Funciones booleanas
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FUNCIONES BOOLEANAS, DIAGRAMAS DE KARNAUGH Y COMPUERTAS LÓGICASProfesor: Roberto Rodriguez
Universidad Nacional del NordesteFacultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura
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INTRODUCCIÓN En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada Álgebra de Boole. Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta álgebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.
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ÁLGEBRA DE BOOLE: DEFINICIÓN Sea , es un álgebra de Boole si se verifica:
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PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Idempotencia Propiedades de acotación. Propiedades de absorción. Propiedades de los complementos: Involución: Leyes de Morgan
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EXPRESIONES BOOLEANAS Una expresión booleana es una suma de productos (llamados minitérminos) o un producto de sumas (llamadas maxitérminos). Ejemplo:
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DUALIDAD Dada una expresión booleana P, se llama dual de P, a la expresión booleana que resulta de intercambiar sumas y productos por productos y sumas, 0 por 1 y viceversa. Ejemplo en B: Si P es +0su dual es: Principio de Dualidad:
Si una proposición es derivable a partir de los axiomas del álgebra de Boole, su dual también lo es.
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FUNCIONES BOOLEANAS
Sea un álgebra de Boole. es una función booleana de grado n si:es una función
Ejemplo: B={0,1}
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MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS Cuando se plantea un problema, no siempre, la expresión dada u obtenida de una función booleana es la óptima. Por ello, generalmente, dicha expresión puede ser simplificada, mediante: Tablas de verdad. Propiedades del álgebra de Boole. Mapas de Karnaugh.
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TABLAS DE VERDAD Toda función booleana puede ser escrita en una forma estándar, llamada forma normal o canónica. Forma Normal Disyuntiva (FND): suma de minitérminos. Forma Normal Conjuntiva (FNC): producto de maxitérminos.
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TABLAS DE VERDAD: FND
Situación
Minitérmino
𝐹 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 )=𝐴´ 𝐵𝐶 ´+𝐴´ 𝐵𝐶+𝐴𝐵 ´𝐶+ 𝐴𝐵𝐶
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TABLAS DE VERDAD: FNC
Situación
Maxitérmino
𝐹 (𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷)=¿
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APLICACIÓN DE PROPIEDADES
Utilizando los axiomas y las propiedades vistas del álgebra de Boole podemos simplificar una función booleana.
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MAPAS DE KARNAUGH
Si f es una función booleana de grado n (n variables), el mapa de Karnaugh correspondiente consiste en una tabla de celdas. Dicha tabla puede ser utilizada para simplificar funciones booleanas. Cada celda representa un minitérmino y se coloca un 1 si dicho minitérmino aparece en la expresión de la función. Para simplificar la función booleana se agrupan los 1 que se encuentran en celdas adyacentes formando bloques cuadrados o rectangulares, llamados subcubos, de celdas. En los subcubos se descartan las variables cuyo valor cambia de una celda a otra.
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para dos variables.
Región A Región B Región A’.B’ Región A’.B
Región A’ Región B’ Región A.B’ Región A.B’
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para tres variables. 4 minitérminos
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para tres variables. 2 minitérminos
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para tres variables. 2 minitérminos
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para tres variables. En las extremidades
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Ejemplo para 4 variables. S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD++AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD
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DIAGRAMAS DE KARNAUGH Ejemplo para 4 variables. S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD++AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD
S = D+AC’+A´B´C
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COMPUERTAS LÓGICAS
Se utilizan para representar gráficamente funciones booleanas. Estos gráficos son utilizados en distintas áreas: mecánica, electricidad, electrónica e informática, entre otros.
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COMPUERTA LÓGICA AND
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COMPUERTA LÓGICA OR
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COMPUERTA LÓGICA NOT
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COMPUERTA LÓGICA NAND
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COMPUERTA LÓGICA NOR
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COMPUERTA LÓGICA XOR
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BIBLIOGRAFÍA BOGART, K. (1998): “Matemáticas discretas”. Editorial Noriega. México. GRIMALDI, R. (1998): “Matemáticas discreta y combinatoria. Una introducción con aplicaciones”. 3ra Edición. Editorial Prentice Hall. México. JIMENEZ MURILLO, J. (2009): “Matemáticas para la computación”. Alfa Omega Grupo Editor S.A. México. KOLMAN, B.; BUSBY, R. y ROSS, S.(1997): “Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación”. Tercera Edición. Pearson- Prentice Hall-México. ROSEN, K.(2004): “Matemática discreta y sus aplicaciones”. Quinta Edición. Editorial Mc Graw Hill. España.