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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Recopilado por: Lic. Pedro Orlando Gonzlez Cordero


1.- CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.a) Una magnitud variable z se denomina funcin uniforme de dos variables x e y, si

para cada conjunto de valores e stas (x,y) de campo dado le corresponde le

corresponde un nico valor y determinado z. Las variables x e y se llaman argumentos o

variables independientes. La dependencia funcional se escribe:

z = f(x,y); P = f (T,V,n); V = f ( x,y,z)

1.b) Campo de existencia de la funcin.

Por campo de existencia de la funcin z = f(x,y), se entiende el conjunto de puntos(x,y)

del plano XOY que determina la funcin, esto es, una regin del plano limitada por por

una o varias curvas. Para una funcin u = f(x,y,z) el campo de existencia de la fundn es

un cuerpo determinado el espacio OXYZ.

1c) Lneas y Superficies de nivel.

Se le da el nombre de lnea de nivel de una funcin z = f(x,y), a la lnea f(x,y) = C del

plano OXY, en cuyos puntos la funcin toma el mismo valor z = C.

Se llama superficie de nivel de una funcin de tres argumentos u = f(x,y,z) a aquella

superficie f(x,y,z) = C, en cuyos puntos la funcin toma un valor constante u = C.

2.- CONTINUIDAD Y DERIVADAS PARCIALES.

CONTINUIDAD EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2 a) Lmite de una Funcin.

El nmero A recibe el nombre de lmite de la funcin z = f(x,y), si se cumple.

Es decir la imagen asociada a la funcin z alrededor o en las cercanas de punto P(a,b)

es el nmero A.

2 b) Continuidad de una funcin.

La funcin z = f(x,y) recibe el nombre de continua en ele punto P(a,b) si:

La funcin que es continua en todos los puntos del campo de existencia se denomina

continua en el campo.

Las condiciones de continuidad de una funcin z f(x,y) pueden no cumplirse en puntos

aislados ( puntos de discontinuidad), o puntos que formen una o varias lneas (lneas de

discontinuidad) o figuras geomtricas mas complicadas.



DERIVADAS PARCIALES

2 d) Definicin.

Si z = f(x,y), y se mantiene y constante, obtenemos

Que recibe el nombre de derivada parcial de de la funcin z con respecto a la variable x.

Si z = f(x,y), y se mantiene x constante, obtenemos

Que recibe el nombre de derivada parcial de de la funcin z con respecto a la variable y.

Cabe destacar, que para hallar las derivadas parciales pueden uilizarse las frmulas

ordinarias de derivacin.

Ejemplos:

Hallar las derivadas parciales de las funciones:

2.1) z = x2 + y

3-3xy. 2.2) 2.3) .

2.4) z = xy 2.5) z = 2.6) z = ln( x + )

2.7) z = ln[ tg ] 2.8) . 2.9) z = arc tg



3.- DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIN

3 a) Incremento total de una funcin.

Se llama incremento total de una funcin z = f(x,y) a la diferencia:

z = f (x,y) = f(x + x, y + y) f(x,y)

Se llama incremento total de una funcin u = f(x,y,z) a la diferencia:

u = f (x,y,z) = f(x + x, y + y, z + z) f(x,y,z)

3 b) Diferencial total.

Recibe el nombre de diferencial total de una funcin z = f(x,y) u = f(x,y,z); la parte

principal del incremento total z, lineal respecto a los incrementos de los argumentos x y y .La funcin tiene diferencial total, cuando sus diferenciales parciales son continuas. Si la funcin tiene diferencial total, se llama diferenciable. Las diferenciales

de las variables independientes, por definicin, coinciden con sus incrementos, es decir

dx = x y dy = y.

La diferencial total de una funcin z = f(x,y) se calcula por la frmula:

dz = z dx + z dy. x y

Anlogamente, la diferencial total de una funcin de tres argumentos u = f(x,y,z) se

calcula por la frmula:

Du = u dx + u dy + u dz. x y z

Ejemplos:

3.1) Hallar el diferencial total de la funcin f (x,y) = x2 + xy - y

2 .

3.2) Hallar el diferencial total f(x,y) =

3.3 ) La altura de un cono es h = 30 cm y el radio de ka base R = 10 cm. Cmo varia el

volumen si la altura aumenta 4mm y el radio disminuye 1 mm?. V(h,R) = R2 h.

3.4) Un gas ideal esta confinado en un recipiente de 960 cm3 a una temperatura de

40 C. Cul es el cambio de la presin interna si la temperatura aumenta 0,4 C y el

volumen se incrementa en 0,02ml.?



4.- DERIVACIN DE FUNCIONES COMPUESTAS

4 a) Caso e una sola variable independiente.

Si z = f(x,y) es una funcin diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez,

funciones diferenciables de una variable independiente t:

x = (t) y = (t).

la derivada de la funcin compuesta

z = f [x = (t) , y = (t)]

se puede calcular por la frmula:

dz = z x + z y dt x t y t

En el caso particular que t coincida con uno de los argumentos, por ejemplo con x, la

derivada total de z respecto de x ser

dz = z x + z y dz = z + z y dx x x y x dx x y x

4b) Caso de varias variables independientes.

Si z es una funcin compuesta de varias variables z = f (x,y), donde

x = (u,v) e y = (u,v) (u y v que son variables independiente; f ,, son funciones diferenciables), Las derivadas parciales de z con respecto a u y v se expresan asi:

z = z x + z y u x u y u

z = z x + z y v x v y v

Ejemplos:

4.1) Hallar , si z = e(3x +2y)

x = cos t y = t2

4.2) Hallar y la derivada total , si z = exy

donde y = (x) = .

4.3) Hallar y , si z = f(x,y) x = uv y =

4.4) Hallar y , si z = x2 + y

2 x = r cos; y = r sen

4.5) Hallar y V = P = g h ; T = (inventada)



h (altura) T (temperatura) P(presin) (densidad)

5.- GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL

Recibe el nombre de Gradiente de una funcin z = f(x,y), un vector , cuyas

proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes derivadas parciales

de la funcin:

Grad z = z i + z j x y

El gradiente de la funcin en cada punto tiene la direccin de la normal a la

correspondiente lnea de nivel de la funcin.

La direccin del gradiente de la funcin, en un punto dado, es la direccin de la

velocidad mxima de crecimiento de la funcin en este punto, es decir, cuando u = grad

z, la derivada z/u toma su valor mximo, igual a:

Anlogamente se determina el gradiente de una funcin de tres variables w = f(x,y,z):

Grad w = w i + w j + w k x y z

f = f i + f j + f k = fx i + fy j + fz k = grad f x y z

El gradiente de una funcin de tres variables, en cada punto lleva la direccin de la

normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.

Ejemplos:

5.1) Hallar el gradiente de la funcin z = f(x,y) = x2y

5.2) Hallar el gradiente de z en el punto (2; 1) z = x3 + y

3 -3xy

5.3) Hallar el gradiente de z en el punto (5; 3) z =

5.4) Hallar el gradiente de w en el punto (1; 2; 3) w = xyz

5.5) Hallar la direccin y magnitud del gradiente de w en el punto (2; -2; 1) si



w = x2 + y

2 + z

2.

5.6) Hallar el gradiente en el punto (1; 0; 2) si w = (x2e

y + x

3 )

DERIVADA DIRECCIONAL

Se da el nombre de Derivada Direccional de una funcin z = f(x,y) en una direccin

dada n = PP1 a la expresin:

z = lim f( P1) f( P) n P1P 0 P1P

Donde f( P ) y f( P1) son los valores de la funcin en los puntos P y P1. Si la funcin z

es diferenciable, se verificar la frmula:

z = z cos + z sen n x y

Donde es el ngulo formado por el vector n con el eje OX.

Anlogamente se determina la derivada en la direccin dada n, para una funcin de tres

argumentos u = f(x,y,z). en este caso

u = u cos + u cos + u cos n x y z

Donde , , son los ngulos entre la direccin n y los correspondientes ejes coordenados ( se les conoce como los cosenos directores).

La derivada en una direccin dada caracteriza la velocidad con que vara la funcin en

dicha direccin.

Ejemplos:

5.7) Hallar la derivada de la funcin z = 2x2 3y2 en el punto P (1;0) en la direccin que

forma con el eje OX un ngulo de 120.

5.8) Hallar la derivada de la funcin z = ln((x2 + y2 ) ) en el punto (1;1) en la direccin de la bisectriz del primer cuadrante.

5.9) Hallar la derivada de la funcin u = x2 -3yz -5 en el punto M(1; 2; -1) en la

direccin que forma ngulos iguales con todos los ejes de coordenada.

5.10) El punto en que la derivada de una funcin, en cualquier direccin, es igual a cero,

se llama estacionario de esta funcin. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes

funciones:



5.10.a) z = x2 + xy + y

2 - 4x -2y

5.10.b) z = x3 + y

3 -3xy

5.10.c) z = 2y2 + z

2 xy yz +2x

6.- DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES

Supongamos que tenemos definida la funcin z =f(x,y) en una regin D del plano OXY,

y que existen las derivadas parciales fx, fy. Entonces cada una de esas derivadas

parciales es una funcin con dominio D, y podemos buscar sus derivadas parciales:

fxx = 2f = (fx) fxy = 2f = (fx) x2 x yx y

fyx = 2f = (fy) fyy = 2f = (fy) xy x y2 y

Las nuevas derivadas, cuando existen, se llaman derivadas parciales de z =f(x,y) de

segundo orden. Sin embargo, si f, fx, fy, fxy,fyx,fxx, fyy son continuas en D, entonces

las derivadas mixtas son iguales:

fxy = fyx

en consecuencia, hay, en efecto, solo tres (3) derivadas parciales de segundo orden.

Estas definiciones se extienden con naturalidad a las funciones de tres o ms variables o

argumentos. Por ejemplo, en una funcin u = f(x,y,z), tenemos:

tres primeras derivadas parciales fx; fy; fz.

seis segundas derivadas parciales fxx; fyy; fzz; fxy; fxz; fyz

diez terceras derivadas parciales fxxx; fyyy; fzzz; fxxy; fxxz;

fyyz; fxyy; fxzz; fyzz; fxyz

Para subrayar el hecho de que unas variables se consideran como constantes e escriben

cosas como:

(2 w / x2 )yz en lugar de fxx(x,y,z) donde w f(x,y,z)

EJEMPLOS:

Hallar las derivadas hasta segundo orden.



6.1) z = f(x,y) = x2 + y

2 + x cos(xy) 6.2) z = f(x,y) = 2x

3y

2 3xy2 + x 2y

6.3) z = f(x,y) = ex cos( 2y-3x) 6.4) z = f(x,y) = x2/ (y2 + 1)

En cada caso verifique que fxy = fyx :

6.5) z =f(x,y) = x7y

5 6.6) u = f(x,y,z) = x

2z

4 y3z2 + x3y2

6.7) z = f(x,y) = x ln(x2 y2) 6.8) u =f(x,y,z) = x/(x+z)

7.- APLICACIONES:

En muchos problemas fsicos se plantea las derivadas parciales de rdenes superiores:

por ejemplo, en las teoras Electromagnticas, de la Vibracin de Cuerpos Slidos, de la

Conduccin del Calor, del Movimiento de Fluidos y de la Termodinmica. En todos

esos casos se expresan leyes fundamentales de la fsica en la forma de ecuaciones que

relacionen las derivadas parciales de funciones adecuadas.

Ejemplo la ecuacin del Calor:

u = k2 ( 2u + 2u + 2u ) t x2 y2 z2

es la que gobierna la variacin de la temperatura, u = f(x,y,z,t),

con la posicin (x,y,z) y el tiempo t, en un cuerpo slido homogneo; sometido a

algunas variaciones de temperatura del medio ambiente que lo rodea.

Tambin se usan los operadores:

x f = fx xy f =fxy x2 f = fxx

.f = 2 f = 2f + 2f + 2f x2 y2 z2

A esta expresin se le llama Laplaciano de f.

La siguiente ecuacin recibe el nombre de Ecuacin de Laplace

2 f = 2f + 2f + 2f =0 x2 y2 z2

La funcin f(x,y) o f (x,y,z) que satisface la ecuacin de Laplace en una regin abierta

es armnica.

EJEMPLOS:

En cada uno de los casos siguientes, verifique que f es armnica:

7.9) f(x,y) = x2 y2 7.10) f(x,y) = x3 3xy2 7.11) f(x,y) =xy

7.12) f(x,y) = x4 -6x

2y

2 + y

4 7.13) f(x,y,z) = x

2 + y

2 -2z

2



7.14) f(x,y) = arctg(y/x) 7.15) f(x,y) =ln r r = (x-a)2 + (y-b)2

Verifique que cada una de las siguientes funciones es solucin de la ecuacin de Calor:

7.15) u = e-k2 a2 t

sen ax 7.16) u = e-2 k2 a2 t

cos a(x + y)

7.17) u = e(-ax2 )/ t

/ t

7.18) u = 1 e [ (x-xo)2 + ( y-yo)2 + (z-zo)2] / 4a2t ( 2at )3

La ecuacin ondulatoria, tiene importancia en la teora electromagntica.

7.19) Verifique que (a) u(x,y) = sen(x - ct) ; (b) u(x,t) = sen(x + ct) y

(c) u(x,t) = Asen( at +) senx

satisfacen la ecuacin ondulatoria siguiente.

2u = c2 ( 2u ) c = constante t2 ( x2 )



8.- EXTREMOS DE UNA FUNCIN (MX, MN Y PUNTOS SINGULARES)

Definicin.

Se dice que una funcin f(x,y) tiene un mximo (o un mnimo) f(a,b) en el punto P

(a,b), si para todos los puntos P(x,y) diferentes de P, de un entorno suficientemente

pequeo del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y), (o respectivamente

f(a,b) < f(x,y)). El mximo o mnimo de una funcin recibe tambin el nombre de

extremo de la misma. Anlogamente de determina el extremo de una funcin de tres o

ms variables o argumentos.

Condiciones para la existencia de un extremo.

Los puntos en los que la funcin diferenciable f(x,y) puede alcanzar un extremo( es

decir los llamados puntos estacionarios), se hallan resolviendo el sistema de ecuaciones:

fx(x,y) = f = 0 fy(x,y) = f = 0 x y (condiciones necesarias para la existencia del extremo) El sistema de ecuaciones

anterior es equivalente a una ecuacin df(x,y) = 0. En el caso general, en el punto

extremo P(a,b) de la funcin f(x,y), o no existe df(x,y) o bien df(x,y) = 0.

Condiciones Suficientes para la existencia de un extremo.

Sea p(a,) un punto estacionario de la funcin f(x,y); es decir df(a,b) = 0.

En este caso: a) si d2 f(a,b) < 0, siendo dx

2 + dy

2 > 0, f(a,b) es un mximo de f(x,y)

b) si d2 f(a,b) > 0, siendo dx

2 + dy

2 < 0, f(a,b) es un mnimo de f(x,y)

c) si d2 f(a,b) cambia de signo f(a,b) no es un punto extremo de f(x,y)

Las condiciones citadas equivalen a lo siguiente:

fx(a,b) = fy(a,b) = 0 A = fxx(a,b), B = fxy(a,b) C = fyy(a,b)

formamos el discriminante:

= AC B2 Tenemos los casos:

(a) Si > 0, la funcin tiene un extremo en el punto P(a,b) y es mximo si A < 0 (o C 0, la funcin tiene un extremo en el punto P(a,b) y es mnimo si A > 0 (o C > 0 )

(c) Si < 0, en el punto P(a,) no existe extremo

(d) Si = 0 la existencia del extremo en el punto P(a,b) queda indeterminada

De forma anloga se procede para ms de tres variable o argumentos.



Ejemplo. Hallar los extremos de z = x3 + 3xy

2 -15x -12y

FRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES

Supongamos que la funcin f(x,y) tiene en un entorno del punto P(a,b) derivadas

parciales continuas hasta el orden (n+1) inclusive. Entonces en este entorno se verifica

la frmula de Taylor:

f(x,y) = f(a,b) + 1 [ fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)] + .

1 / 2! [ fxx(a,b)(x-a)2 +2fxy(a,b)(x-a)(y-b) +fyy(a,b)(y-b)

2 ]

1/ n! [ (x-a)/ x + (y-b)/y ]n f(a,b) + Rn (a,b)

Rn (x,y) =1/ (n+1)! [ (x-a)/ x + (y-b)/y ]n+1 f(a,b) + Rn (a,b)

En el caso particular en que a = b = 0, la frmula recibe el nombre de frmula de

Maclaurin.

Ejemplos:

Hallar la frmula de Taylor hasta 2do orden

8.1) Para la funcin f(x,y) = yx. En el entorno del punto (1,1).

8.2) Para la funcin f(x,y) = e(x+y)

. En el entorno del punto (1.-1)

8.3) para la funcin f(x,y) = (1+x+y). En el entorno del punto (0,1)

Hallar por la frmula de Maclaurin hasta trminos de 3er orden

8.3) f(x,y) = ex seny

8.4) f(x,y) = cos(x) cos(y)

8.6) f(x,y) = ln( 1 + x2 + y

2 )



9.- FUNCIN VECTORIAL DE UN ARGUMENTO ESCALAR

Derivada de una funcin Vectorial de un argumento escalar. (tiempo)

La funcin vectorial V = V(t) puede determinarse dando las tres funciones escalares

Vx(t), Vy(t), y Vz(t) de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas:

V = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k

La derivada de la funcin vectorial V = V(t) con respecto al argumento escalar t es una

nueva funcin vectorial determinada por la igualdad:

dV = lim V(t +t) V(t) = dVx(t) i + dVy(t) j + dVx(t) k dt t t dt dt dt

el modulo de la derivada de la funcin escalar es igual a

|dV/ dt | = (dVx/ dt)2 + (dVy/dt)2 + (dVz/dt)2

El extremo del radio vector variable r = r(t) describe en ele espacio una curva

r = x(t) i + y(t) j + z(t) k

que recibe el nombre de hodgrafo del vector r(t)

la derivada dr/dt representa de por s un vector, tangente al hodgrafo en el punto

correspondiente

|dr /dt | = ds/ dt

Donde s es la longitud del arco del hodgrafo, tomada desde cierto punto inicial. Si el parmetro es el tiempo, dr/dt = U es la velocidad del extremo del vector r y

d2r = dU = W es la aceleracin del extremo del vector r

dt2 dt

REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIN DE FUNCIONES

VECTORIALES.

1) d/dt ( V + U + W ) = d/dt(V) + d/dt(U) + d/dt(W)

2) d/dt( mV) = m d/dt(V)

3) d/dt( V) = d/dt V + dV/dt donde (t) es una funcin escalar de t

4) d/dt(V U) = dV/dt U + V dU/dt

5) d/dt( V x U) = dV/dt x U + V x dU/dt

6) d/dt ( V[(t)] ) = (dV/d),( d/dt)



7) V . dV/dt = 0 , si | V | = constante.

Ejemplos:

Hallar las derivadas parciales de las funciones:

2.1) z = x2 + y

3-3xy. 2.2) z = (x-y) / (x+y) 2.3) z = x2 y2.

2.4) z = xy 2.5) z = esen(x/y)

2.6) z = ln( x + x2+y2 )

2.7) z = ln[ tg(x/y) ] 2.8) z = (x) / x2+y2 2.9) z = arctg(y/x)

Ejemplos:

3.1) Hallar el diferencial total de la funcin f (x,y) = x2 + xy - y

2 .

3.2) Hallar el diferencial total f(x,y) = x2 + y2

3.3 ) La altura de un cono es h = 30 cm y el radio de ka base R = 10 cm. Cmo varia el

volumen si la altura aumenta 4mm y el radio disminuye 1 mm?. V(h,R) = R2 h.

3.4) Un gas ideal esta confinado en un recipiente de 960 cm3 a una temperatura de

40 C. Cul es el cambio de la presin interna si la temperatura aumenta 0,4 C y el

volumen se incrementa en 0,02ml.?

Ejemplos:

4.1) Hallar dz/ dt, si z = e(3x +2y)

x = cos t y = t2

4.2) Hallar z/x y la derivada total dz/dx, si z = exy donde y = (x) = x.

4.3) Hallar z/u y z/v, si z = f(x,y) x = uv y = u/v

4.4) Hallar z/r y z/, si z = x2 + y2 x = r cos; y = r sen

4.5) Hallar V/h y V/ V = (n R2 T)/ P P = g h ; T = ln / ( h) (inventada)

h (altura) T (temperatura) P(presin) (densidad)

Ejemplos:

5.1) Hallar el gradiente de la funcin z = f(x,y) = x2y

5.2) Hallar el gradiente de z en el punto (2; 1) z = x3 + y

3 -3xy

5.3) Hallar el gradiente de z en el punto (5; 3) z = (x2 y2)

5.4) Hallar el gradiente de w en el punto (1; 2; 3) w = xyz



5.5) Hallar la direccin y magnitud del gradiente de w en el punto (2; -2; 1) si

w = x2 + y

2 + z

2.

5.6) Hallar el gradiente en el punto (1; 0; 2) si w = (x2e

y + x

3 z3 yz)

EJEMPLOS:

Hallar las derivadas hasta segundo orden.

6.1) z = f(x,y) = x2 + y

2 + x cos(xy) 6.2) z = f(x,y) = 2x

3y

2 3xy2 + x 2y

6.3) z = f(x,y) = ex cos( 2y-3x) 6.4) z = f(x,y) = x2/ (y2 + 1)

En cada caso verifique que fxy = fyx :

6.5) z =f(x,y) = x7y

5 6.6) u = f(x,y,z) = x

2z

4 y3z2 + x3y2

6.7) z = f(x,y) = x ln(x2 y2) 6.8) u =f(x,y,z) = x/(x+z)

EJEMPLOS:

En cada uno de los casos siguientes, verifique que f es armnica:

7.9) f(x,y) = x2 y2 7.10) f(x,y) = x3 3xy2 7.11) f(x,y) =xy

7.12) f(x,y) = x4 -6x

2y

2 + y

4 7.13) f(x,y,z) = x

2 + y

2 -2z

2

7.14) f(x,y) = arctg(y/x) 7.15) f(x,y) =ln r r = (x-a)2 + (y-b)2

Verifique que cada una de las siguientes funciones es solucin de la ecuacin de Calor:

7.15) u = e-k2 a2 t

sen ax 7.16) u = e-2 k2 a2 t

cos a (x + y)

7.17) u = e(-ax2 )/ t

/ t

7.18) u = 1 e [ (x-xo)2 + ( y-yo)2 + (z-zo)2] / 4a2t ( 2at )3

La ecuacin ondulatoria, tiene importancia en la teora electromagntica.

Verifique que (a) u(x,y) = sen(x - ct) ; (b) u(x,t) = sen(x + ct) y

(c) u(x,t) = Asen( at +) senx

satisfacen la ecuacin ondulatoria siguiente.



2u = c2 ( 2u ) c = constante t2 ( x2 )

Hallar la frmula de Taylor hasta 2do orden

8.1) Para la funcin f(x,y) = yx. En el entorno del punto (1,1).

8.2) Para la funcin f(x,y) = e(x+y)

. En el entorno del punto (1.-1)

8.3) para la funcin f(x,y) = (1+x+y). En el entorno del punto (0,1)

Hallar por la frmula de Maclaurin hasta trminos de 3er orden

8.3) f(x,y) = ex seny

8.4) f(x,y) = cos(x) cos(y)

8.6) f(x,y) = ln( 1 + x2 + y

2 )

EJEMPLOS:

Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleracin de este movimiento.

9.1) si la ecuacin de movimiento es: r (t) = 9 cost i + 4 sent j

9.2) Si la ecuacin de movimiento es: r (t) = 2 cost i + 2 sent j + 3t k

9.3) Si la ecuacin de movimiento es: r (t) = 2 cos cost i + 2 sen cost j + sent k donde y son constantes.

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