COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

DÍA 33 * 1º BAD CT

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:

• (f o g)(x) = f [ g (x) ]

• (g o f)(x) = g [ f (x) ]

• Ejemplo_1

• Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1)

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2

• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

• Ejemplo_2

• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x

• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

• Ejemplo_3

• Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1)

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1

• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

• Ejemplo_4• 3• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 • 3 6 3• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x• 3 3• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x

• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

• Ejemplo_5

• Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 ,, h(x) = √x

• (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen ((√ x)2 – 1) = sen (x – 1)

• (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen √ x) 2 – 1

• A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles.

FUNCIÓN INVERSA DE OTRA• Sea y = f(x) una función real de variable real.

• Llamamos función INVERSA a la expresión y = f -1 (x)

• Condición:

• Si f(a) = b f -1 (b) = a

• Relaciones entre una función y su inversa:

• (f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x• (f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x

• Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x• • Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la

bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x

• Para hallar la función inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuación y= f(x) y después se intercambian las x por las y.

• Ejemplo 1

• Sea f(x) = x2 - 1

• y = x2 – 1 x = y2 – 1 y2 = x + 1 y = +/- √(x+1)• La función resultante No es función, por lo tanto la función dada no tiene

inversa.

• Ejemplo 2

• Sea f(x) = 1 / (x – 2)

• y = 1 / (x – 2) x = 1 / (y – 2) x.y – 2.x = 1 y = (1 + 2.x) / x

• Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada.

• Comprobemos: (f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x • (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x

• Ejemplo 3

• Sea f(x) = sen x - 1

• y = sen x – 1 x = sen y – 1 sen y = x + 1 y = arc sen (x + 1)

• Luego f -1 (x) = arc sen (x + 1 )

• Comprobemos: (f o f -1)(x) = sen [arc sen (x+1)] – 1 = (x + 1) – 1 = x• (f -1 o f)(x) = arc sen (sen x – 1 + 1) = arc sen (sen x) = x

• Ejemplo 4

• Sea f(x) = √ (x – 1)

• y = √ (x – 1) x = √ (y – 1) x 2 = y – 1 y = x2 + 1

• Luego f -1 (x) = x2 + 1

• Comprobemos: (f o f -1)(x) = √ (x2 + 1 – 1) = √ x2 = x • (f -1 o f)(x) = [√ (x – 1)] 2 + 1 = x – 1 + 1 = x

Ejemplos gráficos 5 y 6

En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.

y = - 2.x

y = - x / 2y = 2.x + 1

y = (1/2).x - 2

Ejemplos gráficos 7 y 4

En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.

y = ln x

y = ex

y = x2 +1

y = √ (x-1)