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CALCULO INTEGRAL PORQUE ESTUDIAR CALCULO INTEGRAL la integral definida es la herramienta para calcular y definir diversas magnitudes, como áreas, volúmenes, longitudes de trayectorias curvas, probabilidades, promedios, consumo de energía, pesos de diferentes objetos, fuerzas del agua contra las compuerta de una presa, por mencionar algunas. TEMAS Teorema fundamental del cálculo. Métodos de integración e integral indefinida. Aplicaciones de la integral. Series. En este tema: Teorema Fundamental del Cálculo, estudiaremos las sumas de Riemann, herramienta útil para relacionar las integrales definidas con algunas aplicaciones, estableceremos la relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial aplicaremos los teoremas y propiedades de la integral para evaluar integrales definidas. TEMA 1

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CALCULO INTEGRAL

PORQUE ESTUDIAR CALCULO INTEGRAL

la integral definida es la herramienta para calcular y definir diversas magnitudes, como áreas, volúmenes, longitudes de trayectorias curvas, probabilidades, promedios, consumo de energía, pesos de diferentes objetos, fuerzas del agua contra las compuerta de una presa, por mencionar algunas.

TEMAS

Teorema fundamental del cálculo.

Métodos de integración e integral indefinida.

Aplicaciones de la integral.

Series.

En este tema: Teorema Fundamental del Cálculo,

estudiaremos las sumas de Riemann, herramienta útil para relacionar las integrales definidas con algunas aplicaciones,

estableceremos la relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial

aplicaremos los teoremas y propiedades de la integral para evaluar integrales definidas.

TEMA 1

SubtemasMedición aproximada de figuras amorfas.

Notación sumatoria.

Sumas de Riemann.

Definición de integral definida.

Teorema de existencia.

Propiedades de la integral definida.

Subtemas, continuación

Función primitiva.

Teorema del valor intermedio.

Teorema fundamental del cálculo.

Cálculo de integrales definidas básicas.

La integral, al igual que la derivada surge como un límite de las finas aproximaciones sucesivas a la cantidad de interés.

La idea detrás de la integral es que podemos calcular tales cantidades descomponiéndolas en partes pequeñas y luego sumando las contribuciones de cada parte.

Conforme el número de partes tiende a infinito, el límite da como resultado una integral definida.

Introducción Medición de área de figuras amorfas

Por equipos, determine el área aproximada de las dos figuras amorfas presentadas.

Proponga una cota superior y una inferior para ambas figuras.

2. Notación sumatoria

Presentaremos una notación conveniente para la suma de un gran número de términos.

Después de definir la notación y algunas de sus propiedades, veremos qué ocurre cuando el número de términos tiende a infinito.

Sumas finitas y la notación sigma

12 + 22 + 32 + 42 +52 + 62 + 72 +82 = k 2k=1

8

f (1)+ f (2)+ f (3)+!+ f (100) = f (k)k=1

100

Sumas finitas y la notación sigma

akk=1

n

∑ = a1 + a2 +!+ an−1 + an

índice k inicia en 1

valor final del índice k = n

símbolo de sumatoria

ak es una fórmula para el k-ésimo término

Expresar la suma término por término y obtener el valor numérico

kk=1

5

−1( )k kk=1

3

kk +1k=1

3

k 2

k −1k=4

5

La misma suma con indice, límite y expresión diferentes

2k +1( )k=0

4

∑ = 2 ⋅0+1( )+ 2 ⋅1+1( )+ 2 ⋅2+1( )+ 2 ⋅3+1( )+ 2 ⋅4+1( )= 1+ 3+5+ 7 + 9

2k −1( )k=1

3

∑ = 2 ⋅1−1( )+ 2 ⋅2−1( )+ 2 ⋅3−1( )+ 2 ⋅4−1( )+ 2 ⋅5−1( )= 1+ 3+5+ 7 + 9

2k + 7( )k=−3

1

∑ = 2(− 3)+ 7( )+ 2(− 2)+ 7( )+ 2(−1)+ 7( )+ 2 ⋅0+ 7( )+ 2 ⋅1+ 7( )= 1+ 3+5+ 7 + 9

Reglas algebraicas para sumas finitas

ak + bk( ) = akk=1

n

∑ + bkk=1

n

∑k=1

n

∑1. Regla de la suma

ak − bk( ) = akk=1

n

∑ − bkk=1

n

∑k=1

n

∑2. Regla de diferencia

c ⋅ak = c ⋅ akk=1

n

∑k=1

n

∑3. Regla del múltiplo constante

ck=1

n

∑ = n ⋅c4. Regla del valor constante

¿cuántos términos tiene una sumatoria?

Si y obtenga los valores de n

∑k=1

ak = − 5m

∑k=1

bk = 6

a)

b)

c)

d)

n

∑k=1

3ak

n

∑k=1

bk

6n

∑k=1

2(ak + bk)n

∑k=1

(bk − 2ak)

Ejercicio

Algunas sumas importantes

kk=1

n

∑ =n n+1( )2

Los primeros n enteros

8

∑k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

= (1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5) + (4)

= (9) + (9) + (9) + (9) = 4 ⋅ (9) =8 ⋅ 9

27

∑k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

= (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5)

= (8) + (8) + (8) + (4) = 3 ⋅ 8 + 4 = 24 + 4 = 28

=562

=7 ⋅ 8

2

Algunas sumas importantes

kk=1

n

∑ =n n+1( )2Los primeros n enteros

k 2k=1

n

∑ =n n+1( ) 2n+1( )

6= 2n

3 + 3n2 + n6

Los primeros n enteros al cuadrado

k 3k=1

n

∑ =n n+1( )2

⎝⎜

⎠⎟

2Los primeros n enteros

al cubo

Evaluar las sumas usando las propiedades y las fórmulas anteriores

a)

b)

c)

d)

10

∑k=1

k2

7

∑k=1

(−2k)

5

∑k=1

k(3k + 5)

36

∑k=9

k

EjerciciosLas sumas para estimar el área de una región plana

Iniciemos con el cálculo de una aproximación al área de la región que se encuentra entre la gráfica de y eje eje entre y

f(x) = − x2 + 5x x = 0 x = 2

Solución 1:Usaremos cinco rectángulos para realizar la aproximación.

El intervalo [0,2] lo dividimos en cinco intervalos, cada uno

de tamaño , de manera que los puntos terminales de

cada intervalo son con

2 − 05

=2525

i i = 1,2,3,4,5

Ahora podemos dibujar los cinco rectángulos, todos con base

2/5 y con altura f ( 25

i)

Las sumas para estimar el área de una región plana, cont.

El área de cada rectángulo es: 25

⋅ f ( 25

i)

Desarrollando tenemos: 5

∑k=1

(2 −8

125i2) =

16225

= 6.48

5

∑k=1

(−8

125i2 + 2) =

16225

= 16.48

La suma de las áreas de los cinco rectángulos:

5

∑k=1

f ( 25

i) ( 25 )

Solución 2:si consideramos los puntos iniciales en lugar de los puntos terminales de

cada intervalo, estos son con ó

con .

25

i i = 0,1,2,3,425

(i − 1) i = 1,2,3,4,5

El área de cada rectángulo es: 25

⋅ f ( 25

(i − 1))

Desarrollando tenemos: 5

∑k=1

(−2

125⋅ (4i2 − 8i − 121)) =

20225

= 8.08

La suma de las áreas de los cinco rectángulos:

5

∑k=1

f ( 25

(i − 1)) ( 25 )

Usamos la segunda opción ¿porqué?

Las sumas para estimar el área de una región plana, cont.

Solución 1:

Analicemos que resulta cuando el número de intervalos tiende a infinito.

El punto terminal de cada intervalo es ahora: 2n

i

Consideramos n intervalos de manera que cada uno es de ancho

2 − 0

n=

2n

La suma de las áreas de los n rectángulos:

n

∑i=1

f ( 2n

i) ( 2n ) =

n

∑i=1 [5 − ( 2

ni)

2

] ⋅2n

=n

∑i=1 ( 10

n−

8i2

n3 )La suma desarrollada:

223

−4n

−4

3n2

limn→∞ ( 22

3−

4n

−4

3n2 ) =223

Solución 2:

Analicemos que resulta cuando el número de intervalos tiende a infinito.

El punto terminal de cada intervalo es ahora: 2n

(i − 1)

Consideramos n intervalos de manera que cada uno es de ancho

2 − 0

n=

2n

La suma de las áreas de los n rectángulos:

n

∑i=1

f ( 2n

(i − 1)) ( 2n ) =

n

∑i=1 [5 − ( 2

n(i − 1))

2

] ⋅2n

=n

∑i=1 ( 10

n−

8i2

n3 )La suma desarrollada:

223

+4n

−4

3n2

limn→∞ ( 22

3+

4n

−4

3n2 ) =223

InvestigaciónHacer un resumen sobre las sumas superior e inferior (página 6). Incluir la solución de uno de los ejercicios del texto (1.1.33 a 36).

1.3 Sumas de RiemannEntenderemos que es una suma de Riemann y su interpretación geométrica.

Términos importantes:

- partición

- subintervalo

- norma de la partición

- partición regular

Sumas de RiemannConsideremos una región acotada por la gráfica de una función y el eje x en el intervalo [a,b].

Partición a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 = b

es el ancho del subintervalo Δxi[xi−1, xi]

La suma de Riemann se definen

∑i=1

f(ci)Δxi

Donde es cualquier punto en el subintervalo

ciΔxi

EjemploFunción f(x) = 2x3 + 3x2 − 5

Partición S = {−3, − 1, 0, 2, 3, 5}

Puntos intermedios c = {−2, − 0.5, 1, 2.5, 4}Valores f en puntos intermedios

Ancho de subintervalos Δx = {2, 1, 2, 1, 2}

f(−1) = 3.57

f(1.5) = 1.45

f(3) = − 0.39

f(5) = − 2.25

f(6.5) = − 2.41

Suma de Riemann5

∑i=1

f(ci)Δxi =9816

EjercicioFunción f(x) = 0.03x3 − 0.2x2 − 0.8x + 3

Partición S = {−1, 1, 5, 3, 5, 6.5, 8}Puntos intermedios c = {−1, 1, 5, 3, 5, 6.5}

Valores f en puntos intermedios

Ancho de subintervalos Δx = {2.5, 1.5, 2, 1.5, 1.5}

f(−1) = 3.57

f(1.5) = 1.45

f(3) = − 0.39

f(5) = − 2.25

f(6.5) = − 2.41

Suma de Riemann5

∑i=1

f(ci)Δxi = 3.33

Investigar

- Concepto de norma de una partición

- Concepto de partición regular

Ejercicio adicional

Función en [0,1]f(x) = 1 − x2

Partición regular de 8 intervalos

Puntos intermedios, el inicio de cada subintervalo

Ancho de subintervalos Δx =

4. La integral definida

Comprender que la integral definida proviene de una suma de Riemann.

Calcular integrales definidas por medio de la definición.

Aplicar las propiedades de la integral definida en el cálculo de integrales.

Definición de integral definida

Se dice que un número es la integral definida de f en [a,b], donde es el límite de las sumas de Riemann

LL

si el límite existe para toda partición de norma y cualquier elección de ∥Δ∥ ci

lim∥Δ∥→0

n

∑i=1

f(ci)Δxi

∫b

af(x)dx = lim

∥Δ∥→0

n

∑i=1

f(ci)Δxi

Ejemplo, cálculo de integral definida por la definición

Evaluar la integral ∫1

−22x dx

Solución:Por conveniencia, elegir una partición regular de n subintervalos

Δxi = Δx =1 − (−2)

n=

3n

y como punto intermedio de los subintervalos, el punto terminal de cada uno de ellos

ci = a + Δx ⋅ i = − 2 +3n

i

f(ci) = 2 ⋅ ci = 2 (−2 +3n

i)∫1

−22x dx = lim

∥Δx∥→0

n

∑i=1

f(ci)Δxi

Δxi =3n

Ejemplo, cálculo de integral definida por la definición, cont

Primero calcularemos la sumatoria.

n

∑i=1

f(ci)Δxi =n

∑i=1

f(ci)Δx =n

∑i=1

2 (−2 +3n

i) ( 3n ) =

=6n

n

∑i=1

(−2 +3n

i) =6n (−2

n

∑i=1

+3n

n

∑i=1

i)=

6n [−2 ⋅ n +

3n ( n(n + 1)

2 )] = − 12 + 9 +9n

y ahora el límite, ya que la partición es regular, equivale a ∥Δx∥ → 0 n → ∞

limn→∞

n

∑i=1

f(ci)Δxi = limn→∞ (−12 + 9 +

9n ) = − 3

Ejercicio, cálculo de integral definida por la definición

Evaluar la integral ∫1

0(1 − x2) dx

5. Integrabilidad de funciones

f (x)dxa

b

Si una función f es continua en el intervalo [a,b], o sí tiene a lo más un número finito de discontinuidades de salto en el intervalo, entonces la integral definida

existe y f es integrable en [a,b]

Teorema de existencia

Video sobre teorema de existencia

https://www.youtube.com/watch?v=tC_zf2fXNOE

Importante

- Una integral definida es un número. - Una integral indefinida es una familia de

funciones. - Si la función es continua en [a,b] o ….,

entonces es integrable. - Si la función es integrable, no necesariamente

es continua. - ¿Bajo que condiciones la integral definida

corresponde al área de una región?

La variable de integración

f (x)dxa

b

El valor de la integral definida en un intervalo particular depende de la función, y no de la letra que se elija para representar la variable independiente.

f (t)dta

b

∫ f (u)dua

b

∫La variable de integración es una variable muda y representa números reales en el intervalo [a,b]

6. Propiedades1. Orden de integración: f (x)dx

a

b

∫ = − f (x)dxb

a

∫2. Intervalo de longitud cero: f (x)dx

a

a

∫ = 0

3. Múltiplo constante: c ⋅ f (x)dxa

b

∫ = c ⋅ f (x)dxa

b

∫4. Suma y diferencia:

f (x)± g(x)( )dxa

b

∫ = f (x)dxb

a

∫ ± g(x)dxb

a

Propiedades, cont.

5. Aditividad:

f (x)dxa

b

∫ + f (x)dxb

c

∫ = f (x)dxa

c

7. Dominación:

⇒ f (x)dxa

b

∫ ≥ g(x)dxa

b

∫f (x) ≥ g(x) en [a,b]

6. Desigualdad máx-min: Investigar