Funciones y Relacionesmtovar/doc/MatDiscA/... · Inyectiva Biyectiva ... Una función se llama...
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RELACIONES Y FUNCIONES
parte 2M.C. Mireya Tovar Vidal
Se dice que R es una relación de equivalencia si es:
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Por ejemplo, sea A={1,2,3,4,5,6}
R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}
Grafo y matriz de una relación
R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}
1 2 3 4 5 6
1 1 1 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 0
4 0 0 0 1 1 0
5 0 0 0 1 1 0
6 0 0 0 0 0 1
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6
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Ejercicios
Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4,5} y la relación
R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}, obtenga el grafo y la
representación matricial correspondiente
Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4} y la relación
R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)},
obtenga el grafo y la representación matricial
correspondiente
Clases de equivalencia y particiones
Una relación de equivalencia tiene clases de equivalencia y éstas forman particiones.
Las clases de equivalencia son conjuntos que contienen a todos los elementos b B y que están relacionados con a A. Se indica:
[a] = {b| b B, aRb}
Una partición es un conjunto de clases de equivalencia. Es un subgrafo completo.
Deben estar contenidos todos los elementos del conjunto A.
La intersección entre las clases de equivalencia es vacia.
Ejercicio:
Verifique que R es una relación de equivalencia.
Sean A=B={1,2,3,4,5} y R={(1,1),(1,2),(1,5),(2,1),
(2,2),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,5)}.
Obtenga la matriz y grafo correspondiente.
Como R es una relación de equivalencia, entonces
sus clases de equivalencia son:
[1] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 1
[2] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 2
[3] = {3,4}
[4] = {3,4}
[5] = {1,2,5}
De esto obtenemos
[1] = [2] = [5]
[3] = [4]
Dos particiones:
P ={{1,2,5},{3,4}}
Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un
conjunto A un único elemento b de un conjunto B, es decir
F: A B
Para que sea función debe cumplirse:
Dom(R)=A , es decir el dominio de R debe ser todo el conjunto A.
Si hay dos pares ordenados (a,b) y (a,c) que pertenecen a f, entonces
b=c, es decir a cada elemento del dominio debe estar relacionado con
sólo un elemento del codominio.
Sean los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c}
a) R={(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)}
b) R={(1,a),(2,c),(1,b),(3,a),(4,c)}
c) R={(1,c),(2,c),(3,c),(4,c)}
d) R={(1,b),(2,c),(4,a)}
Inyectiva
Biyectiva
Sobreyectiva
Una función se llama uno a uno (inyectiva), si a cada elemento
distinto del conjunto A le corresponde un elemento distinto del
conjunto B, esto es, para todo a, a’ A si f(a)=f(a’) implica que
a=a’.
Ejemplo 2:
Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},
f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}
Ejemplo 1
Una función se llama sobre (sobreinyectiva), si el conjunto de
los segundos elementos de los pares ordenados de la función es
igual al conjunto B, es decir si Cod(f)=B.
Ejemplo 2:
Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},
f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}
Ejemplo 1
Una función se llama (biyectiva), si cumple que sea tanto
inyectiva como sobreyectiva.
Ejemplo 2:
Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},
f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}
Ejemplo 1
Determinar si las siguientes relaciones son
funciones:
R={a Z, b Z= a2 + 2a + 1}
A={1,2,3,4,5}=B, R={(1,3),(2,5),(4,3),(3,5),(5,1)}
Determinar si las siguientes funciones son
inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
A={1,2,3,4,5}=B, f={(1,2),(2,5),(3,1),(4,4),(5,3)}
A={a,b,c,d},B={1,2,3}, f={(a,2),(b,3),(c,2),(d,1)}