1Departamento de Ciencias

CÁLCULO 1

Funciones: Función lineal, cuadrática y raíz cuadrada

2

Saberes Previos

3

¿Qué pasó con la leche?

4

Ley de Maduración de Ostwald

El radio de las partículas crece según la relación :

La maduración de Ostwald es un fenómeno observado en soluciones sólidas o líquidas de soles que describe el cambio de una estructura homogénea con el tiempo. Con el tiempo, los cristales pequeños o partículas de sol se disuelven, y vuelven a depositar en grandes cristales o partículas de sol.

Donde:

¿Esta ley será aplicable al proceso de obtención del queso?

¿Qué tipo de variables se necesitan?

5

Una fábrica de empaques desea diseñar cajas abiertas de una pieza de cartón de 20 cm por 40 cm, cortando cuadrados de longitud lateral de “x” cm en cada una de sus esquinas. Para ello se doblan las solapas hacia arriba para construir una caja sin tapa, como se muestra en la figura:

a) Exprese el volumen V de la caja en términos de xb) ¿El Volumen hallado en el ítem anterior es una función?c) En caso afirmativo, indique la variable dependiente e independiente.d) ¿Para qué valores de x está definida la expresión matemática que representa el volumen?

DISEÑO DE CAJAS CON AYUDA DE LAS MATEMÁTICAS

6

Si se conocen ciertas causas se puede conocer las consecuencias

¿Cómo obtenemos f(x)?

• A cada precio del petróleo le corresponde

• A cada velocidad le corresponde

• A cada altura le corresponde

• Un precio del transporte

• Una distancia recorrida

• Una presión atmosférica

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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve

problemas vinculados a gestión e ingeniería a

partir de las Funciones, usando el cálculo de su

Dominio, su regla de correspondencia y la lectura

de su Gráfica.

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Es decir, una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

FUNCIÓN

Una función se define formalmente de la siguiente manera:

Sea f: A B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada xA hay un solo yB, tal que x f y, que se denota como: y = f(x)

i

Al conjunto B se le llama RANGO, Ran(f)=Bii

A la relación f se le conoce como REGLA DE CORRESPONDENCIAiv

A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Rango o Recorrido de la función.

iii

Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A

9

2 .

3 .

5 .

7 .

. 4

. 9

. 25

. 49

fA B

Ejemplos: Identifique las correspondencias que son funciones

Función

x .

y .

z .

w .

. 1

. 2

. 3

. 4

fA B

Relación

1 .

6 .

8 .

9 .

. a

. b

. c

. d

fA B

Función

L .

M .

J .

V .

. 4

. 9

. 25

. 49

fA B

Relación

10

Ejemplo

En la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses).

Edad (meses)

Longitud (cm)

2 4 3 8 4 15 6 29 7 34 8 38 9 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. El par (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.

11

¿Por qué no todas las relaciones son Funciones?

12

Toda función es una relación pero no toda relación es una función.

13

Gráfica de una función

14

Clasificación de las funciones

Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potencia.

A

Ejemplos

2( ) 3 2f x x x Función cuadrática

B

1 21 2 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a x a C

Función Polinomial (entera) de grado “n”( )f x ax b

Función lineal

1 21 2 1 0

1 21 2 1 0

...( )( )

( ) ...

n nn nm m

m m

a x a x a x a x aP xr x

Q x b x b x b x b x b

D

Funciones Racionales

Función Racional No entera

15

A

Ejemplos

2( ) 5f x x

Las funciones irracionales incluyen radicales en la regla de correspondencia

B

1( )

2

xf x

x

C

2( ) 1f x x x

2( )

4

xr x

x

D

Funciones Irracionales

1( )

2

xf x

x

E

16

Dominio de una función:Está formado por el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.

Rango de una función:Está formado por el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Dom( f ) { x A / ! y B tal que: ( x ;y) f }

Ran( f ) { y B / x A tal que : y f ( x)}

Dominio y Rango de una función

Ejemplo

Gráfica y Funciones Especiales

Función Constante Una función constante f se define así:

f = {(x, y) R x R / y = f (x) = c, c = constante}

Además: Dom(f) = R y Ran(f) = {c}

Su representación gráfica es:

X

Y

y = f (x) = c

0

c

Función Identidad Una función identidad f se define así:

f = {(x, y) R x R/ y = f (x) = x}

Además: Dom(f) = R y Ran(f) = R

Su representación gráfica es:

x f(x)

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

18

Funciones obtenidas a partir de otras

Ejemplo 01:Grafique f(x) = -2

0

-2

3

X

X 0 3

f (x) =-2 -2 -2

Y

Ejemplo 02:Grafique f(x) = 3x-2

0

-2

4

2 X

Y

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Función Cuadrática Una función cuadrática f se define así:

f = {(x, y) R x R/ y = f (x) = x2}

Además: Dom(f) = R y Ran(f)= R+

Su representación gráfica es una parábola

x f(x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Función Raíz Cuadrada

Una función raíz cuadrada f se define así:

f = {(x, y) R x R/ y = f (x) = }

Además: Dom(f) = [0; ) y Ran(f) = [0; >

Su representación gráfica es:

x f(x)

-1 No real

0 0

1 1

2 1,4142..

4 2

9 3

16 4

20

Funciones obtenidas a partir de otras

Ejemplo 01:Grafique

2a) f ( x) 2x 8x 9

Ejemplo 02:Grafique

2b) f ( x) 2 6x 3x

Hallar el vértice en cada caso mediante:

b bV h,k , f

2a 2a

Entonces el vértice es V (2,1)

Como entonces la parábolase abre hacia arriba.

a 2 0

Entonces el vértice es V ( 1,5)

Como entonces la parábola se abre hacia abajo

a 3 0

2f ( x) ax bx c

Funciones obtenidas a partir de otras

Ejemplo 01:Grafiquea) f ( x) x 5

Ejemplo 02:Grafiqueb) f ( x) x 2

Dom( f ) : x 5 0x 5

Ran( f ) : y 0;

2

-5 0 X

Y

-1 4 11

34

Dom( f ) : x 2 0x 2

Ran( f ) : y ;0

-1-2 -1

X

Y

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FUNCIONES ESPECIALES

TIPOS REGLA DE CARRESPONDENCIA DOMINIO GRÁFICA

CONSTANTE

LINEAL

CUADRÁTICA

RAIZ CUADRADA

Tabulando

Trasladando y reflejando

f ( x) k , k

f ( x) mx b

2f ( x) ax bx c

xxf )( ,0

R

R

RR

En resumen:

23

Verificando mis Logros

24

Referencias Bibliográficas

# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

1515.33 PURC

PURCELL, EDWIN J.

Cálculo Diferencial E Integral

Pearson Educación

2515

STEW/P 2007

STEWART, JAMES

Cálculo De Una Variable:

Transcendentes Tempranas

Thomson Learning

3 515.15/LARS

LARSON, RON Cálculo Mcgraw-Hill