Funciones exponenciales y logaritmicas*

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Temas Funciones Exponenciales

Funciones logartmicas

Leyes de los logartmos

Ecuaciones exponenciales y logartmicas

Examen *

Funciones Exponenciales

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Esquema del captuloSe estudia una nueva forma de funciones llamadas funciones exponenciales.

Las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos.

*

Ejemplos:*Es una funcin exponencial con base 2.Veamos con la rapidez que crece:

Funciones ExponencialesLa funcin exponencial con base a se define para todos los nmeros reales x por:

*Ejemplos de funciones exponenciales: Base 2Base 3Base 10

Ejemplo 1:Evaluacin de funciones exponenciales*

Ejemplo estructural *

Funcin Exponencial Natural*La funcin exponencial natural es la funcin exponencialcon base e. Es comn referirse a ella como la funcin exponencial.

Ejemplo:Evaluar la funcin exponencial*Evale cada expresin correcta hasta cinco decimales.

Solucin:

Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminacin de un virus*Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequea con 10,000 habitantes. Despus de t das, el nmero de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la funcin:Contesta:Cuntas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)

b) Calcule el nmero de personas infectadas despues de un da y depus de cinco das.

c) Grafique la funcin y describa el comportamiento.

Solucin:Ejemplo anterior*Cuntas personas infectadas hay por el virus (t = 0).8 personas tienen inicialmente la enfermedad.Calcule el nmero de personas infectadas despus de un da y cinco das. (t = 1, t = 2, t = 5)

DasPersonas infectadas1212545678

Solucin:Ejemplo anterior (cont)*c) Grafique la funcin y describa el comportamiento. El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

Interes compuestos*El inters compuesto se calcula mediante la frmuladonde:A(t) = cantidad despus de t aos

P = principal

r = tasa de inters por ao

n = nmero de veces que el inters se compone por ao

t = nmero de aos

EjemploClculo del inters compuesto*Una suma de $1000 se invierte a una tasa de inters de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta despus de tres aos si el inters se compone anualmente, cada medio ao, por trimestre, mensualmente o diario.Solucin:DatosP = 1000

r = 12% = 0.12

t = 3

EjemploClculo del inters compuesto*

CapitalizacinnCantidad despus de tres aosAnual1

Semianual2

Trimestral 4

Mensual12

Diaria 365

Inters compuesto en forma continuaEl inters compuesto en forma continua se calcula mediante la frmula

donde A(t) = cantidad despus de t aosP = principalr = tasa de inters por aot = nmero de aos*

EjemploCalcular el inters compuesto de manera continuaCalcule la cantidad despus de tres aos si se invierten $1000 a una tasa de inters de 12% por ao, capitalizado de forma continua.Solucin: Datos: P = 1000r = 0.12t = 3

*Se puede comparar con el ejemplo anterior.

Funciones Logartmicas

*

Definicin de la funcin logartmicaSea a un nmero positivo con . La funcin logartmica con base a, denotada por , se define

As, es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.*

Comparacin*Comparemos la forma Exponencial y la forma LogartmicaEn ambas formas la base es la misma.

EjemploFormas logartmicas y exponenciales*

Forma LogartmicaForma Exponencial

Evaluacin de logartmos*

Propiedad de los logartmos copywriter*

PropiedadRazn

Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.

Se debe elevar a a la potencia x para obtener .

es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.

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EjemploAplicacin de las propiedades logartmicas*Propiedad 1Propiedad 2Propiedad 3Propiedad 4

EjemploGraficacin de funciones logartmicas*Traza la grfica de

Solucin:Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.

x3210-1-2-3

Familia de Funciones Logartmicas*

Logartmos ComunesVeamos logartmos con base 10*Definicin:

Logartmo comnEl logartmo con base 10 se llama logartmo comn y se denota omitiendo la base:

*De la definicin de logartmo se puede encontrar faclmente que:

log 10 = 1

log 100 = 2Cmo se calcula log 50?No tenemos un nmero tal que , 1 es pequo y 2 es demasiado grande.Las calculadoras cientficas tienen una tecla equipada que da los valores de manera directa de los logaritmos comunes.

EjemploEvaluacin de logartmos comunes*Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una grfica.-2

-1

-0.30

0

0.602

0.699

1

xLog x0.01

0.1

0.5

1

4

5

10

copywriter*Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.ln x es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x.

Propiedades de los logartmos naturalesPropiedad Razn

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EjemploElevar la funcin logaritmo natural copywriter*

Definicin de logartmo naturalDefinicin de logartmo natural

Uso de la calculadora

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*Funciones Logartmicas

Leyes de los logartmos*En esta seccin se estudian las propiedades de los logartmos. Estas propiedades dan a las funciones logartmos una amplia variedad de aplicaciones.

Ya que los logartmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logartmos.

Leyes de los logartmos*

Leyes de los logartmosSea a un nmero positivo, con . Sea A, B y C nmeros reales cualesquiera con .

Ley Descripcin

EjemploUso de las leyes de los logartmos para evaluar expresiones*Evale cada expresin:

EjemploUso de las leyes de los logartmos para evaluar expresiones*

EjemploUso de las leyes de los logartmos para evaluar expresiones*

EjemploUso de las leyes de los logartmos para evaluar expresiones*

EjemploExpandir expresiones logartmicas*Use las leyes de logartmos para expandir o desarrollar cada expresin.Ley 1

Ley 1

Ley 3

Ley 2

Ley 1

Ley 3

EjemploCombinar expresiones logartmicas*Combinar en un solo logartmo, la siguiente expresin:

Cambio de baseSea: Entonces se forma de manera exponencial:

Se toma el logartmo base a en cada lado:

Ley 3 de logartmo:Se divide entre ambos logartmos:

*

Frmula de cambio de base*

Frmula de cambio de baseEvaluar logartmos con la frmula de cambio de base*Se usa la frmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:Se usa la frmula de cambio de base con b = 9 y a = e:

Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas

*

Ecuaciones exponenciales y logartmicasUna ecuacin exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente.

Por ejemplo:

La variable x representa una dificultad por que esta en el exponente. Para tomar este caso se toma el logartmo en cada lado y luego se usan las reglas de los logartmos.Veamos:*

Ecuaciones exponenciales y logartmicas*Recuerde la regla 3

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Normas para resolver ecuaciones exponencialesAsle la expresin exponencial en un lado de la ecuacin.Tome el logartmo de cada lado, luego utilice las leyes de los logartmos para bajar el exponente.Despeje la variable.

EjemploResolver una ecuacin exponencial*Encuentre la solucin de:

Solucin:

EjemploResolucin de una ecuacin exponencial*

Ojo:El, ln e = 1

*EjemploResolver una ecuacin exponencial en forma algebraica y haz la grficaResuelva la ecuacin:Algebraicamente

Solucin (1):

*EjemploResolver una ecuacin exponencial en forma algebraica y haz la grficaResuelva la ecuacin:

Solucin (2): Se grfican las ecuaciones, y

*EjemploUna ecuacin exponencial de tipo cuadrticoResuelva la ecuacin:

Solucin:o

*EjemploResolver una ecuacin exponencialResuelva la ecuacin:

Solucin: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuacin.Las soluciones son:

*Ecuaciones LogartmicasUna ecuacin logartmica es aquella en la ocurre un logartmo de la variable.Para despejar x, se escribe la ecuacin en forma exponencial.Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada la de ecuacin.Los pasos se resumen a continuacin.

*

Normas para resolver ecuaciones logartmicasAsle el trmino logartmico en un lado de la ecuacin; podra ser necesario combinar primero los trminos logartmicos.Escriba la ecuacin en forma exponencial (o eleve la base a cada lado de la ecuacin).Despeje la variable.

*EjemploResolver ecuaciones logartmicasDe cada ecuacin despeje x.

*EjemploResolver una ecuacion logartmicaSolucin: Se asla primero el trmino logartmico. Esto permite escribir la ecuacin en forma exponencial.

*EjemploResolver una ecuacin logartmica de manera algebraica y grfica

*EjemploResolver una ecuacin logartmica de manera algebraica y grfica

*EjemploResolver una ecuacin de manera grficaSolucin: Primero se mueven todos los trminos a un lado de la ecuacin.Luego se hace la grfica:4

3

2

1

01 2 3 4 5 5 6 4 3 2 1

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