EDUCACIN CVICA

GEOMETRIAEs parte de la matemtica que trata del estudio de las propiedades de las figuras geomtricas y de las relaciones existentes entre las medidas de sus extensiones.

Punto

Es un concepto abstracto cuya existencia aceptamos dotndolo de la propiedad de ser tan pequeo que no tiene dimensin, y se representa mediante una marca designada por una letra mayscula.

Lnea

Es el conjunto de infinitos puntos dispuestos siguiendo la trayectoria descrita por el desplazamiento de un punto. Una lnea limitada tiene por extensin su longitud.

Entre los tipos de lneas tenemos:

a) La lnea recta

b) La lnea curva

c) La lnea quebrada

d) La lnea mixta

Superficie

Es el conjunto de infinitos puntos generados por el desplazamiento de una lnea. Cuando sta es limitada; su extensin es el rea.

LA LNEA RECTA

Lnea Recta

Es el conjunto de infinitos puntos dispuestos siguiendo: una trayectoria igual a la que describe un haz de luz en el vaco. Dicha trayectoria se llama direccin. Por consiguiente. el conjunto de puntos que conforman la lnea recta sigue una direccin, La recta no tiene extremos.

Semirrecta

Consideremos en la recta un punto llamado origen, este punto divide a la recta en dos partes. El conjunto de puntos ubicados a un lado del origen se llama semirrecta. La parte de la direccin, que partiendo del origen, se prolonga indefinidamente hacia un lado, se llama sentido.

Por consiguiente, el origen divide a la recta en dos semirrectas que tienen la misma direccin pero sentidos opuestos.

Rayo

Es la unin del origen y la semirrecta.

Segmento

Es la porcin de recta comprendida entre dos puntos llamados extremos del segmento.

A y B son los extremos del segmento . Dado que el segmento es un conjunto de puntos, est sujeto a todas las propiedades operaciones de conjuntos.

OPERACIONES CON LONGI TUDES DE SEGMENTOS

Todo segmento tiene una longitud cuya unidad de medida en el Sistema Internacional de Unidades es el metro con su mltiplos y submltiplos.

Segmento

Longitud del segmento AB = 5cm

Observacin:

Ntese que el segmento se denota con dos letras y una barra superior, mientras que la longitud, solamente con dos letras.

Cuando no se especifica el tipo de segmento se considerar cerrado.

Con las longitudes de los segmentos se pueden realizar operaciones:

Punto medio de un segmento

Dado un segmento, un punto M de se llama punto medio si AM = MB.

Todo segmento tiene un solo punto medio.

PROBLEMAS1. En una recta se ubican lo puntos consecutivos A, B, C, D y E; de tal manera que:

Calcular:AE

A)21

B)22

C)11

D)33

E)45

2. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C; de tal manera que: AB BC = 10, luego se ubica el punto M punto medio de AC calcular MB

A)3

B)4

C)5

D)10

E)2

3. En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S y T; talque: PR = RT; PQ +RS = 12 ST QR = 4 Calcular: PQ

A)2

B)4

C)6

D)8

E)5

4. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, y D; de tal manera que:

Calcular BC

A)6

B) 12

C)9

D)8

E) 24

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que:

Calcular BC

A)2

B)1

C)0.5

D)3

E)0

6. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F de tal manera que:

`Calcular AF

A)6

B)12

C)13

D)8

E)24

7. A, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tal que D sea punto medie de y AC - AE = 50 m. Hallar AD.

A) 35 m

B) 34 m

C) 30 m

D) 25 m

E) 20 m

8. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R. Entre los puntos Q y R se toma un punto H, tal que: y QR - 4(PQ) = 28 m. Hallar QH.

A) 7,2m

B) 5,6m

C) 3,8 m

D) 6,2m

E) 5,2m

9. Sean los puntos consecutivos y colineales sobre una recta A, E, B, P y C; E es punto medio de AB y Pespunto medio de EC. Hallar PC. Si: AB + 2(BC) = 36 m.

A) 9 m

B) 10 m

C)10,5 m

D) 12 m

E) 18 m

10. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C tales que:

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 Hallar AB,

A) 6 m

B)7m

C) 8 m D) 9 m

E) 10 m

11. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que: 2(AB)=3(BC)=4(CD)=5(DE) y AE + BD = 56m. Hallar AB.

A) 12m

B)13m

C)14m

D) 15m

E)16m

12. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos E, F, G y H. Si EF = 8 m, GH = 9m y (EG)(GH)+(EF)(FH)=(FG)(EH). Hallar FG.

A) 10 m

B) 12 m

C) 14 m

D) 17m

E) 20 m

13. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A M, B, C, N y D. M y N, bisecan AB y BD respectivamente. Hallar BC, sabiendo adems que: NC =4m, CD =MB v AD = 36m.

A) 1,2m

B) 2,5m

C) 1,8m

D) 3m

E) 2,8m

14. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos tales que: AC + BD = 24 m. Hallar la distancia entre los puntos medios de AB y CD.

A) 24 m

B) 48 m

C) 6 m

D) 12 m

E) 18 m

15. Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E con la siguiente condicin:

AC +BD +CE = 44 m. Hallar la longitud del segmento. AB Si AE = 25 m y DE = 2(AB).

A) 1m

B) 2m

C) 3m

D) 4m

E) 5m

16. En una recta se ubica los puntos consecutivos A. B, C, D y E de modo que BD +AC + BE +AD +CE = (AE)(BD)

A) 1/2

B) 3

C) 1/3

D) 2

E) 1/6

17. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ,E y F si

A) m - 4

B) m

C) m-1

D) m +2

E) m - 3

18. En un recta se ubica los puntos consecutivos A, B, C yD de modo que B es punto medio de AD. Calcule CD, si se cumple que (AC)(AD)=16

A) 2

B)3

C) 4,5

D)5

E)6

19. En una recta se ubica los puntos A, B. C, D, E y F tal que AC = CE = EF y 2(BC) = 3(DE),

A) 3/2

B) 2/3

C) 9/4

D) 4/9

E) (6/2ANGULOSEl ngulo es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen.

Elementos:

Lados:

Vrtice: O

Abertura: ( (alfa)

Notacin: AOB, AOB

Medida: m AOB = (Medida de ngulos

Se mide el grado de abertura de los lados. El sistema de unidades de medicin angular ms utilizado en geometra se denomina Sistema Sexagesimal.

Para establecer la unidad se ha dividido la circunferencia en 360 partes (ver la siguiente figura) y cada parte se llama un grado (1). Adems cada grado se ha dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

Medicin del ngulo

Bisectriz de un ngulo

La bisectriz de un ngulo es el rayo que tiene por origen el vrtice y divide a la figura en dos ngulos congruentes.

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS.

Segn su medida

a) ngulo Agudo: Mide menos de 90.

b) ngulo recto: Mide 90.

c) ngulo obtuso: Mide ms de 90 menos de 180

d) ngulo llano: mide 180

Segn la posicin de sus lados

a) Adyacentes o consecutivos

Dos ngulos son adyacentes o un ngulo consecutivo del otro, si tienen el vrtice y un lado comn, tal que los ngulos estn ubicados a uno v al otro lado del lado comn. Si la suma las medidas de dos ngulos consecutivos es 90, se dice que son complementarios y si es 180 son suplementarios.

ngulos complementarios

( complemento de ( ( complemento de (

ngulos suplementarios

( suplemento de ( ( suplemento de (

b) ngulos opuestos por el vrtice

Dos ngulos son opuestos por el vrtice, si uno de ellos est formado por la prolongacin de los lados del otro.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Dos rectas en el plano son o bien paralelas o bien secantes. Son paralelas cuando no tienen puntos comunes. Son secantes cuando tienen un punto en comn, que a su vez pueden ser perpendiculares si se cortan formando 4 ngulos rectos, u oblicuas cuando se cortan formando ngulos diferentes al de 90

Rectas paralelas cortadas por una secante

NGULOS DE LADOS PARALELOS

a) Si los lados estn dirigidos en el mismo sentido, o en sentidos contrarios dos a dos, son congruentes.

b) Si dos lados respectivos estn dirigidos en un sentido y los otros dos en sentidos contrarios, entonces los ngulos son suplementarios.

NGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

a) Si son agudos o obtusos, son congruentes.

b) Si uno es agudo y el otro obtuso, entonces son suplementarios.

Teorema

Generalizacin:

PROBLEMAS1. Calcular la medida de un ngulo, sabiendo que la suma de su suplemento con su complemento, es igual al cudruple del complemento del mismo ngulo

A)30

B)40

C)60

D)45

E)50

2. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ngulos AOC y BOD son suplementarios calcular la medida del ngulo que forman las bisectrices de los ngulos AOB y COD, si m BOC = 15 y mAOB = 2(mCOD)

A)50

B)100

C)90

D)80

E)70

3. Se trazan los ngulos consecutivos AOB, .BOC y COD luego las bisectrices de los ngulos AOB y BOC son OM y ON respectivamente. Calcular

mMON, si mCOD=3mMON y mAOC+mNOM+mCOD = 270

A)30

B)25

C)45

D)15

E)35

4. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento de la medida de un ngulo es igual a 4/9 de la diferencia que existe entre el suplemento de la medida de dicho ngulo y el suplemento del suplemento de la medida de dicho ngulo. Indicar la medida de dicho ngulo

A)45

B)30

C)60

D)90

E)1305. En la figura, hallar x.

A) 135

B) 138

C)140 D) 145

E) 136

6. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC = 80 y mBOD = 60. Hallar la medida del ngulo que forman las bisectrices de los ngulos AOB y COD.

A) 80

B) 70

C) 75

D) 85

E) 90

7. La diferencia entre la medida de un ngulo y su suplemento es igual al triple de su complemento. Hallar la medida de dicho ngulo.

A) 0

B) 45

C) 60

D90

E) 80

8. El triple del suplemento del complemento de ( menos el doble del complemento del suplemento de 2(, es igual a ocho veces el complemento del complemento de (. Hallar (.

A) 40

B) 60

C) 50

D) 70

E) 30

9. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de un ngulo y su complemento es igual a los 4/5 de la diferencia que existe entre el suplemento y el suplemento del suplemento del mismo ngulo. Hallar la medida del ngulo.

A) 80

B) 85

C)90

D) 70

E) 75

10. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD, luego se trazan las bisectrices del AOB y del COD. Si m AOC =25 y mXOY =45 hallar m BOD.

A) 60

B) 45

C)65

D) 70

E) 30

11. Los ngulos AOB y BOC son consecutivos y complementarios. Sean , y bisectrices del AOB, BOC y MON respectivamente. Hallar mPON.

A) 30

B) 17,5

C)25

D) 22,5

E) 20

12. En la regin interior del ngulo recto AOB se trazan los rayos y de manera que los ngulos AOE, EOF y FOB son consecutivos y mEOB + mAOF = 125. Hallar m EOF.

A) 35

B) 45

C)55

D) 65

E) 75

13. Al rededor de un punto O, se trazan los rayos,, y consecutivos tal que los ngulos AOB y BOC forman un par lineal(adyacentes y suplementarios). Hallar mCOD si mAOD - m AOB=30 v mBOD=90.

A) 25

B) 30

C) 40

D) 45

E) 50

14. Se tienen los ngulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que m AOB - m BOC = 120. Los rayos OP, OQ y OM son las bisectrices de los ngulos AOB, BOC y P0Q. Se trazan los rayos OR y OS, tal que mQOR =2mAOR y mPOS = 2mCOS. Calcular la medida del ngulo MON, si el rayo ON es la bisectriz del ngulo ROS.

A) 10

B)20

C)30

D) 50

E) 15

15. Los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD estn en la razn 1; 2 y 3 si la medida del ngulo formado por: las bisectrices del AOB y COD es 60 Hallar m< AOD.

A) 45

B) 30

C) 150

D) 90

E) 120

16. Se dan los ngulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, siendo bisectriz: del AOD, bisectriz del BOE y Si EOB es aguado Hallar el mximo valor entero de mAOB.

A) 65

B) 62

C) 70

D) 86

E) 84

17. Si

A) 24

B) 25

C) 28 D) 30

E) 34

18. Hallar (, si: M//N//C y A//B.

.A) 18

B) 20

C) 15

D) 220

E) 17

19. Segn la figura, hallar x. L1 //L2

A) 55

B) 60

C)64 D) 65

E) 68

20. Si L1 //L2 hallar (.

A) 15

B) 14

C) 18

D) 10

E) 12

21. Si L1 //L2 hallar (

A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

E) 14

22. Segn la figura, hallar x. L1 //L2

A) 60

B) 30

C)45

D) 37

E) 53

23. En la figura L1 // L2 ED ( DA Y CB ( AB.

Hallar x.

A) 15

B) 12

C) 11

D)10

E)9

24. En a figura, L1 // L2 ( + ( =252 Calcule x.

A) 52

B) 45

C) 82

D) 48

E) 62

25. Segn el grfico, calcule x si L1//L2

A) 100

B) 120

C) 140

D) 150

E) 135

26. En el grfico L1//L2 y el ngulo ABC es agudo, calcule el mnimo valor entero de x.

A) 20

B) 21

C) 22

D) 18

E) 19

27. En el grfico AB // CD ( - ( = 42 , calcule a medida del ngulo formado por L1 Y L2

A) 16

B) 26

C) 18

D) 8

E) 5

TRIANGULOSEL TRINGULO

Definicin

El tringulo es la figura geomtrica formada por la unin de los segmentos que resultan de unir tres puntos no colineales del plano.

Notacin: (ABC ( Se lee: tringulo ABC

CLASIFICACIN DE LOS TRIN CULOS

Para clasificar los tringulos se utilizan dos criterios: los lados y los ngulos.

1. DE ACUERDO A SUS LADOS

a. Tringulo equiltero

Tiene los tres lados congruentes.

b. Tringulo issceles

Dos de sus lados son congruentes.

c. Tringulo escaleno.

Tiene los tres lados no congruentes.

2. DE ACUERDO A SUS NGULOS

a. Rectngulo

Tiene un ngulo recto.

b. Oblicungulo

b1. Acutngulo

Si tiene los tres ngulos agudos.

b2.Obtusngulo

Se tiene un ngulo obtuso

TEOREMAS FUNDAMENTALES

La suma de las medidas de los tres ngulos interiores de todo triangulo es 180.

Teorema del ngulo exterior

La medida del ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos .ngulos interiores no adyacentes a l.

(Propiedad de la mariposa)

Teorema de la condicin necesaria para la existencia de un tringulo

En todo tringulo, la longitud de uno de los lados es menor que la suma de las longitudes de los otros dos pero mayor que la diferencia. Esta relacin es una condicin necesaria para la existencia del tringulo.

LNEAS NOTABLES

INCENTRO.

Es el segmento que divide al ngulo interno en dos partes iguales. A cada ngulo interior le corresponde una bisectriz interior y a cada ngulo exterior, una bisectriz exterior. El punto donde concurren las bisectrices interiores se llama INCENTRO.

El punto I es el incetro del ABC.

EXCENTRO.

El punto donde concurren dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer ngulo, se llama EXCENTRO. Todo tringulo tiene un incetro Y tres excentros.

El punto O es el excentro relativo al lado BC.

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