I.E.M Tartagal 4 to “A” y “B”Función Polinomial

Las funciones de números reales son transformaciones que hacen corresponder a cada valores de x ( un número real de su dominio), un único valor de y denominado imagen ( un número real), la transformación sigue la ley que le corresponde a cada función. Por ejemplo la función hace corresponder al número 0, el valor 1. Explique porqué.

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Obtenga el valor que le corresponde a 2, a 3 y a -2.Estos valores se pueden colocar en una tabla

Esta representación ( la tabla ) recibe el nombre de numéricaLa expresión recibe el nombre de algebraicaObserve que la representación algebraica es más potente que la representación numérica. Decimos esto porque la tabla siempre tendrá algunos puntos de la función, que aunque puedan ser muchos, siempre son un número finito de puntos.En cambio la representación algebraica, es una síntesis de los infinitos puntos que pertenecen a una función. Otra forma de representar una función es la gráfica.Representa los puntos de la tabla en un sistema de ejes cartesiano.

x y23-20

Cálculos auxiliares

1

Reconocemos entonces tres formas de representar las funciones: numérica, algebraica y gráfica Tendremos entonces que poder trabajar cada una de estas formas y además saber pasar de una de ellas a las otras dos.Las funciones en general sirven para resolver situaciones problemáticas. Para ello dado un problema, el estudio e interpretación del mismo nos debe conducir a modelarlo con alguna función conocida. Las funciones más simples son las polinomiales: lineales, cuadráticas, cúbicas, de grado, cuatro, cinco y así sucesivamente.Hasta ahora los ejemplos que vimos son de funciones polinomiales llamadas lineales.

En su forma desplegada las funciones polinomiales tienen la siguiente expresión:

Constante o de grado cero Lineales: Cuadrática: Cúbica: Grado cuatro ……………………………Grado cinco ……………………………Grado n …………………………… Función polinomial general

“a”, o el número que acompaña al término que determina el grado, se denomina coeficiente principal. El último término, el que no esta multiplicado por x se denomina “Término independiente” Todas las letras son coeficientes y pueden tomar cualquier número real, salvo “a” que debe ser distinto de cero.So todos los coeficientes son ceros la función se denomina nula y decimos que no tiene grado. Complete la tabla

Función nulaExpresión algebraica Tabla de valores Representación gráfica

y

x

2

1) De un ejemplo de una función lineal, una cuadrática, una cúbica, una de grado cinco y una de grado ocho. Recuerde que algunos coeficientes pueden ser cero y en esos casos el término no se escribe.

2) Diga de qué grado es cada una de las siguientes funciones polinimiales

Vamos a explorar un poco la grafica de la funciones plinomiales a partir de su expresión algebraica. Mirando la gráfica no podemos decir el grado de la función, pero sí el grado mínimo que puede tener la misma.Para ello tenemos que aprender algunas particularidades que tienen las gráficas.

La fusión constante es una recta horizontal que corta al eje y en el valor de la constante “a”, y no corta al eje x.

La función nula coincide con el eje de las x

La función lineal es una recta. En el punto de corte con el eje de las x tiene una raíz x= 1, esta raíz es de multiplicidad 1, esto quiere decir que la expresión algebraica tiene como factor a (x-1) una vez. Entonces la expresión algebraica es . Cuando x=0, y= -a, y como en la gráfica cuando x=o y=1/2 entonces - a= ½ , entonces a = - ½

3

La expresión algebraica es entonces y = - ½ (x-1) = - ½ x + ½ , coincide b entonces con el corte del eje y .

3) Encuentra la expresión algebraica correspondiente a la grafica siguiente:

La función cuadrática es una parábola

Una parábola puede cortar al eje x en 2 puntos distintos, puede tocar al eje x en un punto o puede no tocar al eje x.En la gráfica siguiente se representan las tres situaciones:

4

La parábola que corta al eje de las x en dos puntos (-2,0) y (1,0), por la forma que corta tiene un cero en x= -2 de multiplicidad 1, esto quiere decir que el factor (x+2) es un factor de la expresión algebraica una vez, y un cero en x=1 de multiplicidad 1, esto quiere decir que (x-1) es un factor de la expresión algebraica una vez.Por lo tanto la expresión algebraica es y= a (x-1) (x+2). Si desarrollamos esta expresión nos queda y= a x2+ax-2a., -2a es el término independiente, o sea que la curva corta al eje de las y en -2a . Si observamos la curva esta corta al eje de las y en 4 luego -2a = 4 . entonces a = -2. La expresión algebraica es entonces y= -2 x2-2x +4

La función de grado cuatro tiene la forma:

Observemos que tanto en la parábola que tiene, en este caso una raiz de multiplicidad 2, como en la de grado cuatro, que tiene raiz de multiplicidad 4, la curva solo toca al eje x pero no lo corta.

La función cúbica tiene la forma

5

La función de grado 5 tiene la forma

Observamos que el efecto de un cero remultiplicidad 3 es similar al efecto de un cero de multiplicidad 5. Entonces cuando observemos una curva que corta al eje de las x con este efecto, podemos decir que el cero que presenta es al menos de mulktiplicidad 3, pudiendo ser también 5,7,9 o cualquier otro número impar.Como ya habíamos dicho no podemos determinar el grado de la función pero si el grado mínimo que puede tener la curva.Observemos la siguiente curva:

En el punto (-2,0) la curva corta al eje de las x, el corte es como el de una recta, entonces tenemos un cero x= -2 de multiplicidad 1, esto quiere decir que la expresión algebraica tiene por factor a (x+2) una vez.En el punto (0,0), la gráfica corta al eje de las x, con el mismo efecto que hace la curva y=x3, aquí tenemos una raíz x= 0 de multiplicidad mínima 3, o sea sumamos al menos tres grados más y la expresión algebraica tiene como factor a (x-0), al menos, tres veces. En (0,2) la curva toca pero no atraviesa al eje de las x, en este caso el cero es x= 2, el grado mínimo del cero 2, tenemos entonces que la expresión algebraica de la curva tiene como factor a (x-2) al menos 2 veces.El grado de la curva es como mínimo 1+3+2 =6 Decimos mínimo porque el efecto que hace al cortar la curva el eje x, es el mismo en un cuando

4) Escriba una expresión algebraica cuya grafica se aproxime a las siguientes:

6

5) Haga la gráfica aproximada de

6) Utilicemos el graficador y saquemos algunas conclusiones de la forma en qué incide el signo del coeficiente principal en la grafica de la función polinomial.

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Si observamos La función lineal es una recta. que corta al eje y en el punto b, y al eje

x en el punto . Es importante observar que

, como y quedo expresado como

el producto de a por , para que “y” sea igual a cero y se encuentre sobre el eje de

las x tiene que ser cero, entonces x debe tomar el valor

Diga cual es la expresión algebraica de las siguientes funciones lineales

La grafica de la función nula, ya la conocemos. La grafica de la función constante es

Obtenga una conclusión luego de representar diversas funciones constante con el graficador de funciones.

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La gráfica de la función lineal:¿Corta siempre al eje de las x? ¿En dónde? ¿Corta siempre al eje de las y? ¿En dónde?¿Cómo determinamos la inclinación de la recta?¿Qué es un cero de una función? Indica dos maneras de obtenerlo

Pasar de la forma numérica a la gráfica es muy simple: basta colocar los puntos de la tabla en los ejes cartesianos. Sin embargo, es muy común que se equivoque al representar algunos puntos, sobre todo, aquellos que tienen una de sus componentes x o e igual a cero. Por eso es importante recordar que todo punto en el plano tiene dos componentes (x, y ). Siempre va primero en valor de x ( esto es por convención), y luego el valor de y. Para representarlo primero buscamos sobre el eje x, el valor de esta componente y luego, desde esta ubicación y en forma perpendicular subimos la cantidad de unidades que nos indica y, si este es positivo, o bajamos la cantidad de unidades en forma perpendicular si y es negativo o representamos el punto en el ejes x si y es nulo. Pasar de la forma numérica a la algebraica , es ya más complicado, para esto usaremos distintos procedimientos oportunamente

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