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FUNCIONES 1ª clase : Copiad los apuntes y haced el ejercicio que se propone. Una función es una correspondencia que asocia números con números, siguiendo una ley o criterio que puede ser enunciada con: un texto escrito, una fórmula o expresión analítica, una tabla de valores o una gráfica. Tiene que cumplir la condición de que cada número de partida, llamado original, se corresponda con un único número de llegada, llamado imagen. Al conjunto de números de partida se le llama dominio de definición de la función y al conjunto de números de llegada se le llama rango o recorrido. FUNCIONES ELEMENTALES A) FUNCIONES CONSTANTES Son aquellas que hacen corresponder a todos los números la misma imagen. Su gráfica es una recta horizontal. Ejemplo : ó í 3 Tabla de valores Gráfica 3 0 0 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 Comentario: Recta de pendiente cero, que corta al eje OY en el punto (0,3)

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FUNCIONES

1ª clase: Copiad los apuntes y haced el ejercicio que se propone.

Una función es una correspondencia que asocia números con números, siguiendo una

ley o criterio que puede ser enunciada con: un texto escrito, una fórmula o expresión

analítica, una tabla de valores o una gráfica.

Tiene que cumplir la condición de que cada número de partida, llamado original, se

corresponda con un único número de llegada, llamado imagen.

Al conjunto de números de partida se le llama dominio de definición de la función y al

conjunto de números de llegada se le llama rango o recorrido.

FUNCIONES ELEMENTALES

A) FUNCIONES CONSTANTES

Son aquellas que hacen corresponder a todos los números la misma imagen. Su gráfica

es una recta horizontal.

Ejemplo:

�������ó ���í���� ���� � 3 ������ � � � Tabla de valores Gráfica

� � � ���� � 3 0 ��0� � 3 1 ��1� � 3 2 ��2� � 3 3 ��3� � 3 �1 ���1� � 3 �2 ���2� � 3 �3 ���3� � 3

Comentario: Recta de pendiente cero, que corta al eje OY en el punto (0,3)

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B) FUNCIONES LINEALES

Son aquellas que están definidas con un polinomio de grado 1: ���� � � � � �

Su gráfica es una recta de pendiente � , es decir, el número que multiplica a la x.

Será creciente si � ! 0 y decreciente si � " 0.

Ejemplo 1:

�������ó ���í���� ���� � 3� � 2 ������ � � �

Tabla de valores Gráfica

� � � ���� � 3� � 2 0 ��0� � �2 1 ��1� � 3 � 2 � 1 2 ��2� � 3 � 2 � 2 � 4 3 ��3� � 3 � 3 � 2 � 7 �1 ���1� � 3 � ��1� � 2 � �5 �2 ���2� � 3 � ��2� � 2 � �8 �3 ���3� � 3 � ��3� � 2 � �11

Comentario:

Pendiente= 3 > 0 Recta

creciente: la imagen crece 3

unidades por cada unidad que

avanza la x.

'(��� )� ����� �� ��� �*��: ,� -.

3� � 2 � 0 3� � 2 � � 23 /23 , 01

,� -2 ��0� � 3 � 0 � 2 � �2 �0, �2�

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Ejemplo 2:

�������ó ���í���� ���� � �2� � 1 ������ � � � Tabla de valores

� � � ���� � �2� � 1 0 ��0� � 1 1 ��1� � �2 � 1 � �1 2 ��2� � �2 � 2 � 1 � �3 3 ��3� � �2 � 3 � 1 � �5 �1 ���1� � �2 � ��1� � 1 � 3 �2 ���2� � �2 � ��2� � 1 � 5 �3 ���3� � �2 � ��3� � 1 � 7

Gráfica

# EJERCICIO: Haz un estudio, similar al de los ejemplos, de las funciones:

3� 4�5� � �6 7� 4�5� � 65 � 8 9� 4�5� � �5 � :

Comentario:

Pendiente= -2 < 0 Recta

decreciente: la imagen decrece

2 unidades por cada unidad

que avanza la x.

'(��� )� ����� �� ��� �*��: ,� -. � 2� � 1 � 0 � 2� � �1 � � 12 /12 , 01

,� -2 ��0� � �2 � 0 � 1 � 1 �0,1�

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2ª y 3ª clase: Copiad los apuntes y haced el ejercicio que se propone.

C) FUNCIONES CUADRÁTICAS

■ Son aquellas que están definidas con un polinomio de grado 2:

���� � ��< � � � �

■ Su gráfica es una parábola con vértice en la abscisa � � =><?

■ Si � ! 0 tiene forma de @ y diremos que es convexa

Si � " 0 tiene forma de A y diremos que es cóncava

■ Los puntos de corte de la parábola con el eje OX:

Son los puntos donde la parábola coincide con el eje de abscisas, en consecuencia la

imagen es 0 para estar en el eje OX, y además la imagen es ���� � ��< � � � �,

para estar en la parábola:

En consecuencia: ���� � 0 B ��< � � � � � 0

Pueden ser: dos cortes, un corte, ningún corte

■ Los puntos de corte de la parábola con el eje OY:

Son los puntos donde la parábola coincide con el eje de ordenadas, en consecuencia la

x=0, para estar en el eje OY, y además la imagen es ��0� � � � 0< � � 0 � � � �, para

estar en la parábola.

En consecuencia, solo hay uno �0, ��

■ En la tabla de valores debemos dar a la x valores a la izquierda y a la derecha de la x

del vértice, próximos a ella.

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Ejemplo 1:

�������ó ���í���� ���� � �< � 6� � 5 ������ � � �

Tabla de valores: primero ponemos los puntos que ya hemos calculado, después

calculamos al menos cuatro más, dos a la derecha y dos a la izquierda de x=3

� � � ���� � �< � 6� � 5 0 ��0� � 5 1 ��1� � 0 5 ��5� � 0 3 ��3� � �4 2 ��2� � 4 � 12 � 5 � �3 4 ��4� � 16 � 24 � 5 � �3 �1 ���1� � 1 � 6 � 5 � 12 6 ��6� � 36 � 36 � 5 � 5

� � 62 � 3 ��3� � 3< � 6 � 3 � 5 � �4

�3, �4�

Vértice � � 1 ! 0 @

'(��� )� ����� �� �� �*� -. ���� � 0

�< � 6� � 5 � 0 � � 6 D √36 � 4 � 1 � 52 � 1 � 6 D 42 � F6 � 42 � 56 � 42 � 1G

�5,0� �1,0� '(��� )� ����� �� �� �*� -2

� � 0

��0� � 0< � 6 � 0 � 5 � 5 �0,5�

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Gráfica

� )������ � ��∞, 3�

� ����� � �3, �∞�

I�� � � � 3

� ��J��� � �

Comentario (se lee de izquierda a

derecha)

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Ejemplo 2:

�������ó ���í���� ���� � ��< � 3� ������ � � �

Tabla de valores: primero ponemos los puntos que ya hemos calculado, después

calculamos al menos cuatro más, dos a la derecha y dos a la izquierda de � � K<

� � � ���� � ��< � 3� 0 ��0� � 0 3 ��3� � 0 32 � /321 � 94 2 ��2� � �4 � 6 � 2 1 ��1� � �1 � 3 � 2 4 ��4� � �16 � 12 � �4 �1 ���1� � �1 � 3 � �4

� � �3�2 � 32 � /321 � � /321< � 3 � 32 �

� � 94 � 92 � �9 � 184 � 94

/32 , 941

Vértice � � �1 " 0 A

'(��� )� ����� �� �� �*� -. ���� � 0 ��< � 3� � 0 � � ��� � 3� � 0 � � 0 � � � 3 � 0 3 � � �0,0� �3,0� '(��� )� ����� �� �� �*� -2 � � 0 ��0� � �0< � 3 � 0 �0,0�

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Gráfica

# EJERCICIO: Haz un estudio, similar al de los ejemplos, de las funciones:

�� ���� � �< � 3� � 4 � ���� � ��< � 3� � 4 �� ���� � �< � 4�

)� ���� � �2�< � 8 �� ���� � ��< � 4� � 4 �� ���� � �< � 2� � 3

� ����� � /�∞, 321

� )������ � /32 , �∞1

I��� � � � 32

� �ó��J� � �

Comentario (se lee de izquierda a

derecha)

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D) FUNCIONES EXPONENCIALES

Son aquellas que están definidas por una potencia de base fija y positiva y el

exponente variable:

���� � �N � ! 0 � O 0 � O 1

Ejemplo 1:

�������ó ���í���� ���� � 2N ������ � � �

Tabla de valores Gráfica

� � � ���� � 2N

0 ��0� � 2P � 1

1 ��1� � 2Q � 2

2 ��2� � 2< � 4

3 ��3� � 2K � 8

�1 ���1� � 2=Q � 12 �2 ���2� � 2=< � 14 �3 ���3� � 2=K � 18

� ����� � �

� ��J��� � �

Comentario:

'(��� )� ����� �� �� �*� -. ���� � 0 2N O 0 No hay '(��� )� ����� �� �� �*� -2 � � 0 ��0� � 2P � 1 �0,1�

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Ejemplo 2:

�������ó ���í���� ���� � /121N ������ � � �

Tabla de valores Gráfica

� � � ���� � WQ<XN 0 ��0� � /121P � 1 1 ��1� � /121Q � 12 2 ��2� � /121< � 14 3 ��3� � /121K � 18 �1 ���1� � /121=Q � 2 �2 ���2� � /121=< � 4 �3 ���3� � /121=K � 8

� )������ � �

� ��J��� � �

Comentario (se lee de izquierda a

derecha)

'(��� )� ����� �� �� �*� -. ���� � 0

/121N O 0 No hay

'(��� )� ����� �� �� �*� -2 � � 0

��0� � /121P � 1 �0,1�

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E) FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Son aquellas que están definidas por un logaritmo de base fija:

���� � log? � � ! 0 � O 0 � O 1

Ejemplo 1:

�������ó ���í���� ���� � log< � ������ � � �0, �∞�

Tabla de valores Gráfica

� � �0, �∞� ���� � log< �

1 ��1� � log< 1 � 0

2 ��2� � log< 2 � 1

4 ��4� � log< 4 � 2

8 ��8� � log< 8 � 3

12 � /121 � log< 12 � �1 14 � /141 � log< 14 � �2 18 � /181 � log< 18 � �3

� ����� � �0, �∞�

� �ó��J� � �0, �∞�

Comentario:

'(��� )� ����� �� �� �*� -. ���� � 0 log< x � 0 B x � 2P � 1 �1,0� '(��� )� ����� �� �� �*� -2 � � 0 \��0� pues 0 a D c� d�e

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Ejemplo 2:

�������ó ���í���� ���� � logQ/< � ������ � � �0, �∞�

Tabla de valores Gráfica

� � �0, �∞� ���� � logQ/< �

1 ��1� � logQ/< 1 � 0

2 ��2� � logQ/< 2 � �1

4 ��4� � logQ/< 4 � �2

8 ��8� � logQ/< 8 � �3

12 � /121 � logQ/< 12 � 1 14 � /141 � logQ/< 14 � 2 18 � /181 � logQ/< 18 � 3

� )������ � �0, �∞�

� ��J��� � �0, �∞�

Comentario:

'(��� )� ����� �� �� �*� -. ���� � 0

logQ/< x � 0 B x � /121P � 1 �1,0�

'(��� )� ����� �� �� �*� -2 � � 0 \��0� pues 0 a D c� d�e

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F) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son aquellas que están definidas por una razón trigonométrica

Función seno:

�������ó ���í���� ���� � ��� ������ � � � Tabla de valores

� � � ���� � ��� 0 ��0� � ��0 � 0 g/2 ��g/2� � 1 g ��g� � 0 2g ��2g� � 0 3g/2 ��3g/2� � �1 �g/2 ���g/2� � �1 �g ���g� � 0 �3g/2 ���3g/2� � �1 �2g ���2g� � 0

Señalamos en el eje OX los puntos que se corresponden con los valores de x que

hemos puesto en la tabla de valores, en lugar de poner 1,2,3…, para ello elegimos una

longitud y colocamos π/2, a igual distancia a la derecha colocamos π, luego 3π/2 y

luego 2π, del mismo modo a la izquierda del 0, colocamos -π/2, luego –π, luego -3π/2 y

luego -2π.

Gráfica

# EJERCICIO: Haz un estudio, similar al de los ejemplos, de las funciones:

�� ���� � 3N � ���� � /131N �� ���� � logK � )� ���� � logQK � �� ���� � cos �

NOTA: teniendo en cuenta que

al sumar vueltas completas a

un ángulo sus razones

trigonométricas no cambian,

entonces la curva que sale en

el intervalo i0,2gj se repite

periódicamente a la izquierda

ya la derecha.