Funcion de 2 do grado evaristo
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FUNCIONES CUADRÁTICAS
Lic: Evaristo Huamani Velásquez
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FUNCIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADOSon aquellos que tienen la forma
donde son números reales con
2f x ax bx c ,a by c 0a
Ejemplos
2
2
2 4 63 52 4
f x x x
g x x x
2
2
72 3
f x x xh x x x
2
2
12
33 1
h x x
g x x
El dominio de una función cuadrática es el Conjunto de números reales y son las primeras componentes de los pares ordenados de la función.
1.DOMINIO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Df
Ejemplo 0;0 ; 1;2 ; 3;4Sea la funcion F
Entonces el dominio de la función es
0 ;1;3Df
Primeras componentes
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El rango o imagen de una función cuadrática es un subconjunto de números reales y son las segundas componentes de los pares ordenados de la función .
Ejemplo
2. RANGO O IMAGEN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Rf
0;0 ; 1;2 ; 3;4Sea la funcion F
,Entonces el rangooimagen de la función es 0 ;2 ;4Rf
Segundas componentes
GRÁFICOS DE UNA FUNCION CUADRÁTICA O DE 2DO GRADO
CASOS PARA GRAFICAR DE UNA FUNCION 1.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA 2f x a x
La grafica de una función de segundo grado o cuadrática es una figura parabólica con dominio del conjunto de números reales
Recuerda que del dominio se toman algunos valores para “x” y remplazar en la función .
Df
y f x
En este caso la grafica, así sea con su vértice siempre pasa por el origen de las coordenadas
a ó a
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2 Si f x ax con a
La parábola se abre hacia arriba
0
x
y
0;0VéV
rtice
Vértice
Df
0 ; R f
0
x
y
2 Si f x ax con a
La parábola se abre hacia abajo
0;0VéV
rticeVértice
Df
0 ; R f
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24. 2 .Gráficar f x x y hallar R fSolución
) .i En este caso el vértice pasa por el origen
0,0V y Df -2 -
1 0 1
2
Valores a tomar para x
) Hallandopuntoscon 2; 1; 1y2enii 22f x x
22 2 2
2.4 8 2, 8Si x y
y
21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y
21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y 22 2 2 2.4Si x y 8 2; 8y
0 1-2
-8
2-1
-2
Vértice
:Haciendo la gráfica se tiene
0;R f
0,0VéV
rtice 2, 8pto 1, 2pto 1, 2pto 2, 8pto
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212. .
2Gráficar f x x y hallar R f
Solución) .i En este caso el vértice pasa por el origen
0,0V y Df -2 -
1 0 1
2
Valores a tomar para x
) Hallandopuntoscon 2; 1; 1y2enii 21
2f x x
21 1 42 2 .4 2
2 2 22 2,2
Si x y
y
21 1 1 11 1 .1 1
2 2 2 2Si x y
21 1 1 11 1 .1 1
2 2 2 2Si x y
21 1 42 2 .4 2
2 2 2Si x y
2 2; 2y :Haciendo la gráfica se tiene
0;R f
0 1-2
1
2-1
2
3
1
2 x
y
11
2Pto 0,0VéV
rtice
Vértice
2 2Pto
11
2Pto
2 2Pto
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2.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA 22 .f x ax f xb axyx cEn este caso la grafica, así sea con su vértice no pasa por el origen de las coordenadas
a ó aEjemplo
21. 4 .Gráficar f x x x y hallar R f Solución
) 1, 4 0.i Hallando el vértice a b y c Df
24 4 0 16; ; 2 ; 4
2 4 2 4
4 1 0 4
1 1V
0 1 2 3
4
Valores a tomar para x
) 0;1;3 4ii Hallando puntoscon y en 2 4f x x x
20 0 4 0Si x y 0 0 0 0; 0y
21 1 4 1Si x y
1 4 3 1; 3y 2
3 3 4 3Si x y 9 12 3; 3y
24 4 4 4Si x y
16 16 0 4; 0y
1 2 3 40
-1
-2
-3
-4
Vértice
:Haciendo la gráfica se tiene
4;R f
x
y
2, 4Vé
Vrtice
0,0pto 1, 3pto 3, 3pto 4,0pto
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22 . 3 .Gráficar f x x y hallar R f Solución
) 1, 0 3. i Hallando el vértice a b y c Df
24 0 12 0; ; 0 ;3
2 4 2 4
0 1 3 0
1 1
V -2
-1 0 1 2
Valores a tomar para x
) 2; 1;1 2ii Hallando puntoscon y en 2 3 f x x 22 2 3 Si x y
4 3 1 2; 1 y
21 1 3 Si x y
1 3 2 1; 2 y
21 1 3 Si x y
1 3 2 1; 2 y
22 2 3 Si x y
4 3 1 2; 1 y
:Haciendo la gráfica se tiene
0 1-2
3
2-1
2
1
-1
0;3VéV
rticeVértice
2; 1Pto 1;2Pto 1;2Pto 2; 1Pto
3; R f
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3.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA
2f x ax bx cEn este caso la grafica, así sea con su vértice no pasa por el origen de las coordenadas
a ó aEjemplo
21. 4 3Graficar y hallar Rf en f x x x
Solución
:Haciendo la gráfica se tiene
24 4 12 16
; ; 2 ; 12 4 2 4
1 3 44
1 1V
2) lg - 4, -3, -1 0 f 4 3ii Hallamos a unos puntoscon y en x y x x
2Si x=-4 4 4 4 3y
2-3 -3 4 -3 3Si x y
16 16 3 3 4;3 y
2Si x=-1 1 4 1 3y
9 12 3 0 3;0 y
2Si x=0 0 4 0 3 y
1 4 3 0 1;0y
0 0 3 0 0;3y
- 4 - 3 - 2 - 1
1
2
3
0
- 1
4) ,1 3i Hallamos el vértice a b y c
Vértice
- 4 - 3 - 2 - 1 0
Valores a tomar para x
2; 1Vér
Vtice
4;3pto 3;0pto 1;0pto 0;3pto
1R f
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22. 2 2 1Graficar y hallar Rf en f x x x Solución
1) 2, 2i Hallamos el vértice a b y c
2)Hallamos algunospuntoscon -1;0;1 y2 en f 2 2 1ii x y x x
2Si x=-1 2 1 2 1 1y
2.1 2 1 3 1; 3y 2
Si x=0 2 0 2 0 1y 2.0 0 1 1 0;1y
2Si x=1 2 1 2 1 1y
2.1 2 1 1 1;1y 2
Si x=2 2 2 2 2 1y 2.4 4 1 3 2; 3y
:Haciendo la gráfica se tiene
- 1 0 1/2
1
2
Valores a tomar para x
24 2 1 22 2 8 4 1 3
; ; ;2 2 4 2 4 8 2 2
V
Vértice
1
2
3
2
-10
1 2
-3
1
2
1 3,
2 3Vértice
V
1, 3pto 0;1pto 1;1pto 2; 3pto
3
2R f
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23. 2 8 9Gráficar f x x x y hallar R f
) 2 , 8 9i Hallamos el vértice a b y c Solución
24 8 72 64 8; ; 2; 2;1
2 4 4 8 8
8 2 9 8
2 2V
0 1 2 3 4
Valores a tomar para x
) Hallandopuntoscon0;1;3 y4enii 22 8 9f x x x
20 2 0 8 0 9Si x y
0 0 9 9 0;9y 2
1 2 1 8 1 9Si x y 2 8 9 3 1; 3y
23 2 3 8 3 9Si x y
18 24 9 3 3; 3y
24 2 4 8 4 9Si x y
32 32 9 9 4; 9y Vértice
1 2
3 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
:Haciendo la gráfica se tiene 1;R f
0,0VéV
rtice 0,9pto 1,3pto 3,3pto
4,9pto
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24. 2 .Gráficar f x x y hallar R fSolución
) .i En este caso el vértice pasa por el origen
0,0V y Df -2 -
1 0 1
2
Valores a tomar para x
) Hallandopuntoscon 2; 1; 1y2enii 22f x x
22 2 2
2.4 8 2, 8Si x y
y
21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y
21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y 22 2 2 2.4Si x y 8 2; 8y
0 1-2
-8
2-1
-2
Vértice
:Haciendo la gráfica se tiene
0;R f
0,0VéV
rtice 2, 8pto 1, 2pto 1, 2pto 2, 8pto
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25. 4 .Gráficar f x x x y hallar R f Solución
) 1, 4 0.i Hallando el vértice a b y c Df
24 4 0 16; ; 2 ; 4
2 4 2 4
4 1 0 4
1 1V
0 1 2 3 4
Valores a tomar para x
) 0;1;3 4ii Hallando puntoscon y en 2 4f x x x
20 0 4 0Si x y 0 0 0 0; 0y
21 1 4 1Si x y
1 4 3 1; 3y 2
3 3 4 3Si x y 9 12 3; 3y
24 4 4 4Si x y
16 16 0 4; 0y
1 2 3 40
-1
-2
-3
-4Vértice
:Haciendo la gráfica se tiene 4;R f
x
y
2, 4Vé
Vrtice
0,0pto 1, 3pto 3, 3pto 4,0pto
![Page 15: Funcion de 2 do grado evaristo](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051414/55b98c37bb61eb3c2b8b45d3/html5/thumbnails/15.jpg)
26 . 3 . Gráficar f x x y hallar R fSolución
) 1, 0 3. i Hallando el vértice a b y c Df
24 0 12 0; ; 0 ;3
2 4 2 4
0 1 3 0
1 1
V -2
-1 0 1 2
Valores a tomar para x
) 2; 1;1 2ii Hallando puntoscon y en 2 3 f x x 22 2 3 Si x y
4 3 1 2; 1 y
21 1 3 Si x y
1 3 2 1; 2 y
21 1 3 Si x y
1 3 2 1; 2 y
22 2 3 Si x y
4 3 1 2; 1 y
:Haciendo la gráfica se tiene
0 1-2
3
2-1
2
1
-1
0;3VéV
rtice
Vértice 2; 1Pto 1;2Pto 1;2Pto 2; 1Pto
3; R f
![Page 16: Funcion de 2 do grado evaristo](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051414/55b98c37bb61eb3c2b8b45d3/html5/thumbnails/16.jpg)
1 2 3 40
-1
-2
-3
-4Vértice
Vértice
1 2
3 40
123456789
0 1-2
3
2-1
21
-1
0;3VéV
rtice
Vértice 2; 1Pto 1;2Pto 1;2Pto 2; 1Pto
1 2 3 40
-1-2-3-4 Vértice 0 1-
2
1
2-1
2
3
1
2 x
y
11
2Pto 0,0VéV
rtice
Vértice
2 2Pto
11
2Pto 2 2Pto