Fundamento Teórico

Hay muchos casos en los cuales el trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el desplazamiento; por ejemplo, para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta última no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como “La Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida.

Figura 1Ley de Hooke

(1)F=−k x

Donde k es la constante elástica del resorte y x es la elongación del resorte.

El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento.

a) Sistema masa-resorte:

Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura 1 si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilara ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la sección de la fuerza elástica.

Figura 2Sistema masa-resorte

Este movimiento se le puede denominar armónico, pero se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento, entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS).

Si aplicamos la Segunda ley de Newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1), podemos escribir:

(2)−k x=ma

Luego si consideramos que:

(3)a=dv

dtEntonces

(4)d2 xdt2

+ kmx=0

En este punto introduciremos la variable ω, tal que:

(5)

ω=√ kmPor lo cual la ecuación (4) se modifica, transformándose en la siguiente expresión:

(6)d2xdt2

+ω2 x=0

La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la siguiente manera:

(7)x=Acos(ωt+δ)

Donde A, es la amplitud de oscilación.

La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición de equilibrio, siendo las posiciones –A y +A los límites del desplazamiento de la masa. (ωt+δ ) es el ángulo de fase y representa el argumento de la función armónica. La variable ω es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de tiempo. La cantidad δ se denomina constante de fase o fase inicial del movimiento, este valor se determina usando las condiciones iniciales del movimiento, es decir el desplazamiento y la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta destiempo (t = 0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente.

Como el movimiento se repite a intervalos iguales, se llama periódico debido a esto se puede definir algunas cantidades de interés que facilitaran la descripción del fenómeno.

Frecuencia (f), es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo, está relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación:

(8)ω=2πf

Periodo (T), es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o un ciclo completo, está relacionado con f y ω, por medio de la relación:

(9)T=1

f=2 πω

Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones cinemáticas de la segunda Ley de Newton.

Velocidad de la partícula (v), como sabemos por definición que: V=dxdt

Podemos usar la ecuación (6), para obtener lo siguiente:

(10)V=−ω2 Asen (ωt+δ)

Aceleración de la partícula (a), como sabemos por definición que: a=dv

dtPodemos usar la ecuación (10) para obtener lo siguiente:

(11)A=−ω2 Acos(ωt+δ )

La ecuación (11) nos indica que en el M.A.S, la aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento.

Respecto al periodo de oscilación, es posible señalar algo adicional; su relación con la masa y la constante elástica del resorte, la cual puede obtenerse usando la ecuación (9) y la definición de ω, que se empleó para llegar a la ecuación (6).

Dicha relación se escribe de la siguiente forma:

(12)

T=2π √ mk

Transformada de Fourier

Es un tratamiento matemático para determinar las frecuencias presentes en una señal. La computadora puede obtener el espectro de frecuencias, pero no por el uso de filtros, sino por esta técnica. Dada una señal, la transformada de Fourier da el espectro de frecuencias. El algoritmo se llama la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform).

Interface Power Link

Sensor de movimiento

Sensor de fuerza

Resortes

Conclusiones

1. Se concluye que al trabajar en equipo con orden y responsabilidad obtendrás resultados óptimos y permitirá el buen desarrollo de todo el laboratorio a través del trabajo en equipo.

2. Se verificó que un movimiento armónico simple es:un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio.

Observación

1. El movimiento del resorte que se observa es de arriba hacia abajo y muestra una gráfica senoidal.

5.4) ¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es máxima?

Pesas con porta

Nueces

Si el cuerpo se encuentra en su velocidad máxima este no tendrá una mayor aceleración, por consecuente la aceleración del cuerpo es cero, entonces cuando un oscilador se encuentre en una posición de equilibrio su velocidad será maximizada

a=dvdv

=d ¿¿

a=−ω2 .0=0m /s

5.5) ¿Qué magnitud caracteriza el periodo de un sistema resorte?

El periodo de un sistema resorte es caracterizado por una unidad fundamental denominada como tiempo cuya medida es el segundo

5.6) Compare el sentido de la aceleración con la velocidad y posición para un movimiento armónico simple. ¿Tiene el mismo sentido o sentidos opuestos? Explique.

Una vez pasada la posición de equilibrio, la posición y la velocidad son directamente proporcionales, es decir, tienen el mismo sentido mientras que la posición y la aceleración son inversamente proporcionales, esto quiere decir que tienen sentidos opuestos.