A) 6

B) 5

C)7

D) 8

E) 10

24. En la figura, si AB = DC = 8, AM = MD y BN = NC, hallar MN.

A) 6

B) 4

C)8

D) 9

E) 10

25. Calcular (, s AB = DE; AE = CD

A) 25

B) 28

C)53

D) 30

E) 55

26. Hallar CD, si AD = 1 y BD = 4.

A) 2

B) 4

C)8

D) 9

E) 5

27. Si BM = 12, hallar PQ.

A) 16

B) 14

C1)8

D) 19

E) 12

28. En un tringulo ABC recto en B, la bisectriz exterior del ngulo A y la prolongacin de la altura BH se intersecan en F tal que: AB + AH = 4; HF = 3 Calcular BH.

A) 2

B) 4

C)8

D) 9

E) 5

29. En un (ABC, la bisectriz exterior del ngulo B y la mediatriz de AC se intersectan en P. Se traza luego PE ( BC si BE = 2 y EC = 8, hallar AB.

A) 6

B) 7

C)8

D) 9

E) 10

30. En la figura AC = BD, calcular (.

A) 16

B) 18

C)27

D) 12

E) 10

31. En la figura si AB = PC y PH 3PB. Calcular x.

A) 6

B) 8

C)7

D) 3

E) 9

32. Calcular (.

A) 16

B) 18

C)27

D) 30

E) 37

33. Calcular x, si m ABD = 60 - (

A) 20

B) 18

C)27

D) 30

E) 31

34. Calcular (, si AF = BC.

A) 16

B) 18

C)10

D) 20

E) 31

35. Si AC = BC = AD, calcular x.

A) 50

B) 18

C)27

D) 30

E) 53

36. El ngulo A de un (ABC mide 30. Se traza la ceviana BF con la condicin que: AF = BC y BF = FC. Calcular la mFBC.

A) 16

B) 18

C)27

D) 20

E) 31

37. Calcular 10(, si BP = AC y m BAP =mPAC.

A) 45

B) 18

C)27

D) 30

E) 20

38. Hallar x, si es mediana, adems AB = 3, BM = 2 y BC =5

A)37

B)53

C)45

D) 30

E) 15

39. Si BH = AC, hallar x

A) 115

B) 100

CI 105

D) 125

E) 135

CUADRILATEROSDefinicin

Dados cuatro puntos coplanares A, B, C y D, tal que tres de ellos no son colineales, se denomina cuadriltero a la unin de los segmentos AB, BC, CD, y DA, los cuales son los lados del cuadriltero y los puntos A, B, C y D son los vrtices.

Un cuadriltero es convexo s todos sus ngulos interiores son menores de 180 (cuadriltero ABCD).

Es (no convexo) si tiene un ngulo interior que mide ms de 180 (cuadriltero MNPQ).

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS CONVEXOS.

Segn el paralelismo entre los lados, los cuadrilteros se clasifican en:

TRAPEZOIDE

Ningn par de lados opuestos son paralelos.

TRAPECIO

Exactamente dos lados opuestos son paralelos.

PARALELOGRAMO

Los lados opuestos son paralelos.

TEOREMAS FUNDAMENTALES

La longitud del segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio (mediana) es igual a la semisuma de las longitudes de las dos bases.

TEOREMAS QUE SE CUMPLEN EN PARALELOGRAMOS

1. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

2. Las diagonales de un rectngulo son de la misma longitud y se cortan en su punto medio.

3. Las diagonales de un cuadrado son de la misma longitud y se cortan en su punto medio formando un ngulo de

90.

4. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre s y se cortan en su punto medio y son de diferente longitud.

PROBLEMAS1. En un paralelogramo de 10 cm y 5 cm de lados se traza la bisectriz del ngulo obtuso B. Calcular la mediana del trapecio formado BCDE.

A) 7,5

B) 8,0

C)8,5

D) 7,0

E) 6,5

2. En la figura, PSQR es un cuadrado y PQT es un tringulo equiltero. La medida del ngulo STR es

A) 110

B) 120

C)130

D) 75

E) 150

3. Si AD = DC = BC. Calcular x, en la figura.

A) 92

B) 88

C) 98

D) 95

E) 85

Los ngulos de un cuadriltero ABCD; rnA = 90, mB = 60, mC = 135 mD = 75. Calcularla mBDC sabiendo adems que AB = BC.

A) 15

B) 30

C)45 D) 60

E )N.A

Hallar la longitud de la base mayor del trapecio mostrado: sabiendo que es un nmero entero.

A)10

B)11

C)12

D)13

E)14

4. En la figura BC//PQ//AD Calcular PQ.

A) 10

B) 11

C)12 D) 13

E) 15

5. En un trapecio issceles la mediana mide 12 m la diagonal mide 13 m. Calcular la altura del trapecio.

A)5m

B)6m

C) 7 m

D) 8 m

E) 9 m

6. En un trapecio las bisectrices de los angulos adyacentes a la base menor se cortan en un mismo punto de la base mayor, calcular la longitud de la base mayor si los lados no paralelos suman 12 m.

A) 8 m

B) 9 m

C)10m D) 11 rn

E) 12 m

7. En la figura BC//PQ//AD Calcular PQ: si AB =5m, BC = 4m y AD =15m,

A) 4 m

B) 5 m

C)6 m

D) 7 m

E) 8 m

8. La diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es 16 m, hallar la longitud de la base menor.

A) 16 m

B)12m

C)8m

D) 4 m

E)10m

9. La suma de la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es 46 m, hallar la base mayor.

A) 23 m

B)46m

C)30m D) 32 m

E) 40m

10. En la figura calcular x si ABCD es un cuadrado y ADE es un tringulo equiltero.

A) 75

B) 80

C)100

D) 105

E) 110

11. En la figura calcular x si ABCD es un cuadrado y BEC es un tringulo equiltero.

:A) 45

B) 65

C)70 D)75

E) 50

12. Las diagonales de un rombo miden 30 m y 16 m. Calcular la longitud de su lado.

A) 17

B)18

C)16

D) 20

E) 24

13. En un paralelogramo ABCD: AB = 18 m. Se une A con un punto P de . I corta a 15 en Q. Hallar PD, si BQ = 3(QD).

A) 2 m

B) 4 m

C)6m

D) 8 m

E) 10 m

14. En el siguiente cuadriltero hallar x.

A) 80

B) 70

C) 90 D) 95

E) 105

15. En el trapecio ABCD, AD = BC + CD. Hallar (.

A) 100

B) 170

C)90

D) 95

E) 115

16. En el grfico mostrado, hallar: OQ si BM + NC = 2(3 m, O es centro del rectngulo ABCD.,

A)6m

B)4m

C)2m

D)3m

E)7m

17. En el grfico mostrado PM=MQ, RP = 4m, QS = 6 m. Calcular MN.

A) 5 m

B) 6 m

C)7m

D) 8 m

E) 9 m

18. Del grfico, ABCD es un rombo y CD = DE. Hallar x.

A) 12

B) 15

C) 20

D) 30

E) 18

19. En el grfico mostrado, AB = AE, BC =CF, y EM = MF. Hallar MN, si AC = 12m.

A 6 m

B) 8 m

C)10m D 12 m

E) 18m

20. En un trapecio ABCD, (AD// BC), en AD y en CD se ubican los puntos M y N respectivamente, tal que: CN = ND Y mNBC = mNMD. Si la distancia de B a MN es 10, calcular la distancia del punto medio de BM a BN.

A 6 m

B) 4 m

C)10m D 2 m

E) 8m

21. En un cuadrado ABCD se ubica el punto medio E de AD, luego se ubica un punto F en CE tal que AF = AB. Calcular: mEFD.

A) 45

B) 65

C)70 D)75

E) 70

22. Del grfico AM = ME, AB = BC, CD = DE y BD = 6. Calcular: MH.

A )3 m

B) 4 m

C)1m

D )2 m

E) 8mPOLIGONOSDefinicin:

Se denomina polgono a la figura geomtrica que resulta de unir por medio de segmentos de recta no secantes, tres o ms puntos contenidos en un plano.

La regin del plano que determina, se llama regin poligonal.

ELEMENTOS

1. Vrtices: A, B, C, D, E y F

2 .lados: AB, BC, CD, etc.

3 .ngulos: interiores A, B, etc.

4. Angulo. Exterior: TCD

5 .diagonal: BE

6. diagonal media: MN.

OBSERVACON Un polgono de n lados tendr n vrtices y n ngulos interiores

CLASIFICACION:

SEGUN LA MEDIDA DE SUS NGULOS

SEGUN LA REGULARIDAD DE SUS ELEMENTOS

NOTA: Un polgono es REGULAR cuando es equingulo y equiltero.

PROPIEDADES GENERALES EN UN POLIGONO DE n LADO 1. Numero de diagonales trazados desde un vertice

2. Suma de las medidas de los ngulos interiores

3. Numero de diagonales

4. Numero de diagonales medias

5. Suma de las medidas de los ngulos exteriores

6. Nmero de diagonales trazadas a partir de m vrtices consecutivos

7. Nmero de diagonales medias trazadas a partir de m lados consecutivos

PROPIEDADES EN UN POLGONO REGULAR

DE n LADOS1. Medida de su ngulo interior.

2. Medida de su ngulo exterior.

3. Medida de su ngulo central

4. Suma de las medidas de los ngulos centrales

SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO ESTRELLADO

Si n es el genero de un polgono estrellado y a es el nmero de espacios entre un lado y los vrtices (especie), entonces la suma de los ngulos de las puntas es:

Ejemplo:

En la figura: n = 12; a = 5

S = 180 (12- 2(5)) = 360PROBLEMAS1. La suma de los ngulos interiores, exteriores y centrales, de un polgono regular convexo, es 1260 Calcular el nmero de lados del polgono.

A) 5

B) 6

C)8D)9

E) 10

2. Cuntos lados tienen un polgono cuya suma de las medidas de sus ngulos internos y externos es 3960?

A) 20

B) 21

C)22D)23

E)24

3. Calcular la medida del ngulo exterior de un polgono regular, sabiendo que a partir de sus cuatro primeros vrtices se puede trazar 25 diagonales.

A) 10

B) 20

C) 45

D)36

E)30

4. Cuntos lados tienen el polgono, en el cual su nmero de diagonales aumentan en dos, al aumentar en uno el nmero de lados.

A)3

B) 4

C) 5D)6

E)7

5. El ngulo interior y el ngulo exterior de un polgono regular estn en la relacin de 5 a 1. Hallar el nmero mximo de diagonales que posee dicho polgono.

A)36

B)54

C)27D)18

E)9

6. En un polgono regular, lo medida de un ngulo interior es igual a cinco veces la medida de un ngulo central. Calcular el nmero de diagonales trazadas desde los tres primeros vrtices.

A) 32

B) 44

C) 26D) 29

E) 28

7. Calcular el nmero de diagonales de un polgono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ngulo cuyo. medida es 18.

A) 27

B) 135

C) 104D) 170

E) 175

8. Hallar x.

A) 10

B) 12

C) 15D) 18

E) 20

9. Desde cuatro vrtices consecutivos de un Polgono convexo se trazan 25 diagonales.Hallar el nmero de lados.

A) 16

B) 10

C) 12D) 20

E) 24

10. Al disminuir en 2 el nmero de lados de un polgono convexo, se obtiene otro polgono con 15 diagonales menos. Hallar el nmero de lados del polgono original.

A)10

B)12

C) 14D)16

E)18

11. Calcular la diferencia entre el nmero de diagonales medias y el nmero de diagonales de un polgono en el cual el nmero de diagonales es igual a su nmero de lados.

A)4

B)5

C) 6D)7

E)8

12. Las medidas de los ngulos interiores de dos polgonos regulares difieren en 10 uno de ellos tiene 6 lados menos que el otro. Hallar el mayor nmero de lados.

A) 16

B) 19

C) 17D) 18

E) 20

13. Cul es el polgono convexo cuyo nmero de diagonales excede al nmero de vrtices en 18?

A) tringulo

B) cuadrilteros C)pentadecgono

D) nongono

E) Icosgono

14. Quince veces el ngulo interior de un polgono regular equivale al cuadrado de su ngulo exterior. Cul es ese polgono?

A) Pentgono regular

B) Cuadrado

C) Tringulo equilteros

D) Octgono regular

E) Decgono regular

15. En un polgono regular, el mximo nmero de sus diagonales es igual a 170. Hallar la medida del ngulo central de dicho polgono.

A) 12

C) 15

B) 16D) 18

E) 20

16. Segn la figura ABCDEF y NBKLS son Polgonos equingulos y BC = BK. Calcular el valor de x.

A) 12

B) 15

C) 16D) 17

E) 18

17. En un heptgono convexo, 5 ngulos consecutivos suman 680. Calcular el mayor ngulo que forman al intersectarse las bisectrices interiores de los dos ngulos restantes.

A) 100

B) 115

C) 110

D) 95

E) 125

18. Hallar x

A) 15

B) 20

C) 25D) 30

E) 35

19. Si el nmero de lados de un polgono regular aumenta en 6, cada ngulo interior del nuevo polgono es 5 mayor que cada ngulo interior original. Cuntos lados tiene el polgono original?A)12

B)15

C) 16

D) 17

E) 1820. Se tiene 2 polgonos regulares de manera que uno de ellos tiene 5 lados menos que el otro, pero el ngulo exterior de uno de ellos mide 12 menos que la medida del ngulo exterior del otro. Hallar la suma del nmero de sus lados de dichos polgonos.A)25

B)28

C) 22

D)30

E)2421. En un polgono regular MPQRRT........ la mMNQ = 90. Calcular el nmero de diagonales.A) 7

B)8

C)9 D)10

E)1122. En un heptgono convexo, 5 ngulos consecutivos suman 680. Calcular el mayor ngulo que forman al intersectarse las bisectrices interiores de los dos ngulos restantes.A) 100C

B)115

C)110 D) 95

E) 125

23. El mximo nmero de diagonales de un polgono de n lados excede en 36 al nmero de diagonales de otro polgono de n-3 lados. Calcular la suma de los ngulos interiores del polgono de n lados.

A) 2340

B) 2350

C) 2360

D) 2300

E) 2380

24. Se tiene un dodecgono equingulo: ABCDEFGHIJKL,. Si AB = 4m, BC = 3(3 CD = 7 m, las prolongaciones de AB y DE se intersecan en Q, calcular: DQ.

A)6(3

B)5(3

C)4(3D)7(3

E)8(3

25. En un octgono equingulo ABCDEFGH en el cual: AB = CD, BC = DE Y BD = 8(2cm. Calcule AE

A) 16cm

B) 8 cm

C) 9 cm

D) 11 cm

E) 12cm

26. Se tiene un exgono equingulo ABCDEF, BC = 2 cm, DE = 1cm, CD = 4cm, AF =3 cm. Hallar su permetro.

A) 11 cm

B) 1Ocm

C) 15cm D) 16cm

E) 18cm

27. Las medidas de los ngulos interiores de un polgono convexo estn en progresin aritmtica de razn 6 si el menor ngulo mide 105 Calcular su nmero de diagonales.

A) 12

B) 9

C) 16D) 7

E) 828. Dado yo hexgono equingulo ABCDE, que tiene dos tipos diferentes de lados los cuales se presentan en forma alternada, si su permetro es 12 calcular la distancia de F a CD.

A) 6

B) 9

C) 10

D) 7

E) 8

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