CAPITULO 18

FRENOS Y EMBRAGUES

18.1 INTRODUCCION. En este capitulo trataremos de los frenos, que son dispositivos de friccion empleados para regular el movimiento de los cuerpos (retardandolos, manteniendo constante su velocidad, man- teniendolos en reposo, etc.) y de los embragues, que son dispositivos de friccion usados para conectar ejes (acelerando los cuerpos conducidos hasta que alcancen la misma^yelocidad angular que el eje impulsor). Po¬demos clasificar estos dispositivos de friccion en los tipos siguiente. za¬pata externa sobre tambor, zapata interna sobre tambor, disco sobre disco, cono en superficie conica, bandas o cintas envolventes sobre tambores y bandas o cintas de expansion sobre tambores. Cualquiera de estos tipos fundamentales puede ser empleado para un freno o bien para un embra- gue, aunque los detalles de diseno del freno seran diferentes de los detalles de diseno del embrague. Sin embargo, cada tipo tiene un uso caracteris¬tico; una zapata externa sobre un tambor constituira probablemente un freno, un disco sobre un disco es mas probable que sea un embrague, pero los conos y discos y otros pueden tener ambas aplicaciones. Estudiaremos algunos de estos dispositivos de friccion, no exhaustivamente, sino breve- mente en sus formas mas corrientes, en la seguridad de que el lector podra aplicar el estudio tanto a un freno como a un embrague, pasando de uno a otro cuando sea necesario.

18.2 TRABAJO DE FRICCION Y POTENCIA. El trabajo de fric¬cion o rozamiento es simplemente el realizado por una fuerza de friccion F. Si se emplea an freno sobre un cuerpo movil, produce una reduction de la energia cinetica KE o se opone a la perdida de energia poten¬tial PE, o ambas cosas a la vez, siendo la primera consecuencia un aumen¬to en la energia molecular interna de los cuerpos en contacto (mayormente cerca de las superficies en contacto). Esto equivale a decir que la tempe-

ratura de los cuerpos aumenta, como resultado del trabajo de friction que eventualmente se disipa como calor en el ambiente o en los cuerpos circundantes. La disipacion de la energia como calor requiere un tiempo, y por esta razon la capacidad de un freno se suele especificar en funcion de la cantidad de trabajo de rozamiento U, que puede absorber en un tiempo determinado o en funcion de la potencia de friccion o rozamien¬to (fCV). Algunas veces tiene que ser aplicado un freno constantemente en periodos largos de tiempo, y en este caso el freno debe ser capaz de radiar y transmitir el calor por convection a la atmosfera, a la velocidad conveniente para que la temperatura de estado estacionario no llegue a alcanzar un valor perjudicial, § 18.4. Algunas veces el freno se aplica durante cortos intervalos de tiempo intermitentemente, con tiempo sufi¬ciente entre las aplicaciones para que se enfrie hasta un valor proximo al de la temperatura ambiente, y en este caso puede absorber energia a una velocidad mucho mayor, siendo empleada esta energia

en su mayor parte en calentar las partes metalicas. La velocidad de conduction del calor a traves del metal es mucho mayor que la velocidad a que es radiado y transferido por conduction a la atmosfera. Si la vida de las personas depende de la accion de un freno, este debe ser seguro y eficaz.

La teoria de este capitulo pertenece a la mecanica elemental. Un pa- rametro importante para frenos y embragues es el par de friccion o roza¬miento T, (casi siempre interviene un cuerpo giratorio), y la capacidad del freno se suele expresar en funcion de T,. El lector lo recordara mas ade- lante por el analisis de fuerzas de varias configuraciones en que inter¬viene T>. Recordemos ahora que el trabajo es igual a «fuerza por distan¬cia)) y que en un cuerpo giratorio ei trabajo es T dtp, donde d\p radianes es el angulo que gira el cuerpo mientras esta sometido a un determinado par de torsion T. Si T, es constante o admitimos que tiene un valor me¬dio, el trabajo de una fuerza de rozamiento sobre la superficie de un tambor giratorio de diametro D metros (o bien pulgadas) (fig. 18.1) es

(a) U, = FxDNt = T,(2-Nt) = T,\j> o T, =

donde Nt es el numero de revoluciones del tambor mientras F kilogramos (o bien libras) y T/ estan actuando (1p = 2-Nt radianes) y Ut y Tt tienen las mismas unidades, ordinariamente kilogramos-metros (o bien pulgadas- libras o pies-libras). Ademas, para una aceleracion angular constante a radianes/segundo2, T, = I a kg-cm (o bien pies-libras), donde / que viene dado en kilogramosge-m2 (o bien en slug-pie2) (para metro, o bien pie, segundos) es el momento polar de inercia de los miembros giratorios alrededor del eje de rotation.

La potencia asociada con Tf es T,m, donde a> radianes/unidad de tiem¬po es la velocidad angular del tambor: o_> = 2zn, donde n esta expresado en rpm o rps. A veces se utiliza un freno para mantener en movimiento descendente a un cuerpo con velocidad mas o menos constante, pero lo mas frecuente es que la velocidad vane, ordinariamente basta el estado de reposo. Tenemos:

en unidades metricas,

_ (Ti kg-cm)« _ (T,kgm)n {b) fCV 71 500 715 ’

en unidades inglesas,

£^7_ {Tt pies-lb)wm _ (T, pulg-lb)«

(b° fCV 3JOOO 63 000 ’

para radianes/minuto, n rpm, donde la potencia de friccion fCV (o bien fhp) corresponde a una velocidad instantanea n\ frecuentemente se calcula una potencia de friccion media para una velocidad media. La capacidad limite de un freno se expresa comunmente en funcion de la maxima velocidad instantanea de absorcion de energia, Fv,n o fCV (o bien fph), pero la cantidad total de energia que interviene es tambien de vital importancia. Por ejemplo, algunos frenos de discoen los coches de tranvias o ferrocarriles pueden estar sometidos sin deterioro a una

absor¬cion maxima de energia de 1000 fCV (o bien fhp) por aplicacion durante un corto tiempo, pero solo de 75 fCV (o bien fhp) para aplicacion en estado estacionario tI8,8i. Dicho de otra manera, este freno absorbe 0,97 X 106 kg-m (o bien 7 X 106 pies-lb) de energia sin deteriorarse, du¬rante 20 segundos, pero tarda unos 8 minutos para que la mayor parte de esta energia sea radiada y transferida por convection a la atmosfera.

18.3 CALCULO DE LA ENERGIA QUE DEBE SER ABSORBIDA.

El cuerpo que se frena experimenta un cambio de energia potencial de —A PE,

(c) —A PE = mhl — hj,

donde un cuerpo de peso W se mueve desde una altura hx hasta otra /u, medida cada una desde el mismo nivel de referencia. El signo menos aparece delante de A PE en virtud de que se ha convenido en interpretar Ax como x2 — xly convenio que hace que la energia absorbida por el freno corresponda a un numero negativo calculado por el cambio de mo¬vimiento del cuerpo frenado; es decir, la unica finalidad del signo menos es hacer que las cantidades de energia sean positivas, pero A PE puede ser positivo o negativo, segun el sentido del movimiento. El cambio de energia cinetica (mv2j2) de un cuerpo en traslacion de peso W kilogramos (o bien libras) es

(d) -M£=^(vn!-v„2) kgm (o bien pies-lb), [traslacion]

2g

donde v,, mps (o bien fps) es la velocidad inicial, v,2 mps (o bien fps) es la velocidad final, g mps2 (o bien fps2) es la aceleracion de la gravedad local [W/g = m kilogramosge (para W kg y g mps2) o bien Wjg = m slugs (para W libras y g fps2) es la masa del cuerpo]; cerca de la super¬ficie de la tierra se emplea g = 9,81 mps2 (o bien g = 32,2 fps2).

En un cuerpo en rotaeion el cambio de energia cinetica es

(e) —i\KE — -y- (uj2 — <u22) kgm (o bien pies-lb), [rotaciOn]

donde / kilogramosge-m2 (o bien slug-pie2) es el momento de inercia del cuerpo alrededor de su eje de rotaeion, w, y radianes/segiindo son, respectivamente, las velocidades angulares inicial y final. En un cuerpo sometido a movimiento de rodadura,

W - I

(f) —AKE = — t>,22) + -^(uh2 — w-2) kgm (o bien pies-lb),

2 g 2 *

[CUERPO RODANTE]

donde la raya encima de los simbolos sigmfica que las velocidades corres- ponden al centro de gravedad y que el momento de inercia se toma con respecto a este eje de gravedad perpendicular al piano de rotaeion. La energia es una cantidad escalar; la energia total U, que absorbe un freno es el decremento de la energia mecanica almacenada, originado por el frenado. Se utiliza la ecuacion (a) para hallar la fuerza de rozamiento o par correspondiente, y (b) para convertir en unidades de potencia. Si hay mas de un cuerpo que experimenta un cambio importante de energia, se halla el cambio que corresponde a cada uno de ellos y se suman algebrai- camente las energias correspondientes, para obtener la energia total que debe ser absorbida por el freno.

18.4 ABS0RCI6N ADMISIBLE DE ENERGIA Y OTROS DATOS DE CALCULO. Para los valores de calculo del coeficiente de rozamien¬to, vease tabla AT 29; y tambien § 18.14 para algunas notas respecto al mismo.

Las presiones normales admisibles entre las superficies de frenado de- penden en grado variable del material de forro o guarnicion del freno, del coeficiente de rozamiento y de la maxima velocidad a que debe ser absorbida la energia. Cuanto mas. alta es la presion, mayor es la velocidad de desgaste y la energia absorbida a una determinada velocidad de mo¬vimiento. Los valores recomendados de proyecto de p se dan en la ta¬bla AT 29, pero los valores indicados son excedidos ocasionalmente. Por otra parte, pueden ser menores que los indicados cuando los periodos de aplicacion sean frecuentes y largos. En resumen, la experiencia que se tenga de los materiales dados y la clase de servicio es lo que conduce al mejor proyecto. La presion p kg/cm2 (o bien psi) corresponde al area proyectada A de la zapata; p = N/A, donde N es la fuerza normal total (despues se dan mas detalles). La velocidad real de disipacion de energia es fNvn — Fvtn = fpAvm kgm/minuto (o bien pies-libras/minuto) con v,„ mpm (o bien fpm), donde se ve que es proporcional al producto pvM para un freno determinado. En virtud de esto, los valores de calculo de pvm en kgm/cm2-min (o bien en pies-lb/pulg2-min) se encuentran en los datos de la literatura tecnica. Son valores tipicos para frenos industriales de zapata t18141: aplicacion frecuente, pvm =118 (o bien pvm = 5500); uso medio, pvm = 354 (o bien pvm = 16 500); uso infrecuente en interva¬ls cortos, pvllt — 1060 (o bien pvm = 49 500). Raybestos-Manhattan indican que la mayoria de los valores de calculo de pvm de los fabricantes estan dentro del intervalo de 32 a 215 (o bien de 1500 a 10 000).

De acuerdo con Hiitte se prescriben los valores siguientes de uso fre¬cuente y que aqui reproducimos por su valor informativo:

Pvm 1180 (o bien pvm^55QOO) para aplicaciones intermitentes de la carga, periodos relativamente largos de reposo, precaria disipacion del calor (zapatas de madera); para / = 0,25 este valor es equivalente a una potencia de rozamiento absorbida aproximada de 0,066 CV/cm2 (o bien a 0,42 fCV/ pulgada cuadrada);

pvm ^600 (o bien pvm^ 28 000) para aplicacion continua de la carga como en operaciones de descenso con carga, precaria disipacion del calor (zapatas de madera); equivalente a 0,033 CV/cm2 (o bien a 0,21 fCV/puiga- da cuadrada) para / = 0,25 ;

pvm ^ 1780 (o bien pvm ^83 000) para aplicacion continua de la carga, buena disipacion termica (bano de aceite); equivalente a 0,1 CV/cm2 (o bien a 0,63 fCV/pulgada cuadrada) aproximadamente para / = 0,25.

Comparemos estos diversos valores con algunos valores maximos que se encuentran en la literatura tecnica publicada: automoviles, 7 kg/cm2 X X 760 mpm = 5320 a 316° C (o bien 100 psi X 2500 fpm = 250 000 a 600° F); tractores para movimiento de tierras, 3,5 kg/cm2 X 1520 mpm = 5320 a 427° C (o bien 50 psi X 5000 fpm = 250 000 a 800° F); coches de ferrocarril, 7 kg/cm2 X 3048 mpm = 21 336 (o bien 100 psi X X 10 000 fpm = 1 000 000).

Para frenos de cinta abiertos y expuestos al aire, § 18.9 Rasmus¬sen [uu] recomienda una capacidad de absorcion de energia de 0,031 a 0,047 CV/cm2 (o bien 0,2 a 0,3 fCV por pulgada cuadrada) de area de contacto de freno.

Las temperaturas estan limitadas por las propiedades de los materiales (tabla AT 29). Los calculos que dan las temperaturas de superficie solo pueden ser aproximados a un cierto valor medio, pero se pueden hacer estimaciones de calculo. Los efectos de calentamiento son naturalmente muy complejos y las temperaturas locales en los puntos de contacto pue¬den ser muy elevadas. La parte de energia total de rozamiento que es almacenada en las diversas partes del freno, principalmente en el tambor

o el disco, han sido estimadas con valores diversos de hasta 75 %, pero realmente varian con la duracion de la aplicacion asi como con la canti- dad de energia. En aplicaciones de corta duracion de frenado, concreta- mente algunos segundos, el porcentaje se puede aproximar al 100 % en el instante en que es soltado o liberado el freno. En el proyecto del tambor de freno para aviones se admite la hipotesis de que el tambor absorbera el 92 % de la energia cinetica y estara a una temperatura de 580° C (o bien 1075° F) al parar C18'201. Despues de transcurrido algun tiempo, la energia almacenada en las partes del freno sera transmitida por radiation o por convection. Si son necesarias largas aplicaciones continuas, el tam¬bor y las otras partes adyacentes siguen aumentando de temperatura hasta que la canddad de energia perdida por transmision a las partes o espacio circundantes es igual a la velocidad con que se genera la energia de roza¬miento. La magnitud de pvm aumenta, segun esto, y la duracion del fre¬nado debe disminuir a fin de evitar el sobrecalentamiento.

Para requisitos maximos o de cresta durante tiempo corto, se admite generalmente que es absorbida toda la energia de rozamiento por la parte metalica adyacente de la polea o tambor, lo que origina un aumento de temperatura A/ del metal,

U, kgm

grado F) es el calor es¬pecifico medio del metal para el intervalo de temperatura correspondiente (con un intervalo grande c varia acusadamente). Para los calculos ordi- narios en unidades metricas son adecuados los siguientes valores: hierro fundido, c =« 55,3; acero, c =Ol; aluminio, c = 106, o bien, si se emplean unidades inglesas, los valores correspondientes son: c==101, c== 93 y c =« 195, respectivamente.

En los frenos de automovil (fig. 18.5) es idonea una carga maxima instantanea de aproximadamente 0,345 fCV/cm2 (o bien 2,2 fCV/pulg ) de superficie de contacto sobre el tambor. Una manera de calcular este valor «instantaneo» se basa en un valor conocido o supuesto de desace- leracion. Por ejemplo, se puede tomar como un valor razonable para automoviles 4,57 m/seg2 (o bien 15 fps2), lo cual significa que la velocidad disminuye 4,57 m/seg (o bien 15 fps) en un segundo; la potencia frictional de carga en fCV (o bien fhp) se puede calcular para cualquier velocidad maxima que dure un segundo, por ejemplo.

La eficacia del freno puede disminuir considerablemente poco despues de que comienza a actuar continuamente, fenomeno que se conoce por el

termino ingles fade (desvanecimiento, debilitation). Esto se debe princi¬palmente a una disminucion importante del coeficiente de rozamiento a las altas temperaturas de superficie inducidas, y se puede remediar hasta cierto punto mediante un proyecto adecuado del sistema de freno; por ejemplo, buscando una configuration tal que el momento de rozamiento T, dividido por el momento aplicado Wa{T,!Wa) evidencie una variacion minima cuando se representa graficamente en funcion del coeficiente de rozamiento (vease ventajas mecanicas mas adelante), o por una mas efec¬tiva disipacion del calor.

18.5 EJEMPLO. TEMPERATURA DE TAMBOR Y fCV. Un automovil que pesa 1360 kg, marcha sobre camino llano a una velocidad de 96,5 ki- lometros/hora y se le frena para que la deceleracion sea constante a 6,1 m/seg2 (aproximadamente el maximo normal) hasta que se pare. (Si marchase cuesta abajo, la perdida de energia potencial o PE se sumaria a la perdida de energia cinetica o KE ; si marchase cuesta arriba, la gravedad contriburia a decelerar el coche). Cada tambor de freno de hierro fundido tiene un diametro D = 23 centimetros, una anchura de cara b = 5,7 cm y un espesor t = 0,5 cm. (a) Suponiendo que el cator radiado y el transmitido por conveccion es des- preciable, calcular el aumento de temperatura del tambor. (b) (,Cual es la velocidad media de absorcion de potencia (fCV) durante el primer segundo?

durante el ultimo segundo? (c) <,Cual es la fCV media total?

Solution, (a) Como el proceso de conduccion del calor en el hierro es relativamente rapido, se puede hacer una estimacion razonable de las condi¬ciones suponiendo que toda la energia de

rozamiento es absorbida por el tambor, teniendo en cuenta que con toda seguridad existiran diferencias de temperatura. Por la tabla AT 6 hallamos que la densidad del hierro fundido es 7,01 kg/dm3, o sea 0,007 kg/cm3. Asi, la masa aproximada de cuatro tambores es [V = -Dbt + (~D2/4)t]

Wm = PV = 4 X 0,007[" X 23 X 5,7 X 0,5 + (- X 232/4) X 0,5] = 11,6 kg.

(Considerando el metal agregado en el resto de la pieza, la masa efectiva puede considerarse mayor.) La velocidad de 96,5 kilometros/hora equivale a

96.5 X 1000/3600 = 26,85 m/seg. El coche que pesa 1360 kg pierde toda su energia cinetica (despreciando la energia cinetica de rotation KE de las rue¬das en el supuesto de que constituye una pequena parte de la total).

Con u, = — &KE = 49 970 kgm en la ecuacion (g), el aumento medio de temperatura es

U, = 49 970 = 7g0 c wmc 11,6X55,3 '

Si la temperatura ambiente es 38° C, el tambor esta a una temperatura media de 116° C.

(b) Durante el primer segundo, la velocidad disminuye desde 26,85 m/seg hasta 20,75 m/seg (a = — 6,1 m/seg-), y por consiguiente la perdida de ener¬gia cinetica por segundo es

Si la temperatura ambiente es de 100° F, el tambor estara a 249° F en promedio.

fCV = ——— = 268 CV, potencia media en 1 segundo.

El area aproximada de las cuatro superficies de contacto es

A = 4(-Db) = 4 X - 23 X 5,7 = 1647 cm2,

o sea 268/1647 = 0,163 CV/cm2. (Pero observese que durante la primera fraction de un segundo la relacion es mas alta que 0,163.) Durante el ultimo segundo, el coche se para desde una velocidad de 6,1 m/seg2, y fCV es —AKE/75 o

o sea 34,4/1647 = 0,0208 CV/cm2.

(c) Con aceleracion constante, a = Av/At o At = Av/a = 26,85/6,1 = 4,4 segundos para que se pare el coche. Con un valor inicial KE = 49 970 kgm, la perdida media en el tiempo total sera al valor unitario de

4,4 X 75

o 151/1647 = 0,091 CV/cm2 de superficie de contacto sobre cada tambor.

Resolution en unidades inglesas. En el enunciado de este ejemplo deben hacerse previamente las sustituciones siguientes: 3000 libras ; 60 millas por hora ; 20 fps2; D = 9 pulg ; b - 2 1/4 pulg; t = 3/16 pulg. (b) fCV durante el primer segundo; (c) fCV media total.

Solucion. (a) En la tabla AT 16 hallamos como densidad del hierro fun¬dido p = 0,253 lb/pulg3, y entonces

;r(81)(3)

o 33,9/254 = 0,133 fCV/pulg2.

(c) Para aceleracion constante, At = A v/a = 88/20 = 4,4 segundos para parar el coche, y la rapidez media total de absorcion de potencia es

= 361 000_ =

(4,4)(550)

o sea 149/254 = 0,587 fCV/pulg2 de superficie de contacto sobre el tambor.

18.6 FRENO DE ZAPATAS, ZAPATAS PEQUENAS. Si la zapata es suficientemente corta (6 pequeno, fig. 18.1), es razonablemente apro¬ximado admitir que la fuerza de razonamiento resultante F es tangente al tambor en el centro de la zapata, supuesto que frecuentemente se admite en calculos rapidos. El cuerpo libre de la palanca de freno y zapa¬ta, perfil continuo (fig. 18.1), sirve para aclarar el procedimiento que se sigue en tales casos e indica todas las fuerzas: W, fuerza aplicada a la palanca representada paralelamente a la fuerza normal N (sus componen- tes paralela y perpendicular a N serian las mas convenientes si W tuviese otra inclination); F — fN, donde / es el coeficiente «cinetico» de roza¬miento, y Fa, de magnitud y direccion desconocidas, reaction del perno, que debera ser utilizada para calcular la conexion del pivote A. Supo- niendo que el lector este capacitado para hallar Fa y usarla, nos limita- remos a los aspectos de frenado, y eliminaremos FA eligiendo A como centro de momentos;

F

(h) SA/4 = Wa — Nb + Fe = Wa — — b + Fe = 0.

La posicion del pivote A con respecto a la linea de accion de la fuerza de rozamiento F es importante en los frenos. Para la posicion dada, ve-

mos que el sentido del momento de F es el mismo que el de W; es decir, la fuerza de rozamiento contribuye a aplicar el freno. Cuando existe esta condition se dice que el freno tiene propiedades autoactuantes o autoener- gizantes o que es de automultiplicacion de fuerzas. Considerando la figura 18.1, se observa que si el pivote esta situado en el punto A', que es lo mas probable, el momento de la fuerza de rozamiento se opone al momento de la fuerza aplicada W y no hay efecto de automultiplicacion; se le puede considerar como de automultiplicacion negativo. Se requiere.

pues, mayor fuerza aplicada W para producir una fuerza determinada de frenado F cuando el pivote esta en A' que cuando esta en A, a igualdad de las otras condiciones. Sin embargo, si se trata de un freno de doble zapata con otra palanca con zapata pivotada en A , que es la construc¬tion mas corriente, vemos que F' produce una actuation automatica de la palanca inferior mientras F se opone al momento aplicado sobre la pa¬lanca superior; los efectos se invierten si se invierte la rotacion. En el analisis real del freno se debe considerar como un cuerpo libre a cada pa¬lanca y su zapata; F' no es necesariamente igual a F y los efectos de fre¬nado son generalmente diferentes, como explicamos. En la practica, el lector puede expresar la ecuacion equivalente a la (h) anterior para dife¬rentes posiciones del pivote A y para diferentes sentidos de rotacion.

Observese en la ecuacion (h) que si blf = e, entonces W — 0, condi¬cion limite (y completamente inestable) que implica que no es necesario aplicar fuerza alguna al freno. Si e > b/j, W es negativa, lo que significa que es necesaria una fuerza para desacoplar el freno, una vez acoplado, o que no se requiere fuerza alguna para producir el frenado; por consi-guiente, el freno es autoblocante. La ecuacion (h) pondra pronto de manifiesto que sera necesaria una configuration poco corriente (e grande)

para conseguir que un freno de una sola zapata sea autoblocante; pero si se desease asi, como a veces ocurre, § 18.9, existen otras clases de freno mas apropiadas para este fin

Ademas de la capacidad del freno para la absorcion de energia, se utiliza su par de frenado o rozamiento T, para la especificacion. Para la disposition de palanca simple de la figura 18.1, se despeja F en la ecuacion (h). se multiplican ambos miembros de la ecuacion por el radio

Fig. 18.2 Freno de dos zapatas con solenoide. Un resorte aplica el freno con fuerza W y puede ser ajustado para aumentar o disminuir el momento de frenado. Cuando circula la corriente por el motor, pasa tambien por el solenoide y este impide que sea aplicado el freno al motor; el frenado se produce cuando deja de pasar la corriente, como en el caso en que se para un ascensor o una grua. En un analisis de fuerzas se consideran los cuerpos libres de los juegos de palan- cas AFC, BHF y CKE, como se indica en la representacion cinematica. Vease § 18.7. Los pernos K y B se pueden considerar como suficientemente apretados para constituir una conexion rigida. (Cortesia de Westinghouse Electric Corp-

East Pittsburgh.)

del tambor Dj2 y se obtiene el par de frenado T, correspondiente a una fuerza aplicada W\

FD WDfa ® Tf = ~2~ = 2 {b - fe)

Si hay dos o mas zapatas sobre el mismo tambor, el procedimiento se<mro es hallar T, para cada zapata y sumar los resultados.

En el calculo real de un freno habra probablemente que trazar curvas que indiquen como la accion del freno varia con los cambios en ciertas dimensiones y en el coeficiente de rozamiento, que por otra parte es inherentemente variable. Un parametro adimensional utilizado para estos estudios, llamado ventaja mecanica MA («Mechamcal advantage)), en ingles), se define como razon del par de frenado T, al momento aphcado; por ejemplo, en la figura 18.1. para una palanca simple. MA - 1,/Wa.

donde T, viene dado por (i).

La ventaja de emplear dos zapatas opuestas o frenos de doble za¬pata es que las fuerzas normales se equilibran mutuamente hasta cierto punto, lo que reduce considerablemente las cargas de apoyo y el momento de flexion actuante sobre el arbol del tambor. Los detalles de los dise- nos de juegos de palancas varian ampliamente, siendo la figura 18.2 un ejem¬plo; por consiguiente, el ingeniero no tiene otro recurso que aplicar los principios de mecanica y hallar las magnitudes de las diversas fuerzas y los momentos para la configuration escogida en particular.

18.7 FUERZAS ACTUANTES PARA EL CASO DE ZAPATAS LARGAS. El error que resulta de las hipotesis de presion uniforme y fuerza de rozamiento tangente a la llanta en el centro de las zapatas, hipotesis que se admiten con zapata corta, se hace mayor cuando aumenta el arco subtendido por la superficie de la zapata de freno. Los valores tipicos de 9 se aproximan a 90° (fig. 18.3). Para mayor perfeccion del analisis se puede admitir en principio algo que probablemente se apro¬xima a las condiciones reales, como la distribucion de la presion nor¬mal p sobre la zapata, por ejemplo. Para las configuraciones representadas en la figura 18.3, la hipotesis de que el desgaste es proporcional a la presion conduce a una distribucion cosenoidal de la presion corwespecto a la recta 0B\ podriamos, pues, admitir esa distribucion, p - P cos a, donde P es la constante de proporcionalidad y el valor de p que corres¬ponde a cos a = 1. Esta distribucion la sugiere !a propia evidencia expe¬rimental. Si la zapata y el tambor fuesen relativamente flexibles, la dis¬tribucion de presion seria casi uniforme. En realidad la distribucion cambia con el desgaste del forro y con la magnitud de las fuerzas aplicadas. El analisis siguiente es aplicable a las zapatas pivotadas (fig. 18.3 a), en que el eje OB con respecto al cual se rnide * pasa a traves del pasador cuyo centro es B (no como en el dibujo), y se aplica a la figura 18.3 6 cuando el eje OB es perpendicular a 0H\ con la limitation adicional de que la superficie de contacto es simetrica alrededor de OB, limitation no necesaria, que el lector puede cambiar facilmente variando los limites de integracion.

Fig. 18.3 Zapatas largas. En (a) hay ana zapata pivotada; para p — Pcosx, la fuerza N actiia a traves del pasador y B\ la fuerza F sobre la zapata actua a traves de B. Observese que para rotaeion dextrorsum y la construccion (a), la resultante F tiene un momento con respecto a H que la hace autoenergizante, y que la fuer¬za F sobre la otra zapata del juego que actua diametralmente opuesta.en el tambor la hace negativamente autoenergizante. En (b) con rotaeion dextrorsum, F tal como esta representada resulta desenergizante (autoenergizante negativa), pero en la za¬pata opuesta sera autoenergizante. Cuando el frenado es suficiente en un sentido de rotaeion, la zapata que no es autoenergizante puede tener menor superficie de contacto, o el sistema de palancas se puede proyectar para que produzca una fuerza normal mayor sobre la zapata desenergizante que sobre la otra. La zapata de freno se construye generalmente simetrica con respecto al eje horizontal; en (b) esta representada intencionadamente de modo que destaquen las condiciones para las

formulas deducidas.

Consideremos el area dA = birds), figura 18.3, donde b es la anchura de la cara de la superficie de frenado y r dot. — ds. Para una presion p, las fuerzas normal y de rozamiento son

(j) dN = pbr dz = Pbr cos a dx y dF = fpbr dx = fPbr cos a dot,

donde hemos sustituido p = P cos a. El momento de dF con respecto a un punto B (fig. 18.3), suponiendo a / constante, es {Og = C cos a)

dMF;B = (dF)e = dF(C cos a — r) = fPbr(C cos a — r)cos a ds,

(k) dMp;B — fPbr(C COS'a — r cos a)(ia,

Puesto que P, b, r y C son constantes para un freno determinado, la integral de esta expresion (k) entre los limites 6/2 y + 0/2 da el mo¬mento de F con respecto a un punto B

El momento de F respecto a un punto perteneciente a su propia linea de accion es nulo; por consiguiente, si Wr« = 0, el valor resultante de C situa la linea de accion de F. Como solo pueden ser iguales a cero los terminos entre corchetes, tenemos

donde C es la distancia desde O a la linea de accion de F, cualquiera que sea la construction, y tiene las mismas unidades que r y D. En la termi nologia de frenos, el"punto B se llama centro de presion. Asi, si el pa¬sador de pivote esta situado en el punto B, la zapata no tiene tendencia a inclinarse y concentrar la presion sobre el extremo de la punta o del talon del forro, y las lineas de accion de N y F pasan por el punto B. No obstante, el punto B esta ordinariamente tan cerca de la superficie del tambor que no hay espacio suficiente para un pasador (aunque se pueden emplear otros disefios para conseguir que el pivote este virtualmente en BY De aqui que en la construction representada en la figura 18.3 a, la fuerza F resultante tienda a hacer girar la zapata CC. produciendo mayor presion en el extremo superior de la zapata que en el inferior; y la distribucion sinusoidal con el centro en OB ya no es por consiguiente aplicable. (Si el pasador, figura 18.3 a, esta suficientemente cerca de B, las ecuaciones de T,. etcetera, dan soluciones razonables para la zapata pivotada.)

La fuerza normal N es la suma de las componentes en la direccion OB, N = fdN cos x, con dN deducido segun la ecuacion (j);

sion es sinusoidal tal como explicamos; de ordinario F = fN. Conviene observar que T, = FC. donde C esta definido por (1). La presion maxima P se puede calcular por cualquiera de las ecuaciones anteriores que la con- tengan, por ejemplo, la ecuacion (m), con las condiciones limites definidas segun la figura 18.3.

Para la palanca considerada como cuerpo libre en la figura 18.3 a, las fuerzas F y N actuan en el centro del pasador (suponiendo que la conexion de este no pueda originar momento de giro alguno). Sin embargo, con la zapata rigidamente acoplada representada en la figura 18.3 b es necesario integrar para hallar el momento de dF respecto a H, o usar el brazo de momentos hasta H del vector F que pasa por B\ las fuerzas W. F, N, H. representadas en las figuras 18.3 6,

constituyen el cuerpo libre para el juego de palancas y zapata. Si el forro no se extiende mas lejos que la linea de accion de N [o, <90°), la maxima presion real es la existente en el extremo del forro (P cos <£>..).

•Para una perfecta comprension, el lector debe resolver algunos pro¬blemas (diferentes del anterior) por integracion, efectuando las compro- baciones mediante los principios establecidos. Una variante consiste en deducir las ecuaciones en funcion de cpt, 4>. (figs. 18.3 y 18.4) para las cuales la presion sinusoidal es p — P sen 0. Vease figura 18.4 y demues- trese que, para p = P sen 0,

(o) T, = M, ,, = fbr-P(cos <p, — cos

(p) MFIH = fbrP^r(cos 4>l - cos <b2) — — feen3^2 sen^jj,

donde los angulos que aparecen solos, como 4)2—4>, — B, estan expre- sados naturalmente en radianes y las ecuaciones estan expresadas de modo que den siempre soluciones positivas. Siendo MF,n y Ms.n numeros posi- tivos, la suma de los momentos con respecto a H en la figura 18.4 es

Para rotacion de sentido contrario, el signo de M,.:n debe ser opuesto. La reaction H en el pasador se obtiene por las sumas de las componentes en las direcciones x e y; para el sistema de fuerzas de la figura 18.4

en que las integraciones se hacen como antes explicamos; H = (Hx2 + + H,,2)'12. Hay que senalar que la equilibrante de W y H es igual a la resultante de F y N (las lineas de accion de tres fuerzas en equilibrio se cortan en un punto).

Fig. 18.4 Zapata exterior asimetrica.

18.8 ZAPATA INTERIOR. El problema de frenado en los automo- viles ha conducido a la creation de varios tipos de frenos con zapatas in- ternas pivotadas. En algunos frenos las zapatas estan sobre un pivote fijo, como en la figura 18.5; en otros el pivote de la zapata esta fijado a otro eslabon o palanca intermedio y puede moverse libremente dentro de un corto arco. Con esta gran variation de detalles se han realizado numerosos analisis de frenos de zapatas interiores [1S•■‘J. Para un pivote fijo, el par de frenado, etc., puede ser determinado sobre la base de una distri¬bucion sinusoidal de presion (p = P cos a cuando a esta metido desde OB, figura 18.3, la perpendicular a la linea radial desde el pivote hasta el centro del tambor; o p = P sen <f>, donde 4> se mide desde la linea radial que va desde el pivote hasta el centro del tambor). El momento de la fuerza de rozamiento y de la fuerza normal respecto del pivote fijo de la zapata, se puede hallar por integration, como se sugiere por el proce¬dimiento indicado en § 18.7. Las capacidades de potencia se mencionan en § 18.4.

En el freno de automovil de dos zapatas de la figura 18.5, si el coche se desplaza avanzando, las fuerzas de rozamiento sobre las zapatas tienen momentos de sentido sinistrorsum respecto a sus respectivos pivotes y estos momentos favorecen la aplicacion de los frenos; es decir, ambas zapatas son autoenergizantes y constituyen una buena disposition para frenos de ruedas delanteras, que son las que mas frenan. Si el coche esta

presion sobre el tambor de freno. El re¬sultado es que los frenos son menos eficaces (para una fuerza determinada aplicada en el pedal de freno) cuando el coche esta retrocediendo que cuando avanza. Posiblemente el lector lo habra observado.

Fig. 18.5 Freno de zapata interior. (Cortesia de Chrysler Corp., New York.)

18.9 FRENOS DE CINTA. En un freno de cinta, esta envuelve par¬cialmente a la rueda o tambor de freno y la accion de frenado se obtiene tirando de la cinta para que se apriete contra la rueda (fig. 18.6). La fuer¬za de frenado F es la diferencia entre las tensiones existentes en los dos extremos de la cinta, F = Fl—F,. El analisis de fuerzas es analogo al que hemos expuesto para las correas, excepto que la fuerza centrifuga no actua en este caso. De la ecuacion (d), § 17.3. obtenemos directamente

donde F, es la traccion en el lado tirante de la cinta, F2 es la traccion menor y 0 el angulo de contacto entre la cinta y la rueda en radianes.

Las herramientas o medios conceptuales de que se dispone para los calculos de frenos de cinta incluyen la ecuacion (18.1). F = F,— F3, y una ecuacion de equilibrio, tal como la (u) que se da mas adelante para el freno de cinta diferencial; a continuacion aclaramos los detalles del analisis. En la figura 18.6, si se invierte la rotaeion, la traccion mayor Ft se opondra a W, dando por resultado un par de frenado menor para un valor particular de W.

En el freno de cinta diferencial (fig. 18.7) la traccion sobre un extremo de la cinta de freno favorece la aplicacion de este. Estos frenos son auto- energizantes y pueden, claro esta, ser autoactuantes o automaticos (figu¬ra 18.8). Un analisis de fuerzas, considerando la palanca de freno como

cuerpo libre (fig. 18.7). revela algunas caracteristicas de este tipo de freno. Utilizando el punto de apoyo o fulcro B como centro de momentos a fin de eliminar la reaction del pasador en B de la ecuacion de momentos (figura 18.7), obtenemos

F,b tiene, pues, el mismo sentido que Wa, y la fuerza aplicada exterior- mente W es favorecida por la traccion tirante Ft al aplicar el freno. Para obtener la relacion de la fuerza de rozamiento F y la fuerza aplicada W, sustituimos el valor de Fl = F.,ele en Fl — F, — F, y hallamos

lo cual indica que W sera negativa si be18 > c; es decir, el freno sera de accion automatica y actuara inmediatamente que la fuerza de rozamiento comience a actuar.

Como el par de frenado es Tt = FD/2, donde D/2 es el radio del tam¬bor, podemos multiplicar los dos miembros de la ecuacion (w) por D/2, despejar FD/2 — Tf, y hallar

Fig. 18.8 Parador diferencial de retroceso. Consiste en un freno de cinta que se utiliza como pasador para impedir la inversion del movimiento. Comparese con !a figura 18.7. Se emplea sobre el eje motor o eje de transmi- sion de un ascensor, una grua o un trans- portador.

(a) (995 fCV)1'3 < D < (1330 fCV)1'1;

en unidades inglesas, D en pulgadas,

(a') (60 fCV)1" < D < (80 fCW'\

donde fCV (o bien fhp) se toma como valor de la potencia maxima que debe ser disipada en un periodo de 15 minutos. Vease tambien capacidad de fCV (o bien de fhp) para frenos de cinta, mencionada en § 18.4. Aunque los valores empiricos dados por las ecuaciones independientes (z) y (a) son presumiblemente razonables, se debe conocer primero si los nue- vos disenos dan un resultado satisfactorio en la practica.

18.10 PAR DE ROZAMIENTO DE UN DISCO. Las superficies de disco utilizadas para embragues o frenos tienen generalmente forma anu- lar (fig. 18.9). La ecuacion teorica para T, puede estar basada en una de estas dos hipotesis: (1) la presion se distribuye umformemente sobre la superficie, o (2) el desgaste de la superficie es uniforme. Como (2) es algo mas conservadora que (1). y da resultados mas sencillos, utilizaremos la de desgaste uniforme.

Se puede presumir que el desgaste sea proporcional a la inten'sidad de presion p y a la velocidad de frotamiento. A su vez, esta velocidad es proporcional a la distancia desde el centro de rotaeion p (fig. 18.9). El desgaste es, pues, proporcional a pp\ y si el desgaste es uniforme, pp — C, una constante. Consideremos el area diferencial dA = pdd dp (fig. 18.9); la fuerza normal sobre ella es dN = p dA = pp dd dp. Hagamos pp = C e integremos:

r„ N

(b) N = | C dd dp = 2irC(r0 - rj, o' C = n J o

donde rm es el radio medio de la superficie anular, rm = (r0 + /■,•)/2 y N la fuerza axial entre un par de caras en contacto. El par total que puede ser transmitido cuando hay mas de un par de caras en contacto con una fuerza normal N actuando sobre cada par es el valor de (18.2) multipli- cado por el numero de pares en contacto.

En algunas aplicaciones de servicio pesado se prefieren los frenos de disco porque pueden ser proyectados para radiar el calor mas rapidamente y con menos dificultades debidas al «fading» o desvanecimiento. Chrysler declara que sus frenos de disco autoenergizantes funcionan a temperaturas un 35 % mas bajas que las usuales (no da detalles). La autoenergizacion se consigue en virtud de la accion de acunamiento de bolas de acero que ascienden por rampas dispuestas entre los discos y ejercen presion hacia afuera sobre las superficies de rozamiento cuando se aplica el freno.

Fig. 18.10 Embrague de disco. El cojinete de desembrague o disparo A esta montado sobre el eje K a la transmision, y cuando se pisa el pedal del embrague, el cojinete A se mueve hacia el volante B. haciendo contacto con los extremos interiores de las palancas de desacoplo C. Las pa¬lancas de desacoplo pivotan en D sobre pasadores montados en los bulones de ojo E. Los extremos exteriores de las palancas de desacoplo engranan con las unas de la placa de presion F, tirando de la placa de presion G separandola de la placa conducida H, comprimiendo los diversos resortes helicoidales I y desconectando la transmision des¬de el volante (que es solidario del arbol del mo¬tor) al eje K. Cuando se deja de apretar el pedal de embrague, los resortes / empujan a la placa de presion G contra la placa conducida H, y es trans¬mitida la potencia a traves de dos pares de caras de friccion, un par en cada lado de la placa con¬ducida H, que esta montada sobre una conexion ranurada M. (Cortesia de Borg and Beck, Chicago.)