Funcin mximo entero:La funcin mximo entero se define por = mximo entero menor que o igual a x

Por ejemplo,

f ( 3.5) = 4,f ( 3.1) = 4f (2.7) = 3f (0.5) = 1.f (0) = 0f (0.002) = 0,f (1.999) = 1,f (2) = 2,f (2.3) = 2,f (2.9) = 2f (3.5) = 3

Para cada nmero real x, con f(x) se denota el mximo entero que es menor o igual que x, para todo nmero real x en el intervalo , esta funcin es llamada funcin mximo entero y se representa as:

En los ejemplos anteriores est definido para todo nmero real x, mientras que en la funcin mximo entero solo est definida para el conjunto de nmeros enteros.

La funcin mximo entero es y = f(x) = = n; n x < n + 1

Ejemplo:

1) Sea la funcin f definida as:

f(x) = {(x,y)/ y = x}, trazar la grfica de f y establecer dominio y su contradominio .

Solucin:

Ya que f est definida para todos los valores de y, su dominio es ( , + ). De la definicin de tenemos:

y = f(x) = = n; n x < n + 1n x < n + 1f(x) =

y = 2 = n 2 x < 1f(x) =

y = 1 = n 1 x < 0f(x) =

y = 0 = n0 x < 1f(x) =

y = 1 = n1 x < 2f(x) =

y = 2 = n2 x < 3f(x) =

En forma general si n es un entero, entonces:n x < n + 1, , por lo que f(x) = n xn x < n + 1f(x) = n

y = 2 = n 2 x < 1( 2) = 2

y = 1 = n 1 x < 0( 1) = 1

y = 0 = n0 x < 1(0) = 0

y = 1 = n1 x < 2(1) = 1

y = 2 = n2 x < 3(2) = 2

En la grfica de f se muestra que el contradominio de f es el conjunto de todos los enteros

Si n = a, un entero, entonces:y

Ya que los limites por la izquierda y por la derecha son distintos, entonces el lmite de no existe cuando x tiende a un entero n.2) f(x) = 2

Solucin:

n x < n + 1f(x) = 2(n)

y = 2 = n 2 x < 12( 2) = 4

y = 1 = n 1 x < 02( 1) = 2

y = 0 = n0 x < 12(0) = 0

y = 1 = n1 x < 22(1) = 2

y = 2 = n2 x < 32(2) = 4

f(x) = 2x

3) f(x) =

= n n < n + 1

n < n + 1y =

y = 2 = n 2 < 1y = = 2

y = 1 = n 1 < 0y = = 1

y = 0 = n0 < 1y = = 0

y = 1 = n1 < 2y = = 1

y = 2 = n2 < 3y = = 2

4) f(x) =

= n n 2x < n + 1

n 2x < n + 1y = 2

y = 2 = n 2 2x < 1y = 2 = 2

y = 1 = n 1 2x < 0y = 2 = 1

y = 0 = n0 2x < 1y = 2(0) = 0

y = 1 = n1 2x < 2y = 2 = 1

y = 2 = n2 2x < 3y = 2(1) = 2

5) f(x) =

= n n 3x < n + 1

n 3x < n + 1f(x) =

y = 2 = n 2 3x < 1f(x) =

y = 1 = n 1 3x < 0f(x) =

y = 0 = n0 3x < 1f(x) =

y = 1 = n1 3x < 2f(x) =

y = 2 = n2 3x < 3f(x) =

6)

n x < n+1n x + 2 < n+1n 2 x < n + 1 2n 2 x < n 1

n x + 2 < n + 1n 2 x < n 1

y = 2 = n 2 x + 2 < 1

y = 1 = n 1 x + 2 < 0

y = 0 = n0 x + 2 < 1

y = 1 = n1 x + 2 < 2

y = 2 = n2 x + 2 < 3

7)

n x < n+1n x 2 < n+1n + 2 x < n + 1 + 2n + 2 x < n + 3

n x 2 < n+1n + 2 x < n + 3

y = 2 = n 2 x 2 < 1

y = 1 = n 1 x 2 < 0

y = 0 = n0 x 2 < 1

y = 1 = n1 x 2 < 2

y = 2 = n2 x 2 < 3

8)

n x < n + 1n x 4 < n + 1n + 4 x < n + 1 + 4n + 4 x < n + 5

n x 4 < n+1n + 4 x < n + 5

y = 2 = n 2 x 4 < 1

y = 1 = n 1 x 4 < 0

y = 0 = n0 x 4 < 1

y = 1 = n1 x 4 < 2

y = 2 = n2 x 4 < 3

9)

n x < n + 1n x < n + 1n x > n 1

n x < n + 1n x > n 1

y = 2 = n2 x < 1( 2) x > ( 2) 1 = 2 x > 1

y = 1 = n1 x < 0( 1) x > ( 1) 1 = 1 x > 0

y = 0 = n 0 x < 1( 0) x > (0) 1 = 0 x > 1

y = 1 = n 1 x < 2( 1) x > ( 1) 1 = 1 x > 2

y = 2 = n 2 x < 3( 2) x > ( 2) 1 = 2 x > 3

10)

n x < n + 1

n x < n + 1(n)

y = 2 = n2 x < 1 (2) = 2

y = 1 = n1 x < 0 (1) = 1

y = 0 = n 0 x < 1 (0) = 0

y = 1 = n 1 x < 2(1) = 1

y = 2 = n 2 x < 3(2) = 2

11)

Representa el mximo entero no mayor que x, si x = n, un entero, entonces = n, de forma que f (n) = 0.

En el intervalo (n, n+1), la grfica de f es lineal y con pendiente igual a uno.

Debe estar claro que f: Es continua en x si x no es un nmero entero. No es continua en cada entero del eje x.n x < n + 1n x < n + 1n x > n 1

n x < n + 1n x > n 1

y = 2 = n2 x < 1( 2) x > ( 2) 1 = 2 x > 1 2 (2) = 0

y = 1 = n1 x < 0( 1) x > ( 1) 1 = 1 x > 0 1 (1) = 0

y = 0 = n 0 x < 1( 0) x > (0) 1 = 0 x > 1 0 (0) = 0

y = 1 = n 1 x < 2( 1) x > ( 1) 1 = 1 x > 21(1) = 0

y = 2 = n 2 x < 3( 2) x > ( 2) 1 = 2 x > 3 2(2) = 0

12) Sea la funcin f definida as:

f(x) = , trazar la grfica de f y establecer dominio y su contradominio .

Solucin:Ya que f est definida para todos los valores de y, su dominio es ( , + ). De la definicin de tenemos:

y = f(x) = = n; n x < n + 1

n x < n + 1f(x) =

y = 2 = n 2 x < 1f(x) = =

y = 1 = n 1 x < 0f(x) = =

y = 0 = n0 x < 1f(x) = =

y = 1 = n1 x < 2f(x) = =

y = 2 = n2 x < 3f(x) = =

En forma general si n es un entero, entonces:n x < n + 1, , por lo que f(x) = n x

En la grfica de f se muestra que el mbito de f es .

13) f(x) = n x < n + 1n x < n +1

y = 2 = n2 x < 1( 2) x < ( 2) +1 = 2 x < 1 2 + (2) = 4

y = 1 = n1 x < 0( 1) x < ( 1) +1 = 1 x < 0 1+ (1) = 2

y = 0 = n 0 x < 1( 0) x < (0) +1 = 0 x < 1 0 +(0) = 0

y = 1 = n 1 x < 2( 1) x < ( 1) +1 = 1 x < 21+(1) = 2

y = 2 = n 2 x < 3( 2) x