FUNCIONES PROCESOS ESTOCASTICOS

8/16/2019 FUNCIONES PROCESOS ESTOCASTICOS

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Universidad de las Fuerzas Armadas(ESPE). Rodriguez. Funciones de Distribución

RESUMEN: En el presente teto se va a estudiar los

di!erentes modelos matematicos para calcular la probabilidad en variables aleatorias en discretas "continuas. #on el concepto de variable aleatoria nos

permite pasar de resultados eperimentales a la !unction

numerica de los resultados encontramos dos tipos de

variables discretas " continuas.

ABSTRACT:

$%is tet is stud" t%e di!!erent mat%ematical models to

calculate t%e probabilit" o! random variables discrete

and continuous. &it% t%e concept o! random variable

allo's us to move !rom t%e eperimental to t%e !unction

o! t%e numerical results are t'o t"pes o! discrete andcontinuous variables

PALABRAS CLAVE:

• Valor medio

• Poisson

• Binomial

• Distribucion normal estandar

1. INTRODUCCIÓN

En la teora de la probabilidad " en estadstica

una !unción de distribución acumulada describe

la probabilidad de *ue una variablealeatoria real + su,eta a cierta le" de distribución de

probabilidad se sit-e en la zona de valores menores

o iguales a .

2. DESARROLLO2.1DEFINICIÓN

2.1.1 DISTRIBUCIÓN DE POISSON.Es un modelo *ue puede usarse para calcular la

probabilidad correspondiente al n-mero de /itos0 *ue

1

se obtendran en una región o en intervalo de tiempo

especi!icado si se conoce el n-mero promedio de

/itos0 *ue ocurren.Este modelo re*uiere *ue se cumpla las siguientes

suposiciones2

• El n-mero de /itos *ue ocurren en la región o

intervalo es independiente de lo *ue ocurre en otra

región o intervalo.

• 3a probabilidad de *ue un resultado ocurra en una

región o intervalo mu" pe*ue4o es igual para

todos los intervalos o regiones de igual tama4o "

es proporcional al tama4o de la región o intervalo.

• 3a probabilidad de *ue m5s de un resultado ocurra

en una región o intervalo mu" pe*ue4o no essigni!icativa.

Sea variable aleatoria discreta con distribución de

Poisson.

2 #antidad promedio de /itos0 en la región o

intervalo especi!icados.

Entonces la distribución de probabilidad de es2

Valor medio:

Se obtiene la !unción generadora de momentos2

FUNCIONES DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ENTIEMPO DISCRETO CONTINUO

Rodriguez #onde 6acson 6avier ,ac7bo89:%otmail.com

ESPE Etension 3atacunga ;ui,ano "


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Desarrollo de la !unción eponencial como serie de

potencia2

=aciendo

Por de!inición2

Varia!"a:

.Para la demostración de la varianza se sigue un camino

similar al del valor medio

De#$ia%i&! e#'(!dar:

Función de distribución de probabilidad

A)ro*ima%i&! de la di#'ri+,%i&! Bi!omial %o! ladi#'ri+,%i&! de Poi##o!.En la distribución ?inomial cuando n es grande no es

practico el uso de la !ormula. Para este caso se puede

calcular aproimadamente la probabilidad con la

distribución de Poisson.Siendo2

De tal manera *ue

La a)ro*ima%i&! e# a%e)'a+le #i:

Función distribución " !usión acumulativa de Poisson.

E-em)lo:Suponga *ue la llegada de automóviles a una gasolinera

sigue una distribución de Poisson " se produce a una

velocidad promedio de @9%. 3a gasolinera solo disponede un surtidor. Si suponemos *ue todos los coc%es

necesitan un minuto para servirse gasolina Bcu5l es la

probabilidad de *ue %a"a *ue %acer cola en el surtidorC

Da'o#:

=abr5 *ue %acer cola si dos o m5s coc%es llegan en un

intervalo de tiempo de un minuto.

3a probabilidad de %acer cola2

Por tanto %abr5 cola !ormada en el surtidor

aproimadamente un 9 del tiempo.

2.1.2 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.

Es un eperimento en el *ue puede %aber -nicamente

dos resultados posibles. Es costumbre designarlos como

/ito0 " !racaso0.

Si la probabilidad de obtener /ito0 en cada ensa"o es

un valor *ue lo representa con entonces la

probabilidad de obtener !racaso0 ser5 el complemento

• Sea variable aleatoria cu"os valores pueden ser >2

/ito 92 !racaso

• 2 valor de probabilidad de *ue el resultado del

ensa"o se /ito0.


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Entonces la distribución de probabilidad de es2

El eperimento puede repetirse " en cada ensa"o el valor

de probabilidad ) se mantiene constante.Se supondr5 *ue los ensa"os son independientes es

decir el resultado de un ensa"o no a!ecta a los resultadosde otros ensa"os.

Valor medio:

Varia!"a:


F,!%i&! di#'ri+,%i&! /,#i&! a%,m,la'i$a deBer!o,lli.

E-em)lo:Suponer *ue la probabilidad de /ito de un eperimento

es 9. " se realiza cinco ensa"os independientes. #alculela probabilidad *ue el primero " el -ltimo ensa"o sean

/itos " los tres ensa"os intermedios sean !racasos.

Sol,%i&!:

2.2.1DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADCONTINUAS.

2.2.2DISTRIBUCIÓN NORMAL O 0AUSSIANAEs la piedra angular de la teora estadstica moderna.

#onocida " estudiada desde %ace muc%o tiempo es

utilizada para describir el comportamiento aleatorio de

muc%os procesos *ue ocurren en la naturaleza " tambi/n

realizados por los %umanos.Se dice *ue una variable aleatoria + es gaussiana si su

!unción de densidad tiene la !orma

Donde2

G son constantes reales.

Su m5imo valor se produce en .Su amplitud0

alrededor del punto est5 relacionada con .

3a !unción decrece a 9.H9I veces su m5imo en

"

Función densidad de probabilidad

Función de distribución2

Esta integral no tiene solución cerrada conocida " debe

evaluarse por m/todos num/ricos o aproimaciones.


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Función distribucion de probabilidad

#aso normalizado

Para generalizar " !acilitar el c5lculo de la probabilidadcon la distribución Jormal es conveniente de!inir la

Di#'ri+,%i&! Normal E#'(!dar *ue se obtiene %aciendo

En la !unción densidad de la distribución

normal.

• Sea variable aleatoria continua con

$iene distribución Jormal Est5ndar si su !unción

densidad es2

Para calcular probabilidad con la distribución Jormal

Est5ndar se puede usar la de!inición de distribución

acumulada o !unción de distribución2

Función distribución Normal Estándar

Sea variable con distribución Jormal Est5ndar con

3a variable aleatoria

E-em)lo:Supongamos *ue una variable aleatoria gaussiana para la

*ue " K %allar la probabilidad del suceso

.

A partir de la tabla de distribución normal est5ndar2

.

2.2. DISTRIBUCIÓN DE ERLAN0.Se utiliza la distribución Erlang para describir el tiempo

de espera %asta el suceso n-mero r en un proceso de

Poisson.

3a variable aleatoria *ue es igual a la longitud del

intervalo %asta *ue suceden r ocurrencias en un proceso

de Poisson con media tiene una distribución

Erlang con par5metros

L

Función densidad de probabilidad


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3a !unción densidad de probabilidad es2

F,!%i&! a%,m,la'i$a


Valor medio:

Varia!"a:


E-em)lo:3as !allas de las unidades de procesamiento central(#PU) de los sistemas de computadores grandes se

modelan con !recuencia con un proceso de Poisson. Por

lo general las !allas no son causadas por desgaste sino

por otros !actores.

Suponga *ue las unidades *ue !allan se reparan de

inmediato " *ue el n-mero promedio de !allas por %ora

es de 9.999>. Sea *ue + denote el tiempo %asta *ue

ocurran L !allas en un sistema. Determinar la

probabilidad de *ue + eceda L9999 %oras2Sol,%i&!:

2.2. DISTRIBUCIÓN RELEI03.

3as !unciones de densidad " distribución de Re"leig%

son2

Para las constantes reales

Valor medio:

Sustitu"endo

@


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#omo

Siguiendo el proceso anterior2

Varia!"a:


E-em)lo:Suponga *ue el tiempo de vida de un animal de

laboratorio est5 de!inido por una !unción de densidad de

Ra"leig% con aM9 " bM9 semanas para las epresiones

densidad " distribución. Si por algunas razones clnicasse sabe *ue el animal vivir5 como máximo 9 semanas

B#u5l es la probabilidad de *ue viva >9 semanas o

menosC

Sol,%i&!:

2.2.4 DISTRIBUCIÓN DE CAUC3.

Función densidad de probabilidad. La línea verde es ladistribución estándar de Cauchy

H


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Se trata de un modelo continuo cu"a !unción de

densidad es2

#u"a integral nos proporciona la !unción de

distribución2

Se trata de un e,emplo de variable aleatoria *ue carece

de esperanza (" por tanto tambi/n de varianza ocual*uier otro momento) "a *ue la integral impropia

correspondiente no es convergente.

G nos *ueda una indeterminación. Por tanto laesperanza de una distribución de #auc%" no eiste.

#abe se4alar *ue la !unción de densidad es sim/trica

respecto al valor cero (*ue sera la mediana " la moda)

pero al no eistir la integral anterior la esperanza no

eiste.

2.2.5 DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE.

Se dice *ue una variable aleatoria + sigue una

distribución de 3aplace de par5metros si

su !unción de densidad es2

3a !unción generatriz de momentos de esta distribución

tiene la epresión.

De donde se deduce *ue2

Valor medio:

Varia!"a:


2.2.6 DISTRIBUCIÓN DE RICE.

3a distribución de Ja7agamiNRice se deduce tambi/n de

la distribución gaussiana " generaliza la distribución de

Ra"leig%. Dada una distribución gaussiana

bidimensional con dos variables independientes x e y con

la misma desviación tpica la longitud de un vector *ue

une un punto de la distribución con un punto !i,odi!erente del centro de la distribución tiene unadistribución de Ja7agamiNRice. Por consiguiente esta

distribución puede considerarse tambi/n como la

distribución de la longitud de un vector *ue sera la suma

de un vector !i,o " de un vector cu"a longitud tiene una

distribución de Ra"leig%.

Si se designa por a la longitud del vector !i,o " la

longitud m5s probable del vector de Ra"leig% la

densidad de probabilidad vendr5 dada por

Donde es la !unción de ?essel modi!icada de primera

especie " de orden cero.

Esta distribución depende de dos par5metros pero para

las aplicaciones a los problemas de propagación se

deber5 elegir una relación entre la amplitud a del vector

!i,o " la amplitud cuadr5tica media del vector

aleatorio.

I

Función distribución de probabilidad.


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9/11


+−

−− n z X

n

z X σ σ

α α

D>

D>

)

Varia!"a

Se puede demostrar !5cilmente con el uso de la !unción

generatriz e momentos " de la relación de la c%iN

cuadrado con la distribución Oamma *ue la media deuna distribución c%iNcuadrado de n grados de libertad

vale n " su varianza n.

K E X n Var X n( ) ( )= =

E6EP3 grados de libertad.

b) Para @@ grados de libertad.S indica *ue la tasa de !allos decrece

con el tiempo.

• #uando k M> la tasa de !allos es constante en el

tiempo.

• Un valor k V> indica *ue la tasa de !allos crece

con el tiempo.

Valor Medio

De#$ia%i&! E#'(!dar

Varia!"a

Función de densidad de probabilidad

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https://es.wikipedia.org/wiki/Waloddi_Weibullhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull#CITAREFFr.C3.A9chet1927https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull#CITAREFRosinRammler1933https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_de_formahttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_de_escalahttps://es.wikipedia.org/wiki/Waloddi_Weibullhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull#CITAREFFr.C3.A9chet1927https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull#CITAREFRosinRammler1933https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_de_formahttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_de_escala


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E-er%i%io

$enemos un con,unto de componentes *ue !allan en elsiguiente n-mero de %oras2 9.K9.@K 9.K >K >.K >.K

>.@LK >.IHK .@ " . A partir de estos valores calcule la

probabilidad de *ue un componente de las mismascaractersticas dure mas de @ %oras2

Para resolver este problema se ad,untan los valores de

3n(ti) "a *ue los necesitaremos para calcular los par5metros con el m/todo analtico implcito.

Si aplicamos las !ormulas del m/todo implcito para el

c5lculo de los par5metros se obtiene2

Por lo *ue los par5metros ser5n2

Entonces

CONCLUSIONES.

• Una distribución de probabilidades para una variable

discreta es un listado mutuamente eclu"ente de

todos los resultados num/ricos posibles para esa

variable aleatoria El valor esperado de una variable

aleatoria discreta es un promedio ponderado de

todos los posibles resultados

• 3a variable aleatoria + es una !unción *ue asocia unn-mero a cada espacio de la muestra *ue obtenemos.

• En cual*uier eperimento aleatorio cu"os sucesos

posibles pueden identi!icarse !5cilmente mediante un

n-mero real ir5n ubicados en un variable.

• Podemos de!inirla como variable estoc5stica "a *ue

toma di!erentes valores.

• En general una variable aleatoria discreta +

representa los resultados de un espacio muestral. De

esta !orma al considerar los valores de una variable

aleatoria es posible desarrollar una

!unción matem5tica .

BIBLIOGRAFIA

• J. L.Devore, «Varialbes aleatorias Disccretas ycontunuas,» de Probabilidad y estadístca para ingenieriay ciencias., International Thomson Editores., 200, !!. "#$20%.

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