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Análisis Matemático I Ingeniería en Sistemas de Información 2013
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FUNCIONES EXPONENCIALES
La función exponencial
La función exponencial es de la forma , siendo a un número real positivo.
En la Fig. 1 se ve el trazado de la gráfica .
Se grafica a continuación (ver Fig. 2 y 3) el comportamiento de la función al variar el valor
de “a”. Se observa que la gráficas y de (
)
son simétricas respecto al
eje y.
El dominio son todos los reales y la imagen son los reales positivos
Es continua
Si a >1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente
Corta al eje y en (0,1)
El eje x es asíntota
La función es inyectiva
FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS
(0 ,1)
𝒇 𝒙 𝟐𝒙
Asíntota 𝒚 𝟎
(-2 ; 0,25) (-1 ; 0,5)
(1,2)
(2 ;4)
(3 ;8)
x
y
Fig. 1
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En la Fig. 4 se puede ver como al multiplicar por una constante en el eje y es
(0,k).
En la Fig. 5 se observa que al sumar (o restar) una constante b, la gráfica se desplaza hacia
arriba (o hacia abajo) b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser
4 2 2 4
2
2
4
6
8
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
Asíntota 𝒚 𝟎
𝑦 3 𝑥
𝑦 0, 𝑥
(0,1)
Asíntota 𝒚 𝟎 Asíntota 𝒚 𝟎
(0,1)
𝑦 3𝑥
𝑦 1, 𝑥
𝑦 0, 𝑥
𝑦
3 𝑥
x x
y y
𝑦 1
3 𝑥
Fig. 2 Fig. 3
Fig. 4
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Crecimiento exponencial
La función exponencial se presenta en una gran variedad de fenómenos de crecimiento
animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable independiente es el tiempo.
En el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por
una cantidad constante a.
Donde k es el valor inicial (para 0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el
que se multiplica en cada unidad de tiempo.
Si 1 se trata de un decrecimiento exponencial.
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día,
¿cuál es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr.?
2 4 6 8
2
4
6
8
10
12
14
Peso inicial: 3 gr.
Crecimiento: por 2
t (días) f(t)
0 3.1 = 3
1 3.2 = 6
2 3.4 = 12
3 3.8 = 24
4 3.16 = 48
y
t
(0 ,3)
(1, 6)
(2,12)
x
y
Asíntota 𝒚 𝟐
𝑦 𝑥
Fig. 5
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Aplicaciones
La función exponencial describe cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento
(o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al
comienzo del mismo. Por ejemplo:
Crecimiento de poblaciones
El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos
y defunciones.
Si inicialmente partimos de una población , que tiene un índice de crecimiento i
(considerando en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en
Desintegración radioactiva
Las sustancias se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia
residual a lo largo del tiempo viene dada por:
donde es la masa inicial, 1 es una constante que depende de la sustancia y de
la unidad de tiempo que tomemos
La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de
desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.
Funciones logarítmicas
La función de la exponencial
Dada una función inyectiva, , se llama función inversa de f a otra función, g, tal
que g(y)=x. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.
00 1,03 0
Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%, al cabo
de 8 años se tendrán:
0 0, 0 0,
0 0, ,3
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20
gr. y se toma como origen de tiempo dicho año
La función es:
En el año 2053 quedará:
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FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Dada una función inyectiva, , se llama función inversa de f a otra función, g, tal
que . En la Fig. 6 se puede ver la función exponencial y su inversa la función
logaritmo.
Para cada x se obtiene . Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la
exponencial es la que cumple que g(y)=x.
Esta función se llama función logarítmica y, como se puede observar, es simétrica de la
función exponencial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
La función logarítmica
Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera:
, con a > 0 y 1
El dominio son los reales positivos y la imagen son todos los reales
Es continua
Si a >1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente
Intersección eje x en (1,0)
El eje y es asíntota
La función es inyectiva
𝒇 𝒙 𝟐𝒙
𝒈 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
x
y
(0,1)
(1,0)
𝑓⟶⟵𝑔
4
Fig. 6
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En la Fig. 7 se representa la gráfica de de forma similar a como se hizo la
función exponencial.
Fig. 7
En las Fig. 8 y 9 se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a.
En las Fig. 10 y 11 se puede ver cómo al multiplicar por una constante
cambia la rapidez con que la función crece (k>0) o decrece (k<0).
Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b
unidades, cambiando el punto de corte con el eje de las abcisas.
2 2 4 6 8
4
2
2
4
2 2 4 6 8
4
2
2
4
x
y
𝒙 𝟎 asíntota
(0,25;-2)
(0,5;-1)
(1;0) (2;1)
(4;2)
(8;3)
𝒇 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
𝒚 𝒍𝒐𝒈𝟏,𝟓𝒙
𝒚 𝒍𝒐𝒈𝟑𝒙
𝒚 𝒍𝒐𝒈𝟒𝒙
𝒚 𝒍𝒐𝒈,𝟐𝟑𝒙
𝒚 𝒍𝒐𝒈,𝟏𝟑𝒙
𝒚 𝒍𝒐𝒈,𝟏𝟐𝒙
x x
y y asíntota asíntota
Fig. 7
Fig. 8 Fig. 9
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Los logaritmos
Dados dos números reales positivos, a y b ( ), llamamos logaritmo en base a de b al
número al que hay que elevar a para obtener b.
La definición anterior indica que:
equivale a
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo del producto:
Logaritmo del cociente: (
)
Logaritmo de una potencia:
En cualquier base: ya que 1
ya que
2 2 4 6 8
4
2
2
4
2 2 4 6 8
2
2
4
Sean:
=
asíntota
asíntota
x
y
asíntota
x
y
,
Fig. 10 Fig. 11
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Las bases más utilizadas son:
10, es el logaritmo decimal
, es el logaritmo natural
Cambio de base
Cuando se quieren calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la fórmula del
cambio de base:
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Ejercicios resueltos
1. Representa y estudia las funciones
a) 4
b) 3 1
2. Indica si el gráfico corresponde a una función con crecimiento exponencial o con
decrecimiento. Escribe la función
Dominio=R
Imagen= 0, ∞]
Asíntota: y=0
Intersección eje y: (0,4)
f es Creciente
Asíntota y=0
(0 ,4)
x
y
Dominio=R
Imagen = 1, ∞]
Asíntota: y=1
Intersección eje y: (0,3)
f es decreciente
Asíntota y=1
(0 ,3)
x
y
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3. Representa y estudia las funciones
a)
b) 1
0 3
1 3
1 1, 3
Observa la gráfica
La función es: 3
f es creciente
(0 ,3)
x
y
(0 ,1)
x
y
a) b)
0 1
1 3
3
Observa la gráfica
La función es: (
)
3
f es decreciente
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a)
b)
4. Calcula x en cada caso aplicando la definición de logaritmo:
(
) 1
b)
4
c) 1 3 1
d)
1 0 (
)
1
Dominio= 0, ∞
Imagen =R
Asíntota: x=0
Intersección eje x: (1,0)
f es creciente
y
x
Dominio= 0, ∞
Imagen =R
Asíntota: x=0
Intersección eje x: (
, 0)
f es creciente
y
x
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5. Resuelve las ecuaciones exponenciales:
a) 3 1
b)
c) 4
d) 1
e) 1
6. Calcula el valor de x:
a)
b)
c) ,13 4,
Cuando la x está en el exponente
Resuelve la ecuación: 1
y 1 , entonces
Igualando los exponentes 3 3
Calcula x en 3 14
Tomando logaritmos: 3 14
3 14 luego
,40 1
4 4 100
400 400 400
0
Ecuaciones con logaritmos
Resuelve la ecuación: 4 4
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7. Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones:
a) 3 4 0
b) 1
c)
d)
3