Fundamentos de Probabilidad

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA INTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA ING. INDUSTRIAL

Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez 1

UNDAD 2: FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD 2.1 Conjuntos y técnicas de conteo

Conjunto: es una colección bien definida de objetos, los cuales se denominan

elementos o miembros del conjunto. Generalmente los conjuntos se denotan con letras

mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u} B = {2, 4, 6,8…} C = {x | x son colores primarios}

Especificación de conjuntos:

a) Por extensión / método de lista: consiste en enumerar cada uno de sus electos mediante comas y encerrarlo mediante llaves.

b) Por comprensión / método de propiedad: consiste en establecer aquellas propiedades que caracterizan os elementos en el conjunto.

Conjunto Universal o Universo: son todos los conjuntos bajo investigación en cualquier aplicación que están contenidos en algún conjunto agrande y fijo. Es el total de la muestra. Ejemplo:

A = {x | x es una vocal}

x= {x | x es un estudiante} Conjunto Vacío: se denota como Ø = { }, y es aquel conjunto que no tiene elementos.

Ejemplo:

Ø = {x/x es un mes que tenga 53 días} Ø ≠ {0}

Conjunto Disjunto o Ajeno: son aquellos que no tienen elementos en común.

Ejemplo:

A = {2, 4, 6,8…} B = {1, 3, 5,7…}

A y B son disjuntos.

Diagrama de Venn: es una representación en dibujo de los conjuntos. Un

rectángulo representa el conjunto universo y un círculo es un subconjunto. Operaciones, leyes y representaciones de diagramas de Venn

Operaciones entre conjuntos:

a) Unión o Suma: la unión de dos conjunto s A y B representada por A u B, es aquel conjunto de todos los elementos que pertenecen a, A ó a B:

AUB={x | x A o x B}

b) Intersección: la intersección de dos conjuntos A y B se denota A B, es el

conjunto de todos los elementos que pertenecen a, A a B, o a ambos:

A B= {x|x A ^ x B}.

c) Complemento relativo de un conjunto B con respecto a un conjunto A (diferencia

de conjuntos): se denota A\B = A-B, conjunto de elementos que pertenecen a, A pero no a

B:

A-B= {x|x, A, x B}

d) Complemento Absoluto: se denota AC = A’ =A*, el complemento absoluto o complemento de un conjunto A, es el conjunto de elementos que pertenecen a U pero no

pertenecen a A.

AC = { x|x , x U, x A}

http://www.mitecnologico.com/iq/Main/OperacionesLeyesYRepresentacionesDeDiagramasDeVenn



Leyes del Algebra de Conjuntos:

1) Leyes de Impotencia:

a) Unión: A U A=A b) Intersección: A ∩ A = A

2) Leyes asociativas a) (A U B) U C = A U (B U C) b) (A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C)

3) Leyes conmutativas a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A

4) Leyes distributivas a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

b) AU(BUC)=(A∩B)U(A ∩ C )

5) Leyes de identidad

a) A U Ø = A b) A ∩ U = A

c) A U U = U

d) A ∩ Ø = Ø

6) Leyes de complemento a) A U AC = U

b) A ∩ AC = Ø

c) (AC) C = A

c) UC = Ø, Ø = U

7) Leyes de de Morgan a) (A U B ) C= A C ∩ B C

b) (A ∩ B) C = A C U B C

EJEMPLO DE APLICACIÓN:

1. Una encuesta de 200 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de 3 productos A, B, C:

5 personas consumen solo A 25 personas consumen solo B

10 personas consumen solo C 15 personas consumen A y B pero no C

80 personas consumen B y C pero no A 8 personas consumen C y A pero no B 17 personas no consumen ninguno de los tres productos.

a) ¿Cuántas personas consumen A?

b) ¿Cuántas personas consumen B? c) ¿Cuántas personas consumen A, B y c?

Técnicas de conteo ó análisis combinatorio. El análisis combinatorio es una rama de la matemática que estudia los diversos

arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los

cuales permiten resolver infinidad de problemas prácticos.

Análisis combinatorio: Son técnicas para determinar el número de resultados posibles de un experimento o evento o el número de elementos en un conjunto sin enumerarlos directamente.

Las técnicas mas utilizadas son:

I. Principio de la multiplicación

II. Combinaciones III. Permutaciones

IV. Diagrama de árbol

I. Principio de la multiplicación: Supongamos que un evento E puede ocurrir en

m formas e independientemente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas, entonces los eventos E y F pueden ocurrir en (m)(n) formas.



Ejemplo 1:

Suponga que la universidad tiene 3 cursos de Historia, 4 de Literatura y 2 de Ciencias diferentes. ¿Cuantas maneras tiene un estudiante de elegir cada uno de los cursos?

(3)(4)(2) = 24 el estudiante tiene 24 formas de elegir cada uno de los cursos.

Ejemplo 2:

En un restaurante se sirven 4 tipos de sopa, 4 guisados, 5 postres y 3 bebidas

diferentes. ¿De cuantas maneras se puede presentar el menú? (4)(4)(5)(3) = 240 El menú se puede presentar de 240 formas distintas.

Notación Factorial: el producto de los números enteros positivos de 1 a n inclusive ocurre con frecuencia en matemáticas, se representa por el símbolo especial como n! “n factorial”.

n! = (1)(2)(3)…(n-3)(n-2)(n-1)n n! = (n)(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

a! = a(a-1)(a-2)!

II. Combinaciones

Una combinación es un arreglo de n objetos, tomado r a la vez, o sea cualquier

selección de r objetos donde el orden no cuenta, se denota y se define como:

)!(!

!

rnr

nnCr

Ejemplos:

1. Encuentre el número de comités de 3 personas que pueden formarse con un total de 8 personas.

2. Un examen debe responder 8 de 10 preguntas en un examen. a) De cuantas formas puede el estudiante elegir las 8 preguntas. b) De cuantas formas si el estudiante debe responder obligatoriamente las 3 primeras

III. Permutaciones

Cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se denomina

permutación de los objetos. Se pueden dar los siguientes casos de permutaciones:

a) Si n=r, se toman todos los objetos al mismo tiempo, simplemente se calcula como n!

nPr = n!

b) Si n>r, se toman r objetos de un total de n, se calcula: )!(

!Pr

rn

nn

c) Permutaciones con repetición: se calcula: !!......!.!.

!

321 knnnn

n

Para calcular el número de permutaciones para un multiconjunto, es decir; un conjunto de objetos parecidos.

d) Permutaciones circulares: cuando el arreglo se realiza en un círculo, entonces la

probabilidad es )!1( n .



Ejemplos: 1. Encuentre el número de maneras en que se puede seleccionar un comité de 3 personas (Presidente, Secretario y tesorero) de un total de 8 personas.

2. Cuantas permutaciones se pueden hacer con la palabra PAPAYA. 3. Encuentre el número de permutaciones que se pueden realizar con 5 personas en: a) una fila:

b) una mesa redonda: 4. Encuentre el número de formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros

pequeños se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo tamaño estén juntos.

IV. Diagrama de árbol: Es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas. Se construye de izquierda a derecha y las ramas que se formen

serán los posibles resultados del evento.

Ejemplo: Adriana tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximo 5 veces, en cada juego ella gana o pierde $1. Ella empieza con $1 y dejara de jugar si pierde todo su dinero. Calcule todos los posibles resultados en que puede suceder el juego. R. 14

Probabilidad: Concepto Clásico y como frecuencia relativa.

Definición Clásica (a priori): suponiendo que un evento A puede ocurrir de s formas de un total de S formas igualmente posibles, entonces la probabilidad de A P(A) puede

ocurrir de S

nAP )( .

Definición como Frecuencia Relativa (a posteriori): suponiendo que después de n repeticiones para valores muy grandes de n, un evento A ocurre s veces, entonces la

probabilidad de A se calcula como Socurrequeenvecesdeno

AocurrequeenvecesdenoAP

.

.)(

Espacio Muestral y Eventos

El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Un evento A es un conjunto de resultados o es un subconjunto del espacio muestral S.

Los eventos pueden combinarse parta formar eventos nuevos utilizando las

operaciones de conjuntos.

A U B; evento que ocurre sí y solo sí A ocurre, B ocurre o ambos ocurren. A ∩ B; evento que ocurre sí y solo sí A y B ocurren.

AC; evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre. Axiomas y Teoremas

Axiomas de probabilidad Sea S un espacio muestral, entonces P se llama función del evento probabilidad, y

P(A) se denomina la probabilidad del evento A, cuando se cumplen los siguientes axiomas: 1. Para cualquier evento A, se tiene P(A) ≥0 2. Para el evento S seguro (espacio muestral) se tiene P(S) = 1

3. Para dos eventos mutuamente excluyentes (disjuntos) A y B P(A U B) = P(A) + P (B)

4. Regla de adición; para dos eventos cualesquiera A y B P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

Cuando P satisface los axiomas anteriores, el espacio muestral S puede llamarse un espacio de probabilidad.

Teoremas en espacios de probabilidad.

T1 El evento imposible o en otras palabras, el conjunto vacío Ø tiene probabilidad 0 es decir;

P (Ø)=0



T2 Regla de complemento: para cualquier evento A, se tiene: P (AC) = 1- P(A)

T3 Para cualquier evento A se tiene: 0 ≤ P(A) ≤ 1

T4 Si A contiene a B (A es subconjunto de B), entonces; P(A) ≤ P (B)

T5 Para dos eventos cualesquiera A y B, se tiene:

P (A\B) = P(A) - P (A∩ B)

Ejemplo:

1. Una clase de 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de las mujeres tienen ojos cafés. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre ó tenga ojos cafés.

Probabilidad Condicional e Independiente

Probabilidad Condicional

Suponga que E es un evento en un espacio muestral S con probabilidad de P (E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que E ha ocurrido, en otras palabras; la probabilidad condicional de A dada E escrita como:

P (A│E) = P(A ∩ E)

P(E) Eventos Independientes

Se dice que los eventos A y B de u espacio de probabilidad S, son independientes si

la ocurrencia de uno de ellos no influye sobre la ocurrencia del otro; P (A∩ B) = P(A) P(B)

De otra forma son dependientes.

Ejemplo: Sea A el evento en el cual un hombre vivirá 10 años mas y sea B el evento en que su

esposa viva 10 años mas, suponga que P(A)=1/4 y P(B) = 1/3, si A y B son eventos

independientes, encuentre la probabilidad de que: Ambos estén vivos:

Teorema de Bayes Suponga que los eventos A1,A2,…An son mutuamente excluyentes cuya unión es S, y

E es un evento del espacio muestral, entonces para K=1,2,…n se tiene:

P(Ak│E) = P(Ak) P(E│Ak) . P(A1) P(E│A1) + P(A2) P(E│A2) +… P(An) P(E│An)

Guía de estudio de evaluación 1

1. Una encuesta de 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos a y b : 138 personas consumían a pero no b. 206 personas

consumían a y b. 44 personas no consumían ni a ni b. A.¿cuántas personas consumían a? Rta: 344 personas. B. ¿cuántas personas consumían b? Rta: 318

personas. C. ¿cuántas personas consumían b pero no a? Rta: 112 personas. D.



¿cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.

2. En una zapatería entraron 1000 personas, en un día, de los cuales: 700 compraron zapatillas, 400 tenis, 550 botas, 320 compraron zapatillas y botas, 60

solo botas, 100 tenis y zapatillas 20 botas y tenis y 150 de los tres. A) ¿cuántos no compraron nada? B) ¿cuántos compraron solo zapatillas? C) ¿cuántos

compraron solo botas?

3. El instituto de la juventud del estado de méxico esta organizando los equipos de

fútbol, béisbol y natación para las próximas “mini-olimpiadas”. Hay 900 miembros del instituto que han manifestado sus deseos de participar en esos eventos

deportivos. Se habían obtenido los siguientes datos preliminares del primer listado de computadora, cuando repentinamente se interrumpió le servicio eléctrico:

400 pueden participar en fútbol, 390 pueden participar en béisbol,480 pueden participar en natación, 210 no pueden participar en ninguno de ese tres deportes,

90 participan en los dos primeros pero no en el tercero,190 pueden participar solamente en natación. Debido a que el reporte debía llegara manos de las

autoridades del instituto en menos de media hora, el equipo de analistas de

información resolvió aplicar conjuntos para obtener la información siguiente: A) ¿cuántos miembros pueden participar en los tres deportes mencionados?

B) ¿cuántos miembros pueden participar por lo menos en dos de los deportes?

4. En la ciudad de Toluca se ha observado en los últimos 5 años que en el mes de mayo llovió 15 días entre las 14 y 15 horas, 10 días entre las 15 y 16 horas y 6

días después entre las 16 horas ¿cuál es la probabilidad de que en el mas de mayo próximo llueva entre las 14 y 15 horas?

5. Un niño tiene 5 canicas de diferentes colores, si él quisiera ordenarlas de forma

horizontal ¿cuántas hileras diferentes puede construir? Que contengan a) Una canica

b) 2 canicas

c) 3 canicas

d) 4 canicas

e) Todas las canicas

6. De un grupo de 12 personas se va a escoger una mesa directiva compuesta por

un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero; ¿Cuántas diferentes representaciones se pueden formar?

7. En una caja se tienen 15 lámparas de las cuales 5 son defectuosas. Se extraen

tres al azar. Hallar la probabilidad de que: a) Ninguna sea defectuosa. R=24/91

b) Solo una exactamente sea defectuosa. R=45/91

c) Por lo menos una sea defectuosa. R=67/91

8. En una población el 80% de sus habitantes tiene ingresos bajos, el 15% tiene

ingresos medios y el 5% tiene ingresos altos. El 40% de las personas de ingreso medio se opone a un proyecto en la cámara de diputados, el 10% de ingresos altos

también se opone y el 60% de ingresos bajos se opone. Se elige una persona al azar.

a) Calcular la probabilidad de que se oponga a la ley. R=0.545

b) Si al seleccionar a la persona se encuentra que esta se opone, calcular la

probabilidad de que sea de ingresos medios. R=0.11



9. Se seleccionan dos canicas una después de otra, con reposición de una caja que contiene 3 canicas blancas y 2canicas rojas. Encuentre que la probabilidad p de

que: a) las dos canicas sean blancas

b) las dos canicas sean rojas c) la segunda sea blanca si la primera es blanca

d) la segunda sea roja si la primera es roja. R= a) 9/25 b)4/25 c) 3/5 d) 2/5

10. caja A contiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules y la caja B contiene 2 rojas y 3 azules. Se saca una canica aleatoriamente de cada caja. Encuentre la

probabilidad p de que: a) ambas canicas sean rojas

b) una sea roja y una sea azul. R= a) ¼ b) 21/40

11. carta se selecciona al azar de entre 25 cartas numeradas de 1 al 25.halle la

probabilidad de que el número en la carta sea:

a) par, b) divisible por 3, c) par y divisible por 3, d) par o divisible por 3, e) termine en el digito 2.

R= a) 12/25, b) 8/25, c) 4/25, d) 16/25, e) 3/25

12. Entre 60 partes de refracción automotriz cargadas en un camión en San

Francisco, 45 tiene a Seattle por destino y 15 a Vancouver. Si dos de las partes se descargan por error en Portland y la selección es aleatoria. ¿Qué probabilidad hay

de que a) ambas partes debieran de haber llegado a Seattle, b) ambas partes debieran de haber llegado a Vancouver, c) Una debiera haber llagado a Seattle y

otra a Vancouver? a) 33/59 b)7/118 c) 45/118

13. Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios, la

probabilidad de que los esposos voten en alguna elección es de .21, la probabilidad

de que su esposa lo haga es de .28 y la probabilidad de que ambos voten es de .15 ¿Cuál es la probabilidad de que a) al menos un miembro de la familia vote, b)vote

una esposa dado que su esposo no lo hace c) vote un esposo dado que su esposo no lo hace?

a).34 b)5/7 c)1/12

14. Si cada articulo codificado articulo codificado en un catalogo empiezan con tres

letras distintas y continua con 4 dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de los que empiezan con la letra a y tiene un par

como ultimo numero. R=10/117

15. Suponga que se eligen al azar tres artículos de un proceso de manufactura.

Se inspeccionan cada uno de ellos y se clasifican como defectuoso (d) y no

defectuoso (n). ¿cuáles son los posibles resultados de esta elección?.

16. Hay tres teorías económicas cada una tan buena como cualquiera de las otras, estas teorías predicen la probabilidad de recesión como sigue: teoría i 60%, teoría ii

30 % y teoría iii 20%. Si ocurre recesión. ¿cuál es la probabilidad de que la teoría i sea la correcta?.

17. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de 3,

hallar la probabilidad de que: a) seleccionar 3 niños, b) seleccionar 2 niñas, c) seleccionar por lo menos un niño.



18. Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y un estándar.

Aproximadamente utiliza el modelo compacto para trasladarse a su trajo las tres cuartas partes del tiempo y el restante usa el carro estándar. Cuando emplea el

carro compacto llega a su casa a las 5:30 el 75% de las veces; si utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora el 60% de las veces. Si llega a su casa

después de las 5:30, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el carro compacto?

19. En una caja hay 15 canicas: 6 rojas, 4 blancas y 5 azules; si se sacan 4 canicas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) todas sean rojas, b) dos sean blancas,

c) una sea azul.

20. ¿de cuántas maneras 3 americanos, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?. Resuelva el

problema si se sientan en una mesa redonda.

21. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. La

probabilidad de que un vehículo específico este disponible cuando se necesite es de 0.96.

a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso necesario? b)¿cuál es la probabilidad de que alguno lo este cuando se necesite?.

22. ¿cuántos números diferentes de cinco cifras significativas se pueden formar

con los dígitos del 0 al 9, si el número cinco debe ir al último ?. (el cero no puede ser el primer número).

23. Sean a,b,........, l 12 puntos dados en el plano r2 tales que no hay tres puntos

sobre la misma línea. Encuentre el número n de. A) Triángulos cuyos vértices vienen de los puntos dados

B) Triángulos cuyos vértices son a y dos puntos más.

24. En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos

castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar. A) si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos

castaños? b) si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos

castaños? C)¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?.

25. A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito

de determinar el número de lectores del time y newsweek. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 20% de los habitantes leen el time, 16% lee el

newsweek y un 1% lee ambos semanarios. Si se selecciona al azar un lector del times, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el newsweek?.

26. Un fabricante de partes de avión sabe por experiencia pasada que la

probabilidad de que un pedido estará listo para ser surtido a tiempo es de 0.80 y de

que un pedido estará listo para entregarse a tiempo es de 0.72 y también que se entregara a tiempo. ¿cuál es la probabilidad de que este pedido se entregará a

tiempo dado que estuvo listo su envío a tiempo?

27. En una ciudad, el 35% vota al partido a, el 45% vota al partido b y el resto se

abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de a, el 30% de los de b y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide:



a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años.

b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.

28. Los alumnos de primero de biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte

teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

a. ¿son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b. ¿cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos

exámenes? c. ¿cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos

exámenes? d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿cuál es la probabilidad de que

apruebe también la práctica?

29. En Roanoke collage se sabe que 1/3 de los estudiantes viven fuera del campus.

También se sabe que 5/9 de los estudiantes son del estado de virginia y que ¾ de

ellos son de fuera del estado o viven en los dormitorios. ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea de fuera del estado y viva en el

campus?

30. El departamento de policía necesita neumáticos nuevos para sus patrullas y

existen probabilidades de 0.17, 0.22, 0.03, 0.29, 0.21 y 0.08 de que compren

llantas Uniroyal, Goodyear, Michelin, General, Goodrich o llantas siete leguas

respectivamente. Encuéntrese las probabilidades de que compren

a. Llantas Goodyear a Goodrich

b. Llantas Uniroyal, general o Goodrich

c. Llantas Michelin o Siete Leguas

d. Llantas Goodyear, general o Siete Leguas

a) 0.43 b)0.67 c) 0.11 d)0.59

31. Suponga que el 60% de la clase de 1º de una pequeña universidad son

mujeres. Además suponga que 25% de hombres y 10% de mujeres están estudiando matemáticas. Se elige un estudiante al azar, encuentre la probabilidad

de que:

a) El estudiante este estudiando matemáticas;

b) Si el estudiante esta estudiando matemáticas cual es la probabilidad de que sea

mujer;

32. Una urna contiene 40 bolas blancas y 10 negras. Si se sacan dos bolas al azar

(con iguales probabilidades), determinar la probabilidad de que las dos sean blancas si:

a) La primera se vuelve a meter antes de sacar la segunda. R=16/25

b) Se saca la segunda sin haber metido la segunda. R=156/245

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