FUNCIONES ESPECIALES

En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático.Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.

Función constanteEl caso especial: f(x) = a0, con a0 ∈ R es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante.

En este caso, f en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.Por ejemplo, si nosotros asignamos x = 2, la máquina siempre nos devolverá el valor a0. Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a x. Por eso no los transforma.

Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor.Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de f(x) no cambia:

La Función Constante

x

Observa que la función no involucra a la literal x, pues los valores que nos devolverá f no dependen de ninguna manera de los valores x que nosotros le vayamos dando.

También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical (y) en y = a0. Esto es obvio, puesto que f(x) siempre es igual a a0, independientemente del valor del x que nosotros asignemos. En particular, cuando x = 0, y = f(x) = a0. Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto (0, a0).

Funciones escalonadas

Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones.

En el ejemplo estudiado en la sección ??, página ??, se explica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos.

0 a=)x(f0a

) x(f

4 3211−2−

Peso (gr) Importe ($) Peso (gr) Importe ( $ )

0 < p ≤ 100 12.50 500 < p ≤ 600 43.50100 < p ≤ 200 19.00 600 < p ≤ 700 49.35200 < p ≤ 300 25.25 700 < p ≤ 800 55.20300 < p ≤ 400 31.50 800 < p ≤ 900 61.00400 < p ≤ 500 37.50 900 < p ≤ 1000 66.50

Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada:

En el ejemplo mencionado se explica por qué esta relación sí es una función.

Ademas se trata de una función escalonada.

Ejemplo 1

Graficar la función piso que se nota por: y = (x),y qe se define como sigue:

(x)= mayor entero ≤X

• Por ejemplo, (π)= 3, porque 3 es el número entero más grande que es menor que π ≈3.141592654 ··· .

porque 5 es el número entero más grande que es menor que 26.• Considerando que e = 2.718281828 ··· , entonces, bec = 2.

• bsin 45◦c = 0, porque sin 45 .

70

60

50

40

30

20

10

) $ ( I

1000 900800700600500400300200100gr ) ( p

• bcos 30◦c = 0, porque cos 30 .

• Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un entero.

• Otra forma de definir la función es: «es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del punto decimal del número».

• La gráfica de esta función es la siguiente:

• ¿Puedes justificar por qué está definida en el punto (k, k + 0.5) (k ∈ Z) a partir de la definición?

Otra función escalonada es la función cielo que se denota por f(x) = dxe, y que se define por:

dxe = menor entero ≥ x

Por ejemplo dπe = 4, porque 4 es el menor número entero que es mayor que π.

Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función.

Funciones compuestas

La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas.

(a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función.

(b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función.

7

6

5

4

3

2

1

y

10 987654321x

f1(x) = 2√x

f2(x) = x

• El dominio de la función f1 es el conjunto de todos los números reales

• El dominio de la función f2 es el conjunto de los números reales no negativos.• Entonces, el dominio de la función compuesta:

√

y = f1(x)+ f2(x) = 2 x + x

es x ≥ 0, con x ∈ R.

• Observa que tomamos la intersección de los dominios de las funciones f1 y f2, porque, por ejemplo, si x = −5, la

función f1 sí puede transformar este√valor, es decir, x = −5 sí está en

En este sentido, una función polinomial

y = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ ··· + anxn

es una función compuesta cuyas funciones componentes son los monomios:

a0, a1x, a2x2, a3x3, ··· , anxn

En el siguiente capítulo veremos por qué el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales. Esto se debe a que el dominio de cada una de las funciones elementales tiene el mismo dominio: R.

• Para calcular f ◦ g basta sustituir g en f y simplificar la expresión, si es posible:

7 (g(x))+ 1 7 (x + 1)+ 1 7 x + 8 f ◦ g = f(g(x)) = = =

. R∈/5−porque2fdedominioelenestánopero,1fdedominioel

2 +x2+2x1+2)1+x(1+2)) x(g(

funciones: lasdesumalacomocompuestaestáx√

+x2=yfunciónLa•

partes. susdecir,escomponentes,funcionessusmuestraycompuestafunciónunacomo distintas

x √

+x2=yfunción:laConsidera

Ejemplo 2

. g◦fCalcula

1 +x=)x(gy1 +2x1 +x7

=)x(f

funciones: lasConsidera

Ejemplo 3

le acorrespondeobtienesustituyendo g f. enla expresión quese ))x(g(f=g◦fpordenotadog,fdecomposiciónLafunciones.dos en)x(g=yy)x(f=ySean

funciones deComposición

1Definición

, primero vamos a dar la definición de la operación composición de) funciones. b(Para el caso

Con esta definición de composición de funciones, podemos enunciar una propiedad de las fun-

• Vamos a verificarlo sustituyendo de acuerdo a como se menciona en la propiedad:

f x

g x

• Entonces, estas funciones si satisfacen esa condición.

En la lista de ejercicios se te pide que verifiques que las funciones que se estudiaron en la sección anterior ( ??) cumplen con la propiedad de simetría de las funciones inversas.

la mencionada. antespropiedadconcumplenqueVerifica. x

√ 3=)x(gtiene la funciónainversafunciónpor3x=)x(fquemuestrase??páginalaEnEjemplo 4

x )) =x(f(g=f◦gyx=))x(g(f=g◦f

Entonces, inversas.funcionesgyfSeaninversas funcioneslasdesimetríadePropiedad

Comentario

inversas: ciones