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GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ . MATEMÁTICAS .

POLINOMIOS .

TEORÍA .

ÍNDICE:

1. Notación. Definiciones.

2. Operaciones con polinomios.

2.1. Suma y resta.

2.2. Producto.

2.3. Potencias.

2.4. División.

2.5. División por el método de Ruffini.

3. Teorema del resto.

4. Factorización de polinomios.

5. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

6. Apéndice 1.

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1.- NOTACIÓN . DEFINICIONES .

Llamamos expresión algebraica a un conjunto de números y letras relacionadas mediante las

operaciones de suma, resta, producto, división, potencias y raíces. A cada conjunto de números y letras

relacionados únicamente por productos y separados unos de otros mediante las sumas y las restas, se

les llama términos de la expresión algebraica.

Ejemplo: Indica cuáles de las siguientes expresiones son expresiones algebraicas. Indica cuántos

términos tiene cada una.

a) xyzzxyxx 234 24232 −−+ b) 1133

744

31 −−+− xxx

c) 22 yx + d) 1

1

−+

xx

e) αα 22 cossin + f) 22

1

yx +

Solución:

Todas las expresiones, salvo (e) son expresiones algebraicas, pues utilizan sólo las operaciones

indicadas. En (e) la variable está dentro de una función trigonométrica, que no está permitido. Sobre el

número de términos, veámoslo una a una.

a) 4 términos: 232 x x4 243 zxy− y xyz2−

b) 4 términos: 431 x− 3

74 x x3− y 11−

c) 1 término 22 yx + y dentro de la raíz 2 términos: 2x e 2y

d) 1 término, 1

1

−+

xx

. En el numerador hay 2 términos: x y 1, y en el denominador otros 2: x y 1− .

e) Aunque no es una expresión algebraica, podemos decir que tiene 2 términos: α2sin y α2cos .

f) 1 término, 22

1

yx +. En el numerador hay 1 término, 1, y en el denominador hay 2 términos: 2x e

2y .

Un término está formado, por tanto, por un producto de números y letras. El conjunto de las

letras se llama parte literal del término y el número, incluyendo el signo, se llama coeficiente del

término. Cada una de las letras se llama variable.

Llamamos grado del término al número de letras, contando cada una con su multiplicidad, es

decir, es la suma de los exponentes de las letras que hay en la parte literal. Se llama grado de la

expresión algebraica al mayor de los grados de los términos que la forman.

Ejemplo: El término 5

2 23yzx− tiene grado 6, coeficiente 5

2− y parte literal 23yzx .

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Llamamos valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtiene cuando

sustituimos las variables por números concretos y realizamos todas las operaciones. Decimos que una

elección de números, uno para cada variable de la expresión algebraica, es una raíz de la expresión

algebraica cuando el valor numérico correspondiente a esas elecciones es 0.

Ejemplo: Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las

variables indicados:

a) 0en ,1

12

2

=−+

xxx

b) 1en ,1

12

2

=−+

xxx

c) 2en ,432 =−− xxx d) 4en ,432 =−− xxx

e) ( ) 1,1en ,22 22 −==−−+ yxyxyx f) ( ) 1,0en ,22 22 ==−−+ yxyxyx

Solución:

a) Sustituimos x por 0 en la expresión 1

12

2

−+

xx

y queda 11

1

10

10

1

12

2

02

2

−=−

=−+=

−+

=xxx

b) Sustituimos x por 1 en la expresión 1

12

2

−+

xx

y vemos que el denominador se hace 0. Como no se

puede dividir por 0, 1=x es un valor no válido de la variable en esta expresión.

c) Sustituimos x por 2 en la expresión 432 −− xx y queda 423243 2

2

2 −⋅−=−−=x

xx

6464 −=−−=

d) Sustituimos x por 4 en la expresión 432 −− xx y queda 443443 2

4

2 −⋅−=−−=x

xx

041216 =−−= . Como el valor numérico ha salido 0, decimos que 4=x es una raíz de 432 −− xx .

e) Sustituimos x por 1 e y por -1 en ( ) 22 22 −−+ yxyx queda ( ) =−−+−=

=1

122 22

yxyxyx

( ) ( )( ) 044222211112 222 =+−=−+−=−−−+−⋅⋅ . Por tanto, la pareja 1,1 −== yx es una raíz de

la expresión ( ) 22 22 −−+ yxyx .

f) Sustituimos x por 0 e y por 1 en la expresión ( ) 22 22 −−+ yxyx y queda ( ) =−−+==10

22 22yxyxyx

( ) ( ) 121210210102 222 −=−=−−+=−−+⋅⋅

Llamamos término independiente de una expresión algebraica al término que no tiene parte

literal y, por tanto, su grado es 0. La razón por la que recibe este nombre es que su valor numérico es

siempre el mismo, independientemente de la elección numérica que se haga de las variables.

Un polinomio es una expresión algebraica en la que, en cada término, las variables sólo se

relacionan entre ellas y con los coeficientes mediante productos. Así, las divisiones y las raíces sólo se

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permiten entre los coeficientes. Esto obliga a que los exponentes de las variables de un polinomio sean

siempre números naturales: 1, 2, 3, 4, …

Los polinomios que estudiaremos nosotros tendrán una única variable, que se representará por

x. Los polinomios se suelen escribir poniendo, de izquierda a derecha, los términos de mayor a menor

grado. Al coeficiente del término de mayor grado se le llama coeficiente líder. Cuando el coeficiente

líder de un polinomio es 1, se dice que el polinomio es mónico.

Ejemplo: Indica cuál de las siguientes expresiones son polinómicas. En aquellas que lo sean, indica

cuál es el grado del polinomio, las variables que hay, cuál es el término líder, el coeficiente líder y el

término independiente.

a) 1123 42 −+− xxx b) 35 523 xxx +− c) 134 62 −++ xxx d) 132 223 +−+++ axaxxa

e) 1

12

2

+−

xx

f) 22 yx +

Solución:

a) Ordenamos el polinomio por grados. Tenemos 1123 24 −++− xxx .

Tiene grado 4.

Una única variable, x.

El término líder es 43x− y el coeficiente líder es 3− .

El término independiente es 11− .

b) Ordenamos el polinomio por grados. Tenemos xxx 253 35 −+ .

Tiene grado 5.

Tiene una única variable x.

El término líder es 53x y el coeficiente líder es 3.

El término independiente es 0, pues todos los términos tienen parte literal.

c) Ordenamos el polinomio por grados. Tenemos 134 26 −++ xxx .

Tiene grado 6.

Tiene una única variable, x.

El término líder es 6x y el coeficiente líder es 1. Por tanto, el polinomio es mónico.

El término independiente es 1− .

d) El polinomio 132 223 +−+++ axaxxa

Tiene grado 4.

Tiene 2 variables, a y x.

No podemos hablar de término líder sin saber qué variable es la principal.

El término independiente (de ambas variables) es 1.

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Como polinomio en x (es decir, x es la variable principal y a un número desconocido) lo ordenamos

por grados y queda ( ) ( )132 232 +−+++ aaxax .

Tiene grado 2.

El término líder es 2x y su coeficiente líder es 1, luego es mónico.

El término independiente es 12 +− aa (independiente de la x).

Como polinomio en a, lo ordenamos por grados y queda ( )132 223 +++−+ xxaaxa

Tiene grado 3,

Tiene término líder 32xa y coeficiente líder x2

Tiene término independiente 132 ++ xx

e) La expresión 1

12

2

+−

xx

no es polinómica porque la variable, x, aparece en el denominador de un

cociente.

f) La expresión 22 yx + no es polinómica porque alguna de las variables, en este caso las dos,

aparecen en el radicando de una raíz.

Decimos que una expresión algebraica está factorizada cuando está escrita como producto de

expresiones algebraicas. Cada una de esas expresiones se llama factor. Factorizar una expresión

algebraica es, por tanto, escribirla como producto de factores. Hay muchas técnicas distintas que

estudiaremos en un tema aparte. En este tema veremos cómo factorizar un polinomio hallando sus

raíces mediante la división de polinomios y utilizando el Teorema del Resto.

Cuando un polinomio se puede escribir como producto de dos o más polinomios donde cada

uno de ellos tiene grado mayor o igual que 1, se dice que es reducible. Si esto no es posible, se dice

que el polinomio es irreducible . No es fácil saber cuándo un polinomio es reducible o irreducible. A

lo largo de este y otros cursos, veremos algunas ideas técnicas para poder decidir si un polinomios es

reducible o irreducible. En las expresiones algebraicas, un polinomio irreducible es el concepto

análogo a los números primos en los números naturales.

Decimos que dos polinomios son iguales cuando tienen las mismas variables y los coeficientes

de los términos con la misma parte literal también son todos iguales. Esto obliga a que tengan el

mismo grado. Otra forma de ver que dos polinomios son iguales es porque el valor numérico en cada

R∈x coincide para ambos polinomios. Se tiene el siguiente resultado:

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Teorema: Dados 1+n puntos 121 ,,, +nxxx K distintos dos a dos, y 1+n números reales

121 ,,, +nyyy K existe un único polinomio de grado n, ( )xP , tal que

( ) ( ) ( ) 112211 ,,, ++ === nn yxPyxPyxP K .

Se puede ver una demostración en el apéndice.

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2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS .

2.1.- SUMA Y RESTA.

Para sumar y restar polinomios, hay que sumar o restar aquellos términos que tengan la misma

parte literal. Para sumar o restar dos términos con idéntica parte literal, se suman o restan sus

coeficientes y a esto se le añade la parte literal común.

Ejemplo: Calcular y simplificar las siguientes expresiones:

a) 222 543 xxx −+ b) ( ) 6252133 232 ++−++−+− xxxxxx

Solución:

a) 2222 2543 xxxx =−+ , donde el coeficiente 2, proviene de hacer 2543 =−+

b) ( ) 2326252133 23232 +−+−=++−++−+− xxxxxxxxx

2.2..- PRODUCTO.

Para multiplicar dos polinomios se utiliza la propiedad distributiva, es decir, cada término del

primer polinomio debe multiplicar a cada uno de los términos del segundo polinomio.

Para multiplicar dos términos, multiplicaremos sus términos entre ellos (incluidos los signos) y

las partes literales entre ellas. Al multiplicar las partes literales, hay que tener en cuenta las

propiedades de las potencias, mnmn xxx +=⋅ .

Cuando tengamos sumas o restas combinadas con productos no podemos olvidar la jerarquía

de las operaciones. Primero potencias y raíces, luego productos y divisiones y, por último, sumas y

restas. Además, si hay paréntesis, éstos se harán lo primero de todo.

Observación 1: En un producto de dos polinomios, si el primero tiene n términos y el segundo tiene m

términos, entonces el resultado tendrá mn ⋅ términos.

Observación 2: Cuando tengamos un producto de más de dos polinomios, hay que ir multiplicando de

dos en dos, como si fuesen números.

Ejemplo: Calcular los siguientes productos:

a) ( )xx 32 4 −⋅ b) ( ) ( )847132 32 +−⋅++− xxxx c) ( ) ( ) ( )52732 2 ++⋅+⋅+ xxxx

Solución:

a) ( ) 54 632 xxx −=−⋅

b) ( ) ( ) =+−++−+−+−=+−⋅++− 84724122116814847132 32423532 xxxxxxxxxxxx

82028152114 2345 ++−++− xxxxx

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c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )562514562141452732 22222 ++⋅++=++⋅+++=++⋅+⋅+ xxxxxxxxxxxxx

30131101391430661252525701414 234223234 ++++=++++++++= xxxxxxxxxxxx

2.3.- POTENCIAS .

Para hallar una potencia, siempre hay que tener en cuenta que una potencia es un producto en

el que el factor se repite. Por tanto, siempre se puede calcular como un producto. Pero hay algunos

casos en los que se puede hallar la potencia de forma bastante más rápida que calculando el producto

directamente. Hay básicamente dos, cuando tenemos un binomio elevado a una potencia, ( )nBA + , y

cuando tenemos un polinomio elevado al cuadrado, ( )2L+++ CBA .

En el caso del binomio, el teorema del binomio nos dice que ( )nBA + es una suma de 1+n

términos. En cada uno de ellos hay un número, que se obtiene del triángulo de Pascal – Tartaglia, una

potencia de A y una potencia de B. Los exponentes de A van decreciendo, de 1 en 1, desde n hasta el

0. Los exponentes de B crecen también de 1 en 1, desde 0 hasta n. En caso de que alguno de los

términos A o B tengan un signo negativo, habrá que tenerlo en cuenta en las potencias.

El triángulo de Pascal – Tartaglia se construye como si fuera un triángulo de números, donde

empezamos y terminamos por un 1 y cada uno de los números intermedios, se obtiene de la suma de

los dos números que están sobre él. La fila del exponente n es la que empieza por 1 n. Por ejemplo, la

fila para el exponente 4, será la que empieza por 1 y luego 4.

Ejemplo: Desarrollar las siguientes potencias

a) ( )32+x b) ( )532 −x c) ( )42 1+− x d) 4

2 2

−x

x

Solución:

a) ( ) 302112033 212323212 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+ xxxxx

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Si nos fijamos en las potencias de x, empieza con exponente 3 y desciende de 1 en 1 hasta llegar al 0:

( ) ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+ 012332 xxxxx

Si nos fijamos en las potencias del 2, pasa lo contrario, es decir, comenzamos con 0, y el exponente

aumenta de uno en uno hasta llegar al 3.

( ) 32103 22222 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+x

Por último, sólo falta rellenar con los coeficientes del triángulo de Pascal que empieza con 1 y 3.

Ahora simplificamos y calculamos:

( ) 8126212323212 23302112033 +++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+ xxxxxxxx

Como dijimos al principio, también se puede hacer multiplicando, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++=+⋅++=+⋅+++=+⋅+⋅+=+ 23223 224424222222 xxxxxxxxxxxxx

81268484 232 +++=+++ xxxxxx

b) ( )532 −x

La novedad de este ejemplo es el signo negativo. Hay que tener claro que xA 2= y 3−=B .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅=− 41322314055 3253210321032532132 xxxxxx

( ) ( )50 321 −⋅⋅ x

Una de las primeras cosas que debemos hacer es hallar el signo de cada término. Para eso, basta

observar el exponente. Así, si éste es par, el resultado será positivo y, si es impar, será negativo. El

resto es igual que antes.

( ) 24381010807202403232 23455 −+−+−=− xxxxxx

Se observa que, como los exponentes decrecen y crecen de uno en uno, siempre se alterna entre par e

impar y, por tanto, entre signo positivo y negativo. Pero no es claro si se empieza por + o por -.

c) ( )42 1+− x

En este ejemplo, hay dos novedades. Una es que la variable tiene exponente mayor que 1, en este caso

2. La otra novedad es que ahora es el primer término el que tiene signo negativo. Esto puede provocar

que, a veces, comencemos por un signo –.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=+− 40231222213204242 11141614111 xxxxxx

1464 2468 +−+− xxxx

Podemos observar que, como el exponente de x era un 2, en el desarrollo, x disminuía su exponente de

2 en 2.

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La otra posibilidad de potencia es tener un polinomio al cuadrado, es decir más de dos

términos, pero con exponente 2. Entonces, el resultado es una suma de cuadrados, siempre con signo

positivo pues al elevar al cuadrado siempre queda signo +, más unos dobles productos, que llevan el

signo de los signos que intervengan en ese producto concreto. No hay una fórmula concreta, pero

expondremos algunas posibilidades:

( ) BCACABCBACBA 2222222 −−+++=−+

( ) CDBDBCADACABDCBADCBA 22222222222 −−++−−+++=+−−

Ejemplo: Desarrollar sin multiplicar directamente( )2212 yx +−

( ) ( ) ( ) =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−++=+− 22222222 12221221212 yyxxyxyx

1424424414 22242242 +−−++=−+−++ xyxxyyyxyxyx

Esto se puede pensar también de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅++−+=+− 22222222 12221221212 yyxxyxyx

( ) ( ) =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−++ 222222 122212212 yyxxyx =−+−++ 2242 24414 yxyxyx

14244 2224 +−−++ xyxxyy

Es decir, cada término tiene su signo al principio. En los cuadrados queda siempre positivo y en los

dobles productos, lo que corresponda. Ambos resultados son claramente iguales.

2.4.- DIVISIÓN .

La división de polinomios tiene mucha similitud (es muy parecida) a la división de números

naturales. Recordemos cómo se hace.

Ejemplo: Dividir 35:27368

Veremos la división de tres formas distintas. La tradicional, que la pondremos a la izquierda. Escribiendo la resta. Esto lo

escribiremos en la de en medio. Y en la derecha escribiremos la división en la que no sólo bajamos la cifra que toque, sino

todas.

Se colocan el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha.

Se toman las cifras necesarias para que el número sea mayor que el divisor.

Al dividir 273 entre 35, cabe a 7, y lo colocamos en el cociente.

Se multiplica la cifra nueva del cociente por todo el divisor y se le resta al dividendo. Normalmente lo hacemos “de cabeza”, pero es posible escribir la resta y hacerlo en el papel. Además, al restar, como al 6 y al 8 no le restamos nada, es posible bajarlos directamente.

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Veamos ahora cómo se hace una división de polinomios. Se puede hacer con cualquiera de los

tres estilos que hemos visto, pero parece más sencillo, para polinomios, utilizar el de la derecha, es

decir, indicar las restas y bajar todo el dividendo y no un único término. Aunque se puede hacer

perfectamente siguiendo el estilo de la primera división.

Ejemplo: Dividir ( ) ( )42:256 223 +−−− xxxx

Solución:

Bajamos la siguiente cifra. En el último caso, bajamos todo.

Hacemos otra vez lo mismo, es decir, 286 entre 35 cabe a 8. Se coloca el 8 en el cociente. Se multiplica 8 (la nueva cifra del cociente) por todo el divisor y se resta al dividendo.

Bajamos la siguiente cifra, es decir, el 8. Entonces 68 entre 35 cabe a 1, que lo colocamos en el cociente. La nueva cifra, el 1, lo multiplicamos por el divisor y el resultado, 35, se lo restamos al dividendo. Queda 33. Como no quedan más cifras, hemos terminado.

Como en una división de números naturales, se ponen dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha. Si algún término del dividendo no está, hay que dejar su lugar vacío o poner el término con coeficiente 0.

Se divide el término líder del dividendo entre el término líder del divisor, es decir, xxx 32

3

26 = que se escribe en el

cociente.

Se multiplica el nuevo término del cociente, x3 , por todo el divisor y se le resta al dividendo. Esto se puede hacer de dos formas. En la izquierda tenemos escrito la resta, sin más. En la derecha hemos cambiado el signo de la parte que va restando, y por tanto tenemos una suma.

La resta o suma, según lo estemos haciendo, sale siempre lo mismo. Ahora volvemos a empezar, es decir, dividimos el término líder del dividendo entre el término líder del divisor. El resultado lo escribimos en el cociente.

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El resultado de la división se puede escribir como Resto Cociente divisor Dividendo +⋅= , es decir,

( ) ( ) 2131342256 223 +−−⋅+−=−− xxxxxx o bien se puede dividir ambos miembros de la

igualdad por el divisor y tenemos la expresión divisor

Resto Cociente

divisor

Dividendo += , es decir,

42

21313

42

25622

23

+−+−+−=

+−−−

xxx

xxxxx

.

2.5.- DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI .

En una división, cuando el divisor es un polinomio mónico (coeficiente líder 1) y de grado 1, es

decir, de la forma ax ± , donde a es un número cualquiera, podemos utilizar el siguiente método

conocido como regla de Ruffini.

• Se dibujan dos líneas perpendiculares de la siguiente forma:

• Se toma el número a del divisor, y se escribe en la parte izquierda cambiado de signo.

• En la parte superior se escribirán los coeficientes de la expresión polinómica, previamente

ordenada de mayor a menor grado. Cuando un término no aparezca, hay que tener en cuenta que su

coeficiente es 0, y se debe colocar igualmente.

El resultado de dividir los términos líder es –1. Ahora multiplicamos –1 por todo el divisor y volvemos a restar.

Cuando el dividendo tiene grado menor que el divisor, paramos la división. Lo que nos queda en el dividendo es el resto.

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• Como regla general, hay que tener en cuenta que en diagonal multiplicamos, y hacia abajo se

suma.

Ejemplo: Dividir ( ) ( )1:11234 24 +−+− xxxx .

Término independiente del divisor, cambiado de signo.

Coeficientes del polinomio

11234 24 −+− xxx

No hay 3x

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Como el divisor tiene grado 1, el cociente siempre tiene un grado menos que el dividendo, es

decir los números 4 –4 1 1 son los coeficientes de un polinomio de tercer grado, es decir,

144 23 ++− xxx . Podemos escribir entonces que

( ) ( ) 12144111234 2324 −++−⋅+=−+− xxxxxxx .

Se baja el 4

Se multiplica por el –1. El resultado del producto se pone en la siguiente columna encima de la línea.

Hacia abajo se suman los números, ( ) 440 −=−+ .

Los resultados de las sumas se colocan debajo de la línea.

Se multiplica el –1 por el –4. De nuevo, el resultado del producto se coloca en la siguiente columna, encima de la línea.

Hacia abajo se suman los números –3 y 4. El resultado, 1, se coloca debajo de la línea.

Se continúa multiplicando y sumando hasta llegar a la suma de la última columna, –12. La última suma se encierra en una cajita. Es el resto de la división.

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3.- TEOREMA DEL RESTO.

Como sabemos, el algoritmo de la división de Euclides nos da también una relación entre el

dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Concretamente se tiene que

Resto Cociente divisor Dividendo +⋅= .

Esta relación es muy interesante cuando el divisor es de la forma ax ± . Observemos el

ejemplo hecho anteriormente con Ruffini. De la división ( ) ( )1:11234 24 +−+− xxxx obtuvimos que

( ) ( ) 12144111234 2324 −++−⋅+=−+− xxxxxxx

Esta igualdad de polinomios nos dice que, si multiplicamos, debemos obtener en el miembro de

la derecha un polinomio de grado 4 con los mismos coeficientes que el polinomio de la izquierda. Pero

también se puede entender que, como son iguales las dos expresiones, al sustituir x por un número, nos

debe salir el mismo resultado en ambos miembros. Probemos, por ejemplo, con 1=x , 0=x y 1−=x

Con 1=x tenemos,

( ) ( ) 12144111234 2324 −++−⋅+=−+− xxxxxxx

( ) ( ) 121114141111121314 2324 −++⋅−⋅⋅+=−⋅+⋅−⋅

( ) 121144211234 −++−⋅=−+−

12228 −⋅=−

88 −=−

Con 0=x tenemos,

( ) ( ) 12144111234 2324 −++−⋅+=−+− xxxxxxx

( ) ( ) 121004041011020304 2324 −++⋅−⋅⋅+=−⋅+⋅−⋅

121111 −⋅=−

1111 −=−

Con 1−=x tenemos,

( ) ( ) 12144111234 2324 −++−⋅+=−+− xxxxxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 121114141111121314 2324 −+−+−⋅−−⋅⋅+−=−−⋅+−⋅−−⋅

( ) 121144011234 −+−−−⋅=−−−

12012 −=−

1212 −=−

¿Qué podemos sacar en claro de este ejercicio?

Primero que el valor numérico en ambas expresiones sale lo mismo. Pero eso ya lo sabíamos, pues las

dos expresiones son iguales. Segundo, que si hemos hecho una división con divisor ax − , entonces se

puede aprovechar el resultado para saber el valor numérico en a. El valor numérico coincide con el

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resto de la división por ax − . Este hecho se conoce como Teorema del Resto. Hay una tercera

conclusión importante. Al igual que con los números naturales, cuando el resto de dividir es 0, la

expresión Resto Cociente divisor Dividendo +⋅= se convierte en un producto, es decir,

Cociente divisor Dividendo ⋅= . Este hecho se conoce como el Teorema del Factor. Los productos

son muy útiles a la hora de resolver ecuaciones y de simplificar expresiones. Por ello, se buscan los

divisores que produzcan un 0 en el resto. Ese será el siguiente punto de nuestro tema. Pongamos todo

esta información junta y resumida:

Teorema del Resto y del Factor:

Dado un polinomio ( )xP y un número real R∈a , las siguientes afirmaciones son todas

equivalentes (muchas formas distintas de decir lo mismo).

� ( )xP es divisible por ax − .

� El resto de dividir ( )xP entre ax − es 0.

� ( )xP se puede factorizar donde uno de los factores es ax − , es decir, ( ) ( ) ( )xQaxxP ⋅−= .

� El valor numérico de ( )xP para ax = es 0.

� ( ) 0=aP .

Demostración:

Todo se basa en la expresión Resto Cociente divisor Dividendo +⋅= . Si no hay resto, porque

sale 0, entonces queda Cociente divisor Dividendo ⋅= , es decir, ( ) ( ) ( )xQaxxP ⋅−= .

Ejemplo: Hallar el valor numérico del polinomio ( ) 5427 34 −−+= xxxxP para 1−=x

Solución:

Método 1: Sustituyendo directamente x por –1.

( ) ( ) ( ) ( ) 4542751412171 34 =−+−=−−−−+−=−P

Método 2: Dividiendo ( )xP por 1+x .

De donde el resto es 4, es decir, el valor numérico de ( )xP para 1−=x es 4.

17

Reglas para el Ruffini:

Es interesante, como hemos dicho antes, escribir un polinomio como producto de polinomios

de grado más pequeño, es decir, factorizarlo. El teorema del Resto nos dice que un polinomio tiene un

factor de la forma ax − si al dividir por ax − se obtiene resto 0. Tenemos las siguientes reglas

interesantes:

1. Al hacer un Ruffini con el 1, el resto sale lo mismo que la suma de los coeficientes del

polinomio.

2. Al hacer un Ruffini con el –1, el resto sale lo mismo que la suma de los coeficientes del

polinomio con los coeficientes de términos con exponente impar cambiados de signo.

3. Al hacer un Ruffini, si el polinomio dividendo tiene todos sus coeficientes positivos, sólo se

puede obtener resto cero con a negativa.

18

4.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS .

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios irreducibles. Recordamos

que un polinomio es irreducible cuando no se puede “partir” más, es decir, cuando no se puede escribir

como producto de polinomios de grado menor. Una cuestión interesante que nos da el Teorema del

Resto es que un polinomio es irreducible si no tiene raíces (reales).

Factorizar un polinomio en general es una tarea casi imposible de realizar. Pero hay algunas

herramientas que ayudan a conseguirlo. Una de ellas es el método de Ruffini para dividir.

Observación 1: Si un polinomio ( )xP con coeficientes enteros, es divisible por ax − , siendo a

entero, entonces a es un divisor del término independiente de ( )xP .

En efecto, sea ( ) 011

1 axaxaxaxP nn

nn ++++= −

− K . El teorema del resto nos asegura que P

tiene un factor de la forma ax − , es decir, =++++ −− 01

11 axaxaxa n

nn

n K

( ) ( )011

1 AxAxAax nn +++⋅− −

− K . Al multiplicar el cociente por el divisor, la única forma de conseguir

el término independiente del dividendo es 00 Aaa ⋅−= . Esto indica que a es divisor de 0a .

Cuando busquemos posibles valores de a para dividir, sólo podremos conseguir 0 en el resto

cuando a sea un divisor del término independiente del polinomio a factorizar. Es importante resaltar

que estamos hablando de números enteros, es decir, si nos movemos en el conjunto de las fracciones o

de los números reales entonces hay muchas más posibilidades.

Observación 2: Es conveniente guardar un orden en los números a que vamos intentando. Hay que ir

dividiendo mientras el resto salga 0. Cuando el resto sea distinto, ese valor de a se desecha y no se

utiliza más.

Observación 3: Lo que realmente estamos haciendo es hallar las raíces del polinomio. Una vez

halladas, por cada raíz a, habrá un factor de la forma ( )ax − . Si aparece varias veces, entonces

( )ax − tendrá un exponente igual al número de veces que haya salido la raíz a. Ese número de veces

se llama multiplicidad de ( )ax − o multiplicidad de a.

Método de factorización de un polinomio:

1. Se saca factor común lo que se pueda. Tanto entre los coeficientes como potencias de x.

Podremos sacar factor común x elevado al menor de los grados que haya en el polinomio. Si

hay término independiente, no se podrá sacar x factor común.

2. Si tenemos un polinomio de grado 3, 4 ó más, se utiliza el método de Ruffini, intentando como

valores de a, los divisores del término independiente del polinomio (una vez que hemos sacado

x factor común).

19

3. Empezamos por los valores más pequeños, 1, -1, etc…Cuando un valor dé resto 0, hay que

continuar con ese valor. Así hasta que el resto salga distinto de 0. Entonces pasamos al

siguiente divisor.

4. Cuando el cociente del Ruffini quede de grado 2, entonces pasamos a la fórmula cuadrática.

5. Hacemos recapitulación de las raíces halladas. Por cada raíz a hay un factor de la forma ax − .

Si la raíz a aparece n veces, entonces ax − tendrá exponente n. Si algún polinomio de grado 2

no tiene raíces, el polinomio entero deberá ir en la factorización.

6. Tenemos en cuenta lo que hayamos sacado factor común al principio.

7. Por último, comprobamos que el coeficiente líder de la factorización es el mismo que en el

polinomio original. Si no, escribimos un factor corrector.

Ejemplo: Factorizar el polinomio xxxxxx 82533 23456 ++−−− .

• factorizamos una x: ( )82533 2345 ++−−−⋅ xxxxxx .

• Hacemos Ruffini: El polinomio que nos queda es de 5º grado. El término independiente es 8, luego

habría que intentar hacer Ruffini con sus divisores, es decir, 4,2,1 ±±± y 8± . En general es más

fácil empezar por los más pequeños. Se hará Ruffini con uno de estos divisores hasta que salga

resto distinto de cero, con lo que pasaremos al siguiente y así, hasta que lleguemos a un polinomio

de grado 2.

Como el resto ha salido 0, se sigue intentando hacer Ruffini y con el 1.

El resto no es 0, sino –24. • El último Ruffini se

desecha (se borra). • Se intenta otro Ruffini

con el siguiente divisor del 8, el –1.

Con el –1 el resto sale 0. • Se sigue haciendo

Ruffini con la parte que queda.

20

• Al el polinomio de 2º grado resultante del último Ruffini, 22 ++ xx , se le hallan las raíces, si las

tiene, con la fórmula cuadrática.

2

71

2

811

12

21411 2 −±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−=x

como el discriminante (el radicando de la raíz) es negativo, el polinomio no tiene raíces reales.

• Se hace recuento de las raíces, se tiene en cuenta la factorización de x inicial, si la hubo, el último

polinomio y se factoriza. Las raíces son, 1, –1, 4. hubo una factorización de x y el último

polinomio, 22 ++ xx , no tiene raíces. Así, la factorización es:

( ) ( ) ( ) ( )2411 2 ++⋅−⋅+⋅−⋅ xxxxxx

• Por último, hay que verificar que el coeficiente principal es correcto. En caso de que no, hay que

añadir un factor corrector. En nuestra factorización el coeficiente principal se obtendrá

El resto no es 0, sino –10. • El segundo Ruffini con el –1 se

desecha (se borra). • Se hace un Ruffini con el

siguiente divisor de 8, el 2.

Con el 2 nos ha salido resto –16, luego desechamos este Ruffini y lo intentamos con el siguiente divisor de 8, el –2.

Con el –2 el resto que se obtiene no es 0, sino –24, luego se desecha este Ruffini y se intenta otro Ruffini con el siguiente divisor, el 4.

El resto es 0, así que este Ruffini si que vale. Como lo que queda es 1 1 2 que equivale al polinomio

22 ++ xx , que es de 2º grado, dejamos Ruffini y utilizamos la fórmula cuadrática.

Al desechar un Ruffini, se borra la parte en la que no se obtuvo resto 0. El resto se deja y se sigue trabajando.

21

multiplicando los coeficientes principales de cada factor, es decir, 11111 ⋅⋅⋅⋅ , lo que nos da 1.

Como el coeficiente de nuestro polinomio inicial es también 1, no hay que corregir nada.

( ) ( ) ( ) ( )2411 2 ++⋅−⋅+⋅−⋅ xxxxxx .

Ejemplo: Factorizar el polinomio xxxx 3322 234 −+−

• Se saca factor común la potencia de x del mayor grado posible: ( )3322 23 −+−⋅ xxxx

• Con lo que quede, si es de 2º grado se aplica la fórmula cuadrática y si es de grado mayor, Ruffini:

• Se utiliza la fórmula cuadrática con el polinomio de segundo grado que resulta de Ruffini, 32 2 +x

4

240

22

32400 −±=⋅

⋅⋅−±=x

y por lo tanto no tiene raíces reales y el polinomio de 2º grado es irreducible. En este caso, Se

puede resolver directamente 032 2 =+x . Se observa rápidamente que 232 −=x , que no tiene

solución.

• Se hace recuento de raíces 1=x , se tiene en cuenta lo sacado factor común al principio, y el

último polinomio de 2º grado que no tenía raíces: ( ) ( )321 2 +⋅−⋅ xxx

• Se corrige, si es necesario, el coeficiente principal: 2211 =⋅⋅ , de donde la factorización es la

correcta:

( ) ( )321 2 +⋅−⋅ xxx

22

5.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y M ÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO .

Dado un número entero M, un divisor de M es otro número entero k tal que al dividir M entre

k, el resto de la división es 0. Otra forma de decir esto es que k es divisor de M si podemos escribir

nkM ⋅= para algún otro número entero n.

De forma parecida, decimos que M es múltiplo de k si podemos escribir M como k por algún

otro número, es decir, si M está en la tabla de multiplicar de k.

Observamos que la relación múltiplo y divisor es como la relación padre e hijo, es decir, si

Honza es el hijo de Marek, entonces Marek es el padre de Honza. Lo mismo pasa con los múltiplos y

los divisores. Si M es múltiplo de k, es porque k es múltiplo de M.

Para hallar los múltiplos de un número basta ir multiplicándolo por todos los números enteros.

Es lo que se conoce como tabla de multiplicar. Para hallar los divisores, hay que factorizar el número

como producto de números primos y, de la factorización, se obtienen los divisores fácilmente.

Son de particular importancia el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o

más números. Teniendo en cuenta que el divisor de un número tiene que “estar” en su factorización, es

decir, tiene que poder conseguirse combinando parte de la factorización del número, entonces, un

divisor común tiene que estar en las factorizaciones de todos los números que estemos considerando.

Ejemplo:

a) Factorizar 72.

b) Obtener todos sus divisores.

c) Observar cómo cada divisor de 72 se puede conseguir como parte de la factorización del 72.

d) Además, aquello de la factorización que no se utiliza, es por lo que hay que multiplicar el divisor

para obtener 72. Concretamente, observar cómo la factorización del 12 está “dentro” de la

factorización del 72. Y lo que sobra en la factorización del 72 es, precisamente, lo que hay que

multiplicar por 12 para obtener 72.

Solución:

a) 23 3272 ⋅=

b) 98126184243362721

323232322323322321 2322232223

×××××××⋅×⋅⋅×⋅×⋅×⋅×

Así que los divisores son, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.

c) Los observo, lo observo… muy bonito ☺

d) En efecto, 3212 2 ⋅= y 23 3272 ⋅= luego podemos separar dos 2 y un 3 para obtener 12, es decir,

612323232323272 2223 ⋅=⋅×⋅=⋅⋅⋅=⋅=

23

Esto nos tiene que servir para ver qué relación hay entre la factorización de un número y sus

divisores. Así, cuando queramos un divisor común de dos números, el resultado debe estar “dentro” de

las dos factorizaciones. Por tanto, sólo podremos jugar con la parte común a ambas factorizaciones.

Así, el máximo de los divisores comunes de dos o más números es el que resulta de tomar los

factores comunes y con el menor exponente posible. Lo mismo ocurre con los polinomios.

Con los múltiplos ocurre lo contrario, es decir, la factorización del múltiplo debe contener a la

factorización inicial. Por ejemplo todo múltiplo de 72 debe tener, por lo menos, 23 32 ⋅ . Cuando

queramos un múltiplo común a dos números, éste debe contener todo lo que esté en ambas

factorizaciones.

Así, el mínimo de los múltiplos comunes de dos o más números es el que resulta de tomar

todos los factores que aparezcan, al menos en una de las factorizaciones, y al exponente más grande

posible.

Ejemplo: a) Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de ( ) 233 +−= xxxP ,

( ) 652 23 +−−= xxxxQ y ( ) xxxxR 43 34 −+= .

b) Escribir el m.c.d. como producto, dentro de ellos y cada uno de ellos como factor dentro del m.c.m.

Solución:

a) Factorizamos los tres polinomios y

queda:

( ) ( ) ( )21 2 +⋅−= xxxP

( ) ( ) ( ) ( )321 −⋅+⋅−= xxxxQ

( ) ( ) ( )221 +⋅−⋅= xxxxR

Por lo tanto,

( ) ( ) ( ) xxxx ⋅−⋅+⋅−= 321m.c.m. 22

( ) ( )21m.c.d. +⋅−= xx

b) ( ) ( ) ( ) ( )121 −•+⋅−= xxxxP ( ) ( ) ( ) ( )321 −•+⋅−= xxxxQ ( ) ( ) ( ) ( )221 +•+⋅−= xxxxxR

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−⋅+•+⋅−=⋅−⋅+⋅−= xxxxxxxxx 3221321m.c.m. 222

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )312121321 2 −⋅−•+⋅−⋅=⋅+⋅−•−⋅+⋅− xxxxxxxxxxx

24

6.- APÉNDICE. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE UN POLINOMIO POR n PUNTOS.

Teorema: Dados 1+n puntos 121 ,,, +nxxx K distintos dos a dos ( )jixx ji ≠≠ si , y 1+n números

reales 121 ,,, +nyyy K existe un único polinomio de grado n, ( )xP , tal que

( ) ( ) ( ) 112211 ,,, ++ === nn yxPyxPyxP K .

Demostración:

Hay que demostrar dos cosas. Primero que hay algún polinomio de grado n que cumple

( ) ( ) ( ) 112211 ,,, ++ === nn yxPyxPyxP K y segundo que sólo hay uno que lo hace.

Veamos primero que, si hay alguno, sólo puede haber uno, no más.

Sea ( ) 011

1 axaxaxaxP nn

nn ++++= −

− L un polinomio tal que

( ) ( ) ( ) 112211 ,,, ++ === nn yxPyxPyxP K . Esto es lo mismo que decir

10111

111 yaxaxaxa nn

nn =++++ −

− L

20211

212 yaxaxaxa nn

nn =++++ −

− L

…

10111111 ++

−+−+ =++++ nn

nnn

nnn yaxaxaxa L

es decir, tenemos un sistema de 1+n ecuaciones lineales con 1+n incógnitas 011 ,,,, aaaa nn K− . La

matriz asociada a dicho sistema es

=

++−++

−

−

1

2

1

1111

21

22

11

11

1

1

1

nnnn

nn

nn

nn

y

y

y

xxx

xxx

xxx

AM

L

MMOMM

L

L

Al estudiar el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema vemos que tenemos un

determinante de Vandermonde de tamaño 1+n y por tanto,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )132113121

1111

21

22

11

11

1

1

1

++

+−++

−

−

−⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅−== nnn

nnn

nn

nn

nn

xxxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

A LL

L

MMOMM

L

L

y como todos los puntos x eran distintos dos a dos, el determinante de Vandermonde es distinto de 0.

El teorema de Rouché – Frobenius sobre sistemas de ecuaciones lineales nos asegura que al ser el

rango de la matriz de los coeficientes igual al rango de la matriz ampliada e iguales éstos al número de

incógnitas, el sistema admite una única solución. Esto es precisamente lo que queríamos probar.

Veamos ahora que hay un polinomio que cumple precisamente

25

( ) ( ) ( ) 112211 ,,, ++ === nn yxPyxPyxP K . Este polinomio es conocido como polinomio de

interpolación de Lagrange.

Dados los puntos 121 ,,, +nxxx K de la recta real y los valores numéricos que debe tomar el

polinomio en esos puntos 121 ,,, +nyyy K , consideramos el polinomio

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )113121

13211

+

+

−⋅⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−

=n

n

xxxxxx

xxxxxxyxL

L

L

Con una sencilla sustitución, se observa que ( ) 111 yxL = y ( ) 1,01 ≠∀= ixL i . Hacemos esto para cada

uno de los puntos, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )11121

11121

++−

++−

−⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅−

=nkkkkkkk

nkkkk xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxyxL

LL

LL

De nuevo, observamos al sustituir por los distintos 121 ,,, +nxxx K que obtenemos, precisamente,

( ) kkk yxL = y ( ) kixL ik ≠∀= ,0 .

Entonces, el polinomio de Lagrange de grado n, para los 1+n puntos ( ) ( ) ( )112211 ,,,,,, ++ nn yxyxyx K

es ( ) ( ) ( ) ( )xLxLxLxP nn 121 ++++= L . De nuevo, al sustituir, observamos que cumple

( ) 1,,1, +=∀= niyxP ii K .

☺

Teorema: Dados n puntos nxxx ,,, 21 K distintos dos a dos ( )jixx ji ≠≠ si , y n números reales

nyyy ,,, 21 K existe un único polinomio de grado n, ( )xP , tal que

( ) ( ) ( ) nn yxPyxPyxP === ,,, 2211 K y tiene uno de sus coeficientes definido (por ejemplo, ser

mónico).

Demostración:

Basta darse cuenta en la demostración del teorema anterior que, si fijamos una de las incógnitas (los

coeficientes del polinomio buscado) entonces hay n incógnitas y, por tanto, sólo hacen falta n

ecuaciones, luego sólo hacen falta n puntos.

Corolario: Si dos polinomios del mismo grado, n, coinciden en los valores de n puntos distintos y

tienen un coeficiente igual, entonces son el mismo polinomio.

Corolario: Si un polinomio de grado n, ( ) 01 axaxaxP nn +++= L , tiene n raíces, nxxx ,,, 21 K

entonces ( ) ( ) ( ) ( )nn xxxxxxaxP −⋅−⋅−= K21 .