Funciones
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C.E.P. Santa María de la Providencia
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Funciones (Algebra)
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IE RPP
C.E.P. Santa María de la Providencia
IE RPP
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Capítulo 1
IE RPP
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INECUACIONES DE 2DO. GRADO
Forma: ax2 + bx + c > 0ax2 + bx + c < 0
Ejemplo:
Resolver: x2 – 5x + 6 > 0Resolución:
1. Descomponiendo el polinomio:(x - 3) (x - 2) > 0
2. Hallando los puntos críticos:x – 3 = 0 x = 3x – 2 = 0 x = 2
Los puntos críticos son 2 y 3.
3. Ubicamos los puntos críticos en la recta numérica.
4. Colocando los signos en los intervalos formados.
5. Como la ecuación es de la forma P(x) > 0 la solución es la unión de los intervalos que tienen signo positivo.
:. x < - ; 2 > U < 3 ; + >PROBLEMAS
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01.- Resolver: x2 + 10 7x
a) b) c) d) e)
02.- Resolver: x2 – 3x – 10 < 0
a) b) c) d) e)
03.- Resolver: x(x-1) > 6
a) b) c) d) e)
04.- Resolver: x2 > 3x
a) b) c) d) e)
05.- Resolver: (x – 3 )2 = 9
a) b) c) d) e)
06.- Resolver: (x-3)(x+2) (x+6)(x+3)
a) b) c) d) e)
07.- Si el conjunto solución de: (2x+5)2 (x+4)2
es: [a;b] , calcular “a+b”
a) b) c) d) e)
08.- Calcular el conjunto solución: 2x2 – 2x 1
a) b) c) d) e)
09.- Resolver: -2x2 + 11x – 5 0
a) b) c) d) e) 10.- Si el conjunto solución de: (x-3) (x+5) (x+7) < 0
x ; ; 3 3
x ; ; 7 7
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es: < - ; x1 > U < x1 ; x3 >
a) b) c) d) e)
11.- Resolver: x2 - x - 20 < 0
a) xR b) x<-4;5> c) <-1;1> d) <-5;4>e) x<-;-4> <5;+>
12.- Resolver:
a) xR b) [-7;-6] c) [-7;6> d) xØe) x <-;-9> [8;+>
13.- Resolver: x2 – 9 ≤ 0
a) b) [-3;3]
c) [-3;3] d) [3;+> e) x R
14.- Resolver: x2 ≤ 49
a) [-7;7] b) c) x R
d) [-1;1] e) xØ
15.- Resolver: -x2 + 7x ≥ 0 dar su intervalo solución:
a) [0;7] b) [-7;7] c) [7;+ > d) <-;0] e) <-;7]
16.- Resolver: (x - 2)2 ≤ 16
a) x> b) x<-;6> c) <-2;6> d) <-;-2>e) x R
17.- Resolver: (x - 5)2 ≥ 4; indicar un intervalo
a) x≤ -4 b) x≤ 3 c) x≤ -1 d) x≤8 e) x≤2
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18.- Resolver: (x - 3)2(x + 3)2 ≤ 0
a) x = {3; -3} b) x R c) xØ d) xR - {0} e) N.A.
19.- Resolver: (x - 4)2 - 32 ≤ 0
a) [1;2] b) [1;6] c) d) e)
20.- ¿Cuántos valores enteros no negativos verifican:
4x2 – 4x – 49 < 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
21.- Resolver: 5x – 1 < (x+1)2 < 7x – 3
Indicar un intervalo solución:
a) x ;2> b) x <4;+> c) <2;4>d) <1;5> e) <-;2> U >
22.- Resolver: x2 – 8x + 2 ≥ 0 , se obtiene como conjunto solución x R - <a;b> . Indique a+b
a) 2 b) -1 c) 8 d) -8 e) -2
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Capítulo 2
IE RPP
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Son aquellas cuya variable aparece afectada por el operador radical.En este curso sólo estudiaremos la resolución de ecuaciones con radicales de índice 2.
Ejemplo:
Hallar “x” :
Solución:
Desarrollando: x + 1 + 2 + x – 1 = 1
Reduciendo: 2 = 1 – 2x
Elevando al cuadrado: (2 )2 = (1–2x)2
Desarrollando: 4(x2 – 1) = 1 – 4x + 4x2
Reduciendo: 4x = 5
x =
Ejercicios en Clase
IE RPP
Resolver cada ecuación:
01.-
02.-
03.-
04.-
05.-
06.-
07.-
08.-
09.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
Tarea Domiciliaria
Resolver cada ecuación:
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01.-
02.-
03.-
04.-
05.-
06.-
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08.-
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10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
Ejercicios de Complemento
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Resolver:
01.-
02.-
03.-
04.-
05.-
06.-
07.-
08.-
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10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
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Capítulo 3
IE RPP
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PAR ORDENADO.- Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a; b)
Donde:a: se llama primera componente
b: 2da componente
TEOREMA: (a, b) = (m, n) a = m ; b = n
I. PRODUCTO CARTESIANO.- El producto cartesiano de dos conjunto no vacíos A y B se denota por:
A x B = {(a,b) / a A y b B}
RELACIONES BINARIAS.- Se llama así a dos conjuntos no vacíos "A" y "B" y a todo subconjunto R del producto cartesiano AxB donde:
"A" se llama conjunto de partida"B" se llama conjunto de llegada
Ejm. Sea: A = {m,n} B = {p,q,r}
Gráficamente:
A x B = {(m, p); (m,q); (m,r); (n,p); (n,q); (n,r)}RANGO DE UNA RELACIÓN.- Son todos los 2º componentes
DOMINIO DE UNA RELACIÓN: Son todos 1ero componentes
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Ejm. Sea: A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5, 6} dos conjuntos
entonces los siguientes son relaciones entre A y B por ser subconjuntos de AxB
R1 = {(1,4) ; (2,5) ; (2,6)} AxB
R2 = {(2,2) ; (3,4)} AxB
R3 = {(x,y)AxB / 2x + y < 6} = {(1,2); (1,4); (2,2)} AxB
R4 = {(x,y)AxB / x + y = 7} = {(1,6) ; (2,5); (3,4)} AxB
PROBLEMAS
I. De los siguientes pares ordenado. Calcular:
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1. Si: (2x-1; 8) = (5; x+5). Indique x² + y
2. Si: (2x+5; 8) = (7; y+10). Indique xy + 2
3. Si: (5x-2; 6) = (4x+ ;5y). Indique 2(x+y)
II. Dados los siguientes conjuntos, hallar los "productos cartesianos" correspondientes graficándolos.
4. A = { x/x N 1< x < 4}B = { x/x N 3 ≤ x ≤ 5}
5. P = {y/y N; y = 3x+1 2< x <7}N = {x/x Z; x = y-3 -1≤ y ≤1}
III. Dados los conjuntos "A" y "B". Hallar la relación R de A en B cuya regla de correspondencia se indica:
6. A = {1; 2}B= {1,2}Hallar: M = {(x,y) AxB / y = 2x}regla de correspondencia es y = 2x
7. A = { x N/ x es impar 7≤ x ≤12}B = {x N/ x es par 5< x <11}Determinar: R = {(x,y) AxB / x + y = 15}
8. Si: A = {x N / x es impar; x}B = {x N / x es par; x}
Determinar: V = {(x,y) AxB / x + y <12}
9. Del siguiente enunciado:
S = {(2,3); (1;5); (2,4); (1,7)}
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Determinar el dominio de "S"
10. Si: A = {1,2,3} ; B = {2;5} M = {x,y) AxB / x + y ≤ 5}; determinar el n(M).
11. Sea: A = {1,2,3,4,5} y las relaciones en "A"
F = {x,y) AxA / x < y}G = {x,y) AxA / x + y = 5}¿Cuántos elementos tiene FxG?
12. Sea: A = {1,2,3} ; B = {0,1,2,3} R1 = {x,y} AxB / x + y = 4; indique el n(R1)
13. Dados los conjuntos A = {2; 3; 5} B = {x N / 0≤ x ≤3}. Hallar el número de elementos de
"AxB"
14. Sea: A = {x N/ x ≤ 9} y definimos:R={(x,y) A² / y = x}S={x,y) A² / y = 2x}
Hallar el valor de: n(R) - n(S)
FUNCIONES I
DEFINICIÓN.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función
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de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x A un único elemento, y B.
NOTACIÓN FUNCIONAL:
f : A → B A → B
Se lee f es función de A en B
CONDICIÓN DE EXISTENCIA Y UNICIDAD:
Sea: f : A → B
I. Para cada x A, ! y B/(x;y) f II. Si: (x;y) f (x;z) f y = z
Ejemplo:
f = {(1,a); (2,b); (3,b); (4,c)}
cumple la definición es función:
En cambio:
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f = {(5,a); (9,b); (9,c) (13,a)}
No se cumple la condición de unidad no es función.
Observación: No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función.
Ejemplo:
f = {(3, a-3); (5,7); (3,8); (5, b-1); (2,9)}
es función siempre y cuando:
a - 3 = 8 b - 1 = 7
es decir: a=11 b=8.
Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom f.
Df = {x A / ! y B / (x,y) f}
Ejemplo:
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Sea: f = {(1,2) ; (4,7); (5,4); (9,10)} Df = {1, 4, 5, 9} Rf = {2, 7, 4, 10}
Regla de correspondencia: Es la relación que existe entre las primeras y segun-das componentes de una función.
Donde:
x : variable independientey : variable dependiente
Sea la siguiente función:
f = {(1,1); (2,4); (3,9); (4,16); ...........}
Luego:
f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9 ; f(4) = 16 .......
En general:
f (x) = x² ; x N
Teorema: Si f es una función R en R toda recta paralela al eje "y" corta la gráfica a lo más en un punto.
PROBLEMAS
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01. Hallar el dominio y el rango de la siguiente función:
F = { (5;3), (2m+3;1) (6;3m-1) (6;8) }
Rpta: ...........................
02. ¿Cuál es el dominio de la relación R siguiente?
R = {(7,3) ; (5,2) ; (7,4) ; (7;1)}
Rpta: ...........................
03. Calcular el valor de "r" para que la siguiente relación sea una función:
R = {(5;-1) ; (6;5) ; (3;5r+7) ; (3;13+3r)}
Rpta: ...........................
04. Graficar la función cuya regla de correspondencia es: y = f(x) = 3x+6 los puntos: A(-2,0); B(1,9) y C(-5;-9) pertenecen o no a la función dada ¿Porque?
Rpta: ...........................
05. Dada la función: f(x) = x² + 7x + 1. Calcular f(3) + f(1).
Rpta: ...........................
06.¿Cuál de las siguientes gráficas no corresponde al de una función?
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a) I b) II c) II y III d) I y II e) Todas
07. Hallar la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos (-1;3) y (2;0)
Rpta: ...........................
08. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función y por qué?
09. Hallar la función de la gráfica el dominio y el rango.
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10. Si el par ordenado: (x;3) (5;y)Hallar: xy
Rpta.: .....................
11. Si: f = {(3;b);(2;5);(3;2);(4;15);(2;a)} es una función. Hallar: a+b
Rpta.: .....................
12. Hallar: "m" si la suma de las imágenes es 10 del siguiente par ordenado:
R1 = { (2,m) , (3;1) , (0;2m) , (4;5-m)}
Rpta: ...........................
13. Sea la función "f" tal que:
f = {(2,5); (3;a²); (2;a+b); (3;4); (b;5)}
Hallar: a.b
Rpta: ...........................
14. Sea: (m + n ; 25) = (-19; m-n) ; indique: m.n
Rpta: ...........................
15. Sea: A = {1; 2; 3; 4} y " f " una función definida en "A" por A.
f = {(1;3) ; (2;m) ; (m+1;2) ; (1;n-1)
Calcular: f(1) - f(2) + f(4)
Rpta: ...........................
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FUNCIÓNFUNCIÓN
DefiniciónDefinición
Una relación f de A en B denotada por f: A →B es una función si y sólo si a cada elemento x Є A, le corresponda un único elemento y Є B a través de f.
Simbólicamente:
f : { (x;y) Є AxB / y = f(x)
Dicho de otra manera, si f es una relación entre dos conjuntos A y B, diremos que f es una función si se verifica las siguientes condiciones:
1ra. f AxB
2da. Si: (x;y) Є f (x;z) Є f y = z
Gráficamente una función debe guardar siempre un principio:
Si una recta imaginaria paralela al eje “y”, corta a su gráfica en un solo punto, entonces se podrá afirmar que es una función. De lo contrario no será una función.
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Ejemplo: Dado los conjuntos:
A = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }B = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }
Hallar:
a) f = { (x;y) Є AxB / y = x+1 }b) Dom(f) y Ran(f)c) Representar la función mediante un diagrama sagital.d) Representar la función mediante un diagrama cartesiano
Solución:
a) La función f es un conjunto de pares ordenados (x;y) donde xA yB que satisfacen la igualdad: y=x+1.
Hallamos dichos pares ordenados, tabulando:
x y = x+1 Pares ordenados2 y = 2 + 1 = 3 B (2;3) f4 y = 4 + 1 = 5 B (4;5) f6 y = 6 + 1 = 7 B (6;7) f8 y = 8 + 1 = 9 B (8;9) f
f = { (2;3) , (4;5) , (6;7) }
Donde:
A: es el conjuntro de partidaB: es el conjunto de llegaday = f(x) : es la regla de correspondenciaDom(f) : es el dominio de fRan(f) : es el rango de f
b) Dom(f) = { 2 ; 4 : 6 } Ran(f) = { 3 ; 5 ; 7 }
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c) Diagrama sagital:
d) Diagrama Cartesiano
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EJERCICIOS
I. Para cada uno de los siguientes ejercicios “A” es el conjunto de partida y “B” es el conjunto de llegada. Hallar los pares ordenados de la función:
1) A = { 1; 2; 3; 4 }
B = { 3; 4; 5; 6 }
f = { (x;y) AxB / y=2x }
2) A = { -3; -2; -1; 0 }
B = { -1; 0; 1; 2 }
f = { (x;y) AxB / y=x+1 }
3) A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }
B = N
f = { (x;y) AxB / }
4) A = { xN / –2< x < 5 }
B = { 2; 4; 7; 10; 13 }
f = { (x;y) AxB / y=3x+1 }
5) A = { xZ / –5< x 1 }
B = { 3; 4; 5; 8; 15 }
f = { (x;y) AxB / y=x2 –1 }
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II. En cada una de las siguientes funciones hallar los valores de “a y “b”.
a) f1 = { (2;-3) , (4;1) , (2;a) , (4;b) }
b) f2 = { (7;5) , (4;a) , (7;b) , (4;12) }
c) f3 = { (-3;a) , (-3;-2) , (7;-1) , (7;b) }
d) f4 = { (-6;a+1) , (-4;b-2) , (-6;-5) , (-4;8) }
e) f5 = { (1;3) , (5;8) , (5;a-7) , (1;b-13) }
f) f6 = { (3;6) , (3;a-5) , (3;b+1) }
g) f7 = { (-7;a+b) , (2;a-b) , (2;3) , (-7;7) }
h) f8 = { (-10;a-b) , (-10;2) , (1;7) , (1;b) }
i) f9 = { (12;3a+1) , (8;2b-1) , (8;9) , (12;22) }
j) f10 = { (-9;5a) , (-9;10) , (3;b+4) , (3;2-b) }
III.- Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones
a) F = { (2;3) , (4;5) , (2;x+3) }
b) G = { (4;7) , (4;m+1) , (5;-2) , (5;n) }
c) H = { (5;z+2) , (5;10) , (-3;y+2) , (-3;8) }
d) T = { (0;8) , (0;m+4) , (1;a+4) , (1;17) }
IV.- Resolver:
01.- Si: F = { (2;a+3) , (2;2a–1) , (4;b+3) , (a;3b–1) }Es función, calcular “a.b”.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
02.- Si: G = { (1;1-m) , (1;m-1) , (m;b) , (b;m) }Es una función, calcular “m+b”
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
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03.- Sea la función: F = { (2;5) , (-1;3) , (2;2a+1) , (-1;b-a), (b;a+1) , (8;ab) }
Calcular “m” de:
F(F(2)) + m = F(8)
a) 12 b) 13 c) 7 d) 9 e) 10
04.- ¿Cuál de los diagramas sagitales no representan una función?
a) Sólo f b) Sólo g c) Sólo h d) f y g e) f y h
05.- Dada la función: H(x) = ax+b. Hallar a–b, conociendo la siguiente tabla para esta:
a) –3 b) –2 c) –4 d) –1 e) 6
06.- Sea: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} ; y “F” una función definida en “A” por “A”. F = { (1;3) , (2;m) , (m+1;2) , (1;n–1) }
Calcular: F(1) – F(2) + F(4)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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EJERCICIOS
I. Evaluar las funciones siguientes:
1. f(x) = x2 + x - 2Hallar: f(1) + f(0)
2. Dado: f(x) = 3x - 1Calcular: f(2) - f(-2)
3. Hallar: f(0) + f(-1) + f(1)
Si: f(x) = 2x2 + x - 1
4. Si: f(x) = 1 - x3
Hallar: f(-1) + 2f(0)
5. Si: f(x) = 3 - x - x2
Calcular:
E =
f - ff
(-1 ) (-2)
(0)
6. Si: f(x) = 2x2 - 1Hallar:
E =f - f
f + f
( ) ( )
(1) (0)
13
14
7. Dado: f(x) = 6 - x3
Hallar: f(0) - f(2) + 5f(1)
8. Dado:
f =( x )x + 1x - 1
Hallar:
f + f
f + f
(2) (3)
(-1 ) (0)
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PROBLEMAS REPASO 1
1. Si se tiene la siguiente función: f(x) = 3x + 5
Calcular: f(2) + f(3)a) 25 b) 27 c) 23 d) 17 e) 19
2. Si se tiene la función: f(x) = 2x2 + 5Calcular: f(1) + f(-1)
a) 0 b) 10 c) 14 d) 17 e) 21
3. Si se tiene la función: f(x) = xx + 3Calcular: f(2) + f(1) + f(3)
a) 103 b) 37 c) 43 d) 41 e) 57
4. Si se tienen las funciones:f(x) = 8x - 5 ; g(x) = x - 3Calcular: f(3) + g(2)
a) 29 b) 33 c) 21 d) 17 e) 18
5. Si: f = {(3;4), (5;3), (2;-3), (4;1)}; es una función. Calcular: f(3) + f(2) + f(4)a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Si: f = {(3;-5) ; (4;8) ; (5;0) ; (2;5) (-3;7)} es una función:Hallar:
a) 5/8 b) 0 c) 8/7 d) -7/5 e) 5/7
7. Si: f = {(2;6), (1;a), (2;b), (1;2)} es una función. Hallar: "a.b"
a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 24
8. Si: f = {(5;a-2) , (7;8) , (5;2) , (7;b+5) , (1;2)} es una función. Hallar: "a + b"a) 12 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9
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9. Dadas las funciones:f = {(3 ; 5) (4 ; 9) (5 ; 12)}g = {(2 ; 3) (5 ; 4) (9 ; 3)}
Calcular: f(g(2)) + g(f(4))a) 12 b) 9 c) 5 d) 7 e) 8
10. Si se tiene las funciones: f = {(2 ; 1) (5 ; 3) (0 ; 2)} g = {(1 ; 2) (3 ; 5) (2 ; 0)}
Calcular: f(g(1)) + g(f(0))a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
11. Si: (2x + 3y; 4) = (16 ; 2x - 3y) Indicar: (xy ; x - y)
a) (10 ; 9) b) (10 ; -3) c) (10 ; 3) d) (6 ; 1) e) (6 ; -1)
12. Sea la función: f = {(1 ; 3) , (2 ; 9) , (3 ; 5) , (0 ; a)} donde: f(0) + f(3) = 12; Hallar "a"
a) 2 b) 3 c) 7 d) 12 e) 4
13. Dadas las funciones: f = {(1 ; 2) (3 ; 1) (5 ; 3)} g = {(3 ; 2) (1 ; 5) (2 ; 3)}Hallar:
f + gf + f
(1) (3)[g ] [g ](1) (2)
E =
a) 1 b) 2/3 c) 5/4 d) 1/3 e) 3/5
14. Si: f = {(2 ; 6), (1 ; a-b), (1 ; 4), (2 ; a+b), (3 ; 4)}es función. Hallar: "a.b"a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 8
15. Sea:f = {(2 ; 9), (3 ; 6), (0 ; 5), (1 ; 2)}g = {(7 ; -1), (1 ; 2), (4 ; 3)}
Hallar: f [g(1)] + f [g(4)]a) 15 b) 3 c) 54 d) 65 e) 18
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PROBLEMAS REPASO 2
1. Calcular "a" de la función.F = {(3; a-4), (5;7), (3;7)}
a) 3 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17
2. Calcular el rango de la función:F = {(2;4), (5; a+2), (2; a-3)}
a) {4} b) {4; 9} c) {2;5} d) {5} e) {2}
3. Calcular "n" en la función:
F = {(4;25), (5;4), (4; n2), (n; 6)}
a) 3 b) 4 c) 5 d) -5 e) 6
4. Calcular el dominio de la función:
F = {(7;4), (k;3), (2;5), (7;k2)}
a) {2, 7} b) {7} c) {2} d) {-2, 2.7} e) {4, 5.3}
5. Dadas las funciones:
F = {(4;3), (2;7), (3; 6)}G = {(1;2), (2;3), (3; -4)}
Calcular: F[G(2)]
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
6. Sea la función:
F = {(3;5), (6;b), (3;a), (a-b; a+b), (6;1)}Hallar: f(4)
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
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7. Sea la función: f(x) = ax + bSi los pares ordenados: (0;5), (2;0) pertenecen a " f ". Calcular: f(2)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
8. Sea la función:
f(x) = x2 + x + 5Si el par ordenado: (-1; m) pertenece a " f ". Calcular "m"
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Hallar el dominio de la función:
2
2
-3
-4
a) [-3;2] b) [-4;2] c) <-4;2] d) <-3;2> e) <-4;2>
10. Si:
fx x
x( x )
x
3
2
0
1 0
;
;
Calcular: f [ f (-1)]
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
11. Hallar la suma de los elementos del dominio de:
f = {(4; 25), (5;4) (4;m2), (m;6)]
a) 4 b) 14 c) 18 d) 8 e) R
IE RPP
12. Sea la función:
f = {(1; a+b); (2; a-b), (1;11), (2;7)} Hallar: E = ab
a) 9 b) 2 c) 18 d) 27 e) 21
13. Sea: f : A B
f = {(2; 5), (1; 3), (0; -2), (-1; 3)}
Hallar: f(0) + f(1) + f(-1)
a) -2 b) -3 c) 3 d) 4 e) -8
14. Sea la función:
g = {(1;3), (2;9), (3;5), (0;a)} donde: g(0) + g(3) = 12
Hallar "a"
a) 2 b) 3 c) 7 d) 12 e) 4
15. Sea: f = {(3; 4), (2; 5), (-1; 4), (-3; 8)} g = {(2; 1), (3; -1), (-1; 0), (6; -3), (1; -1)} Hallar: E = f [g(1)] + f [g(3)] + f [g(6)]
a) 4 b) 5 c) 8 d) 16 e) 12
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FUNCIÓN LINEAL
Es una función con dominio en todos los reales y como regla de correspondencia: F(x) = ax+b, donde “a” y “b” son constantes cualesquiera. (a≠0)
Ejemplo:
Graficar y hallar el dominio y rango de la función F definida en Z por: y = F(x) = x+3
Tabulando:
xy =F(x) =
x+3Par
Ordenado
-1 y = -1 + 3 = 2 (-1;2)
0 y = 0+3 = 3 (0;3)
1 y = 1+3 = 4 (1;4)
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FUNCIÓN CONSTANTE
Si en la función: y = ax+b ; a=0 ; entonces la función resultante es: y = b ; a esta función se le denomina Función Constante
Ejemplo:
La gráfica y = 4 ó F(x) = 4
D(f) = N R(f) = {4}
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FUNCIÓN IDENTIDAD
Si en la función: y = ax+b ; a=1 y b=0 ; entonces la función resultante es: y = x ; a esta función se le denomina Función Identidad
La función identidad, y=x , nos dice que todos sus pares ordenados gozan de la característica siguiente: “Su segunda componente, es igual a su primera componente”.
Ejemplo:
La gráfica y = x ó F(x) = x
D(f) = R
R(f) = R
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FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Es la función definida por:
F(x) = ó y =
x y = Si: x 0
0 y = (0;0)
1 y = (1;1)
4 y = (4;2)
9 y = (9;3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
El dominio de una función de la forma y =
Es el conjunto de todos los números reales “x” que satisfacen la desigualdad g(x) 0
IE RPP
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La fundón valor absoluto es una función real, definida por:
F(x) = | x | ó y = | x |
Esta función puede expresarse de la siguiente manera:
y =
Esta notación se intercepta como la unión de dos funciones, veamos:
x ≤ 0 x ≥ 0
x ; Si: x ≥ 0
- x ; Si: x ≤ 0
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Ejemplo: Hallar el dominio y rango de la función: F(x) = |x-2|+1
De la definición de valor absoluto:
|a| =
Obtenemos:
Luego:
x y = -x+3 Si: x<2
2 y = -2+3=1 (2;1)
1 y = -1+3=2 (1;2)
0 y = -0+3=3 (0;3)
-1 y = -(-1)+3=4 (-1;4)
Luego:
ó
x y = x-1 Si: x≥2
2 y = 2-1=1 (2;1)
3 y = 3-1=2 (3;2)
4 y = 4-1=3 (4;3)
5 y = 5-1=4 (5;4)
a ; si: a≥0
- a ; si: a <0
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
La gráfica de una función cuadrática es una PARÁBOLA, la cual puede ser abierta hacia arriba o hacia abajo
y = ax2 + bx + c
* Si a > 0 la parábola se abre “hacia arriba”
En este caso el vértice es el punto mas bajo de la parábola
y – k = a(x – h)2
* Si a < 0 la parábola se abre “hacia arriba”
En este caso el vértice es el punto mas altode la parábola
y – k = a(x – h)2
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Ejercicios en Clase
I. Dada las siguientes funciones lineales, calcular los pares ordenados de sus interceptos con los ejes “x” e “y”.
a) f(x) = -2x – 6
b) f(x) = -6x - 3
c) f(x) = 4x+3
d) f(x) = -2x + 4
e) f(x) = x - 1
II. Graficar las siguientes funciones:
a) y = 6 b) y = 9 c) y = -6 d) y = -2
III.- Graficar las siguientes funciones y hallar el dominio y rango
a) y = 2x + 3 b) y = 3x + 1c) y = 2x + 1 ; x <0;3]d) y = x ; x <-6;4>
e) y = x – 4 ; x <-;3]
01.- Graficar dando su dominio y rango
a) y – 2 = 4(x – 1)2
b) y – 1 = 2(x – 2)2
c) y – 3 = (x – 4)2
d) y + 1 = 6(x – 3)2
e) y + 5 = 4(x – 1)2
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Tarea Domiciliaria
I. Dada las siguientes funciones lineales, calcular los pares ordenados de sus interceptos con los ejes “x” e “y”.
a) f(x) = -2
b) f(x) = -x + 4
c) f(x) = 2x+6
d) f(x) = -5x + 10
e) f(x) = - x + 1
II. Graficar las siguientes funciones:
a) y = -1/2 b) y = 8 c) y = -3
III.- Graficar las siguientes funciones y hallar el dominio y rango
a) y = -x + 4b) y = x – 2 ; x [-2;2]c) y = – x + 3 ; x <-3;2]
d) y = x ; x <;6]
IV.- Graficar dando su dominio y rango
a) y – 5 = 4(x – 2)2
b) y – 1 = 2(x – 1)2
c) y + 2 = (x + 4)2
d) y -3 = 8(x –2)2
e) y + 2 = 4(x +4)2
IE RPP
V.- Graficar cada función, hallar su dominio y rango
a) y = x+1b) y = x-3c) y =x+4d) y = x-5e) y = -x+2f) y = -3-xg) y = 4 + x-1h) y = x+4-1
i) y = x – 3
j) y = x+1
VI.- En cada caso dar la función cuadrática que originó cada gráfica además de su dominio y rango.
a) b)
c) d)
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VII.- Graficar y dar su dominio y rango
a) y = -x2
b) y = 4x2
c) y = x2 + 6x
d) y = -2x2 + 3x
e) y = 3x2 + 18x + 29
f) y = -2x2 + 4x + 3
g) y = x2 – 4x
h) y = x2 + 4x + 1
i) y = x2
j) y = - x2 – 4x
VIII.- Sea la función:
F(x) = – x2 – 3x –
Cuya gráfica es:
Halle M + N
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FUNCIÓN INYECTIVA
Una función f: A B, es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio se hacen corresponder imágenes distintas, es decir a ninguna imagen llegan dos flechas.
A f : AB A
FUNCIÓN SURYECTIVA
Una función f: A B es suryectiva, cuando el rango de la función es igual al conjunto de llegada B
A f : AB B
FUNCIÓN BIYECTIVA
Sea la función: A f : AB B
Una función f: A B es inyectivasi para todo x1 , x2 A
f(x1) = f(x2) x1 = x2
Una función f: A B es suryectiva, si para todo elemento y B, existe un elemento x A ; tal que:
(x;y) f ó y = f(x)
Se observa que: f: es inyectiva y como R(f) = B ; también es suryectiva. Luego:Una función f: AB se llama función biyectiva o es una bisección, si f es inyectiva y suryectiva.
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INVERSA DE UNA FUNCIÓN
Dados dos conjuntos A y B y una función f: A B, se define f-1, la función inversa de f.
f-1 : B A ; f-1 = { (y;x) / y = f(x) }
Si: f-1 es una función, entonces se dice que f-1 es la función inversa de f.
EJERCICIOS
01.- Dados los conjuntos:A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } B = {a ; b ; c}Y la función: f = { (2;b) , (3;a) , (1;a) , (4;c) }
a) ¿es inyectiva?b) ¿es suryectiva?c) ¿es biyectiva?
02.- Dados los conjuntos:A = { 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 }B = { 2 ; 4 ; 6 }y la función: f = { (x;y) AxB/ y = x+1 }
a) ¿es inyectiva?b) ¿es suryectiva?c) ¿es biyectiva?
03.- Dados los conjuntos:A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 } B = { 2 ; 4 ; 6 ; 7 }y la función: f = { (x;y) AxB/ y = 2x }
a) ¿es inyectiva?b) ¿es suryectiva?c) ¿es biyectiva?
IE RPP
04.- Dado los conjuntos: A = { 1 ; 3 ; 5 ; 6 }B = { 5 ; 9 ; 11 ; 15 }y la función: f = { (x;y) AxB/ y = 2x+3 }
a) ¿es inyectiva?b) ¿es suryectiva?c) ¿es biyectiva?
05.- Entre los conjuntos:
A = { a ; b ; c ; d ; e }B = { r ; s ; t }Se han definido las siguientes funciones:
a) F1 = { (a;r) , (b;s) , (c;s) , (d;r) , (e;t) }b) F2 = { (a;s) , (c;t) , (d;r) }
¿En alguna de ellas, la inversa es función?
06.- Dados los conjuntos:A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 }B = { x N / 0 < x < 7 }
y la función “f” definida por:f: A B / f(x) = 2x – 3 Hallar el dominio de f.
07.- Hallar el dominio y rango de la función:
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08.- Hallar el área de la región sombreada por la función: g(x) = –2x+3; con los ejes de coordenadas cartesianas.
09.- Hallar el área de la región formada por la función lineal: f(x) = –2x – 5 ; y los ejes de coordenadas.
10.- Hallar el área de la región formada por las funciones: F(x) = 8 ; G(x) = x y el eje “y”.
11.- Si las funciones:F(x) = –x+3 G(x) = x2+2x–7
Se intersectan en los puntos (m;n) y (p;q). Hallar “m.p+n.q”
12.- Señale la suma de los elementos del rango de la función:f(x) = 2x+3 ; siendo: x = {1;2;3}
SRINIVASA RAMANUJAN
IE RPP
(1887 - 1920)
Durante su corta vida (32 años), Srinivasa Ramanujan, el más famoso matemátic o de la India contem-poránea, escribió unos 3000 teoremas en muchas ramas de las matemáticas: teoría de números, funciones elípticas, fracciones continuas y muchos más. Algunos de sus teoremas son "extraños", según dice su colega británico G. H. Hardy (1877 - 1947), y todavía se están estudiando.
Nació en el sur de la India, en una familia muy pobre, pero de casta muy alta, tan pobre era que no podía comprar papel, inventaba sus matemáticas escribiendo con tiza en una pizarra. A los 26 años obtuvo fondos para ir a Inglaterra a trabajar con G.H. Hardy.
Una vez, Ramanujan estaba muy enfermo en un hospital de Londres; Hardy lo fue a visitar y dijo al llegar:
- Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de mal agüero.
- Al contrario- replicó Ramanujan - el número no es nada banal, es un número muy interesante. Es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas.
1729 = 13 + 12
3 = 9
3 + 10
3
Otra hazaña numérica de Ramanujan fue el haber conjeturado que el número , compuesto por 3 irracionales, eran número entero. En 1974, en las computadoras de la Universidad de Arizona (E.U.A.), se comprobó que, efectivamente, era el número 262 537 412 640 768 744.
Ramanujan hacía cómputos mentales con una facilidad extraordinaria, en una de sus libretas, encontrada en 1976, aparecen miles de fórmulas matemáticas entre las cuales figura la siguiente:
