UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANNFACULTAD DE CIENCIASFUNCIONESREALESTEORA Y APLICACIONESMGR. MILTON CHAVEZ MUOZ (DOCENTE DE LA UNJ. BASADRE G.)TACNA2012 PERDr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBGFUNCIONES REALES1. NOCIONES PRELIMINARES.PAR ORDENADO. Sean a y b dos elementos, llamaremos par ordenado al objeto matemtico que se denota por (a;b), donde a es la primera componente y b es la segunda componente, en ese orden. La expresin (a;b;c) es llamada una terna ordenada.Ejemplo. Los siguientes son pares ordenados: (3,4), (2;4), (0;5), (3; 3), (5;0).IGUALDADDEPARESORDENADOS. Sean(a;b) y (c;d) dos pares ordenados, entonces estospares ordenados son iguales si sus componentes respectivas son iguales; es decir:(a;b)=(c;d) a=c y b=d.Ejemplo. Halle los valores de m y n para los pares ordenados (3n;5) y (4;m+2) sean iguales.Solucin. Igualando los pares se tiene que: n=1 y m=3.PRODUCTO CARTESIANO. Elproducto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se denota por AxB, es el conjunto de pares ordenados (a;b) con aA y bB. Simblicamente:AxB = {(a;b)/ aA y bB }.GrficaOBSERVACIONES.a. En general AxB BxA .b. Si A = B AxB = AxA = A2 .c. Si los conjuntos A y B son discretos con n(A)=n y n(B)=m, entonces el producto cartesiano AxB tiene nm elementos; es decir, n(AxB)=nm.Ejemplo. Sean los conjuntos A={0;3;6;9} y B={u;v;w}. Determinar AxB, BxB y n(AxB). Grafique en un sistema de coordenadas.Matemtica Primer ao2AxBX=RY=RDr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBGSolucin. Aplique la definicin del producto cartesiano y obtendr:AxB={(0;u), (0;v, (0;w), (3;u), (3;v), (3;w), (6;u), (6;v), (6;w), (9;u), (9;v), (9;w) }, n(AxB)= 4x3 =12BxB= {(u;u), (uv), (u;w), (v;u), (v;v), (v;w), (w;u), (w;v), (w;w)}.Ejercicio. Sean los conjuntos A={1;3;5;7} y B={2;4;6}. Determinar AxB, BxB y n(AxB). Grafique en un sistema de coordenadas.PLANO CARTESIANO. Es el producto cartesiano del conjunto de los nmeros reales R consigo mismo, se le denota por R2. Es decir, Plano Cartesiano = RxR= R2 . Adems en R2 los pares ordenados son de la forma (x;y) donde x es la primera componente llamada abscisa y se le toma en el eje real X=R, y es la segunda componente llamada ordenada y se le toma en el eje real Y=R.Ejemplo. Ubique en un plano cartesiano los pares ordenados: (3;4),(2;4),(0;5), (2;5),(3;3), (5;0), (3/2;3/4).Solucin. Como ejercicio.2. RELACIONES BINARIAS2.1 Definicin. Sean A y B dos conjuntos de nmeros reales, en donde A es el conjunto de partida y B esel conjuntodellegada. SellamarelacindeAenBacualquier subconjuntoRdel producto cartesiano AxB. Es decir:R AxB R2.- Decimos que x est en relacin con y si y solo six R y (x;y) R- Una relacin slo en el conjunto A es dado por R AxA = A2 .- Una relacin de A en B tambin puede ser representada mediante una regla de correspondencia, del modo siguiente:R = {(x;y) AxB / x R y} , donde x R y es la regla de correspondencia. 2.2 Dominio e Imagen de una Relacin. Para Una relacin R de A en B, se tiene:a) El Dominio.- Es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la relacin, es decir: Dom(R) = {x A / y B , x R y}b) La Imagen.- Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin, es decir: Im(R) = {y B / x A , x R y}Ejemplo. Sean A={1;2;3;4;5} , B={2;4;6}, Determinar las relaciones que se piden, con su dominio e imagen, definidas de A en B mediante las reglas de correspondencia dadas:R1 = {(x;y) AxB / x > y} R2 = {(x;y) AxB / x = y} R3 = {(x;y) AxB / y = 2x}R4 = {(x;y) AxB /x=y/2} R5 = {(x;y) AxB / y=6}Solucin. Se construye el producto cartesiano:AxB={(1;2), (1;4), (1;6), (2;2), (2;4), (2;6), (3;2), (3;4), (3;6), (4;2), (4;4), (4;6), (5;2), (5;4), (5;6)}Matemtica Primer ao3Dr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBGLos pares de cada relacin estarn enel producto cartesiano, veamos:R1 = {(x;y) AxB / x > y}= {(3;2), (4;2), (5,2), (5,4)}El dominio y la imagen, respectivamente, sern:Dom(R1)={3;4;5} Im(R1)={2;4}R5 = {(x;y) AxB / y=6}={(1;6), (2;6), (3;6), (4;6), (5;6)}El dominio y la imagen, respectivamente, sern:Dom(R5)={1;2;3;4;5} Im(R5)={6}GrficaNota. Hacer los dems como Ejercicio.2.3 Grfica de Relaciones en el Plano.Se reducen a tener grfica de ecuaciones e inecuaciones. Sean A y B subconjutos de R; una relacin R AxB R2se representa en el plano de modo tal que los valores x de A se tomen en el eje X y los valores y de B se tomen en el eje Y.Ejemplo. Bosquejar en el plano cartesiano las grficas de las siguientes relaciones:R1 = {(1;1), (1;2), (2;1), (2;2), (3;2), (2;3), (3;3), (4;4)}, A={1;2;3;4}R2 = {(x;y) R2 /y=x/3 } R3 = {(x;y) R2 /y=x/2 , x>0} R4 = {(x;y) R2 /x=3 }R5 = {(x;y) R2 /y=x2 } R6 = {(x;y) R2 /y=x3 } R7 = {(x;y) R2 /y=x3 4x }R8 = {(x;y) R2 /y0}con su respectiva relacin inversa.Solucin.Matemtica Primer ao5Dr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBGLa relacin inversa ser: R = {(x;y) R2 /y=x1/3 , x>0}0.5 1 1.5 2123450.5 1 1.5 2 2.5 30.20.40.60.811.21.4y = x3 ,x>0 y* = x1/3 ,x>0Grfica3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.INTRODUCCIN. Veamos algunos ejemplos orientadores en la idea de funcin.Ejemplo 1. Sea el conjunto A de los estudiantes del primer ao de la escuela de Farmacia y Bioqumica de la UN/JBG de Tacna, sea B el conjunto de los nmeros naturales y sea f la edad cumplida. Luego f es la relacin (funcin) que hace corresponder a cada estudiante su nica edad cumplida. Note que cada estudiante tiene una nica edad cumplida; esto caracteriza a una funcin.Ejemplo 2. Sea T el conjunto de todos los tringulos, sea B el conjunto de todos los nmeros reales positivos y sea f el rea. Asfliga a cada tringulo un nico nmero positivo que representa su rea.DEFINICIN. Una funcin fde un conjunto A en un conjunto B es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A exactamente un nico elemento y en B. Es decir, Simblicamente:f es una funcin de A en B si yslo si(x;y) f(x;z) f y=z .OBSERVACIONES. a. Una funcinfque va del conjunto A en el conjunto B se le denota entre otras formas por: f : A B f : AB / y=f(x) f={(x;y) / y=f(x)}x y=f(x)Tambin se lee: sea f una funcin de A en B .b. Grficamente a una funcin se la reconoce cuando al trazar rectas verticales por toda la grfica, esta es cortada a lo ms en un punto. En caso contrario no es una funcin.c. EnadelantelosconjuntosAyBrepresentarnintervalos denmerosreales (grficamente, intervalos la recta numrica), salvo que se exprese lo contrario.Matemtica Primer ao6Dr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBGEn esta grfica se representa una funcin.Ejemplo 1. Cules de los siguientes conjuntos son funciones?a. {(x;y) / y=x2 1} b. {(x;y) / x2=y2 } c. {(x;y) / x=2y+5}Solucin. (a) si , parbola (b) no, rectas que se cruzan en el origen(c) si, recta Verifique el porque en cada caso.Ejemplo 2. Sea la funcin f(x) = x3+x1 , hallar f(2), f(3), f(x) y f(a1).Solucin. f(2)= 12, f(3)=? f(x)= x3 x 1,f(a1)=?Ejemplo 3. Dada la funcin g(x) = x2 2x+3, hallar las races de la ecuacin g(x) = g(1).Solucin. {1;3}, verifique.DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIN. Siendo f una funcin de A en B, se tiene:a. Eldominiode una funcin f, que se denota por Dom(f), es el conjunto de valores x de A para los cuales existe un nico valor y en B.Simblicamente: Dom(f)= {xA/ ! yB y=f(x)} A.Nota. En muchos casos la funcin f es dada acompaada de su dominio.b. La imagen de una funcin f, que se denota por Im(f), es el conjunto de valores y de B para los cuales existe un valor x en A.Simblicamente: Im(f)= {yB/ xA y=f(x)} B.Nota. La imagen se determina despejando la variable x y determinando el recorrido de la variable y, y para verla en trminos de x se cambia x por y y viceversa. En muchos casos para determinar la imagen deuna funcin,esnecesarioconstruirla apartir de los valores x deldominio,usando las propiedades de los nmeros reales.Ejemplos. Determinar el dominio y la imagen de las siguientes funciones:a.11) (2xx f b. x x g 2 6 ) ( c. x xxy43 d. 29 ) ( t t F Solucin.Matemtica Primer ao7y=f(x)Dr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBG(a) En este caso el dominio se encuentra de la condicin: x2 1 0, de donde Dom(f)= R{1,1}.Para la imagen se despeja yyy1 +t y se aplica la condicin 01+yy, de donde la imagen ser el intervalo: Im(f)=< ;1].(b) Dom(g)=< ;3] Im(g)=[0;+>(c) Dom(y)= R{2;0;2} Im(y)= .Esta funcin puede generalizarse escribiendo funciones como f(x)=|g(x)|Ejemplo 1. Graficar la funcin valor absoluto, para10 x 10.Solucin. Tabular y graficar en el plano cartesiano.Ejemplo 2. Graficar la funcin f(x) =4 2 + x , para5 x 2.Solucin. Tabular y graficar en el plano cartesiano.-3 -2 -1 1 2 30.511.522.53-5 -4 -3 -2 -1 1 22468Grafica de f(x)=|x| Grfica de f(x)=|2x+4|f. FuncinRazCuadrada.Esla quetienecomoregladecorrespondencia: x x x f , ) (R.El Dom(f) = [0;+>, Im(f) = [0;+>.Su grfica es una semi - parbola que abre hacia la derecha.Generalizando est funcin se puede tener a x f ) ( , dondea es cualquier expresin real que depende de x, cuyo dominio sale de la condicin a 0.Ejemplo 1. Realizar la grfica de la funcin raz cuadrada.Solucin. Tabular y graficar en el plano cartesiano.Matemtica Primer ao15Dr. Dionicio Milton Chvez Muoz UN/JBGEjemplo 2. Para la funcin f(x) = 6 2 + x calcular su dominio, imagen y realizar su grfica.Solucin. Tabular y graficar en el plano cartesiano.2 4 6 80.511.522.53-2 2 41234Grfica dex x f ) ( Grfica de6 2 ) ( + x x fEjemplo 3. El rendimiento de un corrector esttico periodstico es estimado mediante la funcin f(t)=t21, donde f representa a los artculos corregidos y t es el tiempo dado en minutos. Calcular e interpretar f(0), f(2), f(8) y f(18).Solucin.f(0)=0, significa ... f(2)=1, significa ...f(8)=2, significa que pasados ocho minutos ha corregido dos artculos.f(18)=3 ...Observe que a medida que eltiempo pasa elnmero de artculos corregidos disminuye Por qu? Intente explicar en un contexto real.g. Funcin Mximo Entero. Es la que tiene como regla de correspondencia: f(x) = [[ x ]] si y solo si n x