ESCUELA POLITCNICA DEL EJRCITOINGENIERIA ELECTRNICA

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADASESPE EXTENSIN LATACUNGAINGENIERA ELECTRNICA E INSTRUMENTACINPROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALESFUNCIN DENSIDADJefferson Alberto De La Cruz Cascojadlcc@msn.comFUNCIN DENSIDAD DE BERNOULLI Consideremos un experimento z con dos resultados solamente, uno denominado xito (S) y el otro denominado fracaso (F) (Sea p la probabilidad de xito de un experimento z y q =1-p la probabilidad de fracaso del mismo experimento). Supongamos que se repite el experimento z y que los ensayos son independientes de los resultados anteriores como en el lanzamiento de una moneda o la presencia o no de un virus en un paciente La distribucin de Bernoulli de parmetro p es el modelo ms simple de probabilidad

Valor medio

Varianza

Desviacin estndar.

Ejercicios1. Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en cara. Sea X=1 si la moneda cae en cara y X =0 si cae en Cruz. Cul es la distribucin X?

Solucin:

Puesto que X=1 cuando cae cara. Esta es resultado de xito. La probabilidad de xito p(X=1). Es igual a 0.5. Por tanto X Bernoulli (0.5)X=1

FUNCIN DENSIDAD NORMAL O GAUSSIANALa distribucin normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribucin de mayor importancia en el campo de la estadstica.Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes nmeros, es decir, cuando sus valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud sobre la que influyen infinitas causas de efecto infinitesimal.Las variables normales tienen una funcin de densidad con forma de campana a la que se llama campana de Gauss.

Funcin de densidad Normal

Valor medio

Varianza:

Desviacin estndar:

FUNCIN DENSIDAD DE POISSONCuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero n muy elevada de veces y la probabilidad de xito p en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson. Esta se caracteriza por un solo parmetro b. Su media y su varianza es b, es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. La media est representada por un tringulo y se puede interpretar como un punto de equilibrio. Al arrastrarlo se modifica tambin el parmetro b.

Funcin densidad de probabilidad:

Valor medio

Varianza:

Desviacin estndar:

FUNCIN DENSIDAD DE LAPLACEUna funcin de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una poblacin en tanto especifica la posibilidad relativa de que unavariable aleatoriacontinuaXtome un valor cercano a x.La distribucin de Laplace resulta de la diferencia de dos variables exponenciales aleatorias, independientes e idnticamente distribuidas.

La frmula es:

Valor medio:

Varianza:

Desviacin estndar:

9 FUNCIN DENSIDAD DE ERLANGLa distribucin Erlang es una distribucin continua, que tiene un valor positivo para todos los nmeros reales mayores que cero, y est dada por dos parmetros: la forma k, que es un entero no negativo, y la tasa , que es un nmero real no negativo. La distribucin a veces se definen utilizando el inverso del parmetro de tasa, la escala . Se utiliza la distribucin Erlang para describir el tiempo de espera hasta el suceso nmero k en un proceso de Poisson. El parmetro de escala es equivalente a la media de una distribucin exponencial, y el parmetro de forma k es equivalente al nmero de eventos distribuidos exponencialmente. Cuando el parmetro de forma k es igual a 1, la distribucin se reduce a la distribucin exponencial. La distribucin de Gamma generaliza la distribucin Erlang permitiendo k ser una real, usando la funcin gamma en lugar de la funcin factorial.

Figura 6 Funcin de densidad de Erlang

La frmula es:

Valor medio:

Varianza:

Desviacin estndar:

Ejercicio 1. Suponga que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.a. Dentro de una desviacin con respecto del tiempo promedio.b. A ms de dos desviaciones por encima de la media. Solucin:X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.k=2l=2 ciclos/100 horas l=0.02

a-) P (m-s m+s) = P (29.29

b-) P(X > m+2s) = P(X > 241.42) = 1 P(X 241.42) =

FUNCIN DENSIDAD CAUCHYCuando dos variables aleatorias independientes y normalmente distribuidas con un valor esperado de cero y una varianza de 1, luego la tasa es una variable respecto a la otra tiene la distribucin estndar de Cauchy.

Valor medio:

FUNCION DENSIDAD DE RAYLEIGHEn la teora de la probabilidad y estadstica, la distribucin de Rayleigh es una funcin de distribucin continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensional (por ejemplo, el que representa la velocidad del viento) tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribucin normal. Su valor absoluto seguir entonces una distribucin de Rayleigh. Esta distribucin tambin se puede presentar en el caso de nmeros complejos con componentes real e imaginaria independientes y siguiendo una distribucin normal. Su valor absoluto sigue una distribucin de Rayleigh.

Valor medio:

Varianza:

Desviacin estndar:

FUNCION DENSIDAD DE WEIBULLSe trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc.

Valor medio:

Varianza:

Desviacin estndar:

FUNCION DENSIDAD DE RICE Se aplica al modelo de desvanecimiento rpido pero cuando hay una componente intensa de seal (rayo directo) constante.

Parmetros:

Densidad de probabilidad envolvente:

Io es la Funcion Bessel de primera espacie y de orden cero.

FUNCION DENSIDAD DE GAMMA

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribucin gamma son:Valor medio:

Varianza:Desviacin estndar: