Funciones hiperbolicas inversas.

a) Argumento seno hiperbolico.

y = arg shx =⇒ x = senh y = ey − e−y

2 =⇒ 2x = ey − e−y.

Multiplicando por ey, 2xey = e2y − 1 =⇒ e2y − 2xey − 1 = 0,

de donde ey = x±√x2 + 1, es decir

y = ln(x +

√x2 + 1

), x ∈ (−∞,∞)

Nota 1: La funcion no existe para el signo − delante de la raız.

b) Argumento coseno hiperbolico.

y = arg chx =⇒ x = cosh y = ey + e−y

2 =⇒ 2x = ey + e−y.

Multiplicando por ey, 2xey = e2y + 1 =⇒ e2y − 2xey + 1 = 0,

de donde ey = x±√x2 − 1, es decir

y = ln(x +

√x2 − 1

), x ∈ [1,∞)

Nota 2: El logaritmo existe para ambos signos, si x ∈ [1,∞). Pero tomamosuno solo (el positivo) por tratarse de una funcion.

c) Argumento tangente hiperbolica.

y = arg thx =⇒ x = tanh y = ey − e−y

ey + e−y = e2y − 1e2y + 1

.

Entonces x (e2y + 1) = e2y − 1 =⇒ e2y = 1 + x1− x , es decir

y =1

2ln

(1 + x

1− x

)= ln

√1 + x

1− x, x ∈ (−1, 1)

Ejercicio: Razonense los campos de existencia indicados.

d) Derivadas de las funciones hiperbolicas inversas.

(arg shx)′ =[ln

(x +

√x2 + 1

)]′=

(x +

√x2 + 1

)′

x +√

x2 + 1= 1√

x2 + 1.

(arg chx)′ =[ln

(x +

√x2 − 1

)]′=

(x +

√x2 − 1

)′

x +√

x2 − 1= 1√

x2 − 1.

(arg thx)′ = 12

[ln

(1 + x1− x

)]′= 1

2

(1 + x1− x

)′:(

1 + x1− x

)= 1

1− x2 .