MATEMÁTICA I

INFORMACION A PARTIR DE LA GRAFICA

Prof. Enrique HuapayaLa grafica de una función nos da una imagen útil del comportamiento, o la historia de vida, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto (x;y) de la grafica es f(x), podemos leer el valor de f(x) a partir de la grafica, como la altura dirigida de esta ultima a partir del punto x. La grafica de también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de sobre el eje x y el eje y respectivamente.

En la figura se muestra se muestra la grafica de una función f. Hallar:

1. f (-1) y f (3)2. El dominio 3. El rango4. Los x talque f (x)>05. Los x talque f (x)=06. Los x talque f (x)<0

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL La grafica de una función es una curva en el plano. Pero surge la siguiente cuestión; ¿Cuáles curvas en el plano son graficas de funciones? El siguiente resultado, conocido como prueba de la recta vertical responde a lo anterior. “Toda recta vertical corta a la grafica de una función a lo mas en un punto”.

En la figura se muestra la grafica de una función f. A partir de ella se pide hallar:

a. f(0) y f(6)b. El dominio y el rango.

c. Los valores de x talque f(x) = 0d. Los valores de x talque f(x) > 0e. Los puntos de intersección con los ejes

coordenados

MODELOS LINEALES Y CUADRÁTICOSModelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos (fórmulas, relaciones, ecuaciones, etc.). La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.I. MODELO LINEALEstá asociado a la función de primer grado

Dominio de la función: los números reales, Rango de la función: los realesSu gráfica es una línea recta.Ejemplos de aplicación:1. Juan Pérez desea comprar una memoria USB, para ello

visita el site www.compupartes.com.pe y encuentra el siguiente catálogo.

Sabiendo que el costo de una USB depende de la capacidad de almacenaje del volumen de datos. Determina una expresión que relacione capacidad de memoria y costo. ¿Cuál es el costo (en dólares) de una USB de 8GB?.

2. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto hecho por los grillos de ciertas especies está relacionado con la temperatura. La relación es casi lineal. A 68° F, los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto. A 80° F son alrededor de 172 por minuto. Determina una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit T en términos del número de chirridos C por minuto.

3. Los médicos han encontrado que la frecuencia cardiaca del ser humano (en reposo) está en relación con su edad (en años). La relación es casi lineal, para los recién nacidos es 110 latidos por minuto, para un niño de 10 años es 90 latidos por minuto y para un joven de 20 años es 70 latidos por minuto. Determina una ecuación que dé las pulsaciones por minuto en términos de la edad de la persona.

4. El costo (y) en dólares de reducir la emisión de gases tóxicos de un carro está relacionado con el porcentaje de reducción (x). La gráfica muestra la relación entre ambas variables. Encuentre el costo cuando el porcentaje de reducción es 90%.

5. Un antropólogo puede utilizar la función lineal para estimar la altura de una persona, dada la longitud de su húmero. La altura en cm de un hombre con un húmero de 30cm de longitud es 157cm y de un hombre de 32 cm de húmero es de 162,8cma. Halla la expresión que determine la altura de un

hombre en función de la longitud de su húmero.b. ¿Cuál será la altura de un hombre de 40cm de

húmero?.c. ¿Cuál es la longitud del húmero de un hombre de

2m de altura?.6. El gerente de ventas de la empresa UNIQUE determina

que cuando sus perfumes se venden a 200 soles c/u. se pueden vender 150 al mes. Pero si se fija el costo de cada perfume en 250 soles, se venden 100 al mes. Halla un modelo de la demanda de este artículo. Cuantos perfumes se venderán si se fija cada perfume a un costo de 150 soles.

II. MODELO CUADRÁTICOEstá asociado a la función de segundo grado:

El dominio es el conjunto de los reales y el rango es un subconjunto de los reales.Su gráfica es la parábola y recordamos que:

Para los casos prácticos es necesario conocer el vértice V(h;k) de la parábola, por ello daremos la fórmula correspondiente conociendo los parámetros: a; b y c.

Como se observa de las gráficas dicho vértice permite localizar el máximo o mínimo.

Ejemplos de aplicación:

1. Se estima que de aquí a x años, el número de personas que visitarán el Museo de la Nación será dado por la

función . ¿En qué año

se registrará el menor número de visitantes y cuál es ese número?.

2. Pedro dispone de 40m de alambre para cercar un jardín rectangular. Sólo debe cercar 3 lados porque el cuarto lado limita con su casa. Halla el área máxima que puede proteger.

3. La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo

transcurrido por T(t) 2t t2,0t 2, siendo t el tiempo medido en horas. La gráfica de la función T(t) es la siguiente:

a) Indica el momento de mayor temperatura.b) La temperatura llega a ser nula en algún momento?. Significa eso que está a 0° centígrados?.c) Como evoluciona a temperatura durante las dos horas?.

4. Un hotel normalmente arrienda cuartos a S/. 40 por día. Sin embargo, se anuncia una tarifa especial por grupos: por cada cuarto adicional a 5 que se alquile a un grupo, el precio disminuye en S/. 2 hasta un mínimo de S/. 20.Exprese los ingresos del hotel como una función del número de cuartos que se alquila a un grupo.

5. El gerente de la fábrica de gaseosas “RICA KOLA” pronostica que la ecuación de demanda para la venta de sus gaseosas es:Donde “n” es la cantidad de botellas que puede vender por año.“r” es el precio por unidad en pesos. ¿Qué precio debe fijar la fábrica para obtener los máximos ingresos anuales?.

x

y

10 20 30 40

45

30

15

6. La fábrica de ropa deportiva NIKE determina que puede vender 200 polos a S/. 100 c/u mensualmente. Pero sólo 135 polos al mes a un costo de S/. 150 c/u. ¿Cuál es el modelo de la demanda?. ¿Cuál debe ser el precio de cada polo para obtener los máximos ingresos?.

6. La utilidad diaria de la venta de árboles para el

departamento de jardinería de un almacén está dada por

, en donde es el número de

árboles vendidos y U(x) está en dólares. Determinar:

a. La utilidad máxima.b. El número de árboles vendidos para no tener

utilidad.c. La gráfica que describe el comportamiento de la

utilidad.

7. Si el costo al fabricar x refrigeradoras es C(x) = 2x2 + 150x + 6000 dólares. Se vende las refrigeradoras a $500 cada una, entonces el ingreso es I(x) = 500x dólaresLa función utilidad se define como:

Hallar la cantidad de refrigeradoras que deben fabricarse para maximizar la utilidad.

8. En la figura se muestra la Potencia utilizada en la ciudad de Lima el jueves 31 de mayo de 2007, donde

está en megawatts y está en horas a partir de las 0:00 horas.a. ¿Cuál fue la Potencia a las 06:00 a.m. y a las

6:00 p.m?b. ¿A qué hora la Potencia fue la más baja?c. ¿A qué horas la Potencia alcanzó su más alto

valor?

9. El precio de una batería se fija en función de su duración (en semanas). La relación lineal entre las dos variables se puede observar en la siguiente tabla:

Duración

( semanas )5 8 12 30

Precio

( S/ )1,00 1,60 2,40 6,00

a. Expresar el precio como una función de la duración t. (2 puntos)

b. ¿Cuántas semanas debe durar una batería que cuesta S/ 3,20? (1 punto)

¿Cuál es el precio de una batería que dura 6 semanas?

Tarea:

1. Un automóvil nuevo costó $18000 y se devalúa anualmente en $2000. a. Determina el valor (V) de un automóvil en función

del número de años de antigüedad (t)b. Identifica y grafica dicha función.c. Calcula el número de años que debe transcurrir para

que el automóvil pierda totalmente su valor.

2. Un pequeño fabricante produce y vende artículos a un precio de $ 10 cada uno. Si el costo total de producir q

artículos esta dado por . Entre que

valores debe estar el ingreso para que la utilidad este entre $ 100 y $116?

3. El director de investigación de operaciones de una compañía de Turismo cree que el costo medio de un paquete turístico puede expresarse mediante la ecuación:

En la que x representa el número de visitas realizadas e y el costo medio por visita.

a. Trace la curva que representa el costo medio. b. Obtenga el costo medio mínimo.

4. La función de demanda para cierta marca de camisas está dada por p(q) = -0.01q2 - 0.2q+8, donde p es el precio unitario al mayoreo, en dólares, y q es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. Trace la grafica de la curva de demanda. ¿A partir de qué precio ya no habrá demanda?¿ Cuál es la cantidad máxima demandada por semana?

PMegawatts