Funcions de diverses variables - cabritsicans · 2016-08-26 · Funcions de diverses variables En...

Capıtol 5

Funcions de diverses variables

En aquest tema volem fer una petita introduccio a les funcions de diverses variables. No preten ser enabsolut un compendi de totes les definicions i resultats importants sino unicament introduir els conceptesnecessaris per poder abastar el tema seguent d’equacions en derivades parcials.

Comencam amb la definicio principal del tema.

Definicio 5.1

Definim una funcio f : D ⊂ Rn → Rm com una aplicacio que transforma un vector de D ⊂ Rn en ununic vector de Rm, es a dir una aplicacio de la forma

f : Rn −→ Rm

(x1, . . . , xn) → (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)).

Observem que l’espai de totes les funcions de Rn a Rm esta dotat d’una estructura d’espai vectorialsobre R i aixı, donades dues funcions f, g : Rn → Rm aleshores podem definir la seva suma

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

i el seu producte per un escalar

(λf)(x) = λf(x).

Exemples 1

1. f1(x) = 3x2 es una funcio de R en R.

2. f2(x, y) = (ex−y, 2y, 2x3y+1 ) es una funcio de R2 en R3.

3. f3(x, y, z) = 2x + zy− 3

√z + 4 es una funcio de R3 en R.

Igual que en les funcions d’una variable definim el domini d’una funcio de diverses variables de laseguent manera.

Definicio 5.2

Definim el domini de f com el conjunt de punts de Rn on la funcio f : Rn → Rm esta definida i dona unvector de Rm , es a dir, es el conjunt:

Dom(f) = {x ∈ Rn| existeix y ∈ Rm tal que y = f(x)}.

En el seguent exemple calculam el domini de les funcions de l’exemple anterior.

Exemples 2

1. El domini de la funcio f1(x) = 3x2 son tots els nombres reals, Dom(f1) = R.

2. El domini de f2(x, y) = (ex−y, 2y, 2x3y+1 ) son tots aquells punts del conjunt de partida pels quals

podem fer el quocient 2x3y+1 , es a dir, aquells que no anul·len el denominador, per tant Dom(f2) =

R2 \ {y = − 13}.

70

CAPITOL 5. FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES 71

3. El domini de la funcio f3(x, y, z) = 2x + zy− 3

√z + 4 son aquells punts del conjunt de partida pels

quals podem calcular la funcio, es a dir, que el quocient i l’arrel estiguin ben definits:

Dom(f3) = {(x, y, z) ∈ R3|y 6= 0, z + 4 ≥ 0} = {(x, y, z) ∈ R3|y 6= 0, z ≥ −4}.

5.1 Representacio grafica

Recordem que les funcions reals de variable real les representam al pla. Per exemple la funcio f(x) = 3x+4o be y = 3x + 4 representa la recta que passa pels punts (0, 4) i (1, 7). La podem veure representada a lafigura 5.1.

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

10

Figura 5.1:

Un exemple no tan senzill es la funcio f(x) =√

1 − x2 que podem veure a la figure 5.2.

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 5.2:

Per tant, per representar una funcio d’una variable real necessitam el pla. Aixı, nomes podremrepresentar en paper les funcions que siguin de R2 en R, ja que per qualsevol altra necessitariem mesdimensions de les que tenim a l’abast. En aquest cas, la realitzacio de la grafica d’una funcio d’aquesttipus es un subconjunt de punts de l’espai tridimensional. Veiem alguns exemples.

Exemples 3

1. La funcio mes senzilla que podem representar es un pla, que te per equacio z = f(x, y) = ax+by+c.

En concret representam el pla z = 2x − 3y + 4 a la figure 5.3.

2. Representam la grafica del paraboloide de revolucio amb funcio z = f(x, y) = x2 + y2 a la figura

5.4.

3. Una altra funcio interessant es la sella definida per l’equacio z = f(x, y) = x2−y2 que te per grafica

la que podem veure a la figura 5.5.

Malgrat el que hem vist als exemples anteriors, normalment es molt difıcil representar funcions dedos variables. De fet, si no es disposa d’un ordinador normalment aquesta representacio es impossible.Pero dispossam d’una eina molt util per obtenir informacio referent a la funcio sense haver de fer la sevagrafica completa: els conjunts de nivell.


-2

0

2

-2

0

2

-10

0

10

Figura 5.3: Representacio del pla z = 2x − 3y + 4.

-2

02

-2

0

2

0

5

10

15

Figura 5.4: Representacio del paraboloide z = x2 + y2.

-2

0

2 -2

0

2

-5

0

5

Figura 5.5: Representacio de la sella z = x2 − y2.

Definicio 5.3

Donada la funcio f : Rn → R es defineix el seu conjunt de nivell k com el conjunt

Ck = {x ∈ Rn|f(x) = k}.

Quan la funcio que estudiam esta definida de R2 a R els conjunts de nivell s’anomenen corbes de nivell,ja que els conjunts resultants son corbes. Aquestes corbes son el resultat de tallar la grafica de la funcioper plans horitzontals i despres projectar-los damunt el pla xy.

Els conjunts de nivell son uns objectes que ens permeten saber el comportament d’una funcio; perexemple, ens permeten dir quan augmenta o disminueix. I aquesta es la informacio que es representanormalment als mapes meteorologics amb les isobares, o als mapes topografics per representar les alcadesde les muntanyes. Anem a veure uns quants exemples.

Exemples 4

Representam les corbes de nivell dels exemples anteriors.

1. Les corbes de nivell d’un pla son rectes. Per exemple si consideram el pla z = 2x− 3y + 4 les seves

corbes de nivell son funcions de la forma 2x− 3y + 4 = k, es a dir 2x− 3y = k− 4, que es l’equacio


d’una recta. Concretament, son rectes amb pendent 23 . Podem veure representades diverses corbes

de nivell del pla a la figura 5.6.

C−4

C0

C4

C8

Figura 5.6: Corbes de nivell de la funcio z = 2x − 3y + 4.

2. Obtenim les corbes de nivell del paraboloide de revolucio d’equacio z = f(x, y) = x2 + y2. Son de la

forma x2 + y2 = k per tant son circumferencies de radi√

k. Observem llavors que no tenen sentit

les corbes de nivell negatives. Les podem veure representades a la figura 5.7.

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

C2

C4

C8

Figura 5.7: Corbes de nivell de la funcio z = x2 + y2.

3. Les corbes de nivell de la sella definida per l’equacio z = f(x, y) = x2 − y2 son de la forma

x2 − y2 = k, per tant son hiperboles. Podem veure unes quantes a la figura 5.8.

−4 −2 2 4

−4

−2

2

4

C0

C0

C2 C2

C−2

C−2 C

−8

C−8

C8 C8

Figura 5.8: Corbes de nivell de la funcio z = x2 − y2.


5.2 Lımits i continuıtat

En aquesta seccio extendrem la nocio de lımit per a funcions de diverses variables. A continuacio treba-llarem el concepte de continuıtat. Per estudiar el concepte de lımit ens restringirem a funcions escalars,es a dir, funcions definides sobre Rn i amb conjunt d’arribada R.

Definicio 5.4

Sigui f : Rn → R. Direm que f te lımit L quan (x1, . . . , xn) tendeix a (a1, . . . , an), i ho escriurem

limx→a

f(x) = L,

si per tot ε > 0 existeix δ > 0 tal que si ‖x − a‖ < δ llavors |f(x) − L| < ε.

La definicio anterior significa que quan el vector x pren valors propers al valor (a1, . . . , an), aleshoresles imatges de x a traves de la funcio f hauran de ser molt properes al lımit L.

No es l’objectiu d’aquest capıtol ni d’aquesta assignatura aprendre a calcular lımits de funcions devaries variables, pero sı necessitam entendre be el concepte, en el que ens basarem durant les seccions icapıtols seguents.

Com en el cas de les funcions reals de variable real, quan el lımit d’una funcio existeix, aquest es unic.Recordem que en el cas de funcions d’una sola variable, perque existeixi el lımit d’una funcio aquest ha deser el mateix per la dreta que per l’esquerra. Ara que treballam amb funcions de varies variables perqueexisteixi el lımit d’una funcio aquest ha de ser el mateix per totes les possibles direccions d’arribada alpunt, que son infinites. Uns lımits destacats son els lımits direccionals, que consisteix en fer el lımitapropant-nos al punt (a1, . . . , an) mitjancant rectes que pasen per aquest punt. Per tant, si trobam duesdireccions per les quals el lımit ens dona diferent llavors el lımit d’aquesta funcio no existeix. Vegem unexemple.

Exemple 5: Feim el lımit quan (x, y) tendeix a (0, 0) de la funcio f(x, y) = xyx2+y2 .

Calculam els lımits direccionals. Llavors hem de mirar quina equacio compleixen les rectes que pasen

pel punt al que feim el lımit, el punt (0, 0). Aquestes rectes son de la forma y = mx. Aleshores, els lımits

direccionals son

lim(x, y) → (0, 0)

y = mx

xy

x2 + y2= lim

x→0

xmx

x2 + (mx)2=

m

1 + m2,

llavors el lımit no existeix perque depen de per quina recta ens estam apropant al punt (0, 0).

Uns altres lımits especial que podem definir son els lımits iterats: consisteixen en apropar-se al puntal que estam fent el lımit fixant totes les variables excepte una, per exemple x1 (i per tant considerantla funcio com a una funcio real de variable real). Una vegada fet aquest lımit la funcio resultant tendranomes n − 1 variables i iteram el proces. Definim formalment els lımits iterats per a una funcio de duesvariables.

Definicio 5.5

Sigui f : R2 → R. Anomenarem lımits iteratsde f al punt (a, b) als lımits

L1 = limy→b

( limx→a

f(x, y)), L2 = limx→a

(limy→b

f(x, y)).

Observem el que feim, per exemple, amb el primer lımit iterat: en primer lloc, fixam la variable y (ambvalors propers pero distints de b) i feim que la variable x s’propi al punt a. Si aquest lımit existeix per atot possible valor de y (pero considerant y constant) llavors hem de fer el lımit de l’expressio resultant,que nomes depen de y, quan aquesta variable tendeix cap a b. Els lımits iterats no tenen per que existir.De fet hi ha exemples en que algun o cap dels dos existeix. Tambe pot donar-se el cas de que ambdoslımits existeixin pero siguin diferents, el que ens indicaria que el lımit de la funcio no existeix. Vegem-neuns quants exemples.

Exemples 6


1. Sigui f(x, y) = 3x+ysin(x+y) , on x + y 6= kπ. Calculam els lımits iterats quan (x, y) → (0, 0) :

L1 = limy→0

(

limx→0

3x + y

sin(x + y)

)

= limy→0

y

sin(y)= 1,

L2 = limx→0

(

limy→0

3x + y

sin(x + y)

)

= limx→0

3x

sin(x)= 3.

Com que els lımits iterats no coincideixen, el lımit de f(x, y) quan (x, y) tendeix cap a (0, 0) no

existeix.

2. Considerem ara la funcio f(x, y) = x cos(

1y

)

, i calculem els lımits iterats quan (x, y) → (0, 0) :

L1 = limy→0

(

limx→0

x cos

(

1

y

))

= limy→0

0 = 0,

L2 = limx→0

(

limy→0

x cos

(

1

y

))

∄

per tant, un dels lımits iterats ni tans sols existeix. Malgrat aixo, el lımit de f(x, y) quan (x, y)tendeix a (0, 0) val 0 ja que f es el producte d’una funcio que tendeix a 0 per una funcio que esta

afitada.

3. Considerem una altra funcio, f(x, y) = 3x+y−3x−y−y2 . Calculam elsımits iterats quan (x, y) → (0, 0) :

L1 = limy→0

(

limx→0

3x + y

−3x − y − y2

)

= limy→0

3x

−3x= −1,

L2 = limx→0

(

limy→0

3x + y

−3x − y − y2

)

limx→0

y

−y − y2= −1.

En aquest cas els dos lımits iterats conicideixen, pero aixo no significa que el lımit existeixi i valga

−1. De fet, el lımit de f(x, y) quan (x, y) → (0, 0) no existeix, ja que si feim el lımit direccional en

la direccio y = −3x obtenim:

lim(x, y) → (0, 0)

y = −3x

3x + y

−3x − y − y2= lim

x→0

0

−9x2= 0 6= −1,

i per tant el lımit no existeix.

Proposicio 5.1

Considerem les funcions f, g : Rn → R i suposem que existeixen els lımits d’ambdues funcions quan(x1, . . . , xn) tendeix a (a1, . . . , an). Aleshores es compleixen les seguents propietats:

1. limx→a

(f ± g)(x) = limx→a

f(x) ± limx→a

g(x).

2. limx→a

(f · g)(x) = limx→a

f(x) · g(x).

3. Si limx→a

g(x) 6= 0 llavors limx→a

f

g(x) =

limx→a f(x)

limx→a g(x).

2

Despres d’aquesta petita introduccio als lımits de funcions de diverses variables podem definir quanuna funcio es contınua.

Definicio 5.6

Direm que f : Rn → R es contınua en a ∈ Rn si per tot ε > 0 existeix δ > 0 tal que si ‖x − a‖ < δ

aleshores |f(x) − f(a)| < ε.

Aquesta definicio es molt simil·lar a la de lımit. Aixo dona lloc a una altra definicio equivalent.


Definicio 5.7

Direm que f : Rn → R es contınua en a ∈ Rn si limx→a f(x) = f(a).A mes a mes, direm que f es contınua a un subconjunt D ⊂ Rn si es contınua en cada un dels punts deD.

Totes les propietats dels lımits es tradueixen immediatament a la continuıtat de funcions, com veima la seguent proposicio.

Proposicio 5.2

Considerem f, g : Rn → R funcions contınues en el punt a. Llavors les funcions (f + g), (f − g) i (f · g)

son contınues en a. Si g(a) 6= 0 llavors tambe es contınua la funcio fg. 2

5.3 Diferenciabilitat

En aquesta seccio volem generalitzar el concepte de derivada que ja coneixem a R per a funcions de Rn.

Recordem que donada una funcio f : R → R definim la seva derivada al punt a com el seguent lımit

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h,

o equivalentment com

limx→a

f(x) − f(a)

x − a.

Comencam recordant que un vector es unitari si la seva norma es 1. Ara ja podem introduir elconcepte de derivada direccional.

Definicio 5.8

Donada la funcio f : Rn → R i ~v un vector unitari definim la derivada direccional de f al punt (a1 . . . , an)segons la direccio ~v, i ho denotam per D~vf(a), com el seguent lımit:

D~vf(a) = limt→0

f(a + t~v) − f(a)

t.

De vegades el concepte anterior tambe es representa per f ′~v(a). Vegem-ne a continuacio alguns exem-

ples.

Exemples 7

1. Calculam la derivada direccional de la funcio f(x, y) = x2 + y2 en la direccio (1, 1) al punt (0, 1).El primer que hem de fer es convertir el vector que ens dona la direccio en un vector unitari. Per

fer aixo calculam la norma del vector: ‖(1, 1)‖ =√

12 + 12 =√

2 i trobam un altre vector en la

mateixa direccio pero que sigui unitari. En aquest cas sera el vector ~w = ( 1√2, 1√

2). A continuacio

calculam la derivada direccional en la direccio ~w.

D~wf(0, 1) = limt→0

f(

(0, 1) + t( 1√2, 1√

2))

− f(0, 1)

t= lim

t→0

f( t√2, 1 + t√

2) − f(0, 1)

t=

= limt→0

( t√2)2 + (1 + t√

2)2 − (02 + 12)

t= lim

t→0

t2

2 + 1 + t2

2 + 2 t√2− 1

t= lim

t→0t +

2√2

=2√2.

2. Calculam ara la derivada direccional de la mateixa funcio que abans, al mateix punt, pero ara en

una altra direccio, en la direccio ~v = (1, 0). Ara aquest vector ja es unitari, pel que podem calcular

directament la derivada direccional:

limt→0

f(

(0, 1) + t(1, 0))

− f(0, 1)

t= lim

t→0

f(t, 1) − f(0, 1)

t= lim

t→0

t2 + 1 − 1

t= lim

t→0t = 0.


Com al exemple anterior, de totes les possibles direccions en les que podem fer les derivades direccionalsd’una funcio a un punt, hi haura unes que seran privilegiades, que son les direccions canoniques, es a dir~ei = (0, . . . , 1, . . . , 0). Aquestes direccions ens proporcionen la seguent definicio.

Definicio 5.9

Sigui f : Rn → R. Anomenam derivada parcial i−essima al punt (a1, . . . , an) a la derivada direccional de

f al punt a segons la direccio ~ei, i la denotam per ∂f∂xi

(a).

Comentari: L’existencia de les derivades parcials de f es simplement imposar que la funcio f siguiderivable quan la pensam com una funcio d’una variable (la i-essima) i la resta de variables son constants.

De manera similar que amb funcions d’una sola variable, es pot definir la funcio derivada parciali-essima com aquella que a cada punt li assigna el valor de la derivada parcial en aquell punt:

∂f∂xi

: Rn → R

x → ∂f∂xi

(x).

A partir d’aixo es poden definir les derivades parcials d’ordre superior com les derivades parcials de lafuncio derivada parcial. Vegem-ne uns exemples.

Exemples 8

Calculam les derivades parcials de les seguents funcions utilitzant el comentari anterior.

1. Considerem la funcio f1(x, y, z) = 3x + yz − 3e2xy. Feim les derivades parcials respecte de les 3

variables independents:

∂f1

∂x= 3 − 6exy,

∂f1

∂y= z − 3ex,

∂f1

∂z= y.

2. Considerem ara la funcio f2(x, y) = xyx2+y2 . Calculam les seves derivades parcials:

∂f2

∂x=

y(x2 + y2) − xy2x

(x2 + y2)2=

y(−x2 + y2)

(x2 + y2)2,

∂f2

∂y=

x(x2 + y2) − xy2y

(x2 + y2)2=

x(x2 − y2)

(x2 + y2)2.

3. Considerem la funcio f3(x, y) = x3y4 + log(3y) + cos(2y − 9x4). Calculam les seves primeres i

segones derivades parcials:

∂f3

∂x= 3x2y4 − sin(2y − 9x4)(−36)x3,

∂f3

∂y= x34y3 +

1

y− sin(2y − 9x4)2,

∂2f3

∂x2=

∂

∂x

(

∂u

∂x

)

=∂(3x2y4 − sin(2y − 9x4)(−36)x3)

∂x=

= 6xy4 − cos(2y − 9x4)(−36)x3(−36)x3 + 108 cos(2y − 9x4)x2,

∂2f3

∂y∂x=

∂

∂y

(

∂f3

∂x

)

= 12x2y3 + 72 cos(2y − 9x4)x3,

∂2f3

∂x∂y=

∂

∂x

(

∂f3

∂y

)

= 12x2y3 + 72 cos(2y − 9x4)x3,

∂2f3

∂y2=

∂

∂y

(

∂f3

∂y

)

= 12x3y2 − 1

y2− cos(2y − 9x4)4.

Al darrer exemple anterior podem veure que ∂2f3

∂y∂x= ∂2f3

∂x∂y. Aixo no es una coincidencia sino que el

lema de Schwarz ens garanteix que, sempre que una funcio tengui les seves segones derivades contınuesaixo passara sempre.


Definicio 5.10

Considerem la funcio f : Rn → R. Direm que f es de classe Ck si existeixen i son contınues les derivadesparcials de f fins a l’ordre k.

De vegades per representar una derivada parcial tambe s’utilitza la notacio de subındexos, ∂f∂xk

= fxk

o, quan s’han de fer derivades parcials iterades, s’utilitza la notacio de multiındexos, que describim acontinuacio.

Definicio 5.11

Un vector α = (α1, . . . , αn) tal que cada una de les seves components αk es un nombre enter no negatiu(que en particular pot ser nul), se denomina multiındex d’ordre |α| = α1 + . . . + αn.

Donat un multiındex α i una funcio u denotarem les derivades parcials d’ordre |α| com

Dαf(x1, . . . , xn) =∂|α|f

∂xα1

1 · · · ∂xαnn

(x1, . . . , xn).

Observem que si f : Rn → Rm amb m > 1, calcular la derivada parcial de f respecte la variablej-essima, xj , es equivalent a calcular la derivada parcial j-essima de cada component de f i expressar-hocom un vector:

∂f

∂xj

(x1, . . . , xn) =

∂f1

∂xj(x1, . . . , xn)

...∂fm

∂xj(x1, . . . , xn)

.

Vegem-ne un exemple.

Exemple 9 Considerem la funcio f : R2 → R3 definida per

f(x, y) = (2x, 3ey, x + y − 3xy).

Calculam les seves derivades parcials respecte de x i de y.

∂f

∂x(x, y) =

20

1 − 3y

,∂f

∂y(x, y) =

03ey

1 − 3x

.

Definicio 5.12

Donada una funcio f : Rn → R per la qual existeixen totes les seves derivades parcials, definim el vectorgradient al punt (x1, . . . , xn), i el representam com ∇f(x1, . . . , xn), com el vector de les derivades parcials,es a dir,

∇f(x1, . . . , xn) =

(

∂f

∂x1(x1, . . . , xn), . . . ,

∂f

∂xn

(x1, . . . , xn),

)

.

El vector gradient compleix moltes propietats, de les quals enunciam a continuacio les mes interessants.

Proposicio 5.3

Siguin f, g : Rn → R amb derivades parcials al punt x. Se compleixen les seguents propietats:

1. ∇(f ± g)(x) = ∇f(x) ±∇g(x).

2. ∇(cf)(x) = c∇f(x).

3. Sigui ~v un vector unitari. La derivada direccional de f al punt x en la direccio ~v compleix f~v(x) =∇f(x) · ~v, essent aquesta darrera operacio un producte escalar.

4. La direccio del vector gradient es la direccio de maxim creixement de la funcio f.

5. El vector gradient de la funcio y = f(x1, . . . , xn) es perpendicular a les corbes de nivell y = ctant

en cada punt.


2

Exemple 10 Utilitzant la propietat 3. de la proposicio anterior tornam a calcular la derivada direccional

del exemple 7. Voliem calcular la derivada direccional de la funcio f(x, y) = x2 + y2 en la direccio (1, 1)al punt (0, 1). El primer de tot que havıem de fer era convertir el vector que ens dona la direccio en un

vector unitari, pel que agafam el vector ~w = ( 1√2, 1√

2). Ara aplicam la propietat de la proposicio anterior,

pel que calculam el gradient de la funcio:

∇f(0, 1) =

(

∂f

∂x(0, 1),

∂f

∂y(0, 1)

)

= (2x, 2y)∣

∣

∣

(0,1)= (0, 1).

Ara multiplicam el vector gradient pel vector unitari i obtenim la derivada direccional:

D~wf(0, 1) = ∇f(0, 1) · ~w = (0, 1) · ( 1√2,

1√2) =

1√2.

Un altre operador molt interessant que hem de coneixer es el laplacia, que definim a continuacio.

Definicio 5.13

Donada una funcio f : Rn → R per la qual existeixen totes les seves derivades parcials fins a ordre dos,definim el seu laplacia al punt (x1, . . . , xn), i el representam com ∆f(x1, . . . , xn), com la suma de totesles segones derivades parcials no mixtes depenents d’una variable, es a dir,

∆f(x1, . . . , xn) =∂2f

∂x21

(x1, . . . , xn) + . . . +∂2f

∂x2n

(x1, . . . , xn).

Exemple 11: Calculam el laplacia de la funcio f(x, y, z) = x2+y3−z2. Primer necessitam les derivades

parcials de primer ordre de la funcio:

∂f

∂x= 2x,

∂f

∂y= −3y2 ∂f

∂z= −2z.

Ara calculam les segones derivades i el laplacia:

∆f(x, y, z) =∂2f

∂x2(x, y, z) +

∂2f

∂y2(x, y, z) +

∂2f

∂z2(x, y, z) = 2 − 6y − 2 = −6y.

Tot el que hem fet fins ara no ha estat res mes que derivar una funcio respecte les seves variables orespecte una certa direccio. Encara no hem definit que significa que una funcio sigui diferenciable. Hofeim a continuacio.

Definicio 5.14

Sigui f : A ⊂ Rn → R i sigui a ∈ Int(A). Direm que f es diferenciable en el punt a si existeix unaaplicacio lineal

dfa : Rn → Rh → dfa(h)

tal que

limh→0

f(a + h) − f(a) − dfa(h)

‖h‖ = 0.

Aquesta definicio no es molt intuıtiva. A mes es donen els seguents fets.

Comentaris

I. Si f es diferenciable, aleshores existeixen les derivades parcials.

II. El fet que existeixen les derivades parcials de f en un punt no implica que existeixi la diferencial.

Quan la funcio f no es escalar la diferencial es defineix de la seguent manera.


Definicio 5.15

Sigui f : A ⊂ Rn → Rm. Deim que f es diferenciable en a ∈ Int(A) si ho es per a tota component de f.

Donam a continuacio una propietat que ens ajudara a trobar l’aplicacio lineal de la diferencial.

Teorema 5.1

Sigui f : A ⊂ Rn → Rm i sigui a ∈ Int(A). Aleshores, si existeixen totes les derivades parcials de f i soncontınues llavors f es diferenciable en a.

A mes a mes, la diferencial ve donada per la matriu jacobiana, es a dir

Jf (a) =

∂f1

∂x1

(a) . . . ∂f1

∂xn(a)

...∂fm

∂x1

(a) . . . ∂fm

∂xn(a)

.

2

Observem que el resultat anterior no es un “si i nomes si”, sino que es unicament una condiciosuficient. Per tant, pot passar que no existeixi la matriu jacobiana d’una funcio i i que la funcio sı siguidiferenciable.

En el cas m = n = 1 la definicio de la diferencial coincideix amb la definicio usual de derivada. Enaquest cas la transformacio lineal dfa(h) es de la forma dfa(h) = λh per a λ ∈ R, amb λ fix. Concretament,la diferencial de f al punt a es la funcio lineal definida per

dfa(h) = f ′(a)h.

Tal i com passava amb les funcions d’una variable, la composicio de funcions es una de les propietatsmes importants. Recordem que en aquest cas, per calcular la derivada de la composicio de dues funcionsutilitzavem la regla de la cadena, es a dir,

(g ◦ f)(x) = g′(f(x))f ′(x).

La generalitzacio d’aquest resultat es el seguent teorema.

Teorema 5.2

Siguin f : A ⊂ Rn → Rm, g : B ⊂ Rm → Rp amb f(A) ⊂ B funcions diferenciables. Aleshores la funciocomposta g ◦ f tambe es una funcio diferenciable i se compleix

Jg◦f (x0) = Jg(f(x0))Jf (x0),

es a dir

∂g1

∂y1

f(x0) . . . ∂g1

∂ymf(x0)

...∂gp

∂y1

f(x0) . . .∂gp

∂ymf(x0)

∂f1

∂x1

(x0) . . . ∂f1

∂xn(x0)

...∂fm

∂x1

(x0) . . . ∂f1m∂xn

(x0)

2

Comentaris

I. La regla de la cadena ens diu que la diferencial de la composicio de g i f es el producte de ladiferencial de g al punt f(x0) per la diferencial de f al x0.

II. Si consideram dues funcions diferenciables f : R → Rn amb f = (f1, . . . , fn) i g : Rn → R, laseva composicio es la funcio u(t) = g(f1(t), . . . , fn(t)). Amb la regla de la cadena podem calcularu′(t) = (g ◦ f)′(t). Si denotam x1 = x1(t) = f1(t), . . . , xn = xn(t) = fn(t) llavors

du

dt=

∂u

∂x1

dx1

dt+ . . . +

∂u

∂xn

dxn

dt.

Exemple 12


Considerem les funcions f(x, y) = (xy, x − y), g(u, v) = uv + u − v. Volem calcular la diferencial de la

composicio g ◦ f. Ho farem de dues formes: la primera calculant la funcio i despres la seva diferencial i

la segona utilitzant la regla de la cadena. Observem que g ◦ f : R2 → R.

(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(xy, x − y) = xy(x − y) + xy − (x − y) = x2y − xy2 + xy − x + y,

pel que la seva difencial sera

Jg◦f (x) =(

2xy − y2 + y − 1, x2 − 2xy + x + 1)

.

Ara utilitzam la regla de la cadena per calcular la mateixa diferencial:

Jf (x, y) =

(

y x

1 −1

)

, Jg(u, v) = (v + 1, u − 1).

Aplicam la regla de la cadena per obtenir la diferencial de la composicio:

Jg◦f (x, y) = (v + 1, u − 1)∣

∣

∣

(xy,x−y)

(

y x

1 −1

)

= (x − y + 1, xy − 1)

(

y x

1 −1

)

=

= (xy − y2 + y + xy − 1, x2 − xy + x − xy + 1) = (2xy − y2 + y − 1, x2 − 2xy + x + 1).

Funcions de diverses variables - cabritsicans · 2016-08-26 · Funcions de diverses variables En...

Documents

Transcript of Funcions de diverses variables - cabritsicans · 2016-08-26 · Funcions de diverses variables En...