Funciones en 2 y 3 Variables

FUNCIONES EN 2 O 3 VARIABLES

CÁLCULO DIFERENCIAL

el gradiente es normal a las curvas de nivel plano tangente y recta normal

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

INDICE

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES_______________________2

FUNCIONES DE 2 VARIABLES__________________________________________3

Gráfica de funciones de 2 variables_____________________________________________4

Límites y Continuidad________________________________________________________5

Derivadas parciales_________________________________________________________9

Diferencial total____________________________________________________________11

Regla de la cadena________________________________________________________12

Derivación parcial implícita__________________________________________________15

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE________________________________16

Derivada direccional________________________________________________________16

Gradiente________________________________________________________________16

Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables____________________17

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE________________18

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES_________________________19

Puntos críticos____________________________________________________________19

Criterio de las segundas derivadas parciales____________________________________19

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables________________________20

Multiplicadores de Lagrange_________________________________________________22


2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En los cursos anteriores de Cálculo, hemos trabajado exclusivamente con funciones de una variable, de la forma , con una variable dependiente y (la salida o resultado de la función) y una variable independiente x (los valores de entrada). Incluso, hemos definido funciones como que, aunque su resultado sea un vector en el espacio, dependen de una sola variable t.

En la vida real existen muchas más problemas que dependen de su solución de dos o más variables. Por ejemplo, la presión que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de la cantidad y temperatura del fluido y del volumen del recipiente. La fuerza de atracción de dos cuerpos en el espacio depende de la masa de cada uno de ellos y de la distancia entre ambos. El rendimiento real de una inversión depende del tipo y la tasa de interés, del capital inicial, del plazo, incluso del porcentaje de inflación y de la fluctuación de la moneda en la que esté hecha la inversión.

Supongamos que queremos calcular el volumen de un recipiente en forma de cilindro circular recto. Por nuestros cursos de geometría sabemos que el volumen es igual al producto del área de la base y de la altura, esto es

Conocemos la forma del recipiente mas no sus medidas, puede ser que la base sea grande y tenga poca altura (como un estuche para discos) o de base pequeña y gran altura (como para guardar spaghetti) o cualquier combinación de medidas. Por lo pronto tenemos tres incógnitas, el volumen, el área de la base y

la altura. Para la base, un círculo, el área depende del radio , y si

consideramos una variable h para la altura y otra variable V para el volumen, tenemos que


3

La variable V depende de los valores que tengan r y h ( es constante). En otra palabras, el valor de V está en función de los valores de r y h

V es la variable dependiente mientras que r y h son independientes.

La letra f representa la función o regla de correspondencia de la varia-ble dependiente con respecto a las variables independientes, la expresión es la representación algebraica de la función. Podemos construir una tabla de valores o dibujar una gráfica para visualizar la función.

Valtura h

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

r

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.5 0.0 0.39 0.79 1.18 1.57 1.96 2.361.0 0.0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.421.5 0.0 3.53 7.07 10.60 14.14 17.67 21.212.0 0.0 6.28 12.57 18.85 25.13 31.42 37.702.5 0.0 9.82 19.63 29.45 39.27 49.09 58.903.0 0.0 14.14 28.27 42.41 56.55 70.69 84.82

Tabla de valores y gráfica de V =f(h,r) = r2h

FUNCIONES DE 2 VARIABLES

Definición:

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales (x,y). Si a cada par en D le correponde un único número real entonces f es una función de dos variables x e y. Al conjunto D se le denomina el dominio de f mientras que el conjunto de valores es el recorrido de f.

Por lo que podemos en la definición, f es una regla que relaciona las variables independientes x e y con una variable dependiente, por ejemplo, z. El dominio D de f, es el conjunto de todos los pares ordenados que hacen que tenga sentido dicha regla ( una región en el plano xy ). El recorrido es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente una vez aplicada la regla f a los puntos en D.

Como ejemplo, tomemos la función


4

,

el dominio de f son todos los puntos del plano xy que cumplan con la condición .

El dominio entonces, es el conjunto de todos los puntos de la elipse ó

de su interior. Dominio de f

El recorrido de f es el conjunto de los valores en el intervalo .

La gráfica de la función son todos los puntos de la superficie

en el espacio , sobre el plano

xy. ( para z de 0 a 4 )

elipsoide

Gráfica de funciones de 2 variables

La gráfica de la función de dos variables son todos los puntos

de una superficie en el espacio donde .

Para esbozar la superficie nos es útil conocer el domino y el recorrido de la función, dibujar las trazas de la superficie en los planos coordenados (si existen) y algunas curvas de nivel o líneas de contorno.

Tomando el ejemplo anterior , el dominio de f son

todos los puntos de la elipse y dentro de ella. El recorrido son los valores

para z entre cero y cuatro. Las trazas en los planos coordenados:

Plano ecuacion traza

elipse

elipse

semicírculo


5

Las curvas de nivel

, etc.

Tambien podemos encontrar las coordenadas de algunos de los puntos de la superficie por medio de una tabla.

f(x,y) y

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0NA -2.0 NA 1.732 2.828 3.317 3.464 3.317 2.828 1.732

-1.5 NA 2.179 3.122 3.571 3.708 3.571 3.122 2.179 NA

-1.0 NA 2.449 3.317 3.742 3.873 3.742 3.317 2.449 NA

-0.5 NA 2.598 3.428 3.841 3.969 3.841 3.428 2.598 NA

x 0.0 0 2.646 3.464 3.873 4.000 3.873 3.464 2.646 0

0.5 NA 2.598 3.428 3.841 3.969 3.841 3.428 2.598 NA

1.0 NA 2.449 3.317 3.742 3.873 3.742 3.317 2.449 NA

1.5 NA 2.179 3.122 3.571 3.708 3.571 3.122 2.179 NA

2.0 NA 1.732 2.828 3.317 3.464 3.317 2.828 1.732 NA

Tabla de valores y gráfica de

En la tabla podemos observar que el máximo valor de la función se

obtiene cuendo ambos x e y valen cero. . Esto lo comprobamos

viendo la gráfica. En los cuadros donde aparece la leyenda NA la función no

tiene ningún valor, esos puntos no pertenecen al dominio de f.

Límites y Continuidad

Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado

en , excepto quizás en el punto , y sea L un número real.

Entonces la función tiene un límite L en el punto , escrito


6

-1 -0.5 0 0.5 1

-2

-1

0

1

2

,

si la diferencia es tan pequeña como se quiera siempre que la

distancia entre el punto y el punto sea suficientemente pequeña,

pero no cero.

Ejemplo 1: Encuentre los siguientes limites

y

Solución:

Al igual que los limites en las funciones de una variable, el primer paso es sustituir las variables por los valores a los que tienden y evaluar. Si no queda ninguna inconsitencia o indefinicion, el limite existe y es igual al valor obtenido.

y

Ambos limites existen

Ejemplo 2: Sean las funciones y

Ambas funciones están definidas para todos los puntos del plano xy, excepto

para el . Calcule, si es que existe, el límite de cada función cuando

.

Solución:

El limite de la funcion cuando

Sustituyendo:

lo cual no nos dice mucho (resulta una indeterminación).

Tendremos que “acercarnos” al tomando algun camino en el plano xy. Por

ejemplo, nos acercaremos sobre el eje x ( haciendo que y que )


7

ahora, nos acercamos sobre el eje y ( haciendo que y que )

Existen solo esos dos caminos? Claro que no, cualquier recta en el plano que pase por el origen es un camino, o sea una recta con ecuación .

para cualquier m

Esto nos indica que, al acercarnos al por todos

lados, la función tiende a cero. Por lo tanto, el límite existe y es

3 caminos para acercarnos al (0,0)

Vista superior y curvas de nivel de la superficie

2

2 2,

x yf x y

x y

Ahora tratemos de calcular el limite de cuando

Sustituyendo:

(una indeterminación).

acercándonos sobre el eje x ( y )


8

y

xPor la recta x

Por la recta y

por la recta y=x

ahora sobre el eje y ( y )

Parece ser similar a la función anterior. Tomemos ahora la recta .

Ya no resultó cero como en los límites anteriores.

Si los caminos para acercarse al origen son las rectas ó entonces el límite quedaría:

ó

Al principio, cuando nos acercamos al origen por los ejes coordenados parece que el limite si existe y que tiende a cero. Pero cuando tomamos otros caminos dentro del disco R nos damos cuenta que los valores del límite varían en el

intervalo Esto claramente nos indica que no existe.

Vista superior e inferior y curvas de nivel de la superficie

Continuidad en una función de dos variables

Una funcion de dos variables es continua en un punto de una

región abierta R del dominio de f, si existe el limite de f cuando tiende a

y, además, el límite es igual a . O sea que


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y es continua en una región abierta R si f es continua en cada uno de los puntos de esa región.

Continuidad en una función de tres variables

Una funcion de tres variables es continua en un punto de

una región abierta R del dominio de f, si existe el limite de f cuando tiende a

y, además, el límite es igual a . O sea que

y es continua en una región abierta R si f es continua en cada uno de los puntos de esa región.

Si f y g son funciones de dos variables continuas en y entonces

(múltiplo escalar), (suma/resta), (producto) y

(cociente) son funciones continuas en . Las mismas reglas aplican para

funciones de tres variables continuas en el punto .

Derivadas parciales

En la vida real, muchas cantidades son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, la presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene dependen de la temperatura del gas y del tamaño del recipiente.

Sabemos, por los cursos de Física, que la presión dentro del recipiente crece si aumentamos la temperatura del gas y disminuye si incrementamos el tamaño del recipiente.

Ley de Gay Lussac: La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura:•Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión.•Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión.

La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante

Ley de Charles: El volumen es directamente proporcional a la temperatura del gas


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•Si la temperatura aumenta, el volumen del gas aumenta.•Si la temperatura del gas disminuye, el volumen disminuye.

Podemos, incluso, determinar el efecto que ejerce el cambio de alguna de las variables independientes manteniendo fijas las otras variables que intervienen en la función. Esto lo logramos mediante un procedimiento denominado derivación parcial.


11

Derivadas parciales de una función de dos variables

Sea una función de las variables x e y continua en el punto

1. Si incrementamos x de a mientras mantenemos fija y en , la

razón de cambio de f con respecto a x es: .

Haciendo tan pequeño como sea posible tendremos la derivada

parcial de f con respecto a x en cualquier punto de su dominio

2. Si incrementamos y de a mientras mantenemos fija x en , la

razón de cambio de f con respecto a y es: .

Haciendo tan pequeño como sea posible tendremos la derivada

parcial de f con respecto a y en cualquier punto de su dominio

Ejemplo: Encuentre el valor de las derivadas parciales de la función

en el punto

Solución: Para derivar f con respecto a x, consideramos a y como una constante:

: en :

Para derivar f con respecto a y, consideramos a x como una constante:

: en :

La función intersectada por los planos y


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Diferencial total

En el curso de cálculo diferencial en funciones de una variable ,

se vió que cuando cambia de a entonces cambia de la forma siguiente

y la diferencial de queda como

En una función de dos variables , diferenciable en ,

cuando nos movemos a un punto cercano , el cambio en es

y la diferencial de queda como

cuando y son muy pequeños podemos considerar que y

lo cual nos permite tener una definición para la diferencial total

de :

Definición: Para una función diferenciable en , si nos

movemos de a un punto cercano, el cambio en se

conoce como la diferencial total de y está dado por

Ejemplo:

Se fabrica una lata de forma de un cilindro circular recto con las siguientes medidas: radio de la base cm y altura de la lata cm. Una vez realizado el corte se observó que las medidas tenían un error de y

. Estimar el cambio absoluto y el error relativo en el volumen de la lata.

Solución: Para calcular el volumen de la lata usamos . El

cambio absoluto en lo estimamos mediante

donde y


13

h=15 cm

r= 5 cm

Nota: es una estimación al cambio real que lo obtenemos mediante

El cambio total es el valor del error absoluto en el volúmen. (alrededor de 3 cm3). Pero, ¿qué representan esos 3 cm3 comparados con el volúmen de la lata? Si comparamos el error absoluto con el volumen esperado entonces tendremos el error relativo .

Error relativo

En funciones de tres variables direnciables en , la

diferencial total de es

Regla de la cadena

En una función de una variable con derivada , si es

diferenciable en entonces se convierte en una función de y su derivada queda como

En funciones de dos variables , la regla de la cadena tiene dos

formas. La primera es cuando las dos variables de son, a su vez, funciones de una misma variable independiente . y lo cual hace a una función de con derivada

Ejemplo:


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y x tdy/dx dx/dt

y x tdy/dx dx/dt

y

t

dz/dxdx/dt

x

z

dz/dy dy/dt

Sea , donde y . Calcule

Solución:

Las derivadas parciales de z son:

y ,

mientras que las derivadas de x e y con respecto a t quedan:

,

Por la regla de la cadena, la derivada de z con respecto a t:

sustituyendo x e y:

Tambien podemos primero sustituir y despues derivar:

La segunda forma de la regla de la cadena es cuando las variables intermedias son funciones de dos ( o mas ) variables independientes.

Sea , donde x e y son funciones de las variables independien-

tes s y . y . Las derivadas parciales de z con respecto a s y t, por la regla de la cadena, estan dadas por:


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y

Regla de la cadena: dos variables independientesy x t

dy/dx dx/dt

y

s

dz/dxdx/ds

x

z

dz/dy dy/ds

y x tdy/dx dx/dt

y

t

dz/dxdx/dt

x

z

dz/dy dy/dt

Ejemplo:

Hallar y mediante la regla de la cadena para , ,

y evaluarlas para .

Solucion:

Calculamos las derivadas parciales de z, x e y:

aplicando la regla de la cadena:

y

evaluamos para


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Otra manera de obtener las derivadas parciales es sustituyendo las variables intermedias x e y de z por sus equivalentes en s y t y derivar z.

,

para

,

Derivación parcial implícita

Una aplicación de la regla de la cadena es la de encontrar la derivada de una función dada en forma implícita.

Por ejemplo, sea la ecuación , existe una relación entre las variables que intervienen en ella. Esta relación nos indica en forma implícita que

, de manera que y es derivable con respecto a x tal que .

Consideremos la expresión como un caso particular de una

función de dos variables de la forma y aplicamos la regla de la

cadena para obtener :

de donde obtenemos

Para ,


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La derivada de y con respecto a x:

La derivada de x con respecto a y:

En una ecuación donde intervienen tres o más variables, cada una de las variables dependen de las demás de manera que podemos encontrar las derivadas parciales implícitas utilizando el mismo criterio. Por ejemplo, si tenemos una ecuación de las variables x, y y z como y queremos obtener las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

Primero pensamos en el caso paticular o sea

Las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

Derivada direccional

La derivada direccional de la función f en dirección del vector unitario es

Gradiente

Propiedades del gradiente

Sea f diferenciable en el punto .

1. Si , entonces para toda

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por . El valor

máximo de es .

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por . El

valor mínimo de es .


18

El gradiente es normal a las curvas de nivel

Si f es diferenciable en y , entonces es normal a la

curva de nivel de f que pasa por .

Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variablesSea f una función continua y derivable de las variables x, y y z, y sea un vector unitario .

La derivada direccional de f en dirección del vector unitario está dada por

El gradiente de f se define como

1. Si , entonces para toda

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por . El

valor máximo de es .

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por . El

valor mínimo de es .

El gradiente es normal a las superficies de nivel

Si f es diferenciable en y , entonces es

normal a la superficie de nivel de f que pasa por .


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PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE

Sea una superficie definida mediante una función de la forma . Esta

superficie podemos considerarla como la superficie de nivel de una función F

de tres variables, tal que . Como sabemos, el

gradiente de la función F es normal a todas sus superficies de nivel. El plano que

pasa por un punto de la superficie S dada por y que es

normal al vector se denomina plano tangente a S en P y su

ecuación es

La recta que pasa por el punto de la superficie S dada por

con la dirección del vector se denomina recta

normal a S en P y sus ecuaciones parametricas son:

el gradiente es normal a las curvas de nivel plano tangente y recta normal


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EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Teorema del valor extremoSea f una función continua de dos variables x e y, definida en una región cerraday acotada R del plano xy.

1. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor mínimo (absoluto)2. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor máximo

(absoluto)

Puntos críticosSea f definida en una región abierta R que contiene a . El punto es

un punto crítico de f si ocurre alguna de estas circunstancias

1.

2. si alguna de no existe.

Un extremo relativo es un punto crítico de f.

Criterio de las segundas derivadas parcialesSea f una función continua con segundas derivadas parciales continuas en una

región abierta que contiene al punto , en el cual .

Para buscar los extremos relativos de f se realiza el siguiente cálculo

1. Si y , entonces f tiene un mínimo relativo en .

2. Si y , entonces f tiene un máximo relativo en

.

3. Si , entonces f tiene un punto de silla en .

4. Si , el criterio no da ninguna conclusión.


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Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

Ejemplo 1: Una caja de forma de paralelepípedo rectángulo se encuentra recargada a los planos coordenados en el primer octante. Calcular las medidas de la caja para tener un volumen máximo si uno de los extremos de la caja toca al plano con ecuación .

Solución:

La caja está recargada en el punto

Volumen de la caja =

Volumen mínimo/máximo: cuando

ecuación 1

ecuación 2

Las soluciones para el sistema de dos ecuaciones es:

la cual nos daría un volumen cero (mínimo)

donde , el volumen de la caja es

(máximo).

Las medidas de la caja para que el volumen sea máximo son


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z

y

x

Plano3x+y+2z=0

1

1

r(t)

Vo

100'

1000'

angulo

Ejemplo 2: Se dispara un proyectil desde un cañón situado en el punto A para impactar a un blanco situado en B a una distancia horizontal de 1000 pies y a una altura de 100 pies con respecto al cañón. Calcular la mínima velocidad y el ángulo de elevación del proyectil para alcanzar el blanco. ( despreciar la resistencia del aire )

Solución:

La trayectoria del proyectil está determinada por la función vectorial

de donde la primera componente nos indica la posición horizontal o alcance del proyectil mientras que la segunda componente la altura en cierto instante t.

La posición del proyectil al tiempo del impacto con el blanco es (1000,100), lo que significa que

a.

b.

Despejando t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda tenemos que

y

usando identidades de ángulo doble:

Esta última ecuación nos presenta una función implícita de 2 variables , como queremos encontrar la mínima velocidad del proyectil


23

entonces derivamos la función con respecto a . Nota:

lo cual es cierto sí

la primera igualdad no es posible, por lo tanto resolvemos la segunda.

( al ángulo negativo le sumamos 180

grados ).Sustituyendo el valor del ángulo en obtenemos

Multiplicadores de Lagrange

Dada una función de varias variables, sabemos que presenta un punto crítico cuando su gradiente es nulo. Para identificar de qué punto crítico se trata, debemos usar el criterio de la segunda derivada. Éste establece que dada una función f(x; y) que presenta un punto crítico en (x0; y0), podemos calcular el siguiente discriminante:

Si D > 0 y > 0, se tiene un mínimo local en (x0; y0). Si D > 0 y < 0, se

tiene un máximo local en (x0; y0). Si D < 0, se tiene un punto silla en (x0; y0). Finalmente, si D = 0 el criterio de la segunda derivada no decide la naturaleza del punto crítico en (x0; y0).


24

Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una función en una cierta región del dominio, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Hallar los puntos críticos de la función en el dominio y calcular su valor en ellos.

2. Hallar los valores extremos de la función sobre la frontera del dominio.3. Determinar los valores máximo y mínimo de entre todos los hallados en los

dos puntos anteriores.

Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f(x; y) sujetos a una restricción g(x; y) = 0. Para ello debe plantearse la ecuación vectorial:

f = g

El valor se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para determinar los valores de las variables del dominio que satisfacen la ecuación vectorial y la restricción. Si existen varias restricciones, se plantean varios multiplicadores.

Ejemplo 1: (puntos críticos)

Hallar y clasificar los puntos críticos de:

Solución:

Tenemos:

Ahora


25

Ejemplo 2: (valores extremos)

Hallar el valor mínimo y máximo de la función en el

triángulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x + y = 6.

Solución:

a) Puntos críticos. Primero debemos encontrar los puntos críticos de la función que se encuentran en el dominio dado, que es el triángulo de extremos (0,0), (6,0), (0,6). Planteamos:

vemos que todos los puntos con x = 0 son críticos. Si x 0, tenemos las siguientes posibilidades para que ambas derivadas parciales sean nulas:

El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto lo consideraremos cuando analicemos ésta. En cuanto al segundo punto, tenemos f(2,1) = 4.

b) Análisis de la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En x = 0 y y = 0 la función asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir:

,

donde x va variando de 0 a 6. Para determinar en qué punto del segmento de recta x + y = 6 se produce un máximo o mínimo de esta función (en los extremos del segmento asume el valor 0), podemos derivarla:

De los dos puntos obtenidos, (0,6) es uno de los extremos del segmento, donde la función vale 0, mientras que (4,2) está dentro del segmento oblicuo.

c) Evaluación de la función en los puntos obtenidos. Evaluando se tiene:

f(segmento x = 0) = 0

f(segmento y = 0) = 0


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f(4,2) = -64 mínimo absolutof(2,1) = 4 máximo absoluto

Ejemplo 3: (Multiplicadores de Lagrange)La ecuación 2x4 + 3y4 = 32 representa el borde de la pantalla de un

monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función

,

hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla.

Solución:

Sea . Tenemos:

Para obtener este resultado dividimos ambas ecuaciones abarcadas por la llave, por lo cual debemos considerar aparte el caso en que y = 0, para el cual dicha división no sería posible. Analizando todos los casos posibles tenemos:

Con estos valores tenemos f(x,y) 0.44.

Los otros dos casos son:


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Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0.44 y el máximo valor será 0.55.


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