Funciones Circulares
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ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL520142
Primer Semestre
FUNCIONES CIRCULARES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
1
Funciones circulares
Definición: Círculo Trigonométrico
Sea C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} la circunferencia unitaria ,
se define P : R → C por P (0) = (1, 0) y para t > 0 (resp.t < 0) P (t) es el punto al que se llega luego de desplazarse ensentido antihorario (resp. horario) sobre C, en t unidades desdeP (0).
Definición: sen y cos
Se definen las funciones sen : R → [−1, 1] y cos : R → [−1, 1]
a través de la ecuación:
P (t) = ( cos (t), sen (t) )
2
Funciones Circulares
Círculo Trigonométrico
|sen (t)| = |OS|
|cos (t)| = |OC|
|tan (t)| = |AT |
|cot (t)| = |BR|
|sec (t)| = |OT |
|csc (t)| = |OR|
+
R
Y
Xeje de coseno
eje cotangencias
eje de seno
eje tangencias
A’
B
B’
O
S
CA
P(t) T
t
lA,P(t)
t = (OX,OP(t)) = lA,P(t)3
Funciones Circulares
Teorema de Pitágoras
a2 + b2 = c2
a
bc
sen 2(t) + cos 2(t) = 1
tan 2(t) + 1 = sec2(t)
cot 2(t) + 1 = csc2(t)
Teorema de Thales
a′
a=
b′
b=
c′
c
b’
a’
c’
c b
a
tan (t) =sen (t)
cos (t)cot (t) =
cos (t)
sen (t)
sec (t) =1
cos (t)csc (t) =
1
sen (t)4
Funciones Circulares
Definición: Función Periódica
Una función f : R → B se dice periódica de periodo p, si p esel menor número positivo que satisface la propiedad:
∀t ∈ R : f(t) = f(t + p).
Propiedad
Si f : R → B es periódica de periodo p, se cumple que:
∀t ∈ R, ∀k ∈ Z : f(t) = f(t + kp).
Observación
P : R → C es periódica de periodo 2π:
(∀t ∈ R) (∀ k ∈ Z) P (t + 2kπ) = P (t)5
Funciones Circulares
Definición: Función Seno
sen : R −→ [−1, 1] ∀ k ∈ Z : sen (t + 2kπ) = sen (t)
t 7−→ y = sen (t) ∀ t ∈ R : sen (−t) = −sen (t)
π2 2
3π23π π
2
−1
1
π 2π2π π t
sen(t)
GRAFICO DE LA FUNCION SENO
∀ k ∈ Z : sen (kπ) = 0 ∧ sen ( (2k+1)π2 ) = (−1)k
6
Funciones Circulares
Definición: Función Coseno
cos : R −→ [−1, 1] ∀ k ∈ Z : cos (t + 2kπ) = cos (t)
t 7−→ y = cos (t) ∀ t ∈ R : cos (−t) = cos (t)
2π π2
π 3π 22
ππ π2
2π
cos(t)
t3π 2
GRAFICO DE LA FUNCION COSENO
−1
1
∀ k ∈ Z : cos ( (2k+1)π2 ) = 0 ∧ cos (kπ) = (−1)k
7
Funciones Circulares
Definición: Función Tangente D = R −{
π2 + kπ : k ∈ Z
}
tan : D ⊂ R −→ R ∀ k ∈ Z : tan (t + kπ) = tan(t)
t 7−→ y = tan (t) = sen (t)cos (t) ∀ t ∈ D : tan (−t) = −tan (t)
2 2π2
3π2
−3π π−π
GRAFICO DE LA FUNCION TANGENTE
tan(t)
t−π 0
8
Funciones Circulares
Definición: Función Secante
sec : R −{
π2 + kπ : k ∈ Z
}
−→ R− ] − 1, 1[ - Es 2π-periódica
t 7−→ sec (t) = 1cos (t) - Es par
π2
π2
π2
0 ππ2π3 3
1
−1
t
sec(t)
GRAFICO DE LA FUNCION SECANTE
9
Funciones Circulares
Definición: Función Cosecante
csc : R −{
kπ : k ∈ Z}
−→ R− ] − 1, 1[ - Es 2π-periódica
t 7−→ csc (t) = 1sen (t) - Es impar
π2
π2
π2
0 ππ2π3 3
1
−1
t
GRAFICO DE LA FUNCION COSECANTE
csc(t)
10
Funciones Circulares
Identidades Trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una expresión matemática (unaigualdad), cuya característica es la de ser verdadera para todo númeroreal para el cual cada una de las funciones circulares que intervienen enla expresión estén definidas.Por ejemplo, la identidad fundamental sen 2(t) + cos 2(t) = 1 es válidapara todo número real t.
Observación
Utilizando las identidades anteriores, la definición de las funcionescirculares y las propiedades algebraicas de los números reales se puedendemostrar muchas otras identidades.
11
Funciones Circulares
Identidades con sumas y diferencias
Para obtener este tipo de identidades utilizaremos el siguiente resultado.
Proposición
La longitud de una cuerda generada por un arco de circunferencia delongitud t es:
l(t) =√
2 − 2cos (t).
O (1,0)
P(t)=(cos t,sen t)
l(t)
t
X
Y
12
Funciones Circulares
Identidades con sumas y diferencias
Proposición
Para x, y ∈ R : cos (x − y) = cos (x)cos (y) + sen (x)sen (y)
Y
XO
P(x)=(cos x , sen x)
P(y)=(cos y , sen y)
13
Funciones Circulares
Identidades con sumas y diferencias Dados x, y ∈ R, se cumple que:
cos (π2 − y) = sen (y); sen (π
2 − x) = cos (x)
cos (x + y) = cos (x)cos (y) − sen (x)sen (y)
sen (x + y) = sen (x)cos (y) + sen (y)cos (x)
sen (x − y) = sen (x)cos (y) − sen (y)cos (x)
tan (x ± y) =tan (x) + tan (y)
1 ∓ tan (x)tan (y)
cos (2x) = cos2(x) − sen 2(x)
sen (2x) = 2sen (x)cos (x)
tan(x
2
)
=sen (x)
(1 + cos (x))
sen (x) · cos (y) = 12 (sen (x + y) + sen (x − y))
14
Funciones Circulares
Ejemplo Demuestre quesen (x + y)
sen(x − y)=
tan (x) + tan (y)
tan (x) − tan (y)
Demostración
sen (x + y)
sen(x − y)=
sen (x)cos (y) + sen (y)cos (x)
sen (x)cos (y) − sen (y)cos (x)
=
sen (x)
cos (x)+
sen (y)
cos (y)
sen (x)
cos (x)− sen (y)
cos (y)
=tan (x) + tan (y)
tan (x) − tan (y)
15
Funciones Circulares
Inversa de las funciones circulares
La función sen : R −→ [−1, 1], no es inyectiva. En consecuencia, surelación inversa, denotada por arcsen y llamada arcoseno ,
x arcsen y ⇐⇒ x = sen(y)
no es una función.La restricción de seno al intervalo [−π
2 , π2 ] es inyectiva:
Sen :[
− π
2,π
2
]
−→ [−1, 1], x 7→ y = sen (x).
Luego tiene inversa. Su inversa es la función Arcoseno (parte principal)denotada por Arcsen .
Arcsen : [−1, 1] −→[
− π
2,π
2
]
, y 7→ x = Arcsen (y)
16
Funciones Circulares
Definición: Función Arcoseno
Arcsen : [−1, 1] −→ [−π
2,π
2]
x 7−→ y = Arcsen (x)
con: y = Arcsen (x) ⇐⇒ x = sen (y), −1 ≤ x ≤ 1, −π2 ≤ y ≤ π
2 .
–1
1
–1 –0.5 0.5 1x
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOSENO
17
Funciones Circulares
Definición: Función Arcocoseno
Arccos : [−1, 1] −→ [0, π]
x 7−→ y = Arccos (x)
con: y = Arccos (x) ⇐⇒ x = cos (y), −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.
1
2
3
–1 –0.5 0.5 1x
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOSENO
18
Funciones Circulares
Definición: Función Arcotangente
Arctg : R −→] − π
2,π
2[
x 7−→ y = Arctg (x)
con: y = Arctg (x) ⇐⇒ x = tg (y), x ∈ R, −π2 < y < π
2 .
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–4 –2 2 4x
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOTANGENTE
19
Funciones Circulares
Definición: Función Arcocotangente
Arccot : R −→]0, π[
x 7−→ y = Arccot (x)
con: y = Arccot (x) ⇐⇒ x = cot (y), x ∈ R, 0 < y < π.
0
1
2
3
4
5
–4 –2 2 4x
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOTANGENTE
20
Funciones Circulares
Definición: Función Arcosecante
Arcsec : R−] − 1, 1[−→ [0, π] −{π
2
}
x 7−→ y = Arcsec (x)
con: y = Arcsec (x) ⇐⇒ x = sec (y), |x| ≥ 1, y ∈ [0, π] − {π2 }.
–1
0
1
2
3
4
–4 –2 2 4x
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOSECANTE
21
Funciones Circulares
Definición: Función Arcocosecante
Arccsc : R−] − 1, 1[−→ [−π
2,π
2] − {0}
x 7−→ y = Arccsc (x)
con: y = Arccsc (x) ⇐⇒ x = csc (y), |x| ≥ 1, y ∈ [−π2 , π
2 ] − {0}.
–1
0
1
2
3
4
–4 –2 2 4x
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOSECANTE
22
Funciones Circulares
Uso de las funciones inversas
Si cos (x) = a, con |a| ≤ 1, entonces existe k ∈ Z tal que:
Si x está en I o II, x = Arccos (a) + 2kπ.
Si x está en III o IV, x = −Arccos (a) + 2kπ.
Si sen (x) = b, con |b| ≤ 1, entonces existe k ∈ Z tal que:
Si x está en I o IV, x = Arcsen (b) + 2kπ.
Si x está en II o III, x = π − Arcsen (b) + 2kπ.
23
Funciones Circulares
Definición: Angulo Un ángulo ∠AOB consiste en la semirecta que
parte en O y pasa por A, llamada lado inicial y la semirecta que parteen O y pasa por B, llamada lado terminal .
Si OA está sobre el semieje OX, entonces se dice que el ángulo está enposición normal o standar .
O A
B
A
O
B
24
Funciones Circulares
Medida de ángulos
A cada ángulo ∠AOB se asocia un número real m(∠AOB) llamadomedida del ángulo , denotada por α, β, γ o θ.
Sistema Sexagesimal (en grados) y Sistema Circular o Radial ( enradianes), para medir ángulos.
Un Grado es la medida de un ángulo que subtiende a un arco delongitud igual a 1
360 del perímetro de una circunferencia. Así, lacircuferencia corresponde a un ángulo de 360o.
Un Radian es la medida de un ángulo que subtiende a un arco delongitud igual al radio de la circunferencia. Así, la circunferenciacorresponde a un ángulo de 2π radianes.
25
Funciones Circulares
Sistema Radial
La medida de un ángulo R(∠AOB) en Radianes es igual a la longitud delarco de circunferencia subtendido por el ángulo en la circunferencia deradio 1 y centro O, recorriéndolo en sentido antihorario y partiendo dellado inicial.
Sistema Sexagesimal
De la relación:
360 Grados Sexagesimales = 2π Radianes
se deduce que la medida de un ángulo S(∠AOB) en GradosSexagesimales está dada por:
S(∠AOB) =180
πR(∠AOB).
26
Funciones Circulares
Funciones Circulares sobre un ángulo
Dado un ángulo en posición normal de medida α en radianes, y un punto(x, y) sobre su lado final, se cumple que el punto P (α) = (cos (α), sen (α))
está también sobre su lado final y si r = d((0, 0), (x, y)), por el teoremade Thales se obtiene:
y
sen (α)=
r
1,
x
cos (α)=
r
1,
de donde:
sen (α) = yr
cos (α) = xr
tan (α) = yx
cot (α) = xy
sec (α) = rx
csc (α) = ry.
α1
x cos( )
r
(x,y)y
sen( )
Y
X
P( )α
α
α
27
Funciones Circulares
Teorema de los senos
Los lados a, b y c de un triángulo son proporcionales a los senos de susángulos opuestos α, β y γ. Es decir:
asen (α) = b
sen (β) = csen (γ) .
ab
cβ
γ
α
28
Funciones Circulares
Teorema de los cosenos
En un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ, el cuadradode un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos eldoble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.Esto es:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos (α)
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos (β)
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos (γ)
29
Funciones Circulares
Función Sinusoidal
Sean A, w > 0 y φ ∈ R. A la función f : R → R definida por:
f(x) = A sen (wx + φ), ∀x ∈ R,
se le llama Función Sinusoidal , y su gráfica se llama Curva Sinusoidalo Sinusoide .
Es periódica y su Periodo es p =2π
w.
Se llama Amplitud de la función al valor A.
Se llama Desplazamiento de Fase de la función al valor d =−φ
w
Se llama Frecuencia Angular de la función al valor w.
Se llama Fase de la función al valor −φ.
30
Funciones Circulares
La siguiente figura muestra la gráfica de la función definida por:
f(x) = 3sen(π
2x +
3π
4
)
.
f(x)
x
3
2
1
−1
−3
−2
0 1 2 43−5 −3 −2 −1−4 5 6
p
A
d
31
Funciones Circulares
Teorema. Sean p, q, b ∈ R. Entonces existen A, φ ∈ R tales que:
p sen (bx) + q cos (bx) = A sen (bx + φ)
Observaciónes.
La función g(x) = Acos (wx + φ) también es una funciónsinusoidal.
Si b < 0 o C < 0, la función h(x) = Csen (bx + φ) también es unafunción sinusoidal.
32
Funciones Circulares
Ejemplo 1 Encuentre el conjunto solución de:
sen (x) >√
3 cos (x), x ∈[
π
2,3π
2
]
Solución La inecuación es equivalente a
1
2sen (x) −
√3
2cos (x) > 0
Como
sen(
x − π
3
)
= sen (x)cos(π
3
)
− sen(π
3
)
cos (x) =1
2sen (x) −
√3
2cos (x)
la inecuación queda:
sen(
x − π
3
)
> 0
33
Funciones Circulares
Además,
π
2≤ x ≤ 3π
2⇐⇒ π
6≤ x − π
3≤ 7π
6.
Luego, sen(
x − π
3
)
> 0 ⇐⇒ π
6≤ x − π
3< π ⇐⇒ π
2≤ x <
4π
3.
Ejemplo 2 Determine la o las soluciones de la siguiente ecuación
Arcsen(x + 1) + Arcsen(x) =π
2
Solución Sean α = Arcsen(x + 1); β = Arcsen(x) entonces
α, β ∈[
−π2 , π
2
]
. Además
sen(α) = x + 1
sen(β) = x⇒
cos(α) =√
1 − (x + 1)2
cos(β) =√
1 − x234
Funciones Circulares
Como α + β ∈ [−π, π]; de α + β = π2 podemos obtener
cos(α + β) = cos(π
2
)
= 0 = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
√
1 − (x + 1)2√
1 − x2 − (x + 1)x = 0
⇒√
1 − (x + 1)2√
1 − x2 − (x + 1)x = 0
⇒√
[1 − (x + 1)2](1 − x2) = x(x + 1)
⇒ [1 − (x + 1)2][1 − x2] = [x(x + 1)]2
⇒ −2x(x + 1) = 0
⇒ x = 0; x = −1
Volviendo a la ecuación original vemos que la única solución es x = 0.
35
Funciones Circulares
Ejemplo 3 Un puente de ferrocarril mide l metros de largo. Desde uno
de sus extremos el ángulo de depresión de una roca situada directamenteabajo del puente es α y desde el otro extremo el ángulo de depresión dela roca es β. Muestre que la altura del puente sobre la roca es:
h =lsen (α)sen (β)
sen (α + β)
Solución
l
x
y h
α β A B
C
P
36
Funciones Circulares
Aplicando teorema de los senos al triángulo ACB tenemos:
l
sen (π − α − β)=
x
sen (α)=⇒ x =
l sen (α)
sen (π − α − β)
Por definición de seno en el triángulo CBP y reemplazando obtenemos:
h =lsen (α)sen (β)
sen (π − α − β).
Como sen (π − α − β) = sen (α + β) tenemos lo pedido.
37