Funciones lineales y

cuadráticasMATE 3171 Presentación #8

Funciones LinealesCon Aplicaciones

Notación Funcional

𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃

• Una función lineal se representa:

• Si un punto (h,k) satisface la ecuación y = mx + b, entonces • f(h) = k (f evaluada en h es k.)• f(x) = k cuando x = h.

• Para f(x) = mx + b, f(0) es el intercepto en y y el valor de x cuando f(x) = 0 es el intercepto en x.

• Si f(x) = c, para todo valor en el dominio de f , entonces f es una función constante.

Ejemplo

Determinar la función lineal que satisface las siguientes condiciones:

(a) f(-7) = 1 y f(3) = -4 Solución:

Ejemplo• Dada la gráfica de una ecuación lineal,

determine la ecuación que representa la

función.

Parear cada ecuación de las funciones

lineales con una de las rectas en la figura.

AplicacionesMarco tiene 200 canciones en su colección de

música actualmente Cada mes, le añade 15

canciones nuevas.

• Escribe una fórmula para el número de

canciones como función lineal del tiempo.

• ¿Cuántas canciones tendrá en un año?

Un negocio de ropa de hombre encuentra que existe

una relación lineal entre el número de camisas, n, que

se venden y el precio, p, que se puede cobrar por

camisa.

• En particular, los datos históricos muestran que

1,000 camisas se pueden vender a $ 30, mientras

que 3,000 camisas se venderían a $ 22.

• Encuentre una ecuación lineal en la forma

pendiente-intercepto que da el precio que pueden

cobrar por n camisas.

Funciones cuadráticasMATE 3171

Funciones cuadráticas• Una función , f , es una función cuadrática si

f(x) = ax2 + bx + c ,

• a , b , y c se llaman coeficientes.

o a es el coeficiente principal

o b es el coeficiente de término lineal

o c es el coeficiente constante

Funciones cuadráticas• Para una función función cuadrática ,

f(x) = ax2 + bx + c ,

• su gráfica tiene forma de parábola con

intercepto en y en (0, c) .

• Si b = 0 y c ≠ 0 , entonces f(x) = ax2 + c y tiene

dos términos.

• Si b = 0 y c = 0 , entonces f(x) = ax y tiene un

término.

o Su gráfica es una parábola con intercepto en

y en (0, 0) .

Características generales• La gráfica tiene la forma de U, o U invertida llamada

parábola.

• Su dominio es el conjunto de los Reales.

• No son monotónicas. Cambian de creciente a decreciente o de decreciente a creciente una vezen su dominio.

• El punto donde cambian de creciente a decreciente (o viceversa) se llama el vértice.

• El vértice también es el valor máximo o mínimo de la función

• Tienen un intercepto en y; (0, c) .

• Tiene a lo más 2 interceptos en x; f(x) = 0

Ejemplo• Trazar la gráfica de g(x) = - ½ x2 + 4

• f(0) =

• f(1)=

• f(2)=

• f(3)=

• f(0) = 4

• f(1)= 3½

• f(2)= 2

• f(3)= - ½

Por simetría con respecto a y tenemos además que:f(-1) = 4, f(-2) = 2, f(-3) = - ½

Ejemplo• Trazar la gráfica de f(x) = - ½ x2 + 4

• f(0) =

• f(1)=

• f(2)=

• f(3)=

• f(0) = 4

• f(1)= 3½

• f(2)= 2

• f(3)= - ½

• vértice: (0,4)

• intercepto en y: (0,4)

• interceptos en x:

- ½ x2 + 4 = 0

𝑥 = ± 8

el valor máximo

Forma Estándar• La forma general de una ecuación cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c ,

• La forma estándar de una ecuación cuadrática

f(x) = a(x – h)2 + k .

• La forma estándar nos permite ver dos

características útiles de la gráfica de f :

o (h,k) es el vértice de la gráfica

o a es coeficiente principal: a >0 gráfica abre

hacia arriba (U); si a<0 la gráfica abre hacia

abajo

La forma estándar (cont)

• Si a > 0 , entonces el punto (h, k) es el

punto más bajo en la parábola, y la función f

tiene su valor mínimo en f(h) = k .

• Si a < 0 , entonces el punto (h, k) es el

punto más alto en la parábola, y la función f

tiene su valor máximo en f(h) = k .

Teorema para hallar el vértice

El vértice de la gráfica de una función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c,

tiene coordenada de x igual a

𝑥 = −𝑏

2𝑎

y coordenada de y igual a

y= 𝑓(−𝑏

2𝑎)

Ejemplo

Para f(x) = 2x2 + 10x - 12

Determinar el vértice y los interceptos. Luego,

grafique la función. Escriba la forma estándar

de f.

Ejemplo• Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 determinar

o si la gráfica de f abre hacia arriba () o

hacia abajo ()

o el intercepto en y

o el (los) intercepto(s) en x

o la forma estándar de f

o el vértice

o el máximo o mínimo de f

Ejemplo (cont)

Dominio y campo de valores

para funciones cuadráticas

1. El dominio de cualquier función

cuadrática es “Todos los números

reales.”

2. Si la parábola tiene un mínimo, el

campo de valores está dado por [k, ∞).

3. Si la parábola tiene un máximo, el

campo de valores es (−∞, k].

EjemploDeterminar el dominio y el campo de valores de

f(x) = 2x2 – 6x + 4.

Solución:

Ejemplo• Hallar la ecuación (en forma estándar) de

una función cuadrática que tiene vértice

V(2, 3) y que pasa por (5, 1) .

• Usando la ecuación estándar con h = 2 y

k = 3 tenemos

f(x) = a(x – 2)2 + 3 .

Aplicaciones:Ejemplo 1: Un objeto se lanza verticalmente hacia

arriba con una velocidad inicial de v0 pies por

segundo. La distancia s(t) en pies sobre el suelo

después de t segundos de lanzado el objeto está dada

por

s(t)= -16t 2 + v0t

(a) Si el objeto cae al suelo después de 12 segundos de lanzado, determine la velocidad incial v0.

(b) Determine la distancia máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.

FIN