Funciones#trigonometricas
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TRIGONOMETRA
VIII. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
1. CONCEPTO Son aquellas igualdades entre las razones trigonomtricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razn trigonomtrica existente en la igualdad
2. WCLASIFICACIN
2.1.- IDENTIDADES RECPROCAS
Senx.Cscx=1; n , n Z Cscx=Senx
1
Cosx.Secx=1;x(2n+1)2
,nZSecx=
Cosx
1
Tanx.Cotx = 1; xn2
, nZ Cotx=
Tanx
1
2.2.-IDENTIDADES T.POR DIVISIN
Tanx = Cosx
Senx; x(2n+1)
2
; nZ
Cotx = Senx
Cosx; x n; nZ
2.3.-IDENTIDADES T. PITAGRICAS Sen2x + Cos2x = 1; x R Sen2x = 1-Cos2x Cos2x =1-Sen2x
Tan2x+1 = Sec2x; x(2n+1) 2
, n R
Sec2x-Tan2x=1 Tan2x = Sec2 x - 1
Cot2x+1 =Csc2x; x n, nR Cot2x = Csc2x-1
PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Demuestra que : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx Solucin : En este problema, la idea es Reduce el miembro dela igualdad ms complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios ms utilizados, es el de colocar la expresin a Reduce, en trminos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:
Cscx = Senx
1; Secx =
Cosx
1
Tanx=Cosx
Senx ; Cotx=
Senx
Cosx
En el problema : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :
Tan2 =
xcos
xsen2
2
xcos
xsen2
2
. Cosx . senx
1 = tanx
Reduciendo :
xtan
xcos
senx = tanx tanx = tanx
2).- Simplifica :
L = tanx . cos2x - cotx . sen2x Solucin : Vamos a colocar la expresin en trminos de senos y cosenos; as : L = tanx . cos2x cotx . sen2x
L = xsen.senx
xcosxcos.xcos
senx 22
Reduciendo : L = senx . cosx cosx . senx
L = 0 3).- Reduce: L = (secx - cosx) (cscx senx) Solucin : Pasando a senos y cosenos:
L =
senx
senx
1xcos
xcos
1
operando :
L =
senx
xsen1
xcos
xcos122
;
pero : 1- cos2x = sen2x 1- sen2x = cos2x reemplazando :
L = senx
xcos.xcosxsen 22 L = senx.cosx
4).- Simplifica :
L = xcotxcosxcsc
senxxsec
Solucin : Vamos a colocar toda la expresin en trminos de senos y cosenos; as :
L= senx
xcos.xcos
senx1
senxxcos
1
xcotxcosxcsc
senxxsec
Operando y ordenando :
L = senx
xcos.
senx
senx.xcos1xcos
xcos.senx1
Reduciendo :
L = xsen
xcos.
senx
1xcos
1
L = senx
xcos.
xcos
senx
L = 1 5).- Reduce : L = (secx + tanx 1) (secx tanx+1) Solucin : Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino tambin al manejar las otras razones trigonomtricas siempre que tengan relacin. En el problema, por ejemplo : L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1) operando : L = sec2x secx . tanx + secx + tanx . secx tan2x + tanx secx + tanx 1
2tanx reduciendo : L = sec2x - tan2x + 2tanx 1 =1+2tanx 1
1
L = 2tanx
PRCTICA DIRIGIDA N08 1).- Si: Cos2x + Sec2x = 11 Calcula: Cosx + Secx
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TRIGONOMETRA
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
2).- Reduce: E = Cosx ( xTan1 2 )
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3).- Simplifica: Q =
Sec
Cos
Sen
2
a) Tan2 b) Cot2 c) 1 d) -1 e) 0 4).- Reduce:
Q =
xSec
)CotxTanx(Tanx2
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0 5).- Simplifica: Sen4x Cos4x 1
a) 2Cos2x b) 2Cos2x c)2Sen2x d) Sen2x e) Cos2x 6).- Reduce: P = (Secx Cosx) Cscx
a) Tanx b) Cotx c) 1 d) Secx e) N.A. 7).- Reduce: P = (Cscx Senx) Secx
a) Tanx b) Cotx c) 1 d) Secx e) N.A. 8).- Calcula: E = Senx(Senx+Cscx) + Cosx(Cosx+Secx)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9).- Reduce:
Q = Cotx
Tanx
Cosx
Secx
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) N.A.
10).- Reduce:
M = Tanx
Cotx
Senx
Cscx
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) N.A. 11).- Simplifica:
3
SenxCscx
CosxSecx
a) Senx c) Cosx c) Tanx d) Cotx e) Secx
12).- Si: Tanx Cotx = 5
Halla : Tan2x + Cot2x a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 13).- Simplifica:
xcos1
senx1senx1B
2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3 14).- Reduce la expresin : Q = secx - tanx.senx a) senx b) cscx c) cosx d) secx e) N.A.
15).- Si: Senx + Cosx = 3
22
Calcula: 2Senx Cosx
a) 1/9 b) 1/9 c) 2/9 d) 4/9 e) 4/9
16).- Si: Senx Cosx = 3
Calcula: SenxCosx a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) -2 17).- Si: Tanx + Cotx = 3 Calcula: Tan3x + Cot3x a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
18).- Si: Senx + Cosx = 2 Calcula: E = Sen4x + Cos4x a) 1 b) 1/2 c) -1 d) -1/2 e) 2 19).- Si: 1 + Tanx = Usecx 1 Tanx = VSecx Halla : U2 + V2 a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 1/4 20).- Si: Cosx + Cos2x = 1 Calcula: Sen2x + Sen4x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21).- Reduce :
Q = CosxSecx
Tgx
a) 1 b) Senx c) Cosx d) Secx e) Cscx 22).- El equivalente de :
E = Senx
Cosx
1 es :
a) Cscx + Ctgx b) Secx - Tgx c) Cscx + Tgx d) Secx + Ctgx e) Ctgx - Tgx
23).- El equivalente de :
M = Cosx
Cosx
1
1 es :
a) Secx + Tgx b) Cscx + Ctgx c) Cscx Ctgx d) Secx - Tgx e) Cscx - Secx 24).- Simplifica : K = Sen2xCos2x(Sec2x + Csc2x) a) 1 b) 1/2 c) 2 d) Senx e) Cosx 25).- Si : Ctgx Cosx = 4, calcula el valor de :
E = 4 Tgx + Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 26).- Cscx Senx = a Secx Cosx = 2 Halla Tgx
a) 2 b) 3 2 c) 2
d) 3 3 e) 1
27).- Si Tgx - Ctgx = 6 Calcula : A = Tg2x + Ctg2x a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 28).- Simplifica :
E = SenxSenxCosx
xSenxCos
44
a) Cosx b) -Cosx c)Senx d) -Senx e) Tgx
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TRIGONOMETRA
29).- Simplifica : P = (Senx + Cosx)(Cosx Secx)(Tgx + Ctgx) a) -1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 30).- Simplifica :
F = SenxSen
1
1
1
1
a) 2Sec2x b) 2Csc2x c) 2Tg2x d) 2Ctg2x e) 2Sen2x
CLAVES DE RESPUESTAS 1) d 2) a 3) a 4) a 5) b
6) a 7) b 8) c 9) c 10) c
11) c 12) b 13) b 14) c 15) b
16) a 17) d 18) b 19) b 20) a
21) e 22) b 23) b 24) a 25) b
26) b 27) d 28) a 29) b 30) a