Cabinas de Internet “Charla y café”(atención las 24 horas del día)

Opciones de alquiler:A) TURNO POR HORAS: (más de 1 hora)

S/. 1,50 la hora de uso de internetB) TURNO POR HORAS CON REFRIGERIO:

S/. 1,50 la hora de uso de internet, más S/. 1,00 que da derecho a tomar todas las tazas de café que se desee.

C) LIBRE: Por el pago de S/. 9,00, el mismo usuario puede usar la computadora todo el tiempo que desee.

D) TURNO POR MINUTOS: (hasta 1 hora)S/. 2,00 la hora de uso de internet.

FUNCIÓN LINEAL, AFÍN LINEAL Y CONSTANTE

LAS FUNCIONES Y LOS NEGOCIOS

La administración de las cabinas de internet “Charla y café” propone al público las siguientes opciones para el uso de sus máquinas:

Si f(x) representa el costo total y “x” el tiempo de uso de la red, ¿puedes completar el siguiente cuadro?

OpciónRegla de

correspondenciaForma general Dominio Tipo de función

1

2

3

4

Este caso nos ilustra sobre tres tipos de funciones: Lineal, Afín lineal y Constante; las mismas que pueden ser acotadas o no acotadas. A continuación desarrollaremos cada una de ellas:

FUNCIÓN LINEAL

Es una función real que tiene por regla de correspondencia:

La gráfica de una función lineal es una recta inclinada que pasa por el origen del plano cartesiano.

f (x) = ax donde: a R y a ≠ 0

EJEMPLO:

Para la primera opción del negocio “Charla y café”, la regla de correspondencia que determina esta situación es: f (x) = 1,5 xGraficar y determinar el dominio y rango de esta función.

SOLUCIÓN:

a) Tabulación:

Consiste en dar un par de valores arbitrarios para “x”.Por ejemplo: 2 y 4 Luego aplicando la regla de correspondenciase calculan los valores de , más conocido como “y”

b) Gráfica

En el plano cartesiano.se localizan los dos puntos, y por ellos se hace pasar una recta.

c) Dominio: ( Df )Es el conjunto de valores que puede asumir “x” para que la función exista ( f(x) R )

Luego. Df = R ( “x” puede asumir cualquier valor )

d) Rango: ( Rf ) Es el conjunto de valores que toma la función f(x)

Luego el Rf = R ( f(x) puede tomar cualquier valor )

FUNCIÓN AFÍN LINEAL

Es una función real que tiene por regla de correspondencia:

La gráfica de una función afín lineal es una recta inclinada y se construye en el plano cartesiano.

x y ( x ; y )

2

4

3

6

(2 ; 3)

(4 ; 6)

Y

X

(4;6)

(2;3)

xxf 5,1)(

Debido a que la gráfica es una recta, basta con determinar dos puntos

f (x) = ax + b donde: y son números reales.

EJEMPLO:

Para la segunda opción del negocio “Charla y café”, la regla de correspondencia que determina esta situación es: f (x) = 1,5 x + 1Graficar y determinar el dominio y rango de esta función.

SOLUCIÓN:

a) Tabulación. Igual que en el caso anterior da un par de valores Arbitrarios para “x”. Por ejemplo, 0 y 2Luego aplicando la regla de correspondenciase calculan los valores de , más conocido como “y”

b) GráficaEn el plano cartesiano. se localizan los dos puntos, y por ellos se hace pasar una recta.

c) Dominio y Rango¿Qué conjunto de valores puede asumir “x”, para que exista la función?. La respuesta es el dominio.¿Qué conjunto de valores puede obtenerse como imágenes en “y”?. La respuesta es el rango.

Luego, en el ejemplo, “x” puede asumir cualquier valor, por lo que el dominio es todo el conjunto R.Asimismo, para cualquier valor de “x”, se puede obtener cualquier valor “y”, sin restricciones, por lo tanto el rango es R.

Resumiendo, Df = R y Rf = R

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función que asigna a cualquier valor real del dominio, un mismo valor para la función. Su regla de correspondencia es:

La gráfica de una función constante es una recta horizontal que pasa por el punto ( 0 ; c )

x y ( x ; y )

0

2

1

4

( 0 ; 1 )

( 2 ; 4 )

Y

X

(2:5)

(0:1)

15,1)( xxf

f (x) = c donde: c R

EJEMPLO:

Para la tercera opción del negocio “Charla y café”, la regla de correspondencia que determina esta situación es: f (x) = 9Graficar y determinar el dominio y rango de esta función.

SOLUCIÓN:

a) Tabulación: no es necesario tabular, puesto que la recta es paralela al eje X y va a pasar por el punto ( 0 , 9 )

b) Gráfica:

c) Dominio y Rango: Si observamos atentamente la gráfica, podemos decir que:x puede tomar cualquier valor, por lo tanto Df = Ry = f(x), solo toma el valor de 9, por lo tanto Rf = 9

FUNCIONES ACOTADAS:

Son funciones reales en las cuales el dominio de la función solo puede asumir valores dentro de un intervalo dado.

Ejemplo:Para la cuarta opción del negocio “Charla y café”, la regla de correspondencia que determina esta situación es: f (x) = 2xdonde x solo puede tomar valores en el intervalo Graficar y determinar el dominio y rango de esta función.

Solución:

a) Tabulación: El desarrollo es similar al caso anterior

con la diferencia que para tabular se toman como valores para “x” los extremos del intervalo;

en este caso: 0 y 1.

¿Podrías indicar por qué?______________________________________________________________________

x y ( x ; y )

0

1

0

2

( 0 ; 0 )

( 1 ; 2 )

Y

9)( xf

X

(0:9)

b) Gráfica: En el plano cartesiano. se localizan los dos puntos, y por ellos se hace pasar un segmento

c) Dominio y Rango:Observando la gráfica nos damos cuenta que: x solo toma valores de 0 a 1 y la función f(x) = y, valores de 0 a 2

Df = Rf =

MODELOS LINEALES: EJEMPLOS

A) La tarifa residencial (uso doméstico) de agua potable esta en función al consumo, según dos casos:

Caso 1: si se consume de 0 a 20 m3, la tarifa es de 0,90 soles

Caso 2: si se consume de 21 a más m3, la tarifa es 1,90 soles

a) Determinar los costos en función al consumo (en m3) para ambos casos Si llamamos C al costo que es una función del consumo “ x “, entonces:

C(x) = , 0 x 20

C(x) = , x 21

b) Usando las fórmulas anteriores calcular los costos para 19 m3 y 22 m3

Si x = 19 , C =

Si x = 22 , C =

b) Realizar la gráfica para el caso 2 y verificar la respuesta anterior.

B) Se desea copiar varios textos de matemática, para lo cual se consulta en una fotocopiadora donde dan

los siguientes costos por hoja:

Caso 1: Si el total de hojas es menor o igual a 100, el costo es S/. 0,10.

Caso 2: Si el total de hojas es mayor de 100 hasta 300, el costo es S/. 0,075.

Caso 3: Si el total de hojas es mayor de 300 hojas, el costo es de S/. 0,05.

Y

X

(1;2)

(0:0)

a) Elabora un modelo matemático para cada caso, indica el dominio.

Si llamamos C al costo que es una función del número de copias “x”, entonces:

Caso 1: C (x) = 0,10x x 100

Caso 2: C (x) = 0,075x 100 x 300

Caso 3: C (x) = 0.05x x 300

b) Utilizando los modelos anteriores, calcula el costo de f ( 180 ) + f ( 80 ) + f ( 400 )

f ( 180 ) + f ( 80 ) + f ( 400 )

0,075 ( 180 ) + 0,10 ( 80 ) + 0,05 ( 400 )

13,50 + 8,00 + 20,0 = 41,50 soles.