Chvez Jaramillo Jorge Alfredo FUNCION ERROR Y ERROR COMPLEMENTARIO Definicin:

31/03/11

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Algunas funciones simples no poseen anti-derivadas que sean funciones elementales, y las integrales de esas funciones se llaman no elementales. Por ejemplo, hemos aprendido en clculo integral que ex2dx y senx2dx no son integrales elementales. En matemticas aplicadas se define algunas funciones importantes en trminos de integrales no elementales. Dos de esas funciones son la funcin de error y la funcin de error complementario: Funcin error (Tambin conocida como funcin error de Gauss) Es una funcin no-elemental que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadstica y las ecuaciones diferenciales parciales. Funcin error complementaria Llamada erfc, se define a partir de la funcin error:

Grafico de la funcin error complementario

Propiedades: La funcin error es impar: No es posible evaluar la integral en forma cerrada utilizando funciones elementales, pero si se expande el integrando mediante una serie de Taylor, se obtiene la serie de Taylor de la funcin error: expresin que es vlida para todo nmero real x, y tambin en todo el plano complejo. Este resultado se basa en la expansin en serie de Taylor de que es y que se integra trmino a trmino. Para realizar el clculo iterativo de la serie antedicha, es til utilizar la siguiente formulacin alternativa: porque expresa el multiplicador necesario para que el trmino isimo se convierta en el trmino (i+1)simo (suponiendo que el nmero "x" es el primer trmino). La funcin error en el infinito vale exactamente 1 (ver Integral de Gauss). La derivada de la funcin error se obtiene directamente a partir de su definicin:

Chvez Jaramillo Jorge Alfredo La funcin error inversa es la serie donde c0 = 1 y

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Por lo que se tiene la expansin en serie (notar que se han cancelado los factores comunes en los numeradores y denominadores): Usos: * Si los resultados de una serie de mediciones son descritos por una distribucin normal con una desviacin estndar y esperanza matemtica 0, entonces es la probabilidad de que el error de una medicin individual se encuentre comprendido en el intervalo a y +a. * Las funciones error y complementaria del error, tambin se utilizan al buscar soluciones a problemas de resolucin de la ecuacin de calor con condiciones de borde expresadas por la funcin escaln de Heaviside.