Francisco Javier Gil Chica 2011gil/eclipses.pdfque puede calcularse por m´etodos geom´etricos,...

Nueva Teorıa de Eclipses

Francisco Javier Gil Chica

2011

Prologo a la Nueva Teorıa de

Eclipses

A lo largo del ano 1991, se cumplen ahora 20 anos, termine de escribirun libro sobre teorıa de eclipses, ocultaciones y transitos usando una anti-gua maquina Olivetti en la oficina del Grupo de Prediccion y Vigilancia enel Centro Meteorologico Territorial de Valencia. En esta primera copia lasexpresiones matematicas estaban escritas a mano, en los espacios habilitadosentre el texto; las figuras estaban hechas a mano alzada, por supuesto. Loscalculos fueron realizados con una calculadora programable Casio, modeloFX-850P y los programas escritos en BASIC en primer lugar sobre papel yluego fatigosamente introducidos desde el teclado de la calculadora, que aunconservo en funcionamiento.

Esta primera copia fue reescrita usando WordPerfect (la version 5.1 per-mitıa formulas matematicas) . Las figuras fueron rehechas con Drawperfect yel libro finalmente publicado por la Universidad de Alicante, donde en aquelentonces yo era profesor asociado, en 1996, tras dormir durante cinco anosen un cajon.

Unos anos despues, el libro fue digitalizado y ası permanece desde en-tonces: con todas sus erratas y la perdida de un par de figuras en el tallereditorial.

Desde que el correo electronico es herramienta comun, he recibido mu-chas consultas. Unas advertıan de erratas, otras pedıan explicaciones, o bi-bliografıa, o solicitaban las figuras perdidas. Me convencı pronto de que lasfaltas de aquella edicion me acompanarıan durante mucho tiempo y termi-narıan obligandome a escribir una version nueva y mejor, maxime cuandodesde entonces parece que sigue siendo la unica referencia en espanol sobreel tema. No en ingles, ya que en 1991 yo me habıa basado en los textos deGreen, Smart y Chauvenet. El azar habıa puesto en mis manos, en 1989, unapublicacion del Observatorio de Madrid, fechada en 1907, sobre el eclipseque habıa tenido lugar ese ano. Esta obra seguıa la rutina de calculo del librode Chauvenet y anadıa una cartografıa en color de las zonas afectadas en el

i

ii 0. Prologo a la Nueva Teorıa de Eclipses

norte de Espana.En fin, veinte anos despues entrego a la red esta segunda version con la

esperanza no solo de que remedie las carencias de la primera, sino tambien deque sirva de algun modo de reparacion a las personas que me hicieron llegarsu interes o sus dudas respecto a la primera version y a las cuales, dedicadocomo he estado (y estoy) a otras muchas tareas, siento no haber atendidoadecuadamente.

Parte del material contenido en esta edicion proviene del pequeno tratadosobre relojes de sol que compuse en 2006. He eliminado algunas secciones,que tras el paso del tiempo considero ahora excesivamente farragosas y deinteres menor. Tambien ha desaparecido el capıtulo dedicado al calculo deleclipse de 1985, debido a que el procedimiento de calculo trigonometricoes farragoso comparado con el cartesiano, que ahora puede acometerse sinproblemas mediante el computador.

Capıtulo 1

Trigonometrıa esferica

Sea una esfera de radio unidad. La interseccion de cualquier plano con esaesfera es una circunferencia, y de todas las circunferencias que son intersec-cion de un plano con una esfera dada, son maximas aquellas que pertenecena un plano que contiene al centro de la esfera.

Llamaremos cırculo maximo 1 a aquel que proviene de la interseccion deun plano que contiene el centro de la esfera con esta.

Un triangulo esferico es la superficie de esfera delimitada por tres arcosde cırculo maximo, de manera que ninguno de ellos exceda π radianes. Puesbien, la trigonometrıa esferica se ocupa de las relaciones que existen entrelos lados y los angulos de un triangulo esferico. A diferencia de los triangulosde la geometrıa plana, donde los lados tienen medidas lineales y los angulosmedidas angulares, en un triangulo esferico tanto los lados como los angulostienen medidas angulares. Respecto a los lados, su medida es el angulo queforman las dos lıneas que unen el centro de la esfera con los extremos dellado en cuestion. Respecto a los angulos en los vertices del triangulo esferico,su medida es el angulo formado por las tangentes a los cırculos en el verticeque se considere. Se acostumbran a nombrar los vertices mediante letrasmayusculas y cada lado con la misma letra, en minuscula, que el verticeopuesto a ese lado.

1.1. Relacion de los cosenos

Con relacion a la Figura 1.1, O es el centro de la esfera y ABC un trianguloesferico. Las lıneas AD y AE son tangentes a los arcos de cırculos maximosAB y AC, respectivamente, de forma que el plano determinado por ADE es

1en rigor, circunferencia maxima, pero el uso ha consagrado la denominacion cırculo

maximo

1

2 1. Trigonometrıa esferica

O

A

B C

D E

a

c b

Figura 1.1 Triangulo esferico

tangente a la esfera en el vertice A del triangulo esferico. Para el trianguloDAE se cumple:

DE2 = AD2 + AE2 − 2(AD)(AE) cos(DAE) (1.1)

mientras que para el triangulo DOE:

DE2 = OD2 + OE2 − 2(OD)(OE) cos(DOE) (1.2)

Tomando radio unitario para la esfera, tenemos que DA = tan c, AE =tan b, OD = sec c, OE = sec b, cos(DOE) = cos a y cos(DAE) = cos A.Igualando las dos expresiones para DE2, sustituyendo las relaciones, ante-riores y reordenando (teniendo en cuenta que tan2 x = sec2 x − 1), se llegaa

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A (1.3)

y como es obvio que este razonamiento puede hacerse para cualquiera delos vertices:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cosA

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C (1.4)

1.2. Relacion de los senos 3

1.2. Relacion de los senos

Tomamos la primera de las relaciones de los cosenos y la escribimos en laforma

sen b sen c cos A = cos a − cos b cos c (1.5)

Elevando al cuadrado, escribiendo en el primer miembro cos2 A = 1 −sen2 A y en el segundo sustituyendo de igual forma los cosenos al cuadrado,despues de simplificar obtenemos

sen2 b sen2 c sen2 A = sen2 a + sen2 b + sen2 c − 2 + 2 cos a cos b cos c (1.6)

El primer miembro contiene dos lados y el angulo que determinan. El se-gundo miembro contiene los tres lados, y por tanto es igual para cualesquieraotros dos lados y el angulo que determinan en el primer miembro, es decir:

sen2 b sen2 c sen2 A = sen2 a sen2 b sen2 C = sen2 a sen2 c sen2 B (1.7)

Ahora bien, como los lados del triangulo esferico no exceden de π, el senoes siempre positivo, luego podemos escribir finalmente:

sen a

sen A=

sen b

sen B=

sen c

sen C(1.8)

1.3. Tres lados y dos angulos

Las relaciones de los cosenos involucran tres lados y un angulo, mientrasque las relaciones de los senos involucran dos lados y dos angulos. Podemosobtener facilmente relaciones que incluyan los tres lados y dos angulos a partirde las formulas de los cosenos. En efecto, si tomamos la primera relacion delos cosenos y sustituimos en el segundo miembro cos b por la expresion queda la segunda de las relaciones de los cosenos, tras simplificar:

sen b cos A = cos a sen c − sen a cos c cos B (1.9)

y por rotacion, analogamente:

sen a cos C = cos c sen b − sen c cos b cos A

sen c cos B = cos b sen a − sen b cos a cos C (1.10)


C

A

B

bc

aFigura 1.2 Formula de cuatro partes

1.4. Dos lados y dos angulos

Estas formulas se conocen como ”formulas de cuatro partes”, porque in-volucran cuatro elementos consecutivos de un triangulo esferico. En efecto,en relacion con la Figura 1.2, consideremos los elementos B, a, C y b.

Al lado a, que se encuentra entre los angulos B y C se le llama ”ladointerno” y al angulo C, que se encuentra entre los lados a y b se le llama”angulo interno”. Si tomamos las expresiones de los cosenos para los lados by c y sustituimos cos c en la expresion para cos b:

cos b sen2 a = sen a sen b cos a cos C + sen c sen a cos B (1.11)

dividiendo por sen a sen b y usando la relacion del seno, segun la cual

sen c

sen b=

sen C

sen B(1.12)

llegamos a

cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B (1.13)

Analogamente, por rotacion:

cot a sen c = cos c cos B + sen B cotA

cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C (1.14)

1.5. Formulas diferenciales 5

1.5. Formulas diferenciales

Estamos interesados en el pequeno cambio que sufren algunos elementoscuando otro u otros son alterados ligeramente. Partimos de la relacion de loscosenos:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A (1.15)

Diferenciamos, agrupamos terminos y vemos que los coeficientes para db ydc pueden simplificarse mediante las formulas para tres lados y dos angulos.Usando la relacion de los senos para simplificar el termino en dA tenemosfinalmente:

da − cos Cdb − cos Bdc = sen b sen CdA (1.16)

con relaciones analogas a partir de las otras dos relaciones de los cosenos.En definitiva:

da − cos Cdb − cos Bdc = sen b sen CdA

− cos Cda + db − cos Adc = sen c sen AdB

− cos Bda − cos Adb + dc = sen a sen BdC (1.17)

Relaciones que involucran los tres angulos y los tres lados. Eliminandoda:

sen Cdb − cos a sen Bdc = sen b cos CdA + sen adB

− cos a sen Cdb + sen Bdc = sen c cos BdA + sen adC (1.18)

y tenemos la relacion entre las variaciones de dos angulos y dos lados. Side aquı eliminamos db tenemos:

sen a sen Bdc = cos bdA + cos adB + dC (1.19)

y si eliminamos dA

cos b sen Cdb − cos c sen Bdc = sen c cos BdB − sen b cos CdC (1.20)

Capıtulo 2

Coordenadas y Tiempo

2.1. Coordenadas polares

Si observamos el cielo en una noche estrellada, los cuerpos celestes pare-cen distribuidos sobre una esfera de radio indefinido. La distancia a la que seencuentran los cuerpos celestes es, en principio, desconocida. En los casos enque puede calcularse por metodos geometricos, este calculo se basara en aque-llas cantidades mensurables directamente: las coordenadas polares respectoa algun sistema de referencia adecuado.

X

Y

Z

O

A

B

Figura 2.1 Coordenadas polares

En relacion con la Figura 2.1, adoptamos como plano principal aquelque contiene a los ejes x e y. La interseccion de este plano con la esferaceleste determina un cırculo. Los planos perpendiculares al plano principalque contienen al origen de coordenadas intersectan tambien con la esferaceleste en cırculos secundarios.

Para aquellos casos en que la distancia finita a la que se encuentran los

7

8 2. Coordenadas y Tiempo

astros tiene relevancia, es preciso indicar tambien cual es el origen del sis-tema de referencia. Ası, hablamos de coordenadas heliocentricas cuando elsistema de referencia tiene su origen en el Sol, geocentricas cuando el origense encuentra en el centro de masas de la Tierra y topocentricas cuando elorigen del sistema de referencia coincide con la posicion del observador.

Pues bien, la direccion en que aparece un astro sobre la boveda del cieloqueda determinada por los angulos ϕ = ˆXOB y θ = ˆAOB. Estos angulosreciben nombres especıficos y se designan con letras convenidas segun cualsea el plano principal que se elija y la direccion del eje x en ese plano.

Dos planos importantes son el plano que contiene al ecuador terrestre yel plano de la orbita de la tierra, llamado eclıptica. Ambos planos no sonparalelos, sino que forman entre sı un angulo de unos 23o.

γ Αα

δ

E

Ecuador

P

Figura 2.2 Coordenadas ecuatoriales

La Figura 2.2 representa el ecuador terrestre y un cırculo secundario quecontiene a un astro E. Las coordenadas de ese astro son la ascension recta αque se mide a partir de un punto γ sobre el ecuador en sentido antihorariohasta el punto A que es la interseccion entre el ecuador y el cırculo secundarioque contiene al astro E y la declinacion δ, que se mide desde el ecuador hastael astro sobre el cırculo secundario que lo contiene. Al conjunto (α, δ) se lellama coordenadas ecuatoriales. La ascension recta se mide en horas, minutosy segundos, y la declinacion en grados, minutos y segundos de arco 1. La lınea

1Se divide la circunferencia en 24 horas, lo que hace que cada hora conste de 15 grados.Cada minuto tiene 15 minutos de arco y cada segundo 15 segundos de arco.

2.1. Coordenadas polares 9

perpendicular al ecuador intersecta a la esfera celeste en el punto P , llamadopolo norte celeste. ¿Como se elige el punto γ?. Se ha dicho que ecuador yeclıptica forman entre sı un angulo, y por tanto se cortan en dos puntos.γ es uno de ellos. Concretamente aquel a partir del cual la ascension rectadel Sol pasa a encontrarse en el primer cuadrante. La Figura 2.3 muestra larelacion entre ecuador y eclıptica y la eleccion del punto γ. La inclinacion dela eclıptica ǫ = ˆMγN .

γ Ecuador

M

NEcliptica

Figura 2.3 Inclinacion de la eclıptica

La Figura 2.4 muestra un sistema de referencia que toma como planoprincipal el de la eclıptica. Las coordenadas eclıpticas son los angulos (λ, β).La primera se llama longitud celeste y la segunda latitud celeste. Ambas semiden en grados, minutos y segundos de arco.

Junto con los sistemas de referencia ecuatorial y eclıptico tienen relevanciados sistemas mas: el horizontal y el horario. El sistema horizontal toma comoplano fundamental el plano del horizonte del observador. En la Figura 2.5puede apreciarse como, para un observador situado en un punto O, el polonorte (interseccion con la esfera celeste del eje de rotacion de la Tierra)aparece sobre el horizonte con una elevacion igual a la latitud geografica delobservador, es decir, ˆHOP = ˆOCA 2.

La interseccion de la lınea perpendicular en el punto O a la superficiede la Tierra corta a la esfera celeste en un punto que llamamos cenit. Alcırculo secundario que contiene al polo norte y el cenit se le llama meridiano

2La Tierra no es perfectamente esferica, de manera que la lınea que une el centro de latierra con el observador y la lınea perpendicular a la superficie terrestre en el punto delobservador no son paralelas. Por eso es preciso distinguir entre la latitud geografica y lalatitud geodesica. Omitiremos aquı esta discusion, irrelevante para nuestro proposito


γλ

β

Α

E

Ecliptica

Figura 2.4 Coordenadas eclıpticas

local. El meridiano local corta al horizonte en dos puntos, que son los puntoscardinales norte y sur.

Los astros parecen girar alrededor del polo norte. En la Figura 2.6 puedenverse punteadas dos de estas trayectorias. Si el astro esta lo suficientementecerca del polo, siempre se mostrara sobre el horizonte. Es la trayectoria quehemos nombrado como e. Si llamamos ϕ a la latitud del observador y z = 90−δ al complemento de la declinacion, llamado distancia polar, esta claro que unastro se encuentra siempre sobre el horizonte si su distancia polar es inferiora la latitud del observador: z <= ϕ. Cuando no se cumple esta condicion, elastro describe su trayectoria aparente en parte sobre el horizonte y en partebajo el. Si un observador se situa mirando hacia el sur, los astros aparecenhacia el este (punto a). A esta aparicion se le llama orto. Despues alcanzansu maxima altura sobre el horizonte hacia el sur (punto b) y comienzan laparte descendente hasta ocultarse de nuevo bajo el horizonte (punto c). Aesta ultima desaparicion se le llama ocaso.

Las coordenadas horizontales se denominan acimut y altura y se escriben(A, h). El acimut se mide desde el punto sur en sentido horario. La alturadesde el horizonte sobre el cırculo secundario que contiene al astro. Si imagi-namos una superficie horizontal y una varilla perpendicular a esa superficie,cuando el Sol tiene un acimut A la sombra de la varilla apunta en la direccion1800 + A.

Existe un segundo sistema de referencia que usa como plano fundamentalel plano del ecuador. Se trata de las coordenadas horarias (H, δ). La ascensionrecta se sustituye por el angulo horario, que es el angulo formado por el planoque contiene al polo y al astro y es perpendicular al plano ecuatorial y el

2.2. Relacion entre los distintos sistemas 11

C A

O

H P

Figura 2.5 Altura del polo en el sistema horizontal

plano que contiene al polo y al cenit. Se mide en horas, minutos y segundosen sentido horario, a partir del sur. En la Figura 2.7 se muestran las coordenashorarias. El angulo horario del astro D es el arco AC = ˆZPD, mientras quela declinacion es δ = AD.

En este punto de nuestra discusion, podemos considerar que la Tierra giracon velocidad angular uniforme, y que el punto γ es un punto fijo en la esferaceleste. De esta forma, podemos usar el angulo horario del punto γ, comouna medida del tiempo. Cada vez que el punto γ pase por el meridiano local,comienza un nuevo dıa para el observador. Ahora bien, γA es la ascensionrecta del astro D, y se deduce de la Figura 2.7 la relacion fundamental

T − α = H (2.1)

donde T se denomina tiempo sidereo y H y α son respectivamente elangulo horario y la ascension recta del astro D.

2.2. Relacion entre los distintos sistemas

Aunque existe un metodo matricial compacto y habitual para expresar lastransformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia girados uno res-pecto al otro, aprovechamos la deduccion de las relaciones de la trigonometrıaesferica para escribir de forma directa las relaciones entre las coordenadas enlos sistemas horizontal, horario, ecuatorial y eclıptico.


Horizonte

N S

E

W

Z

P

e

a

b

c

O

Figura 2.6 Trayectorias aparentes de los astros

2.2.1. Relacion entre coordenadas horizontales y hora-

rias

Consideremos de nuevo la Figura 2.7, donde P es el Polo, Z el cenit y Dun astro. El lado PZ es 90−ϕ, el lado ZD es 90−h y el lado PD es 90− δ.El angulo en P es H , y el angulo en Z es π −A. Partiendo de las relacionesdel seno, coseno y seno por coseno:

sen a sen B = sen A sen b

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

sen a cos B = cos b sen c − sen b cos c cos A (2.2)

Nombrando los lados y angulos del triangulo PZD de forma que, enrelacion con las ecuaciones anteriores, las coordenadas horizontales quedenen el primer miembro, es decir, haciendo A = P , B = Z y C = D, se siguesin mas que sustituir:

cos h sen A = cos δ sen H

sen h = sen ϕ sen δ + cos ϕ cos δ cos H

cos h cos A = − sen δ sen ϕ + cos δ cos ϕ cos H (2.3)

Si ahora tomamos A = Z y B = P , quedan en los primeros miembros lascoordenadas horarias:

2.2. Relacion entre los distintos sistemas 13

N S

Z

P

e

Meridiano local

Horizonte

Ecuador C

Q

A

D

γ Ecuador

O

W

E

Figura 2.7 Relacion entre coordenadas horizontales y horarias

cos δ sen H = sen A cos h

sen δ = sen ϕ sen h − cos ϕ cos h cos A

cos δ cos H = sen h cos ϕ + cos h sen ϕ cos A (2.4)

En la aplicacion de estos conjuntos de formulas, se tendra en cuenta quecuando 0 <= A < π entonces tambien 0 <= H < π, como se ve en la figura.

2.2.2. Relacion entre coordenadas ecuatoriales y eclıpti-

cas

El razonamiento es similar, considerando ahora el triangulo esferico de-terminado por el astro D, el polo del ecuador P y el polo de la eclıptica Q.Los lados y angulos de este triangulo son los que se reflejan en la Figura 2.8y las relaciones recıprocas entre las coordenadas vienen dadas por:

cos δ cos α = cos β cos λ

sen δ = sen β cos ǫ + cos β sen ǫ sen λ

− cos δ sen α = sen β sen ǫ − cos β cos ǫ sen λ (2.5)

y


cos β cos λ = cos δ cos α

sen β = sen δ cos ǫ − cos δ sen ǫ sen α

cos β sen λ = sen δ sen ǫ + cos δ cos ǫ sen α (2.6)

90−

P

Q

ε

β

90−δ90−λ

90+α

D

Figura 2.8 Relacion entre coordenadas ecuatoriales y eclıpticas

Una vez resuelto el problema del paso de coordenadas horizontales a hora-rias y viceversa y el problema del paso de ecuatoriales a eclıpticas, y viceversa,queda la conexion entre las coordenadas horarias y ecuatoriales, ya que deesta forma tenemos una ruta que permite pasar de cualquier sistema de coor-denadas a cualquier otro. Esta conexion se establece a partir de la relacionfundamental T − α = H . Ahora bien, este T es el tiempo sidereo, del que,de momento, desconocemos su relacion con el tiempo medido por nuestrosrelojes, lo que motiva la discusion de las secciones siguientes.

2.3. Tiempo sidereo y tiempo solar

Como es sabido, las ecuaciones dinamicas de Newton de un sistema mecani-co son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden respecto al tiem-po. Si se dispone de una solucion, quiere decirse que son funciones conocidasdel tiempo las variables que determinan la configuracion del sistema. Fijandoun instante inicial como origen de tiempos, y con la condicion de que esassoluciones sean invertibles, podrıamos obtener un valor de t para cada valorde alguna de las variables dinamicas. Cuando alguna de estas variables pue-de medirse, el sistema puede usarse como reloj. Un caso conveniente ocurrecuando la relacion entre el tiempo t y una variable x es lineal

t = ax + b (2.7)

2.3. Tiempo sidereo y tiempo solar 15

El problema practico se plantea entonces en los siguientes terminos: en-contrar un sistema (o construirlo a proposito) alguna de cuyas variables deestado x dependa linealmente del tiempo t, que sea estable y reproducible,de tal forma que las distintas copias que se construyan puedan sincronizar-se entre sı. La historia de un sistema de estas caracterısticas es la historia,fascinante, de la cronometrıa mecanica. Sin embargo, en lugar de que distin-tos observadores dispongan cada uno de un reloj sincronizado con otro quese adopte como patron existe la alternativa de que todos los observadoresusen el mismo sistema fısico para medir el tiempo. Y el mas obvio de talessistemas, accesible para todos los observadores, es la Tierra.

Al aceptar que la Tierra gira con velocidad angular constante, solo espreciso elegir un punto fijo en el cielo. Cada vez que ese punto atravieseel meridiano local, comenzara un dıa. El punto elegido es el punto γ, y alintervalo entre dos pasos sucesivos de γ por el meridiano local se llama dıa

sidereo. El angulo horario de γ es entonces la medida numerica del tiemposidereo: 150 equivalen a una hora siderea.

Sin embargo, es el Sol la referencia mas evidente para acompasar la vidade los individuos y de las sociedades. ¿Porque no elegir el paso del Sol porel meridiano local para medir el tiempo? El problema es que la duracion deeste dıa solar no es constante, sino que varıa a lo largo del ano. En efecto,en relacion con la Figura 2.9, sea S el centro del Sol, O el centro de laTierra al inicio de un dıa sidereo y P el centro de la Tierra al inicio deldıa sidereo siguiente. Eligiendo la direccion OS como direccion fija en elespacio vemos que en el transcurso de una rotacion terrestre la Tierra se hadesplazado al punto P de su orbita. Se ha cumplido un dıa sidereo pero aunresta una fraccion de rotacion igual al angulo ˆRPQ para que se cumpla eldıa solar. Sabemos que aproximadamente el ano tiene 365 dıas, que en undıa la Tierra recorre por termino medio 3600/365 y que esto equivale a unoscuatro minutos. El dıa solar es por tanto unos cuatro minutos mas largo queel dıa sidereo.

Ahora bien, el movimiento de la Tierra en su orbita no es uniforme. Elangulo ˆRPQ es mayor cerca del periapsis y menor en el apoapsis, de acuerdocon la ley de las areas y esto hace dificultosa la conversion de hora solar ahora siderea. Mientras que el tiempo sidereo es uniforme 3 el tiempo solar nolo es.

3Prescindiremos de la prolija discusion sobre el movimiento del punto γ, que no essino aproximadamente fijo sobre la esfera celeste debido a los movimientos de nutacion yprecesion del eje de la Tierra y a otros efectos menores


O

P

S

R

Q

Figura 2.9 Tiempo sidereo y tiempo solar

2.3.1. Soles ficticios

Hemos dicho que de la observacion del Sol verdadero no puede obtenerseuna medida uniforme del tiempo debido a que el movimiento de traslacionde la Tierra en su orbita es irregular. Podrıamos entonces definir un Sol

medio que se moviese por la eclıptica con velocidad angular constante de talmanera que coincidiese en el punto γ con el Sol verdadero cada vez que estepasase por dicho nodo. De esta forma, la longitud eclıptica del Sol medio λM

se corresponderıa con la anomalıa media (salvo una constante que tuvieseen cuenta la latitud del periapsis ω) del movimiento orbital de la Tierra,mientras que la longitud eclıptica del Sol verdadero λv se corresponderıacon la anomalıa verdadera. Sabemos que la anomalıa media esta relacionadacon la excentrica a traves de la ecuacion de Kepler, y la excentrica con laverdadera v a traves de la ecuacion de la orbita 4

r =a(1 − e2)

1 + e cos v= a(1 − e cos E) (2.8)

Por tanto, es posible calcular en cada instante la diferencia λv − λM .Ahora bien, existe una segunda causa que hace irregular el tiempo medio

medido a partir del Sol medio que acabamos de definir, y que llamaremosprimer Sol ficticio, y es que este se mueve en la eclıptica, mientras que elangulo horario se mide sobre el ecuador, inclinado respecto a la primera. Espreciso por este motivo introducir un segundo Sol ficticio, que coincide con

4Vease cualquier tratado de Mecanica Celeste, o mi obrita sobre relojesde Sol, de donde proviene la mayor parte de este capıtulo introductorio, enhttp://www.dfists.ua.es/~gil/libros.html

2.3. Tiempo sidereo y tiempo solar 17

el Sol verdadero y con el primer Sol ficticio en el punto γ y que se mueve convelocidad angular constante sobre el ecuador, no sobre la eclıptica. Es estesegundo Sol ficticio el que se emplea para fabricar los relojes que regulan lavida civil. El plan por tanto consiste en poner en relacion el Sol verdaderocon el segundo Sol ficticio.

2.3.2. Ecuacion de tiempo

Se define la ecuacion de tiempo como la diferencia entre los angulos ho-rarios de los soles medio y verdadero:

ET = HM − Hv (2.9)

De la relacion fundamental T = H + α = HM + αM = Hv + αv se sigue

ET = αv − αM = αv − λM (2.10)

que a su vez se puede escribir como

ET = (λv − λM) + (αv − λv) = (v − M) + (αv − λv) (2.11)

Al primer termino se le llama ecuacion del centro C y al segundo reduccion

al ecuador R.

2.3.3. Reduccion al ecuador

De las relaciones (2.5) entre coordenadas ecuatoriales y eclıpticas, tenien-do en cuenta que la latitud eclıptica del Sol es cero:

tan α = cos ǫ tan λ (2.12)

pero

cos ǫ = cos2 ǫ

2− sen2 ǫ

2(2.13)

o

cos ǫ

cos2 ǫ2

= 1 − tan2 ǫ

2(2.14)

y por otra parte

1 = cos2 ǫ

2+ sen2 ǫ

2(2.15)

de donde


1

cos2 ǫ2

= 1 + tan2 ǫ

2(2.16)

En resumen

cos ǫ =cos ǫ

1=

1 − tan2 ǫ2

1 + tan2 ǫ2

(2.17)

Llamando

m = tan2 ǫ

2(2.18)

tenemos finalmente

tanα =1 − m

1 + mtan λ (2.19)

ecuacion que admite el desarrollo en serie

α = λ − m sen(2λ) +m2

2sen(4λ) −

m3

3sen(6λ) + · · · (2.20)

Si aplicamos esta relacion a la ascension recta y longitud eclıptica del Solverdadero, tenemos para la reduccion al ecuador la expresion

αv − λv = −m sen(2λv) +m2

2sen(4λv) −

m3

3sen(6λv) + · · · (2.21)

2.4. Ecuacion del centro

Partiremos de la ecuacion de Kepler, a la que aplicaremos un procedi-miento iterativo. En efecto, de

E = M + e sen E (2.22)

tomando en primera aproximacion E(0) = M , las sucesivas aproximacio-nes se escriben

E(1) = M + e sen(E(0)) (2.23)

E(2) = M + e sen(E(1)) (2.24)

E(3) = M + e sen(E(2)) · · · (2.25)

Ası, para E(2):

2.4. Ecuacion del centro 19

E(2) = M + e sen(M + e sen(M)) (2.26)

Al desarrollar la ecuacion anterior, advertimos que la excentricidad de laorbita terrestre es muy pequena y podemos tomar, en los terminos que lacontengan, el seno por su arco e igualar el coseno a la unidad

E(2) = M + e sen(M) + e2 sen(M) cos(M) = M + e sen(M) +e2

2sen(2M)

(2.27)El procedimiento puede extenderse, buscando sucesivas aproximaciones.

Hasta e3 se tiene

E = M +(e−e3

8+· · ·) sen(M)+(

e2

2+· · ·) sen(2M)+(

3

8e3+· · ·) sen(3M)+· · ·

(2.28)o mejor, agrupando los terminos que contienen potencias iguales de e:

E = M + e sen(M) +e2

2sen(2M)

+e3

3! × 22(32 sen(3M) − 3 sen(M))

+e4

4! × 23(43 sen(4M) − 4 × 23 sen(2M))

+e5

5! × 24(54 sen(5M) − 5 × 34 sen(3M) + 10 sen(M))

+e6

6! × 25(65 sen(6M) − 6 × 45 sen(4M) + 15 × 25 sen(2M))

+ · · · (2.29)

Por otra parte, de (2.8)

dv =

√1 − e2dM

(1 − e cos E)2=

√1 − e2

(

dE

dM

)2

dM (2.30)

Pero como ya disponemos de E(M), dada por (2.29), podemos calcularla derivada, elevar al cuadrado, multiplicar por el desarrollo de

√1 − e2,

agrupando potencias iguales de e, e integrar. El resultado final es el siguiente:

v = M + 2e sen(M) +5

4e2 sen(2M)


+e3

12(13 sen(3M) − 3 sen(M))

+e4

96(103 sen(4M) − 44 sen(2M))

+e5

960(1097 sen(5M) − 645 sen(3M) + 50 sen(M))

+e6

960(1223 sen(6M) − 902 sen(4M) + 85 sen(2M))

+ · · · (2.31)

Estas series son rapidamente convergentes cuando e es pequena, como esel caso cuando hablamos de la orbita de la Tierra, pero divergen cuando eexcede el valor crıtico de 0,6627, como demostro en primer lugar Laplace 5.

Volviendo a la ecuacion de tiempo, teniendo en mente la ecuacion del cen-tro podemos escribir la longitud verdadera del Sol en funcion de la longitudmedia:

λv = λm + 2e sen(λm) +5

4e2 sen(2λm) + · · · (2.32)

Sustituyendo esta ecuacion en cada uno de los terminos del segundo miem-bro de la reduccion al ecuador, teniendo en cuenta que

λm = ω + M − 3600 (2.33)

y sumando ya la reduccion al ecuador y la ecuacion del centro, es posibleescribir la ecuacion de tiempo en funcion de la anomalıa media M . Aunque aefectos practicos tanto la inclinacion de la eclıptica, de donde se obtiene m,como la longitud del perihelio ω pueden tomarse como constantes, la realidades que varıan lentamente. Posponemos hasta el final del presente capıtulolas expresiones que dan ambas cantidades en funcion del tiempo, pues espreciso antes hablar del periodo juliano. No obstante, nos adelantamos a esemomento y usamos las expresiones que aparecen allı para calcular la ecuacionde tiempo, que representamos en la Figura 2.10

2.5. Tiempo civil

El segundo Sol ficticio por tanto nos proporciona un tiempo uniforme. Pa-ra un lugar dado, su angulo horario en horas, minutos y segundos representa

5F.R. Moulton An introduction to celestial mechanics

2.5. Tiempo civil 21

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350 400

MIN

UT

OS

DIA

Figura 2.10 Ecuacion de tiempo

el valor de la hora solar media. Esta hora solar media puede ser util para elastronomo, porque hace que las observaciones que se realicen a lo largo deuna misma noche pertenezcan todas al mismo dıa. Pero en la vida civil espreferible que el cambio de fecha se produzca de noche, ası que se define unnuevo tiempo, el Tiempo Civil (TC) a partir del Tiempo Solar Medio (TSM)como

TC = TSM ± 12H (2.34)

La siguiente cuestin a resolver es que tanto el tiempo sidereo como eltiempo solar medio como el tiempo civil son tiempos locales. En un mismoinstante de tiempo, dos observadores situados en dos meridianos distintosmediran tiempos distintos. La solucion consiste en escoger un meridiano dereferencia: el angulo horario del punto γ respecto a dicho meridiano propor-ciona el tiempo sidereo para todos los observadores (todos los observadorescomparten el mismo reloj) y el angulo horario del sol medio (segundo Solficticio) respecto al meridiano de referencia, el que pasa por el Observatoriode Greenwich, proporciona el tiempo solar medio y por tanto la hora civil,que es la que marcan nuestros relojes de pulsera.

Pero en el diseno de un reloj de Sol es preciso conocer para cada instante(civil) el angulo horario local. ¿Que relacion existe entre la hora local y lahora de referencia? Si λg es la longitud geografica del lugar de observacion,expresada en horas, minutos y segundos, es claro que la primera se obtiene


sumando λg a la segunda si la longitud del observador es Este, y restando sies Oeste.

2.6. El periodo Juliano

En primer lugar, es preciso no confundir el periodo o fecha juliana con elcalendario juliano, instaurado por Julio Cesar en el ano 46 a. de C. y vigentehasta 1582, cuando fue sustituido por el calendario gregoriano. En el origende estas reformas del calendario se encuentra el hecho de que el periodo derevolucion de la Tierra alrededor del Sol no se expresa como un numero enterode dıas medios, sino como un numero fraccionario: aproximadamente 365,25.

El uso del calendario gregoriano, donde se indican ano, mes, dıa y horatiene la desventaja desde el punto de vista del astronomo de que hace difıcileslos calculos, y en particular el computo de los dıas transcurridos entre dosacontecimientos, mas aun si el periodo transcurrido abarca epocas historicasque incluyen reformas en el calendario. Por ejemplo, en 1582 se sustituyo elcalendario juliano por el gregoriano, suprimiendose diez dıas y modificandoseel computo de los anos bisiestos.

Por estos motivos, Jose Escaliger propuso computar los dıas simplementenumerandolos sucesivamente a partir de uno adoptado como dıa cero. El dıajuliano 60 comenzo a las 12 horas del dıa 1 de enero de 4713 a. de C., fecha noarbitraria, pero cuya justificacion omitimos aquı. En definitiva, cada vez queel Sol medio cruza el meridiano, comienza un nuevo dıa juliano. Por tanto,existe un desfase de doce horas entre el inicio del dıa civil y el inicio deldıa juliano. Cuando se pretende identificar con un numero real un instantedeterminado en el periodo juliano, se anade al dıa juliano de la fecha quecorresponda la fraccion de dıa transcurrida. Pero debido al desfase indicado,es preciso considerar el caso en que esta fraccion es menor que medio dıa y elcaso en que es mayor. En el que caso de que hayan transcurrido menos de 12horas, es decir, si aun no se ha alcanzado el mediodıa civil de la fecha que seeste considerando, ese instante pertenece al dıa juliano anterior, y por tantohabra que sumarle al dıa juliano anterior medio dıa (la tarde anterior) mas lafraccion de dıa. En caso de que la hora sea posterior al mediodıa, sera precisorestarle a la fraccion las doce horas de la manana. En definitiva, en cualquierde los dos casos:

DJh = DJm + f − 0,5 (2.35)

6Jose Escaliger bautizo a su escala como periodo juliano en honor a su padre, JulioEscaliger

2.7. Tiempo sidereo a 0h de tiempo universal 23

donde DJh es el dıa juliano para la hora h, DJm el dıa juliano a mediodıade la fecha que se considere y f la fraccion de dıa transcurrida desde lamedianoche. Existen algoritmos, unos mas evidentes y otros menos, paracalcular el dıa juliano correspondiente a una fecha del calendario gregoriano.El mas sencillo haya en primer lugar el dıa juliano correspondiente al primerdıa del ano, y luego suma a esa cantidad el numero de dıas transcurridosdesde el comienzo del ano. Sin necesidad de entrar en detalles, y solo a tıtuloinformativo, el siguiente codigo en lenguaje C calcula DJm para una fechadel calendario gregoriano:

int djm(int anio, int mes, int dia)

{

int DJM,a,y,m;

a=(14-mes)/12;

y=anio+4800-a;

m=mes+12*a-3;

DJM=dia+(153*m+2)/5+365*y+y/4-y/100+y/400-32045;

return(DJM);

}

Notese que usamos aritmetica entera y que suponemos que el tipo enteroes de un numero de bits suficiente para representar los valores de DJM . Elvalor devuelto por la funcion es el del dıa juliano que comienza a mediodıade la fecha del calendario gregoriano 7. Esta rutina indexa los meses desde 1,al igual que los dıas; otras rutinas indexan desde 0. En definitiva, es precisosaber en cada caso que se esta calculando exactamente.

2.7. Tiempo sidereo a 0h de tiempo universal

Lo importante es que tanto el tiempo sidereo como el dıa juliano, que sebasa en el Sol medio (segundo Sol ficticio) son escalas uniformes de tiempo8. Por consiguiente, la relacion entre ellas es una relacion lineal. Dicho deotra forma, para cualquier intervalo fısico de tiempo la medicion del mismomediante la escala de tiempo sidereo y la medicion mediante la escala detiempo medio estan siempre en una proporcion constante. Si denominamos

7La aclaracion es pertinente, porque otros algoritmos lo que ofrecen es el instantejuliano en el comienzo (0 horas) del dıa del calendario gregoriano, y por tanto difiere delque calculamos en la funcion djm() en medio dıa

8A efectos practicos.


IS al intervalo sidereo e IM al intervalo medio, se deduce de las observacionesque

IS = 0,99726957× IM

IM = 1,00273790× IS (2.36)

Ası que es el tiempo sidereo a 0h de tiempo universal el que nos permi-te pasar de coordenadas ecuatoriales a coordenadas horarias. Puesto que eltiempo sidereo y el tiempo medio se relacionan linealmente (al ser ambas es-calas de tiempo uniforme), una relacion lineal sera la que proporcione el valorque necesitamos. De las observaciones se deduce la expresion siguiente, quecontiene un termino cuadratico debido a que, en rigor, el punto γ no es unpunto fijo sobre la esfera celeste, sino que esta afectado por los movimientosde precesion y nutacion:

θ0 = 990,6909833 + 360000,7689 × U + 00,00038708× U2 (2.37)

con

U =DJh − 2415020,0

36525(2.38)

Parece necesario terminar esta seccion con un ejemplo numerico. Calcu-laremos el tiempo sidereo de Greenwich y el tiempo sidereo local de un puntode longitud geografica λ = 37012′44′′ Oeste a las 14h 33m 27s de hora civildel dıa 1 de enero de 1971.

En primer lugar, es preciso tener en cuenta que la rutina djm() propor-ciona el dıa juliano que comienza a las 12 horas de la fecha gregoriana que seconsidere. En la ecuacion (2.38), por tanto, DJh = DJm − 0,5. Con esta pre-caucion, de (2.37) obtenemos un valor para θ0, que reducimos restando 3600

tantas veces como sea preciso hasta que 00 <= θ0 < 3600. Transformamoslos grados resultantes en horas y fraccion dividiendo por 15 y tenemos

θ0 = 6,666146 (2.39)

Este es el tiempo sidereo a 0 horas de tiempo universal en la fecha con-siderada. Se pide la hora siderea a 14h 33m 27s de hora civil. Escribimosesta hora en forma de horas y fraccion de hora, multiplicamos por el factor0,99726957 para obtener el intervalo sidereo transcurrido desde la media-noche y sumamos el resultado a la hora siderea de la medianoche civil. Elresultado es la hora siderea que buscamos:

2.7. Tiempo sidereo a 0h de tiempo universal 25

T = 21,183898 (2.40)

equivalente a 21h 11m 2s. Respecto al punto de longitud geografica λ =370,212222, teniendo en cuenta que la tierra gira en 24 horas sidereas, trans-formando la longitud en tiempo: λ = 2,480815 horas sidereas, que hemos derestar (longitud Oeste) de la hora siderea en Greenwich para obtener su horalocal, que resulta ser de T = 18,703083 horas sidereas, o 18h 42m 11s.

Resumiendo, para un lugar de longitud geografica dada, a hora civil dada(la hora del reloj de pulsera) podemos calcular la hora siderea local, y a partirde ella y la ascension recta del astro su angulo horario. La transformacionentre coordenadas horarias y horizontales nos proporciona la altura y acimutdel astro.

Para finalizar damos a modo de referencia las expresiones para la incli-nacion de la eclıptica y la longitud del perihelio, usadas en el calculo de laecuacion de tiempo y que pospusimos hasta este momento porque era precisohablar del periodo juliano. Son estas:

ǫ = 230,452294− 00,130125 × 10−1U − 00,163889 × 10−5U2 + · · ·ω = 2810,220833 + 10,719175U + 00,452778 × 10−3U2 + · · · (2.41)

Capıtulo 3

Condiciones generales de los

eclipses de Sol

3.1. Geometrıa basica

La Figura 3.1 muestra la geometrıa basica de cualquier eclipse. Hemosrepresentado por S el centro del Sol y por L el centro de la Luna, consideradoscomo cuerpos esfericos. Puesto que el fenomeno tiene simetrıa de revolucionen torno al eje que une ambos centros, podemos razonar sobre el plano.Las circunferencias que representan al Sol y a la Luna tienen dos pares detangentes: dos tangentes externas y dos tangentes internas. Las tangentesexternas tocan en puntos como m y n y determinan un vertice V que seencuentra fuera del segmento que une los centros de ambos cuerpos. Estastangentes generan un cono llamado cono de sombra. Las tangentes interiorestocan en puntos como c y d y determinan un vertice W que se encuentraentre los centros del Sol y la Luna. Generan un cono que se llama cono de

penumbra.

Un observador situado sobre el eje, en un punto intermedio entre L yV , observara un eclipse total de Sol. Si se encuentra sobre el eje pero a unadistancia del centro de la Luna mayor que la de V , observara un eclipse anularde Sol, puesto que el tamano aparente de este sera entonces mayor que el dela Luna. Si el observador se encuentra en cualquier punto interior al cono desombra, a una distancia de la Luna inferior a la del vertice V , observara uneclipse total de Sol. Finalmente, desde un punto interior al cono de sombrapero a una distancia superior al centro de la Luna de la que se encuentra elvertice, observara un eclipse anular asimetrico, puesto que los centros del Soly la Luna no se le apareceran alineados.

Cuando el vertice V toca a la Tierra exactamente en un punto, desde ese

27

28 3. Condiciones generales de los eclipses de Sol

S LV

W

m

n

c

d

A

B

K

XFigura 3.1 Geometrıa basica

punto, y solo desde el, se observara un eclipse total de Sol. Pero si el conode sombra intersecta a la esfera terrestre de tal forma que V sea interior aesa esfera, la interseccion del cono con la esfera determinara un area sobre lasuperficie terrestre desde la que el eclipse sera observado. Esto no ocurrirıa sila longitud del segmento LV fuese tal que V nunca llegase a tocar al menosa la esfera terrestre.

S LV

Rrb

a

Figura 3.2 Longitud del cono de sombra

De acuerdo con la Figura 3.2, si R es el radio del Sol y r el radio de laLuna, y si llamamos a a la longitud del segmento LV y b a la longitud delsegmento SL, es claro que

r

a=

R

a + b(3.1)

de donde

3.1. Geometrıa basica 29

a =rb

R − r(3.2)

valor que resulta ser un poco menor que la distancia exacta a la queel vertice V tocarıa la superficie de la esfera terrestre. Pero debido a lasexcentricidades de las orbitas de Tierra y Luna, ocasionalmente se produceeste contacto, y aun la interseccion del cono con la superficie terrestre.

Es obvio que si los centros del Sol y la Luna coinciden estamos ante uneclipse total o anular. Si estan separados una distancia angular inferior a lasuma de los semidiametros respectivos estaremos ante un eclipse parcial, ysi esta separacion es superior a la suma de los semidiametros no habra su-perposicion entre los discos del Sol y la Luna y no se producira un eclipse.Formalizaremos estas ideas y para ello razonamos sobre la Figura 3.3.

ST

LQ

P

η

Figura 3.3 Contacto del cono de penumbra con la Tierra

Sean T , L y S los centros respectivamente de la Tierra, la Luna y elSol. Llamaremos d a la distancia Tierra-Luna y D a la distancia Tierra-Sol. R es el radio del Sol y r el radio de la Luna. Sin que pueda existirambiguedad, llamamos tambien S = R/D al semidiametro del Sol y s = r/dal semidiametro de la Luna. Finalmente, sea rT el radio de la Tierra y seanP = rT /D el paralaje del Sol y p = rT /d el paralaje de la Luna. Los puntosQ y P son las tangentes de la generatriz del cono de penumbra con el Sol y laTierra y suponemos que la lınea TP es perpendicular a la lınea TS. Tomamosla primera como eje z de nuestro sistema de referencia, y la segunda comoeje x. La separacion angular entre los centros de la Luna y el Sol, observadosdesde el punto T , es η.

La lınea z(x) que pasa por los puntos P y Q tiene ecuacion


z(x) =R − rT

Dx + rT (3.3)

Una vez establecidos todos estos puntos, se ve que la condicion para queel disco de la Luna oculte al menos parcialmente al disco del Sol es que sea

d sen η − r <= z(d cos η) (3.4)

Si suponemos que es sen η ≃ η y que cos η ≃ 1, se sigue de las definicionesanteriores la condicion:

η < S − P + s + p (3.5)

Nos servimos de la Figura 3.4 para razonar de forma similar, pero sobreel cono de sombra en lugar de sobre el cono de penumbra. El punto P esahora un punto desde el que se observa un eclipse total de Sol. La recta quecontiene a los puntos P y Q tiene ahora por ecuacion:

z(x) = −R + rT

Dx + rT (3.6)

y de la ecuacion (3.4) se sigue ahora que

η <= −S − P + s + p (3.7)

ST

η

PL

Q

Figura 3.4 Contacto del cono de sombra con la Tierra

En la Figura 3.5 se representa la generatriz del cono de penumbra, lıneaPQ. La separacion angular entre los centros del Sol y la Luna es el anguloen LTS, que hemos llamado η. Si llamamos Z y z a las distancias cenitales

3.2. Lımites de latitud eclıptica 31

geocentricas del Sol y la Luna respectivamente, vemos que η = Z − z. Sillamamos j al angulo PLT , siendo QPL el semidiametro de la Luna:

j = z − (π

2− s) (3.8)

Por otra parte, como la lınea PM es perpendicular a PL, el angulo T PMes precisamente el semidiametro de la Luna. Entonces:

j ≃ sen j ≃ tan j =rT cos s

d≃ sen p cos s (3.9)

Ası pues (razonando de igual forma respecto al Sol)

z =π

2− s − sen−1(sen p cos s)

Z =π

2− S − sen−1(sen P cos S) (3.10)

de donde finalmente,

η = Z − z = s − S + sen−1(sen P cos S) − sen−1(sen p cos s) (3.11)

T

P

L

S

Q

M

Figura 3.5 Contacto del cono de penumbra con la Tierra

3.2. Lımites de latitud eclıptica

Si el plano de la orbita de la Luna fuese el mismo plano que el de la orbitade la Tierra, se darıa un eclipse de Sol en cada revolucion lunar (y uno de


Luna). Pero ocurre que el plano de la orbita de la Luna se encuentra inclina-do respecto al de la Tierra, de manera que cuando coinciden las longitudeseclıpticas de la Luna y el Sol la latitud eclıptica de la Luna puede ser tal quesu disco no se superponga con el disco solar. Esto motiva un estudio de entreque lımites de latitud eclıptica de la Luna pueden darse los eclipses solares,y es el motivo de esta seccion.

N

A

B

λβ

S

L

Figura 3.6 Conjuncion en longitud eclıpitca del Sol y la Luna

En la Figura 3.6, el cırculo que contiene a NA es la eclıptica, y el cırculoque contiene a NB es la orbita de la Luna. N es el nodo de dicha orbita,y en la figura se representa el instante en que los centros del Sol, S, y laLuna, L, tienen la misma longitud eclıpitca, pero distinta latitud. Es claroque el eclipse solo se puede producir en las cercanıas del nodo N , y nuestroproposito es establecer cuantitativamente esas cercanıas.

En el triangulo esferico NSL, siendo i la inclinacion del plano de la orbitalunar respecto a la eclıpitca (es decir, i es igual al angulo en N), de lasrelaciones de la trigonometrıa esferica que involucran tres lados y dos angulosse sigue:

sen NL cos i = cos β sen λ (3.12)

y aplicando la relacion del seno

sen NL sen i = sen β (3.13)

se sigue que

sen λ = tanβ cot i (3.14)

3.2. Lımites de latitud eclıptica 33

Presuponiendo razonablemente que el triangulo esferico NSL es pequenoy que con buena aproximacion se puede asimilar a uno plano, consideremosla situacion de la Figura 3.7.

N S

L

R

QP

M

X

Figura 3.7 Mınima distancia angular Sol-Luna

Cuando la Luna se encuentra en el nodo N el Sol se encuentra en el puntoM . En un momento posterior, la Luna se ha movido en su orbita hasta elpunto P y el Sol ha avanzado hasta R. Finalmente, cuando Sol y Luna tienenla misma longitud eclıptica, el primero se encuentra en S y la segunda en L.Puesto que estamos interesados en las posiciones relativas de Sol y Luna, lasituacion es equivalente a la que tendrıamos si el Sol se encontrase fijo en elpunto S y la Luna no se desplazase a lo largo de la lınea NPL que forma unainclinacion i con la eclıptica, sino a lo largo de la lınea RQL de inclinacioni′, de tal forma que la distancia RS es la misma que la distancia NM . Pero

tan i =LS

NS(3.15)

mientras que

tan i′ =LS

RS(3.16)

de donde

tan i′ =NS

RStan i (3.17)

Ahora bien


NS

RS=

NS

NS − MS=

q

q − 1(3.18)

con

q =NS

MS(3.19)

Pero veamos que NS y MS son los incrementos respectivos en longitudeclıpitca de la Luna y el Sol, incrementos que se adquieren en el mismo inter-valo de tiempo, luego q es la razon entre las velocidades de los movimientosen longitud de la Luna y el Sol.

Por otro lado, se ve en la Figura 3.7 que la mınima distancia entre el Soly la Luna se da cuando esta se encuentra en el punto X de la trayectoriarelativa RQL, siendo SX perpendicular a RL. Pero de la semejanza entrelos triangulos RXS y SRL es claro que el angulo XSL es precisamente i′ yque la distancia mınima SX es

η = β cos i′ (3.20)

que combinada con (3.5) para un eclipse parcial nos da

β <= (S − P + s + p) sec i′ (3.21)

Por otra parte, siendo tan β funcion creciente, de (3.14) y la anterior sesigue

λ <= sen−1(tanβ cot i) (3.22)

Ninguno de los terminos en los segundos miembros de la condiciones queacabamos de expresar para β y λ son constantes. Ası, S varıa entre 15′46′′

y 16′18′′; s varıa entre 14′41′′ y 16′45′′; p varıa entre 53′53′′ y 61′27′′; q entre10,9 y 16,2 e i entre 4o59′ y 5o18′, con lo cual i′ se ve que oscila entre 5o18′

y 5o50′. Para P se puede tomar el valor de 9′′.Si en (3.21) tomamos los valores mınimos de S, s, p e i′ obtenemos un

lımite inferior βmin, de forma que puede asegurarse que ocurrira eclipse siβ < βmin. De la misma forma, eligiendo los valores maximos de S, s, pe i′ obtenemos un valor βmax, de tal forma que podemos asegurar que noocurrira eclipse si β > βmax. Una discusion similar puede hacerse respecto alos eclipses totales.

De todo esto puede deducirse el numero maximo y mınimo de eclipsesque tendran lugar a lo largo de un ano. En efecto, la longitud eclıptica delSol ha de ser inferior a unos 18o27′, lo que da un intervalo centrado en elnodo de unos 36o54′. Ahora bien, el Sol se separa del nodo unos 30o por mes

3.3. El Saros 35

sinodico, luego se encuentra en el intervalo de los 36o54′ al menos una vezcuando coincide en longitud eclıptica con la Luna. En los casos favorables,la conjuncion se producira dos veces. Ocurrira igual en el otro nodo, luegoen el periodo en que el Sol pasa dos veces por el mismo nodo se produciranentre dos y cuatro eclipses.

Ahora bien, el Sol se mueve en sentido directo y el nodo en sentidoretrogrado, por lo que el periodo antedicho es inferior al ano, aproxima-damente de 346 dıas. Por tanto, en condiciones favorables aun podra darseun quinto eclipse antes de que finalice el ano.

En resumen, cada ano se produciran un mınimo de dos eclipses y unmaximo de cinco.

3.3. El Saros

El perıodo Saros fue ya conocido por los astronomos caldeos. Hemos di-cho que la condicion para que se produzca un eclipse es que el Sol y la Lunase encuentren cerca del nodo. Supongamos que en un momento dado Sol yLuna se encuentran justamente en el nodo. A partir de ese momento, el Solse mueve en sentido directo, completando una revolucion siderea en 365.25dıas medios. Por su parte, los nodos de la orbita lunar retrogradan com-pletando una revolucion en 6798.3 dıas medios. Por tanto, el Sol volvera acoincidir con el nodo al cabo de 346.26 dıas medios. El periodo entre doslunas nuevas consecutivas es de 29.53 dıas. Diecinueve pasos del Sol por elnodo que hemos tomado como referencia son 6585.8 dıas, mientras que 223lunaciones son 6585.3 dıas. Quiere decir esto que al cabo de 6585 dıas y unpoco mas se repetira la situacion de partida, coincidiendo el Sol y la Luna enel nodo en una situacion muy similar a la inicial, reproduciendose el eclipseque tuvo lugar 6585 dıas antes aproximadamente, que son 18 anos y 11 dıas(aproximadamente).

Si anotamos las fechas y circunstancias de los eclipses producidos a partirde uno dado durante los 18 anos y 11 dıas siguientes, obtendremos una serieque se reproducira aproximadamente durante los siguientes perıodos Saros.Ası, el eclipse del 17 de abril de 1912 fue la repeticion de los que ocurrieronel 5 de abril de 1894, el 25 de marzo de 1876, el 15 de marzo de 1858... yası hasta el 25 de mayo de 1389, en que ocurrio por primera vez.

Estas reproducciones no son en numero indefinido debido a que el pasodel Sol por el nodo y la lunacion no son perıodos exactamente conmensu-rables. Ademas, intervienen cantidades como paralajes y semidiametros quevarıan con perıodos distintos que tampoco son conmensurables. Sucede queocurre un cierto eclipse de Sol para unas determinadas posiciones de Sol y


Luna respecto a un nodo. Al cabo de un Saros dicha posicion se repite, peromas cercana al nodo, y ası sucesivamente en Saros siguientes, hasta llegar alnodo y rebasarlo. El eclipse continua repitiendose en Saros sucesivos, pero elpaulatino alejamiento de los astros del nodo termina por hacer imposible eleclipse.

Cada serie de eclipses comienza con un eclipse parcial y de escasa dura-cion, siendo solo visible en las inmediaciones de un polo terrestre. En los Sarossiguientes los eclipses de esa serie van siendo de mayor duracion, aun par-ciales, y se extienden a latitudes mas bajas. Mas tarde se manifestara comototal o anular y a partir de ese momento se producira hacia latitudes cadavez mas cercanas al polo opuesto en cuyas inmediaciones se origino la serie.Los ultimos eclipses de la serie son parciales y de escasa duracion. Un eclipsepuede repetirse 60 o 70 veces en otros tantos Saros sucesivos.

Capıtulo 4

Ecuaciones fundamentales

Mas adelante trataremos las circunstancias en que un eclipse sera obser-vado en un punto dado, respondiendo a preguntas como cual sera la horade comienzo y final, en que puntos se tocaran los limbos del Sol y la Luna,que fraccion del disco solar se vera oscurecida, cuanto durara el eclipse y aque hora se producira el maximo, etc. Pero aquı no nos interesaremos por uneclipse como fenomeno local, sino como un suceso a escala planetaria, y deesta manera nos plantearemos y daremos respuesta a preguntas tales como:en que punto de la Tierra se producira el contacto con el cono de sombrao penumbra, y a que hora; en que zona se prodra observar el eclipse en unmomento dado; en que parte de la superficie de la Tierra se podra observaren algun momento, en que puntos se observara el primer o ultimo contactoal orto o al ocaso del Sol, que trayectoria sobre la superficie seguira la inter-seccion del eje de sombra con la Tierra, cuales seran las lıneas lımite norte ysur entre las cuales en algun momento se podra observar el eclipse, etc.

4.1. Posicion del eje de sombra

El eje de sombra, que es aquel que une los centros de la Luna y el Sol,corta a la esfera celeste en el punto en que un observador situado en elcentro de la Luna observarıa el centro del Sol. Sea S el centro del Sol, Lel centro de la Luna y T el centro de la Tierra. En relacion con la Figura4.1, consideremos un sistema ecuatorial rectangular geocentrico, tal que eleje x de dicho sistema se dirige hacia el punto γ, el eje y hacia el punto delecuador cuya ascension recta es del 90o y el eje z perpendicular a ambos.En este sistema, las coordenadas esfericas de la Luna son (αL, δL, r), y lascoordenadas esfericas del Sol (α, δ, R), de donde se siguen las coordenadasrectangulares:

37

38 4. Ecuaciones fundamentales

xL = r cos δL cos αL

yL = r cos δL sen αL

zL = r sen δL (4.1)

X = R cos δ cos α

Y = R cos δ sen α

Z = R sen δ (4.2)

γ

z

x

y

L

T

S

Figura 4.1 Interseccion del eje de sombra con la esfera celeste

Sea un sistema rectangular selenocentrico, paralelo al anterior. En estesistema, las coordenadas esfericas del Sol son (a, d, G), de forma que lascoordenadas rectangulares del Sol en el sistema selenocentrico son

u = G cos d cos a

v = G cos d sen a

w = G sen d (4.3)

Es claro entonces que

4.1. Posicion del eje de sombra 39

G cos d cos a = R cos δ cos α − r cos δL cos αL

G cos d sen a = R cos δ sen α − r cos δL sen αL

G sen d = R sen δ − r sen δL (4.4)

Aprovechamos ahora el hecho de que, en el eclipse, la diferencia entrela direccion en que aparece la Luna (o el Sol) y el eje de sombra (dada por(a, d)) es pequena. Multiplicando la primera por sen α, la segunda por cosα yrestando, y multiplicando despues la primera por cosα, la segunda por sen αy sumando:

G cos d sen(a − α) = −r cos δL sen(αL − α)

G cos d cos(a − α) = R cos δ − r cos δL cos(αL − α)

G sen d = R sen δ − r sen δL (4.5)

Llamando g = G/R y b = r/R

g cos d sen(a − α) = −b cos δL sen(αL − α)

g cos d cos(a − α) = cos δ − b cos δL cos(αL − α)

g sen d = sen δ − b sen δL (4.6)

De las dos primeras se sigue que

tan(a − α) =−n sen(αL − α)

1 − n cos(αL − α)(4.7)

que admite el desarrollo en serie hasta segundo orden 1

a − α = −(

n

sen 1′′sen(αL − α) +

n2

2 sen 1′′sen 2(αL − α)

)

(4.8)

donde

n = bcos δL

cos δ(4.9)

y el divisor sen 1′′ reduce los valores a segundos de arco.Por otro lado, de las ecuaciones segunda y tercera de (4.6), teniendo en

cuenta que cos(a − α) ≃ 1 y que cos(αL − α) ≃ 1:

1Ver Schaum: Manual de formulas y tablas matematicas


g cos d = cos δ − b cos δL

g sen d = sen δ − b sen δL (4.10)

Multiplicando la primera por sen δ, la segunda por cos δ y restando:

g sen(d − δ) = −b sen(δL − δ) (4.11)

Multiplicando la primera por cos δ, la segunda por sen δ y sumando:

g cos(d − δ) = 1 − b cos(δL − δ) (4.12)

De donde

tan(d − δ) =−b sen(δL − δ)

1 − b cos(δL − δ)(4.13)

que admite el desarrollo en serie:

d − δ = −(

b

sen 1′′sen(δL − δ) +

b2

2 sen 1′′sen 2(δL − δ)

)

(4.14)

4.2. Distancia del observador al eje de som-

bra

La Figura 4.2 representa nuestro sistema de referencia geocentrico funda-mental. Este sistema viene determinado por el eje de sombra, cuya direccion(a, d) hemos calculado anteriormente. EL plano π es perpendicular al eje desombra y contiene a los ejes x e y. De todos los infinitos planos que contie-nen al eje de sombra, elegimos aquel que contiene tambien al polo norte delsistema ecuatorial, de forma que el eje z es paralelo al eje de sombra y el ejey se encuentra en la interseccion entre el plano π y este segundo plano quecontiene al eje de sombra y el polo. El eje x completa un sistema de referenciadirecto.

El plano QQ′ es el plano del ecuador, sobre el que hemos representado elpunto γ, origen de las ascensiones rectas. La posicion de la Luna viene dadapor L. Como es facil de ver, la ascension recta del punto X es 90o + a. De larelacion del coseno para el triangulo esferico PLX:

cos LX = cos LP cos PX + sen LP sen PX cos LPX (4.15)

4.2. Distancia del observador al eje de sombra 41

X

Z

P

L

γ

π

Q

Q’

O

r

Y

Figura 4.2 Sistema fundamental celeste

Pero LP = 90o − δL, PX = 90o y LPX = 90o + a − αL. La coordenadax de la Luna es entonces:

x = r cos LX = cos δL sen(αL − a) (4.16)

De la misma forma, la coordenada y es

y = r cos LY (4.17)

pero

cos LY = cos LP cos PY + sen LP sen PY cos LPY (4.18)

donde LP = 90o − δL, PY = d y LPY = 180o − (αL − a), con lo que

cos LY = sen δL cos d − cos δL sen d cos(αL − a) (4.19)

Finalmente

z = r cos LZ (4.20)

pero

cos LZ = cos LP cos PZ + sen LP sen PZ cos LPZ (4.21)


y como es facil de ver LP = 90o − δL, PZ = 90o − d y LPZ = αL − a,luego

cos LZ = sen δL sen d + cos δL cos d cos(αL − a) (4.22)

En resumen

x = r[cos δL sen(αL − a)]

y = r[sen δL cos d − cos δL sen d cos(αL − a)]

z = r[sen δL sen d + cos δL cos d cos(αL − a)] (4.23)

A O’

O

π

T

S

Figura 4.3 Posicion del observador

En la Figura 4.3, T es el centro de la Tierra y π el plano fundamental, taly como ha sido definido. El segmento SA determina el eje de sombra, siendoA la proyeccion de dicho eje sobre el plano fundamental. Finalmente, O esun punto de observacion sobre la superficie de la Tierra y O′ su proyeccionsobre el plano fundamental.

Si las coordenadas del punto de observacion son (ξ, η, θ), la distancia delobservador al eje de sombra es

∆2 = (x − ξ)2 + (y − η)2 (4.24)

siendo (x, y) las coordenadas de A sobre el plano fundamental. Esta ecua-cion puede escribirse en forma parametrica de la forma

4.2. Distancia del observador al eje de sombra 43

∆ sen Q = x − ξ

∆ cos Q = y − η (4.25)

Para encontrar las coordenadas del punto de observacion tendremos encuenta la Figura 4.4 y llamaremos (ξ, η, ζ) a las coordenadas del punto deobservacion, ϕ a la latitud geodesica del punto de observacion, ϕ′ a la latitudgeocentrica, ρ al radio del elipsoide terrestre en el punto de observacion y µal tiempo sidereo. O es el cenit del observador, y del triangulo esferico OPXse sigue que

ξ = ρ cos OX = ρ(cos OP cos PX + sen OP sen PX cos P ) (4.26)

siendo OP = 90o − ϕ′ y PX = 90o. El angulo en P es la diferencia entrelas ascensiones rectas de O y X. Como µ− α = H (angulo horario del lugarde observacion) y O con P define el meridiano del lugar, H = 0 y α = µque es la ascension recta del lugar. Por tanto, y como la ascension recta delpunto X es 90 + a, cos P = cos(µ − a − 90) = sen(µ − a)

ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a) (4.27)

X

Z

P

π

O

ρ

Y

Figura 4.4 Posicion del observador


Meridiano

γ

µ1

ω

a

µ

Meridianode Greenwich

local

Punto Z

Figura 4.5 Relacion entre algunos angulos

Considerando igualmente el triangulo OPY :

η = ρ cos OY (4.28)

De la relacion del coseno, teniendo en cuenta que OP = 90o−ϕ′, PY = dy OPY = 180o + a − µ:

η = ρ(sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos(µ − a)) (4.29)

Finalmente, en el triangulo OPZ

ζ = ρ cos OZ (4.30)

y teniendo en cuenta que PZ = 90o − d, OP = 90o − ϕ′ y ZPO = µ− a:

ζ = ρ(sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos(µ − a)) (4.31)

En resumen

ξ = ρ cos ϕ′ sen(µ − a)

η = ρ(sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos(µ − a))

ζ = ρ(sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos(µ − a)) (4.32)

Si ahora definimos A y B mediante las ecuaciones

A sen B = ρ sen ϕ′

A cos B = ρ cos ϕ′ cos(µ − a) (4.33)

4.3. Radios de los conos de sombra y penumbra 45

Podemos escribir


η = A sen(B − d)

ζ = A cos(B − d) (4.34)

Finalmente, observando la Figura 4.5, µ − a es el angulo horario delpunto Z. Si para un instante dado HZ es el angulo horario de Z respecto almeridiano origen y ω es la latitud oeste del lugar de observacion, entonces elangulo horario de Z para el observador es

θ = µ − a = HZ − ω (4.35)

4.3. Radios de los conos de sombra y penum-

bra

Llamaremos:

D distancia Tierra-Sold distancia Tierra-LunaS semidiametro del Sols semidiametro de la LunaR radio del Solr radio de la LunarT radio de la TierraP paralaje del Solp paralaje de la Lunac distancia del vertice del cono al plano principalk razon entre los radios de la Luna y del ecuador terrestrel radio del cono de sombra o penumbra en plano principalL radio del cono de sombra o penumbra en el plano z = ζf angulo del cono de sombra o penumbra

En la Figura 4.6, que representa el cono de sombra, l = EF , L = CD,c = V F . Tambien tenemos sen P = rT /D y sen p = rT /d, de donde d/D =sen P/ sen p. Llamando P0 al paralaje medio del Sol y tomando como unidadla distancia media Tierra-Sol, se tiene

d =sen P0

sen p(4.36)


R = sen S (4.37)

y

r = k sen P0 (4.38)

S NA

B

V

C D

E F π

M

Figura 4.6 Radio del cono de sombra

Entonces

sen f =SN

MS=

SA − AN

MS=

sen S − k sen P0

gd(4.39)

donde hemos introducido g como la razon entre las distancias Luna-Sol yTierra-Luna. Si con la misma notacion razonamos ahora sobre la Figura 4.7para el cono de penumbra, tenemos que

sen f =SN

MS=

SA + AN

MS=

sen S + k sen P0

gd(4.40)

4.3. Radios de los conos de sombra y penumbra 47

π

AN

S

V

B

D

F

C

E

M

Figura 4.7 Radio del cono de penumbra

Si tomamos ahora como unidad el radio terrestre, tanto para el cono desombra como para el de penumbra

sen f =MB

MV(4.41)

Para el cono de sombra

c = V F = z − MV = z −k

sen f(4.42)

y para el cono de penumbra

c = V F = z + MV = z +k

sen f(4.43)

De aquı que el radio del cono en el plano fundamental sea

l = V F tan f = z tan f ∓ k sec f (4.44)


donde el signo menos se refiere al cono de sombra y el signo mas al depenumbra. A la altura del observador, el radio del cono es

L = (c − ζ) tan f = l − z tan f (4.45)

Para el cono de penumbra, c− ζ es siempre positivo, y por tanto tambienL es siempre positivo. Para el cono de sombra, c− ζ es negativo si el verticecae por debajo del plano del observador. En este caso se produce un eclipsetotal y L es una cantidad negativa. Cuando el vertice del cono de sombra caepor encima del plano del observador, L es positivo, y en este caso el eclipsees anular. Por brevedad, llamaremos i = tan f .

4.4. Expresion analıtica de la condicion de

principio o fin del eclipse

Comenzara o terminara un eclipse en un punto cuando su distancia al ejede sombra sea igual al radio del cono en el plano paralelo al fundamental quecontiene al punto, es decir, cuando

∆ = L (4.46)

o lo que es igual

(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2 (4.47)

que puede escribirse en la forma parametrica

x − ξ = (l − iζ) sen Q

y − η = (l − iζ) cos Q (4.48)

(4.46) es la ecuacion fundamental de la teorıa de eclipses. Las cantidades(a, d, x, y, l, i) pueden ser calculadas mediante las formulas anteriores. Sonindependientes del lugar de observacion y es conveniente tabularlas a inter-valor desde unas horas antes hasta unas horas despues de la conjuncion enlongitud del Sol y la Luna. A partir de esta tabla, por interpolacion, puedencalcularse para cualquier instante intermedio. A estos elementos se les conocecomo elementos Besselianos del eclipse y son publicados, por ejemplo, en laEfemerides del Observatorio de San Fernando (donde en lugar de la ascensionrecta del punto Z se da el angulo horario para Greenwich).

Capıtulo 5

Prevision general de eclipses

solares

5.1. Interseccion del cono con la superficie te-

rrestre

5.1.1. Tratamiento clasico

La lınea de interseccion del cono con la superficie de la Tierra contiene atodos los puntos desde los cuales pueden verse los limbos del Sol y la Lunaen contacto. Notese que esto es valido tanto para el cono de sombra comopara el cono de penumbra.

La distancia de tales puntos al eje de sombra es igual al radio del conoen el plano paralelo al fundamental que contiene al observador. Tendremospor tanto:

(l − iζ) sen Q = x − ξ

(l − iζ) cosQ = y − η (5.1)

siendo θ = µ − a = HZ − ω, recordemos que

ξ = ρ cos ϕ′ sen θ

η = ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos θ

ζ = ρ sen ϕ′ sen d + ρ cos ϕ′ cos d cos θ (5.2)

Las cinco ecuaciones anteriores involucran a las seis variables (ξ, η, ζ, ϕ′, θ,Q), una de las cuales puede ser tomada como parametro. Para cada valor

49

50 5. Prevision general de eclipses solares

del parametro, las ecuaciones anteriores determinan al resto de variables.Tomaremos Q como parametro. En la forma en que estan escritas, aparece lacantidad ρ(ϕ′) 1 . Se puede despreciar el achatamiento tomando en primerainstancia ρ = 1 y obteniendo de esta forma un valor aproximado de ϕ′.Una vez conocida la latitud geocentrica volvemos al principio calculando conρ(ϕ′). El procedimiento puede iterarse hasta que dos valores sucesivos de ρdifieran en una cantidad inferior a una dada.

Este proceso puede evitarse siguiendo las transformaciones dadas por Bes-sel que permiten tener en cuenta el achatamiento desde el principio. Consistensimplemente en introducir los resultados conocidos:

ρ cos ϕ′ = cos ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2

ρ sen ϕ′ = (1 − e2) sen ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2

tanϕ′ = (1 − e2) tanϕ (5.3)

donde se ha tomado como unidad el radio ecuatorial. Bessel introdujoalgunos cambios de variable que permitiesen escribir las ecuaciones en unaforma mas sencilla y simetrica. En primer lugar, introduciendo ϕ1 a partirde

cos ϕ1 = cos ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2 (5.4)

se tiene

sen ϕ1 = (1 − cos2 ϕ1)1/2 = (1 − e2)1/2 sen ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2 (5.5)

con lo cual

ρ cos ϕ′ = cos ϕ1

ρ sen ϕ′ = (1 − e2)1/2 sen ϕ1 (5.6)

Las ecuaciones (5.2) se escriben ahora:

ξ = cos ϕ1 sen θ

η = sen ϕ1(1 − e2)1/2 cos d − cos ϕ1 sen d cos θ

ζ = sen ϕ1(1 − e2)1/2 sen d + cos ϕ1 cos d cos θ (5.7)

1Vease en el apendice la relacion entre latitud geocentrica, a la que estamos llamandoϕ′, y latitud geodesica, definida a partir de la normal al elipsoide terrestre en el punto deobservacion y que aquı llamaremos ϕ

5.1. Interseccion del cono con la superficie terrestre 51

Introduzcamos ahora las variables (ρ1, ρ2, d1, d2) mediante las ecuaciones

ρ1 sen d1 = sen d

ρ2 cos d2 = cos d

ρ1 cos d1 = (1 − e2)1/2 cos d

ρ2 sen d2 = (1 − e2)1/2 sen d (5.8)

con lo cual

ξ = cos ϕ1 sen θ

η = ρ1 sen ϕ1 cos d1 − ρ1 cos ϕ1 sen d1 cos θ

ζ = ρ2 sen ϕ1 sen d2 + ρ2 cos ϕ1 cos d2 cos θ (5.9)

Pongamos ahora η1 = η/ρ1 y definamos ζ1 a partir de la ecuacion

ξ2 + η21 + ζ2

1 = 1 (5.10)

o lo que es igual:

ξ = cos ϕ1 sen θ

η1 = sen ϕ1 cos d1 − cos ϕ1 sen d1 cos θ

ζ1 = sen ϕ1 sen d1 + cos ϕ1 cos d1 cos θ (5.11)

La cantidad ζ1 difiere tan poco de ζ que puede sustituirse la una por laotra en el termino iζ . Pero si se desea mayor precision, puede recuperarse ζuna vez conocido ζ1. En efecto, de la segunda y la tercera de (5.11)

cos ϕ1 cos θ = −η1 sen d1 + ζ1 cos d1

sen ϕ1 = η1 cos d1 + ζ1 sen d1 (5.12)

que sustituidos en ζ dan

ζ = ρ2ζ1 cos(d1 − d2) − ρ2η1 sen(d1 − d2) (5.13)


El problema tiene ahora la forma:


(l − iζ) cos Q = y − η

ξ2 + η21 + ζ2

1 = 1 (5.14)

que para un valor de Q determinan (ξ, η1, ζ1). Una vez conocidos estos,las ecuaciones

cos ϕ1 sen θ = ξ

cos ϕ1 cos θ = −η1 sen d1 + ζ1 cos d1

sen ϕ1 = η1 cos d1 + ζ1 sen d1 (5.15)

proporcionan (ϕ1, θ) con los cuales se encuentran la latitud y longitud delpunto correspondiente al valor de Q mediante

tanϕ = (1 − e2)1/2 tanϕ1

ω = HZ − θ (5.16)

Una vez establecido el plan, procedemos en primer a resolver (5.14). Dela primera y la segunda

ξ = x − l sen Q + iζ1 sen Q

η1 =y

ρ1−

l cos Q

ρ1+

iζ1

ρ1cos Q ≃

y

ρ1−

l cos Q

ρ1+ iζ1 cos Q (5.17)

Si introducimos las variables β y γ a traves de las ecuaciones

a = x − l sen Q = sen β sen γ

b =y

ρ1−

l cos Q

ρ1= sen β cos γ (5.18)

tenemos

ξ = sen β sen γ + iζ1 sen Q

η1 = sen β cos γ + iζ1 cos Q (5.19)


que sustituimos en la tercera de (5.14) para encontrar

ζ211 − ξ2 − η2

1 = cos2 β − 2iζ1 sen β cos(Q − γ) − i2ζ21 (5.20)

de donde

ζ1 =−2i sen β cos(Q − γ)

2(1 + i2)±

√

(2i sen β cos(Q − γ))2 + 4(1 + i2) cos2 β

2(1 + i2)(5.21)

y si despreciamos terminos en i2

ζ1 = ±(cos β − i sen β cos(Q − γ)) (5.22)

Para eliminar la ambiguedad en el signo, vemos que la generatriz delcono corta a la superficie de la Tierra en dos puntos, uno por encima y otropor debajo del plano fundamental. Pero si observamos un eclipse lo hacemospor encima del plano fundamental, con lo cual habremos de tomar el valorpositivo. β y γ vienen determinados por (5.18). Conocidos ambos, (5.22)proporciona ζ1 y (5.19) (ξ, η1). El problema se acaba de resolver usando(5.15) y (5.16)

De los puntos pertenecientes a la lınea que hemos encontrado, en unos eleclipse estara comenzando y en otros acabando. Si en un instante T un puntose encuentra sobre la superficie del cono, en un instante posterior T + dT seencontrara dentro o fuera del mismo segun que el eclipse este comenzando oterminando. Es decir, segun que la derivada

d

dT[(x − ξ)2 + (y − η)2 − (l − iζ)2] (5.23)

sea negativa o positiva. Si llamamos P a la derivada:

P = (x− ξ)

[

dx

dT−

dξ

dT

]

+(y− η)

[

dy

dT−

dη

dT

]

− (l− iζ)

[

dl

dT− i

dζ

dT

]

(5.24)

y teniendo en cuenta (5.1)

P = (l − iζ) [(x′ − ξ′) sen Q + (y′ − η′) cosQ − (l′ − iζ ′)] = LP ′ (5.25)

La cantidad P sera positiva o negativa segun que L y P ′ tengan signosiguales u opuestos. Para eclipses anulares, L es positivo, y por tanto el eclipsecomienza o termina segun que P ′ sea negativo o positivo. Para eclipses totales


L es negativo, y el eclipse comienza o termina segun que P ′ sea positivo onegativo.

(x′, y′, l′) se deducen de la tabla de elementos Besselianos, pero (ξ′, η′, ζ ′)han de encontrarse a partir de (5.2). En efecto, de la segunda y tercera setiene que

ζ cos d − η sen d = ρ cos ϕ′ cos θ (5.26)

y que

ζ sen d + η cos d = ρ sen ϕ′ (5.27)

A partir de las cuales, derivando la tercera

ζ ′ = d′η − θ′ξ cos d (5.28)

y usando las ecuaciones parametricas (5.1)

ζ ′ = d′ [y − (l − iζ) cosQ] + θ′ [(l − iζ) sen Q cos d − x cos d] (5.29)

y de la misma forma calculamos las derivadas de ξ y η. En definitiva:

ξ′ = θ′ [−y sen d + ζ cos d + (l − iζ) sen d cos Q]

η′ = θ′ [−x sen d − (l − iζ) sen d sen Q] − d′ζ

ζ ′ = θ′ [(l − iζ) sen Q cos d − x cos d] + d′ [y − (l − iζ) cosQ] (5.30)

Sustituyendo en P ′, despreciando terminos en i2 e id:

P ′ = a′ − b′ cos Q + c′ sen Q − ζ(θ′ cos d sen Q − d′ cos Q) (5.31)

con

a′ = −l′ − θ′ix cos d

b′ = −y′ + θ′x sen d

c′ = x′ + θ′y sen d + θ′il cos d (5.32)

En la practica, cuando se dibujan sobre el mapa las intersecciones del conocon la superficie de la Tierra, se advierte inmediatamente en que puntosel eclipse esta comenzando y en que puntos terminando. La condicion decomienzo o fin del eclipse puede ponerse en forma mas compacta llamando


e sen E = b′

e cos E = c′

f sen F = d′

f cos F = θ′ cos d (5.33)

con lo cual

P ′ = a′e sen(Q − E) − ζf sen(Q − F ) (5.34)

Puesto que solo nos interesa el signo de P ′ y como a′ y F son cantidadesmuy pequenas, poniendo ζ1 en lugar de ζ encontramos que, para eclipsesanulares o parciales

e sen(Q − E) < ζ1f sen Q (5.35)

cuando el eclipse esta empezando, y

e sen(Q − E) > ζ1f sen Q (5.36)

cuando el eclipse esta terminando. Para eclipses totales las condicionesson las inversas:

e sen(Q − E) < ζ1f sen Q (5.37)

cuando el eclipse esta terminando y

e sen(Q − E) > ζ1f sen Q (5.38)

cuando el eclipse esta comenzando.

5.1.2. Metodo iterativo

Los numerosos cambios de variable pueden oscurecer una idea que enesencia es sencilla. Por ese motivo presentamos en este apartado y en elsiguiente dos metodos basados en las ecuaciones fundamentales. Partimos de



ρ cos ϕ′ sen θ = ξ

ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos θ = η

ρ sen ϕ′ sen d + ρ cos ϕ′ cos d cos θ = ζ (5.39)


En primera aproximacion, supondremos que la Tierra es esferica y toma-remos ρ = 1:



ξ2 + η2 + ζ2 = 1 (5.40)

Iniciamos el procedimiento iterativo tomando como valores iniciales, pues-to que iζ es pequeno:

ξ0 = x − l sen Q

η0 = y − l cos Q

ζ0 = (1 − ξ20 − η2

0)1/2 (5.41)

Con estos valores de partida:

ξn = x − (l − iζn−1) sen Q

ηn = y − (l − iζn−1) cos Q

ζn = (1 − ξ2n − η2

n)1/2 (5.42)

El procedimiento converge rapidamente hacia la solucion. Una vez obte-nida esta:

ξ = cos ϕ′ sen θ

η = sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos θ

ζ = sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos θ (5.43)

de donde

cos ϕ′ sen θ = ξ

sen ϕ′ = η cos d + ζ sen d

cos ϕ′ cos θ = −η sen d + ζ cos d (5.44)

que proporcionan una primera aproximacion de ϕ′ y de θ y por tanto deϕ y ω mediante


tan ϕ′ = (1 − e2) tanϕ

ω = HZ − θ (5.45)

donde e2 = 1 − b2/a2 (a es el semieje mayor del elipsoide terrestre y b elsemieje menor). Conocida ϕ, obtenemos en segunda aproximacion el radioterrestre:

ρ =1 − e2

1 − e2 + e2 sen2 ϕ(5.46)

Esto nos permite encontrar en segunda aproximacion las coordenadas delpunto de la curva partiendo de


(l − iζ) cosQ = y − ζ

ξ2 + η2 + ζ2 = ρ2 (5.47)

Para ello, iniciamos la iteracion con unos valores iniciales:

ξ0 = x − l sen Q

η0 = y − l cos Q

ζ0 = (ρ2 − ξ20 − η2

0)1/2 (5.48)

siguiendo el esquema de calculo

ξn = x − (l − iζn−1) sen Q

ηn = y − (l − iζn−1) cosQ

ζn = (ρ2 − ξ2n − η2

n)1/2 (5.49)

que conduce a una terna (ξ, η, ζ) que satisface ahora


η = ρ sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos θ

ζ = ρ sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos θ (5.50)

de donde


cos ϕ sen θ =ξ

ρ

sen ϕ′ =η

ρcos d +

ζ

ρsen d

cos ϕ′ cos θ = −η

ρsen d +

ζ

ρcos d (5.51)

y obtenemos una segunda aproximacion de θ y ϕ′ y por consiguiente ω yθ, con las que puede calcularse una nueva aproximacion para ρ y reiniciar elproceso. En segunda aproximacion sin embargo el resultado es ya satisfacto-rio, teniendo en cuenta que estamos despreciando el efecto de la refraccionatmosferica. Un valor de Q proporciona uno de los puntos de la curva. Si to-da generatriz del cono intersecta a la superficie de la Tierra, obtenemos unacurva cerrada y el proceso descrito anteriormente converge para todo valor deQ. Si el cono es intersectado parcialmente por la Tierra, habra valores de Qpara los que el procedimiento no converja. En ese caso, la curva intersecciones abierta.

5.1.3. Metodo analıtico cartesiano

Planteemos el problema, de nuevo, desde el punto de vista de las ecua-ciones basicas. La lınea de sombra es perpendicular al plano fundamental,de forma que para cada ζ constante queda determinado un plano paralelo alfundamental que puede cortar o no a la lınea que es interseccion del cono desombra con el elipsoide terrestre.

Si partimos de

(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2

ξ2 + η2 + ζ2 = ρ2 (5.52)

y tomamos ζ como parametro, el sistema anterior determina ξ y η. Enefecto, llamando n2 = ρ2 − ζ2, y m2 = (l − iζ)2, ξ2 = n2 − η2, de donde

η2 − Aη + B = 0 (5.53)

con

α = x2 + y2 + n2 − m2 (5.54)

5.2. Curva de contacto en el horizonte 59

A =αy

x2 + y2(5.55)

y

B =α2 − 4x2n2

4(x2 + y2)(5.56)

Se produce interseccion entre el plano ζ=constante y la interseccion delcono con el elipsoide si el discriminante de la ecuacion de segundo grado en ηes mayor o igual a cero. En ese caso, existen dos soluciones ξ = ±

√n2 − η2.

De las cuatro soluciones, solo son validas aquellas que satisfacen las ecuacio-nes originarias, donde en primera aproximacion podemos tomar ρ = 1. Unavez conocidas (ξ, η, ζ), a partir de (5.2) obtenemos la latitud y longitud dela interseccion teniendo en cuenta

ρ cos ϕ′ sen θ = ξ

ρ cos ϕ′ cos θ = ζ cos d − η sen d

ρ sen ϕ′ = η cos d + ζ sen d (5.57)

donde, siendo siempre cos ϕ′ > 0, las dos primeras determinan sin am-biguedad el cuadrante de θ. Estos valores nos permiten recalcular ρ, queusamos en las ecuaciones anteriores para encontrar una mejor aproximacion.Todo el proceso puede programarse sin dificultad.

5.2. Curva de contacto en el horizonte


Esta curva esta formada por aquellos puntos para los cuales el eclipsecomienza o termina cuando el Sol se encuentra en el horizonte. Dado queen este caso el efecto de la refraccion atmosferica es notable, sera suficientetomar ζ1 = 0 como la condicion que han de satisfacer todos esos puntos sintemor a cometer un error mayor que el ya asumido al despreciar la refraccion.Entonces (5.1) adopta la forma simple

l sen Q = x − ξ

l cos Q = y − η (5.58)

Llamando


m sen M = x

m cos M = y

p sen γ = ξ

p cos γ = η (5.59)

obtenemos

l sen Q = m sen M − p sen γ

l cos Q = m cos M − p cos γ (5.60)

de donde

l2 = m2 + p2 − 2mp cos(M − γ) (5.61)

o bien

l2 − (m − p)2

2mp= 1 − cos(M − γ) = 2 sen2 1

2(M − γ) (5.62)

Finalmente, poniendo λ = M − γ o bien λ = γ − M

senλ

2= ±

(

(l + m − p)(l − m + p)

4mp

)1/2

(5.63)

λ/2 ha de tomarse siempre menor que 90o y el doble signo permite calcularlos dos puntos de la superficie de la Tierra que satisfacen la condicion enun instante dado. En (5.48) conocemos (l, m, M), pero desconocemos p. Sinembargo, de

ξ2 + η21 = 1

p sen γ = ξ

p cos γ = η (5.64)

se deduce que ha de ser p ≃ 1. Tomando en primera aproximacion p = 1en (5.62) obtenemos un valor de γ que puede mejorarse de la siguiente forma:poniendo ξ = sen γ′, de ξ2 + η2

1 = 1, η1 = cos γ′, y como η = ρ1η1:

p sen γ = sen γ′

p cos γ = ρ1 cos γ′ (5.65)

5.2. Curva de contacto en el horizonte 61

de donde

tan γ =1

ρ1

tan γ′ (5.66)

y

p =sen γ′

sen γ=

ρ1 cos γ′

cos γ(5.67)

Este nuevo valor de p puede usarse en (5.62) para obtener una mejoraproximacion de γ y a partir de ahı un γ′ que puede tomarse como definitivo.De (5.15):

cos ϕ1 sen θ = sen γ′

cos ϕ1 cos θ = − cos γ′ sen d1

sen ϕ1 = cos γ′ cos d1 (5.68)

que junto con (5.16) resuelven el problema.El Sol esta en el orto o en el ocaso segun que el angulo θ, que es el angulo

horario del punto Z, se encuentre entre 180o y 360o o entre 0o o 180o. Quedapor determinar si el eclipse esta empezando o terminando. Como ζ = 0 y a′

es pequena, a efectos practicos basta conocer el signo de sen(Q − E). Ası,para eclipses anulares o parciales tenemos que el eclipse esta comenzando si

m sen(M − E) < p sen(γ − E) (5.69)

y terminando si

m sen(M − E) > p sen(γ − E) (5.70)

5.2.2. Tratamiento cartesiano

Nuevamente, los cambios de variable pueden oscurecer una idea sencilla,y si bien tenıan pleno sentido cuando los medios de calculo eran limitados,tienen menos justificacion cuando los ordenadores han puesto potencia decalculo al alcance de cualquiera y es preferible la simplicidad en el procesode calculo a la velocidad a que este puede hacerse.

Ası, si partimos de las ecuaciones fundamentales, tomando ρ = 1 enprimera aproximacion:

ξ2 + η2 = 1

(x − ξ)2 + (y − η)2 = l2 (5.71)


despejando ξ de la primera y sustituyendo en la segunda tenemos para ηuna ecuacion de segundo grado:

η2 − Aη + B = 0 (5.72)

con

α = x2 + y2 − l2 + 1 (5.73)

A =αy

x2 + y2(5.74)

y

B =α2 − 4x2

4(x2 + y2)(5.75)

De esta ecuacion obtenemos dos valores para η, y (como ξ = ±√

1 − η2)cuatro valores de ξ. Tenemos en total cuatro soluciones, de las cuales solo dosson validas: aquellas que satisfacen al sistema original (5.62). La identificacionde estas dos soluciones puede programarse de forma trivial, una vez hecho locual, de (5.42) con ζ = 0:

cos ϕ′ sen θ = ξ

sen ϕ′ = η cos d

cos ϕ′ cos θ = −η sen d (5.76)

se sigue

ϕ′ = sen−1(η cos d)

θ = tan−1 −ξ

η sen d(5.77)

En una segunda aproximacion, calculamos ρ(ϕ′), en la primera de (5.62)sustituimos la unidad por ρ2 y una vez obtenidas (ξ, η), recalculamos longitudy latitud tomando en (5.63) (ξ/ρ, η/ρ) en lugar de (ξ, η).

5.3. Lımites temporales del eclipse


Para calcular, por un metodo u otro, las curvas de contacto en el horizonte,es preciso delimitar el intervalo en que la solucion es posible. Cuando la

5.3. Lımites temporales del eclipse 63

superficie del cono sea tangente al elipsoide, las dos soluciones se reduciran auna, lo que ocurre cuando (centrandonos en el metodo trigonometrico) λ = 0,es decir, cuando M = γ. Pero si λ = 0, el numerador del segundo miembro de(5.63) tambien ha de anularse, con lo que tenemos las posibilidades l+m−p =0 y l − m + p = 0.

Hay dos tangencias exteriores del cono con el elipsoide: la que da comienzoal eclipse, primer punto de la superficie de la Tierra desde el que se observacontacto, y la que le da fin, ultimo punto de la superficie que observa contacto.En ambos casos, el eje del cono se encuentra fuera de la Tierra, con lo queha de ser

m = (x2 + y2)1/2 = p + l (5.78)

que es el valor mas alto de las dos condiciones anteriores. Los contactosinteriores ocurren cuando el eje intersecta al elipsoide, con lo que es

m = p − l (5.79)

Tenemos por tanto en el primer y ultimo contacto

(p + l) sen M = x

(p + l) cos M = y (5.80)

Sea T el instante en que estas condiciones se satisfacen. Si T0 es un ins-tante intermedio, pongamos

T = T0 + τ

x = x0 + x′τ

y = y0 + y′τ (5.81)

Llamando

m0 sen M0 = x0

m0 cos M0 = y0

n sen N = x′

n cos N = y′ (5.82)

las condiciones (5.80) se escriben


(p + l) sen M = m0 sen M0 + τn sen N

(p + l) cos M = m0 cos M0 + τn cos N (5.83)

a partir de donde

(p + l) sen(M − N) = m0 sen(M0 − N)

(p + l) cos(M − N) = m0 cos(M0 − N) + nτ (5.84)

y llamando Ψ = M − N :

sen Ψ =m0 sen(M0 − N)

p + l

τ =p + l

ncos Ψ −

m0

ncos(M0 − N)

T = T0 + τ (5.85)

Dado sen Ψ, cos Ψ puede ser positivo o negativo, dando dos valores de τy por ende los dos contactos exteriores.

Para los contacto interiores:

sen Ψ =m0 sen(M0 − N)

p − l

τ =p − l

ncos Ψ −

m0

ncos(M0 − N) (5.86)

Estos dos contactos no pueden ocurrir cuando p − l < m0 sen(M0 − N).Asumiremos que p = 1 en (5.71). Teniendo en cuenta que γ = M , y comoN = M +Ψ, γ = N +Ψ, valor con el que calculamos una nueva aproximacionde p mediante (5.50) y (5.51), que empleamos nuevamente en (5.71)


La condicion, expresada a partir de las ecuaciones fundamentales carte-sianas, es directa. Porque, tomando ρ = 1, el contacto entre el elipsoide y elcono se expresa como que

x2 + y2 = (1 + l)2 (5.87)

5.4. Curva de maximo en el horizonte 65

Si tomamos un instante intermedio T0 en el que las coordenadas tomanvalores (x0, y0) y el radio del cono l0, en los instantes del contacto primeroy ultimo, que tienen lugar en T = T0 + τ (τ podra tener signo positivo onegativo), se cumplira:

x = x0 + x′τ

y = y0 + y′τ

l = l0 + l′τ (5.88)

Las derivadas se pueden calcular por interpolacion lagrangiana 2. Susti-tuyendo estas ultimas en la condicion (5.87) queda planteada una ecuacionde segundo grado en τ de la forma aτ 2 + bτ + c = 0 y coeficientes

a = x′2 + y′2 − l′2

b = 2(x0x′ + y0y

′ − l′(1 + l0))

c = x20 + y2

0 − (1 + l0)2 (5.89)

Los instantes de comienzo y final vienen dadas entonces por T0 ∓ τ . Laprecision puede mejorarse tomando alternativamente un T0 un poco poste-rior al comienzo del eclipse y adoptando como instante de comienzo T0 − τ ,descartando sin embargo T0 + τ como instante final, que se calculara toman-do ahora un T0 proximo al final y adoptando T0 + τ como hora del ultimocontacto.

5.4. Curva de maximo en el horizonte


Buscamos la curva que contiene a los puntos desde los que se observa elmaximo del eclipse con el Sol en el horizonte. Cuando un punto de la Tierrade coordenadas (ξ, η, ζ) no se encuentra en la superficie del cono sino a unadistancia ∆ de su eje, tenemos:


∆ cos Q = y − η (5.90)

2Vease apendice


El grado de oscurecimiento, que definimos como la fraccion del diametrosolar oculta por la Luna, depende de que distancia el lugar de observacionse encuentre inmerso en el cono, es decir, de la distancia ∆ − L, siendo L elradio del cono de sombra en un plano paralelo al principal y que contiene alpunto de observacion. Para el maximo del eclipse se cumplira la condicion

dL

dT−

d∆

dT= 0 (5.91)

De (5.90)

d∆

dTsen Q + ∆ cos Q

dQ

dT= x′ − ξ′

d∆

dTcos Q − ∆ sen Q

dQ

dT= y′ − η′ (5.92)

se sigue

d∆

dT= (x′ − ξ′) sen Q + (y′ − η′) cos Q (5.93)

y de L = l − iζ :

dL

dT= l′ − iζ ′ (5.94)

de forma que la condicion (5.91) no es otra que

(x′ − ξ′) sen Q + (y′ − η′) cos Q − (l′ − iζ ′) = 0 (5.95)

o

P ′ = 0 (5.96)

Recordemos que

P ′ = a′ − b′ cos Q + c′ sen Q − ζ(θ′ cos d sen Q − d′ cos Q) (5.97)

o de forma mas compacta segun (5.34)

P ′ = a′ + e sen(Q − E) − ζf sen(Q − F ) (5.98)

donde e, E, f y F fueron introducidas en (5.33). Como no necesitamosgran precision, puesto que las observaciones del maximo en el horizonte noson especialmente importantes, bastara tomar ζ = 0 y a′ = 0, con lo que lacondicion (5.98) se reduce a


sen(Q − E) = 0 (5.99)

que se cumple si Q = E o si Q = E + 180o, de donde (5.90) queda

±∆ sen E = x − ξ

±∆ cos E = y − η (5.100)

que junto con

ξ2 + η21 = 1 (5.101)

determinan los puntos de la curva requerida. El angulo E es conocidopara cada instante, pero ∆ no. Escribiendo

m sen M = x

m cos M = y

p sen γ = ξ

p cos γ = η (5.102)

tenemos

±∆ sen E = m sen M − p sen γ

±∆ cos E = m cos M − p cos γ (5.103)

de donde

0 = m sen(M − E) − p sen(γ − E)

±∆ = m cos(M − E) − p cos(γ − E) (5.104)

y llamando Ψ = γ − E:

sen Ψ =m sen(M − E)

p

±∆ = m cos(M − E) − p cos Ψ (5.105)

La primera de estas ecuaciones da dos valores de Ψ, ya que podemostomar el coseno como positivo o negativo. Pero como satisfacen el problema


aquellos puntos que se encuentran dentro del cono, ha de ser ∆ < L. Portanto, el valor de Ψ para el cual ∆ > L ha de ser desechado. Por otra parte,p es un numero proximo a 1, y podemos tomar este valor para calcular unaprimera aproximacion de Ψ. Entonces, γ = Ψ+E y mediante (5.66) y (5.67)obtendremos un valor de ρ con el que recalcular Ψ. A partir de este nuevovalor, γ, y de tan γ′ = ρ1 tan γ, γ′. La longitud y latitud de un punto de lacurva buscada para un cierto valor de E la encontramos a partir de (5.16).

El intervalo temporal en que existe solucion a este problema esta incluidoen el intervalo determinado anteriormente al buscar las curvas de contactoen el horizonte.

Por otra parte, el grado de oscurecimiento se expresa como la fracciondel diametro aparente del Sol cubierto por la Luna. Cuando el punto deobservacion se encuentra inmerso en la penumbra hasta llegar al borde mismode la sombra, en cuyo momento se observara eclipse total, la distancia delpunto al borde de la penumbra es igual a la diferencia entre los radios de lapenumbra y de la sombra, que es la suma algebraica LL1, ya que L1, el radiode la sombra en el plano del observador, es negativo. En cualquier otro caso,la distancia del lugar de observacion a la penumbra es L − ∆, con lo que,aproximadamente, el grado de oscurecimiento es

D =L − ∆

L − L1(5.106)

Como puede apreciarse en la Figura 5.1, el grado de oscurecimiento paraun observador situado en Q es

D =AB

AC(5.107)

que es aproximadamente

D =QL

L1L≃

L − ∆

L + L1(5.108)

Esta formula puede usarse si el eclipse es anular, en cuyo caso L1 espositivo. Incluso cuando ∆ = 0, y en consecuencia el eclipse es central, elvalor de D dado por (5.94) es menor que la unidad, como debe ser de acuerdocon el hecho de que el oscurecimiento no es total, ya que puede observarseun delgado anillo alrededor de la Luna. En nuestro caso, ζ = 0 y

D =L − ∆

l + l1(5.109)

siendo l y l1 los radios de penumbra y sombra en el plano principal.


Q LL1

BA S C

M

Figura 5.1 Grado de oscurecimiento


Volviendo una vez mas a las ecuaciones fundamentales, la condicion

d

dT(∆ − L) = 0 (5.110)

se expresa como

(x − ξ)(x′ − ξ′) + (y − η)(y′ − η′) − l(l′ − iζ ′) = 0 (5.111)

donde hemos tomado ζ = 0. La otra condicion es que el punto buscadopertenezca al elipsoide:

ξ2 + η2 = 1 (5.112)

Por otro lado:

ξ′ = −θ′η sen d

η′ = θ′ξ sen d

ζ ′ = d′η − θ′ξ cos d (5.113)


Sustituyendo (5.113) en (5.111) y llamando

a = −θ′ sen d

b = θ′ cos d (5.114)

obtenemos la ecuacion

Aη − Bξ + C = 0 (5.115)

con

A = ax − y′ + lid′

B = x′ + ay + lbi

C = xx′ + yy′ − ll′ (5.116)

de forma que tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

Aη − Bξ + C = 0

ξ2 + η2 = 1 (5.117)

Las soluciones de este sistema son las intersecciones de la recta η(ξ) re-presentada por la primera, que tiene ordenada en el origen p = −C/A ypendiente q = B/A con la circunferencia determinada por la segunda, y son

η = p + qξ

ξ =−pq ±

√

p2q2 − (1 + q2)(p2 − 1)

1 + q2(5.118)

Para discriminar cual de las dos es valida y cual no, vease que (x, y) y(ξ, η) han de estar en el mismo cuadrante. O dicho de otro modo, ha de serxξ > 0 e yη > 0.

5.5. Curvas lımite norte y sur


Buscaremos la curva que contiene aquellos puntos mas al norte o al surdesde los cuales puede observarse el eclipse. Desde uno de esos puntos, los

5.5. Curvas lımite norte y sur 71

discos del Sol y la Luna se tocan en un solo punto. La Luna pasa totalmenteal norte o totalmente al sur del Sol, produciendose una unica tangencia. Estacurva es la envolvente de la familia que contiene a las intersecciones del conocon el elipsoide a medida que progresa el eclipse. La solucion de este problemase deriva de la consideracion de que el contacto simple es a la vez el maximodel eclipse. Entonces P ′ = 0 o

a′ + e sen(Q − E) = ζf sen(Q − F ) (5.119)

En un instante determinado T , hemos de encontrar un punto pertenecien-te a la interseccion del cono con el elipsoide para el cual los valores corres-pondientes de Q y ζ satisfagan (5.119). Esto se hace mediante sucesivasaproximaciones. En primer lugar, es necesario conocer un valor aproxima-do de Q. Para acotar posible valores, despreciamos a′ y F , que son siemprepequenos, y tenemos

e sen(Q − E) = ζf sen Q (5.120)

Los valores extremos para ζ son 0 y 1. Para ζ = 0 tendrıamos que Q = Eo que Q = 180o + E. Para ζ = 1

e sen(Q − E) = f sen Q (5.121)

Poniendo la ecuacion anterior como

e sen(Q −E

2−

E

2) = f sen(Q +

E

2−

E

2) (5.122)

y desarrollando se tiene

tan(Q −E

2) =

e + f

e − ftan

E

2(5.123)

y haciendo

tanΨ =e + f

e − ftan

E

2(5.124)

queda

tan(Q −E

2) = tanΨ (5.125)

que da como lımites Q = E2+Ψ y Q = E

2+Ψ+180o. Por tanto, asumiremos

que Q se encuentra bien en el intervalo [E, E2

+ Ψ] o bien en el intervalo[E + 180o, E

2Ψ + 180o]. Cuando la Tierra intersecta completamente al cono,

existen dos curvas lımite, norte y sur. Para una de ellas se toma Q e el


primer intervalo, y para la otra en el segundo. Para calcular las lıneas lımitetomaremos una serie de instantes y dos series de valores de Q. A cada instantecorresponden dos valores de Q, uno en cada intervalo. Solo existira una curvalımite si para una de las series de valores de Q se obtienen valores imposiblesde ζ en el calculo de la interseccion del cono con el elipsoide. La ecuacionη = y − (l − iζ) cosQ, conocido el signo de cosQ, permite determinar si unaserie pertenece a la curva norte o a la sur ya que para la primera serie devalores de η estos son mayores que para la segunda.

Con todo esto, el esquema de calculo es el siguiente. A partir de unvalor asumido de Q y supuesto que ζ puede sustituirse sin gran error porζ1, de (5.18), tomando ρ1 = 1 encontramos β y de (5.22), aproximadamente,ζ1 = cos β. Entonces (5.120) es

e sen(Q − E) = f cos β sen Q (5.126)

de donde

tan(Q −E

2) =

e + f cos β

e − f cos βtan

E

2(5.127)

que proporciona una nueva aproximacion de Q, la cual puede tomarsecomo definitiva. Conocido Q, (5.18) proporciona γ y β, y (5.22) ζ1; (5.19) ξy η1 y mediante (5.15) y (5.16) queda resuelto el problema.

Otro posible esquema iterativo: El valor asumido para Q proporciona ζy de

x − ξ = (l − iζ) sen Q

y − η = (l − iζ) cos Q (5.128)

encontramos ξ y η, y suponiendo ρ = 1 la condicion

ξ2 + η2 + ζ2 = 1 (5.129)

proporciona un nuevo valor de ζ que en

tan(Q −E

2) =

e + fζ

e − fζtan

E

2(5.130)

da un segundo Q.Para el calculo de una serie de puntos, es necesario conocer los extremos

temporales entre los que el problema tiene solucion. Estos son evidentementelos mismos que determinan los contactos primero y ultimo.

5.5. Curvas lımite norte y sur 73


De nuevo acudimos a las ecuaciones basicas. Pues cada punto de la curvanorte o sur satisface tres condiciones: a) que pertenece al elipsoide, de donde

ξ2 + η2 + ζ2 = ρ2 (5.131)

b) que pertenece al cono de penumbra, puesto que desde cualquier puntode las curvas lımite la Luna pasa tangente al Sol, lo que se traduce en que

∆ = L (5.132)

y c) que en el momento de la tangencia no varıa la fase del eclipse, lo quese traduce en que

d

dT(L − ∆) = 0 (5.133)

Estas tres ecuaciones contienen a las cuatro incognitas (ξ, η, ζ, ρ). Asu-miendo ρ = 1 pueden calcularse las otras tres, y de ellas obtener latitud ylongitud para un instante dado. A partir de las coordenadas es posible en-tonces obtener una mejor aproximacion de ρ con la que repetir el proceso.Usaremos en la tercera condicion los cuadrados de las cantidades L y ∆, deforma que

ξ2 + η2 + ζ2 = ρ2

(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2

(x − ξ)(x′ − ξ′) + (y − η)(y′ − η′) = (l − iζ)(l′ − iζ ′) (5.134)

con

ξ′ = θ′[ζ cos d − η sen d]

η′ = −ζd′ + ξθ′ sen d

ζ ′ = ηd′ − ξθ′ cos d (5.135)

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas, no lineal, dedifıcil solucion. El que esto es ası puede verse por el hecho de que el elipsoidepuede interceptar al cono solo parcialmente, con lo que, en los instantes enque eso sucede, la curva interseccion entre ambas superficies es abierta, y dejade tener sentido el concepto de envolvente. Por ese motivo, es mas practicotrazar las intersecciones del cono con el elipsoide, seleccionar de cada curvalos extremos norte y sur, y trazar las lıneas buscadas de forma que pasen poresos puntos extremos de cada curva interseccion.


5.6. Curva de eclipse central


La curva de eclipse central contiene a todos aquellos puntos desde los quese observa eclipse anular o total, y es la interseccion del eje con el elipsoideterrestre. En esencia, es el mismo problema que el de la interseccion del conocon el elipsoide, con la salvedad de que ahora dicha interseccion se reduce aun solo punto. Esta condicion se expresa como

l − iζ = 0 (5.136)

o bien

x = ξ

y = η (5.137)

lo que supone una notable simplificacion en las ecuaciones. Porque, comolas ecuaciones fundamentales no dependen de paralajes o semidiametros delSol y la Luna, el problema que ahora consideramos es el que tendrıamos sitanto el Sol como la Luna quedasen reducidos a puntos geometricos, o dichode otra forma, como si el angulo del cono fuese nulo. Entonces, (5.40) sereducen a

ξ = x = sen β sen γ

η1 = y1 =y

ρ1

= sen β cos γ (5.138)

con

ζ1 = (1 − ξ2 − η21)

1/2 (5.139)

y (5.15) y (5.16) queda resuelto el problema.Buscaremos a continuacion los instantes extremos entre los que es posible

la solucion. Cuando puede observarse un eclipse central por primera vez desdela superficie de la Tierra, el eje del cono es tangente al elipsoide, luego ζ1 = 0y

ξ2 + η21 = 1 (5.140)

que equivale a

5.6. Curva de eclipse central 75

x2 + y21 = 1 (5.141)

En (5.138) esto significa que sen β = 1 o cosβ = 1, con lo que

x = sen γ

y1 = cos γ (5.142)

Llamando x′ e y′1 a las variaciones horarias de x e y1 y T = T0 + τ al

instante requerido del comienzo o fin del eclipse central, siendo T0 un instanteintermedio arbitrario, tenemos en el instante T

sen γ = x0 + x′τ

cos γ = y01 + y′

1τ (5.143)

siendo x0 e y01 los valores de x e y1 en T0. Si ponemos ahora

m sen M = x0

m cos M = y01

n sen N = x′

n cos N = y1 (5.144)

tenemos

sen γ = m sen M + τn sen N

cos γ = m cos M + τn cos N (5.145)

de donde

sen(γ − N) = m sen(M − N)

cos(γ − N) = m cos(M − N) + nτ (5.146)

Llamando Ψ = γ − N se sigue

sen Ψ = m sen(M − N)

τ =1

ncos Ψ −

m

ncos(M − N)

T = T0 + τ (5.147)


Tomaremos cos Ψ con signo negativo para el comienzo y con signo positivopara el final del eclipse total. Para encontrar la longitud y latitud de lospuntos extremos usaremos

cos ϕ1 sen θ = sen γ

cos ϕ1 cos θ = − cos γ sen d1

sen ϕ1 = cos γ cos d1 (5.148)

junto con

tan ϕ = (1 − e2)−1/2 tan ϕ1

ω = HZ − θ (5.149)

que se deducen de (5.15)-(5.16) y (5.138)-(5.142).


El tratamiento cartesiano es trivial, ya que, siendo ξ = x y η = y solo restaencontrar ζ , y puesto que ha de pertenecer al elipsoide, y mas concretamentea un punto por encima del plano fundamental

ζ = +√

ρ2 − x2 − y2 (5.150)

Tomando en primera aproximacion ρ = 1, de la terna (ξ, η, ζ) obtenemoslongitud y latitud geodesica, y de esta la latitud geocentrica, que nos permitecalcular un mejor valor para ρ, y por tanto un nuevo ζ , que en general yapodra tomarse como definitivo.

Respecto a los extremos del intervalo temporal en que existe solucion,veamos que si T0 es un instante intermedio y los extremos vienen dados porT0 ± τ , con x = x0 ± x′τ e y = y0 ± y′τ , puesto que cuando el eje toca porprimera vez al elipsoide lo hace en un punto de coordenada ζ = 0, es claroque

(x0 ± x′τ)2 + (y0 ± y′τ)2 = 1 (5.151)

de donde se sigue una ecuacion de segundo grado en τ que determina losinstantes de primer y ultimo contacto del eje con el elipsoide.

5.7. Duracion de un eclipse total o anular en un punto de la curva central 77

5.7. Duracion de un eclipse total o anular en

un punto de la curva central


Si T es el instante en que se produce el eclipse central (sera calculadoen el capıtulo siguiente) y t la duracion del mismo, T ′ = T ± t/2 son losinstantes del comienzo y fin. Sean x e y las coordenadas de la Luna en T y(ξ, η) las del punto de observacion. Sean x′, y′, ξ′ y η′ las variaciones horariascorrespondientes. Entonces, en el instante T ′

(l − iζ) senQ = x ±1

2x′t − (ξ ±

1

2ξ′t)

(l − iζ) cosQ = y ±1

2y′t − (η ±

1

2η′t) (5.152)

siendo l el radio del cono de sombra en el plano principal. Pero, muyaproximadamente, en T ′ tenemos x = ξ e y = η, con lo que (5.152) quedacomo

(l − iζ) senQ = ±(x′ − ξ′)t

2

(l − iζ) cosQ = ±(y′ − η′)t

2(5.153)

Con suficiente aproximacion, de (5.30), podemos tomar

ξ′ = θ′ [−y sen d + ζ cos d]

η′ = θ′x sen d (5.154)

y usando (5.32)

x′ − ξ′ = c′ − θ′ζ cos d

y′ − η′ = −b′ (5.155)

Eliminando el doble signo de (5.153), ya que solo nos interesa el valornumerico de t:

tanQ =c′ − θ′ζ cos d

−b′

t =2(l − iζ) sen Q

c′ − θ′ζ cos d(5.156)



Consideremos un instante T0 en que tiene lugar el eclipse total o anularen un punto dado sobre el elipsoide. En instantes T ±τ se produjo el contactoentre el punto de observacion y la superficie del cono de sombra, cuando era

(x − ξ)2 + (y − η)2 = (l − iζ)2 (5.157)

si escribimos

x = x0 ± x′ t

2

y = y0 ± y′ t

2

ξ = ξ0 ± ξ′t

2

η = η0 ± η′ t

2(5.158)

y sustituimos (5.158) en (5.157), teniendo en cuenta que x0 = ξ0 y y0 = η0

y teniendo tambien presentes (5.135), llegamos de nuevo a una ecuacion desegundo grado en t.

5.8. Eclipse central a mediodıa


Es interesante este punto, ya que desde el las observaciones se realizan encondiciones optimas. En este caso sera x = 0, con lo que

y1 = sen β (5.159)

Entonces, de la primera de (5.15)

ξ = x = 0 = cos ϕ1 sen θ (5.160)

es θ = 0, con lo que ω = HZ , y de la condicion η21 + ζ2

1 = 1, la segunda ola tercera proporcionan

ϕ1 = β + d1 (5.161)

que determinan las coordenadas del punto buscado.

5.9. Lımites norte y sur del eclipse total o anular 79


Si acudimos a las ecuaciones basicas y recordamos las Figuras 4.4 y 4.5, esclaro que x = 0 y que θ = HZ −ω = 0. Por ser eclipse central ademas η = y,de manera que ξ = 0, η = y y ζ =

√1 − y2. Conocida la latitud geodesica

podemos calcular la geocentrica, de ahı obtener una mejor aproximacion parael radio y volver a iterar con ζ =

√ρ2 − y2.

5.9. Lımites norte y sur del eclipse total o

anular

Las curvas lımite del eclipse total o anular son muy proximas a la curvadel eclipse central, y pueden deducirse de esta sin recurrir al metodo ex-puesto anteriormente. En realidad, las dos curvas lımite estan tan proximasa la curva del eclipse central que puede tomarse ζ1 = cos β, donde β vienedeterminada por (5.138), en la ecuacion aproximada que determina Q. Lascoordenadas de un punto de la curva central son ξ = x y η1 = y1, y las deun punto de la curva lımite norte o sur son x + dx e y1 + dy1. Entonces, de

(l − iζ1) sen Q = x − ξ

(l − iζ1) cos Q = y − ρ1η1 (5.162)

tenemos

dx = −(l − iζ1) sen Q

dy1 = −(l − iζ1) cos Q (5.163)

habiendo tomado ρ1 = 1. Sean (ϕ1, θ, ω) los valores correspondientes a unpunto de la curva central en un instante determinado, y (ϕ1 + dϕ1, ω + dω)los de la curva lımite. De

cos ϕ1 sen θ = ξ

cos ϕ1 cos θ = −η1 sen d + ζ1 cos d1

sen ϕ1 = η1 cos d1 + ζ1 sen d1 (5.164)

diferenciando y teniendo en cuenta que dθ = −dω:


cos ϕ1 cos θdω + sen ϕ1 sen θdϕ1 = −dx

cos ϕ1 sen θdω − sen ϕ1 cos θdϕ1 = −dy1 sen d1 + dζ1 cos d1

cos ϕ1dϕ1 = dy1 cos d1 + dζ1 sen d1 (5.165)

De las dos primeras

sen ϕ1dϕ1 = dy1 sen d1 cos θ − dx sen θ − dζ1 cos d1 cos θ

dω = −dx cos θ − dy1 sen d1 sen θ + dζ1 cos d1 sen θ (5.166)

Finalmente, poniendo ζ1 = cos β y sustituyendo (5.161)

dω =l − i cos β

cos β[(cos θ sen Q sen d1 + sen θ cos Q) tanϕ1 + sen Q cos d1]

dϕ1 =l − i cos β

cos β(sen θ sen Q sen d1 − cos θ cos Q) (5.167)

En la practica, podemos tomar dϕ ≃ dϕ1. Este metodo no es buenocuando cos β se hace muy pequeno, pero siempre puede acudirse al metodode calculo de las curvas lımite norte y sur.

Capıtulo 6

Prevision de un eclipse solar

para un lugar dado

6.1. Instante de una fase determinada

Una fase determinada del eclipse se produce para un valor determinadode ∆. Llamaremos fase del eclipse precisamente a la cantidad ∆. Debemosencontrar el instante en que un punto de coordenadas (ξ, η, ζ) se encuentra auna distancia ∆ del eje de sombra. Procederemos por aproximaciones sucesi-vas. En primer lugar, buscamos los instantes de comienzo y final del eclipsepara el lugar. En los instantes de comienzo o final del eclipse, la fase es

∆ = l − iζ (6.1)

y debe cumplirse la condicion

∆2 = (l − iζ)2 (6.2)

o


(l − iζ) cosQ = y − η (6.3)

Sea T0 un tiempo estimado a partir de las curvas de interseccion del conocon el elipsoide, y sea T = T0 + τ el instante buscado. Las coordenadas delpunto de observacion en T0 pueden obtenerse de

81

82 6. Prevision de un eclipse solar para un lugar dado


η = ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos θ

ζ = ρ sen ϕ′ sen d + ρ cos ϕ′ cos d cos θ (6.4)

recordando que θ = µ − a, donde µ es el tiempo sidereo del lugar ycumpliendose que µ − a = HZ − ω. Llamando

A sen B = ρ sen ϕ′

A cos B = ρ cos ϕ′ cos θ (6.5)

tenemos


η = A sen(B − d)

ζ = A cos(B − d) (6.6)

En el instante T

x = x0 + x′τ

y = y0 + y′τ

ζ = ζ0 + ζ ′τ

η = η0 + η′τ (6.7)

y sabemos, (5.113), que

ξ′ = θ′[ζ cos d − η sen d]

η′ = −d′ζ + θ′ξ sen d

ζ ′ = d′η − θ′ξ cos d (6.8)

donde sin gran error se puede despreciar la pequena cantidad d′ζ y tomar

ξ′ = θ′ρ cos ϕ′ cos θ

η′ = θ′ξ sen d (6.9)

6.1. Instante de una fase determinada 83

El radio del cono en z = ζ es L = l − iζ cuya variacion puede en primeraaproximacion despreciarse. Entonces, la condicion (6.2) en T es

L sen Q = x0 − ξ0 + (x′ − ξ′)τ

L cos Q = y0 − η0 + (y′ − η′)τ (6.10)

Siguiendo un metodo ya conocido, definamos las cantidades (m, M, n, N)mediante las ecuaciones

m sen M = x0 − ξ0

m cos M = y0 − η0

n sen N = x′ − ξ′

n cos N = y′ − η′ (6.11)

con lo que escribimos (6.10) en la forma

L sen Q = m sen M + τn sen N

L cos Q = m cos M + τn cos N (6.12)

de donde

L sen(Q − N) = m sen(M − N)

L cos(Q − N) = m cos(M − N) + τn (6.13)

y poniendo Ψ = Q − N :

sen Ψ =m sen(M − N)

L

τ =L cos Ψ

n−

m cos(M − N)

n(6.14)

La primera de las cuales se satisface para dos valores de Ψ cuyos cosenostienen signos opuestos. En la segunda, el valor de Ψ tal que su coseno esnegativo determina el instante de comienza del eclipse, y el que hace el cosenopositivo, el final del mismo. Esta primera aproximacion esta dentro de unmargen de error de unos pocos minutos. En segunda aproximacion, el errorpuede reducirse a segundos. Para ello, basta repetir los calculos tomando


como T0 los valores encontrados. Por ejemplo, tomarıamos como T0 el instantede comienzo obtenido en primera aproximacion, repetirıamos los calculos yde los dos valores correspondientes a los dos valores de Ψ descartarıamos elcorrespondiente al final del eclipse. Entonces, la segunda aproximacion parael comienzo es T = T0 + τ . Y de forma analoga para el instante del final. Porotro lado, el tiempo local de inicio o fin sera t = T0 + τ − ω.

Puesto que en el capıtulo anterior ya se realizaron en paralelo los calculossegun el procedimiento trigonometrico y el cartesiano, y este quedo suficien-temente ilustrado, no duplicaremos, a partir de este punto, los calculos, porotro lado bastante directos.

6.2. Puntos de contacto

Para preparar las observaciones del eclipse, es necesario conocer en que pun-to haran contacto por primera vez los limbos del Sol y la Luna, con objetode dirigir hacia el la atencion.

x

y

z

p

q

ar s

Figura 6.1 Contacto de los limbos

En la Figura 6.1 se han representado los ejes del sistema fundamental,la Luna y la interseccion del cono de penumbra con el plano principal. Elpunto p es la proyeccion del punto de observacion, que se encuentra sobre elcono, sobre el plano principal, segun la generatriz del cono que lo contiene.Para este punto, los limbos del Sol y la Luna se encuentran en contacto en ladireccion pq, que forma un angulo b = apq con la direccion del eje y, el cualrecordemos que se dirige al norte. Al punto del limbo del Sol situado mas alnorte corresponde el punto s en la figura, y al punto mas al sur, el punto r. bes el angulo que forman las direcciones pq con rs, y de la figura es claro que

6.3. Instante de maximo oscurecimiento 85

tan b = tanQ =x − ξ

y − η(6.15)

luego

b = Q = N + Ψ (6.16)

6.3. Instante de maximo oscurecimiento

En el instante de maximo oscurecimiento del disco del Sol por la inter-posicion del disco de la Luna, la cantidad L − ∆ es maxima. Pero, en lapractica, podemos despreciar la pequena variacion de L y considerar que eleclipse esta en su maximo cuando ∆ es mınimo. Si denotamos por T1 al ins-tante en que el eclipse es maximo, siendo T0 un instante estimado (p. ej. lasemisuma de los instantes de comienzo y fin) de

∆2 = (x − ξ)2 + (y − η)2 (6.17)

en forma parametrica:


∆ cos Q = y − η (6.18)

En T1, x1 = x0 + x′τ , con expresiones similares para y1, ξ1 y η1. Sustitu-yendo en la forma parametrica de las ecuaciones e introduciendo de la mismaforma que antes

m sen M = x1 − ξ1

m cos M = y1 − η1


n cos N = y′ − η′ (6.19)

Se sigue que

∆ sen(Q − N) = m sen(M − N)

∆ cos(Q − N) = m cos(M − N) + nτ (6.20)

La suma de los cuadrados da


∆2 = m2 sen2(M − N) + (m cos(M − N) + nτ)2 (6.21)

Como m y N estan calculados para T0 y N varıa poco, podemos consi-derar a m2 sen2(M − N) como aproximadamente constante, con lo cual ∆sera mınimo cuando el segundo termino se anule, es decir, cuando

τ = −m cos(M − N)

n(6.22)

Entonces

∆ = ±m sen(M − N) = ±L sen Ψ (6.23)

donde hemos hecho uso de (6.14). Tomaremos el signo que haga positivoa ∆, y el grado de oscurecimiento sera

D =L − ∆

L + L1

(6.24)

siendo L1 el radio, negativo, del eje de sombra.

6.4. Correciones por refraccion atmosferica y

altura sobre el nivel del mar

En relacion con la Figura 6.2, sea GDB una generatriz del cono de sombra.Un observador situado en B verıa un contacto entre ambos limbos, y parael comenzarıa o terminarıa el eclipse. Ahora bien, la tierra esta rodeada deuna atmosfera que produce una refraccion en los rayos luminosos, de maneraque al penetrar en ella, un rayo no sigue la trayectoria recta, sino que securva, alcanzando no el punto B, sino un punto A sobre la superficie terrestredespues de haber seguido una trayectoria curvilınea entre D y A. Es evidenteque el observador en A observa un contacto aparente de los limbos en elmismo instante en que un observador en B observarıa el contacto verdadero.Por tanto, si sustituimos el punto A por el punto B, tendremos en cuentael efecto de la refraccion. Y para ello solo es preciso en nuestras formulasgenerales tomar CB, en lugar de CA como radio de la Tierra. Dado unpunto cualquiera de la trayectoria refractada de un rayo luminoso, se puededemostrar 1 que qν sen i es constante, donde q es la distancia desde el centrode la Tierra a un estrato de espesor diferencial donde incide el rayo con unangulo i, y siendo ν el ındice de refraccion del aire a la distancia q del centro.Entonces

1Vease apendice

6.4. Correciones por refraccion atmosferica y altura sobre el nivel del mar 87

qν sen i = ρν0 sen Z ′ (6.25)

donde el primer miembro se refiere al punto B y el segundo al lugarde observacion A, siendo ρ el radio de la Tierra, ν0 el ındice de refraccionen superficie y Z ′ la distancia cenital aparente de la direccion del rayo. Sillamamos Z a la distancia cenital verdadera V BG, considerando el trianguloCDB:

(ρ + s) sen Z = q sen i (6.26)

donde hemos llamado s al segmento AB. Combinando las dos ultimasecuaciones:

1 +s

ρ=

ν0 sen Z ′

sen Z(6.27)

La sustitucion en nuestros calculos de ρ + s = ρ(1 + s/ρ) en lugar de ρes suficente entonces para dar cuenta de la refraccion. Hemos supuesto queel punto A se encuentra sobre el elipsoide, pero si se encontrase a una alturah, bastarıa sustituir ρ + h en lugar de ρ.

A

B

C

F

G

D

V

Figura 6.2 Efecto de la refraccion

Capıtulo 7

Eclipses de Luna

7.1. Condiciones generales

La geometrıa de los eclipses de Luna es semejante a la de los eclipses deSol. Cuando la Tierra se encuentra entre el Sol y la Luna, el cono de sombrade la Tierra puede interceptar a nuestro satelite, produciendose el eclipse,que, a diferencia de los eclipses solares, podra observarse desde cualquierpunto de la superficie de la Tierra desde el cual la Luna aparezca sobre elhorizonte. Naturalmente, el fenomeno solo puede suceder cuando la Tierrase interpone exactamente entre el Sol y la Luna, es decir, cuando esta seencuentra llena. Expresado con mayor precision: cuando el Sol y la Luna seencuentran en oposicion. Esta que es condicion necesaria no es sin embargosuficiente. Porque si el plano de la orbita lunar coincidiese con el plano de laeclıptica, se producirıa sin duda un eclipse cada vez que hubiese Luna llena.Pero como el plano de la orbita lunar se encuentra inclinado respecto al dela eclıptica unos 5 grados, sera preciso, ademas, que cuando Sol y Luna seencuentren en oposicion esta a su vez se halle cerca de uno de sus nodos.

En relacion con la Figura 7.1, la lınea punteada representa la orbita dela Luna, S es el centro del Sol, T el de la Tierra. V es el vertice del conode sombra de la Tierra. MN el radio del cono de sombra a la distancia dela orbita lunar. Llamaremos q al angulo NTV y v al angulo XV T . XNTes precisamente q + v, pero tambien es el angulo subtendido por el radioterrestre a la distancia de la Luna, es decir, el paralaje lunar p. Por tanto

p = q + v (7.1)

Por otro lado, XAT es el angulo subtendido por el radio terrestre a ladistancia del Sol, es decir, el paralaje del Sol; ATS es el semidiametro delSol. Se sigue que

89

90 7. Eclipses de Luna

S T

N

L

A

X

V

Figura 7.1 Geometrıa del eclipse de Luna

S − v = P (7.2)

y combinando ambas

q = P + p − S (7.3)

Razonando se forma similar sobre el cono de penumbra se ve que es

q′ = P + p + S (7.4)

Las observaciones demuestran sin embargo que el semidiametro de lasombra es un dos por ciento mayor debido al efecto de la refraccion de laluz en la atmosfera terrestre. Lambert dio para este incremento un valor de1/40, y Mayer de 1/60. El valor adoptado de 1/50 fue encontrado por Beery Madler a partir de una serie de observaciones del eclipse especialmentefavorable que se produjo en diciembre de 1833. Ası que tomaremos:

q =51

50(P + p − S)

q′ =51

50(P + p + S) (7.5)

La Figura 7.2 representa los planos de la eclıptica y de la orbita lunar. LaLuna esta representada en el punto L; N es el nodo de la orbita de la Luna.S es el punto antisolar, o punto diametralmente opuesto a la posicion del Solen un sistema de referencia geocentrico (en este caso, eclıptico geocentrico).SA es el radio del cono de sombra o penumbra ya calculado anteriormente.Llamaremos η a la distancia SA.

7.1. Condiciones generales 91

N

L

A

P

S

Figura 7.2 Condicion para el eclipse de Luna

Entonces, habra eclipse penumbral cuando η sea menor que la suma delsemidiametro de la Luna mas el radio del cono de penumbra, es decir, cuando

η < q′ + s =51

50(P + p + S) + s (7.6)

y eclipse parcial si

η < q + s =51

50(P + p − S) + s (7.7)

Al igual que se hizo para eclipses solares, se puede expresar la condicionde que se produzca un eclipse en terminos de la latitud de la Luna. Siendola geometrıa completamente similar, para los eclipses parciales

β <=[

51

50(P + p − S) + s

]

sec i′ (7.8)

y para los eclipses totales:

β <=[

51

50(P + p − S) − s

]

sec i′ (7.9)

donde i′ fue definida en la seccion 3.2. En aquella misma seccion dabamoslos valores extremos para los semidiametros y paralajes. Usando esos mismosvalores extremos encontramos ahora que un eclipse parcial no se puede pro-ducir si la latitud de la Luna es superior al valor maximo βmax = 102′35′′33;


se producira sin embargo si es inferior al valor mınimo βmin = 005′32′′40.Cuando sea βmin < β < βmax recurriremos a (7.8) y (7.9).

7.2. Instante en que se produce una fase dada

del eclipse

La solucion a este problema puede encontrarse a partir de las formulasgenerales discutidas antes para los eclipses de Sol sin mas que intercambiara la Luna por la Tierra y considerando al eclipse lunar como un eclipse solarvisto desde la Luna. Expondremos sin embargo un metodo mas simple ydirecto.

P

QS L

Figura 7.3 Prediccion de un eclipse lunar

El eclipse penumbral o parcial comienza o termina cuando la Luna estangente respectivamente al cono de penumbra o de sombra. El radio delcono de penumbra o sombra a la distancia de la Luna ya ha sido calculadoanteriormente. Tenemos, para cada cono, cuatro contactos: dos internos y dosexternos. Los contactos primero y ultimo del cono de penumbra con la Lunaocurren cuando la distancia entre el centro de la Luna y el punto antisolar es

η =51

50(P + p + S) + s (7.10)

mientras que para los contactos interiores con el cono de penumbra secumple que

7.2. Instante en que se produce una fase dada del eclipse 93

η =51

50(P + p + S) − s (7.11)

Para los contactos exteriores con el cono de sombra:

η =51

50(P + p − S) + s (7.12)

y finalmente, para los contactos interiores con el cono de sombra

η =51

50(P + p − S) − s (7.13)

Pues bien, consideremos cualquiera de las tangencias. Si en ese momentolas coordenadas de la Luna son (αL, δL) y las coordenadas del punto antisolarson (α0, δ0), en el triangulo esferico definido por estos dos puntos y el polonorte ecuatorial, habiendo llamado η a la distancia entre los centros de laLuna y el punto antisolar y llamando ahora Q al angulo en el vertice ocupadopor dicho punto, de las relaciones del seno y del seno por el coseno, se sigue:

sen η sen Q = cos δL sen(αL − α0)

sen η cos Q = cos δ sen δL − cos δL sen δ cos(αL − α0) (7.14)

que se pueden escribir, con precision suficiente, como

η sen Q = (αL − α0) cos δL

η cos Q = δL − δ0 (7.15)

Llamemos ahora

x = (αL − α0) cos δL

y = δL − δ0 (7.16)

Estas cantidades pueden calcular durante un intervalo que incluya el ins-tante de la oposicion entre el Sol y la Luna, y calcularse (p. ej. usandointerpolacion lagrangiana) sus variaciones x′ e y′. Sea T0 un instante de tiem-po cercano a la oposicion, y T el instante en que se produce alguna de lastangencias. Entonces

η sen Q = x0 + x′τ

η cos Q = y0 + y′τ (7.17)


Llamemos ahora

x0 = m sen M

y0 = m cos M

x′ = n sen N

y′ = n cos N (7.18)

con lo cual

η sen Q = m sen M + τn sen N

η cos Q = m cos M + τn cos N (7.19)

de donde se sigue que

η sen(Q − N) = m sen(M − N)

η cos(Q − N) = m sen(M − N) + τn (7.20)

Haciendo Ψ = Q − N tenemos finalmente


η

τ =1

n[η cos Ψ − m cos(M − N)] (7.21)

El instante de la tangencia es entonces T = T0 + τ , donde el valor ne-gativo de cos Ψ se toma para el primer contacto y el valor positivo para elsegundo. Que tangencia sea dependera del valor de η segun viene dado porlas ecuaciones (7.10)-(7.13).

Al mismo resultado se llega a partir de las ecuaciones (7.19) ya que,elevando al cuadrado ambas y sumando se obtiene una ecuacion de segundogrado:

η2 = m2 sen2(M − N) + [m cos(M − N) + nτ ]2 (7.22)

τ = −m

ncos(M − N) ±

[

η2 − m2 sen2(M − N)

n2

]1/2

(7.23)

y como η sen Ψ = m sen(M − N)

7.2. Instante en que se produce una fase dada del eclipse 95

τ = −m

ncos(M − N) ±

η

ncos Ψ (7.24)

Los signos ± determinan el ultimo y el primer contacto, de forma que eleclipse es maximo cuando T = T0 + τ ′ con

τ ′ = −m

ncos(M − N) (7.25)

Esto mismo se comprueba a partir de (7.22), ya que al constar de dosterminos positivos, η2 es mınima cuando el termino entre corchetes se anula,lo que da para τ el valor de (7.25), y para η el de ∆ = ±m sen(M − N),donde se tomara el signo que haga a ∆ positiva.

Se define la magnitud del eclipse como la razon

D =η − ∆

2s(7.26)

donde se tomara para η el valor medio de los dos que determinan el primery ultimo contacto con el cono de sombra.

Queda por determinar en que punto del limbo lunar comenzara a apre-ciarse el oscurecimiento. Volviendo a la Figura 7.3, y ya que el angulo enP es pequeno, Q es aproximadamente igual al suplemento del angulo en elvertice L, y como los angulos de posicion se miden en sentido N-E-S-W, esclaro que el punto de contacto tiene angulo de posicion θ = 1800 + Q.

Capıtulo 8

Ocultacion de estrellas por la

Luna

8.1. Introduccion

La Luna tiene un periodo orbital sidereo de aproximadamente 27 dıas yun tercio, por lo que en este tiempo habra completado una revolucion sobrela esfera celeste, moviendose hacia el Este en relacion a las estrellas fijas auna velocidad de algo mas de medio grado por hora. En su recorrido porel cielo, se produce frecuentemente la interposicion del disco lunar entre elobservador y una estrella. A la subita desaparicion y posterior reaparicion deuna estrella tras el disco lunar se le llama ocultacion, y a los momentos enque la estrella desaparece y reparece, respectivamente inmersion y emersion.

Los instantes de inmersion y emersion dependen de las posiciones de laLuna, de la estrella y del observador. Es por eso que, antes del desarrollode metodos mas modernos, la observacion de ocultaciones se usaba paradeterminar la longitud del observador. Si se conoce la posicion de la Luna,pueden calcularse las circunstancias de la ocultacion para un observador yuna estrella dada, y estas circunstancias dependen de la longitud del primero.

La posicion de la Luna se calcula de acuerdo con una teorıa muy ela-borada de su movimiento, pero se encuentra, en parte como resultado de laobservacion de ocultaciones, que la longitud media de la Luna deducida delas observaciones difiere de la longitud teorica en algunos segundos de arco.Esta discrepancia se atribuye cambios en el periodo de rotacion de la Tierra,y de ahı la importancia de la observacion de ocultaciones.

La ocultacion de una estrella fija por la Luna puede tratarse como uneclipse solar, en el cual el Sol ha sido trasladado a una distancia tal que susemidiametro y paralaje se han hecho nulos. El cono de sombra se transforma

97

98 8. Ocultacion de estrellas por la Luna

entonces en un cilindro cuyo radio, en unidades del radio terrestre, es unaconstante k = 0,2725. El que llamamos en su momento punto Z coincide conla posicion de la estrella. De ahı que las coordenadas de la Luna en el sistemade referencia fundamental vengan dadas por

x = r[cos δL sen(αL − a)]

y = r[sen δL cos d − cos δL sen d cos(αL − a)]

z = r[sen δL sen d + cos δL cos d cos(αL − a)] (8.1)

que son las mismas ecuaciones (4.23) con la sola salvedad de que ahora(a, d) no son las coordenadas de Z sino las de la estrella. Esto vale tam-bien para las coordenadas del punto de observacion dadas por (4.32), quereproducimos por conveniencia:


η = ρ[sen ϕ′ cos d − cos ϕ′ sen d cos(µ − a)]

ζ = ρ[sen ϕ′ sen d + cos ϕ′ cos d cos(µ − a)] (8.2)

8.2. Prediccion de una ocultacion para un lu-

gar dado

Supongamos que ya conocemos que va a producirse una ocultacion. Cal-cularemos los instantes aproximados de inmersion y emersion, con objeto depreparar la observacion. Para proceder con rigor, debemos emplear el metodopor el que calculamos los instantes de comienzo y fin de un eclipse solar enun lugar dado. Llamaremos T0 al instante en que se produce la conjuncion enascension recta de la Luna con la estrella. En el instante T en que se producela inmersion o emersion se cumplira

k sen Q = x − ξ

k cos Q = y − η (8.3)

siendo T = T0 +τ . Las coordenadas de la Luna y del lugar de observacionvienen dadas por (8.1) y (8.2), siendo θ = µ − a el angulo horario de laestrella. En T

k sen Q = x − ξ + (x′ − ξ′)τ

k cos Q = y − η + (y′ − η′)τ (8.4)

8.2. Prediccion de una ocultacion para un lugar dado 99

Como en otras ocasiones, llamamos

m sen M = x − ξ

m cos M = y − η


n cos N = y′ − η′ (8.5)

de donde

k sen Q = m sen M + τn sen N

k cos Q = m cos M + τn cos N (8.6)

y


k(8.7)

τ =k cos Ψ

n−

m cos(M − N)

n(8.8)

con Ψ = Q − N .De (8.1), con suficiente aproximacion, en las cercanıas de la conjuncion

puede escribirse, teniendo en cuenta la relacion entre el paralaje p y la dis-tancia geocentrica de la Luna 1 ,

y =δL − d

p

x =15(αL − a) cos δL

p(8.9)

En el mismo instante de la conjuncion, x = 0. Por su parte, x′ e y′ puedenobtenerse por interpolacion (p. ej. derivando el polinomio interpolador deLagrange). Por otro lado, de (8.2),

ξ′ = ρθ′ cos ϕ′ cos θ

η′ = ρθ′ cos ϕ′ sen d sen θ (8.10)

1En su momento, denominamos con d a la distancia geocentrica de la Luna. En el actualcontexto, d es la declinacion de la estrella


donde θ = µ− a = µ1 − ω − a, siendo µ1 el tiempo sidereo en Greenwichy ω la latitud oeste del lugar de observacion. Finalmente, como el tiemposidereo se incrementa en 2π en 23h 56m de tiempo medio, es

θ′ =2π

23,93= 0,2625 (8.11)

Se pondra especial cuidado en la determinacion del instante de emersion,y por supuesto del punto sobre el limbo de la Luna en que tendra lugar.Recordando que en un eclipse de Sol el punto de contacto con el limbo fuecalculado y resulto ser Ψ + N , el contacto en el limbo de la Luna diferira deeste, como es facil ver, en π, luego valdra Ψ+N +1800. La distancia mınimaentre el centro de la Luna y la estrella sera

∆ = ±m sen(M − N) (8.12)

donde se tomara el signo que haga positivo a ∆. Como ultima observacion,si resulta m sen(M − N) > k sera sen Ψ > 1. Interpretaremos entonces quela ocultacion es imposible.

8.3. Paralelos lımite de la ocultacion

Hemos desarrollado para el caso de eclipses solares el calculo de las curvaslımite norte y sur que delimitan los puntos de la superficie terrestre desdelos cuales es posible observar el eclipse. Aquı nos limitaremos al problemamas simple de determinar las latitudes extremas en que una ocultacion pue-de observarse. Notese que el hecho de que un punto se encuentre entre estosextremos no garantiza que pueda observarse la ocultacion, ya que las cur-vas lımite no coinciden con los paralelos geograficos, sino que cortan a losmeridianos con angulos variables.

Digamos sin embargo que desde un punto situado sobre una curva lımtie,norte o sur, la estrella pasara tangente al limbo lunar. Pero comoquiera quela superficie de la Luna es irregular, el limbo no es exactamente circular, y enuna tangencia pueden observarse varias inmersiones y emersiones, fenomenode gran interes para el estudio de la topografıa lunar.

El paralelo lımite (norte o sur) toca en un punto a la curva lımite (nor-te o sur). En ese punto, la distancia del observador al eje del cilindro esexactamente el radio de la Luna, k, luego la condicion (8.12) se reduce a

k = ±m sen(M − N) (8.13)

y como

8.3. Paralelos lımite de la ocultacion 101

x − ξ = m sen M

y − η = m cos M (8.14)

entonces

(x − ξ) cosN − (y − η) senN = ±k (8.15)

viniendo el angulo N determinado por

x′ − ξ′ = n sen N

y′ − η′ = n cos N (8.16)

siendo suficiente para un calculo aproximado tomar

x′ = n sen N

y′ = n cos N (8.17)

En el instante de la conjuncion (x = 0)

−ξ cos N − (y − η) sen N = ±k (8.18)

Si despreciamos el achatamiento terrestre

sen ϕ = η cos d + ζ sen d (8.19)

donde

ζ =√

1 − ξ2 − η2 (8.20)

El problema queda entonces planteado en los siguientes terminos: encon-trar los valores extremos de ϕ que satisfacen (8.19) con las restricciones (8.18)y (8.20). Sean

a = −ξ cos N + η sen N

b = ξ sen N + η cos N

(8.21)

de donde se sigue


−ξ = a cos N − b sen N

η = a sen N + b cos N

ζ =√

1 − a2 − b2 (8.22)

La condicion (8.18) se reescribe como

a = y sen N ± k (8.23)

que es una cantidad constante, ya que suponemos que x′ e y′ son cons-tantes. Como

a2 + b2 + ζ2 = 1 (8.24)

podemos introducir las variables γ y ǫ de forma que

cos γ = a

sen γ cos ǫ = b

sen γ sen ǫ = ζ (8.25)

donde sen γ queda restringido a valores positivos. Con todo esto:

sen ϕ = cos γ sen N cos d + sen γ cos ǫ cos N cos d + sen γ sen ǫ sen d (8.26)

Un nuevo cambio de variables definido por

sen β = sen N cos d

cos β cos λ = cos N cos d

cos β sen λ = sen d (8.27)

(restringiendo cosβ a valores positivos) conduce a

sen ϕ = sen β cos γ + cos β sen γ cos(λ − ǫ) (8.28)

donde las unicas variables son ϕ y ǫ. Como cos β sen γ es positivo, sen ϕes maximo cuando cos(λ − ǫ) = 1, o bien λ − ǫ = 0, y mınimo cuandocos(λ − ǫ) = −1, o λ − ǫ = 1800. Entonces, tenemos los lımites

sen ϕ = sen β cos γ ± cos β sen γ = sen(β ± γ) (8.29)

8.4. Correciones en la longitud de la Luna 103

es decir, ϕ = β + γ para el lımite norte y ϕ = β − γ para el lımitesur. Como hemos de limitarnos a valores de ζ > 0, sera tambien sen ǫ > 0.Para el lımite norte, con λ = ǫ, sen λ ha de ser positivo, y de acuerdo concos β sen λ = sen d, solo ocurrira si d > 0. Segun todo esto, la formula que dael lımite norte es valida solo cuando la declinacion de la estrella es norte. Parael lımite sur, λ = ǫ + 1800 y sen λ ha de ser negativo, lo cual solo ocurrira sid < 0. Es decir, la formula que da el lımite sur es valida solo si la declinacionde la estrella es sur. El segundo lımite de visibilidad en cada caso sera unode los puntos en que ζ = 0 y en consecuencia tambien sen ǫ = 0, cos ǫ = ±1,con lo cual

sen ϕ = (sen N cos γ ± cos N sen γ) cos d (8.30)

Si nos restringimos a valores de cos N positivos, el signo positivo de laecuacion anterior da el lımite norte, que sera usado cuando ϕ = β − γ hayaproporcionado el lımite sur. El signo negativo da el lımite sur para el caso enque ϕ = β + γ haya dado el lımite norte.

8.4. Correciones en la longitud de la Luna

En relacion con la Figura 8.1, sea X la posicion de la estrella, y M laposicion calculada de la Luna, segun sus efemerides, cuando se produce elcontacto. P es el polo celeste y N el nodo de la orbita lunar. La distanciaangular observada entre el centro de la Luna y la estrella ha de ser igual alsemidiametro s de la Luna, por lo que el centro de la Luna se encontrara enalgun punto de la circunferencia de radio el semidiametro lunar centrado enla estrella, circunferencia que en la figura se representa en lınea discontinua.El angulo de posicion PMX viene dado por

tan θ =x − ξ

y − η(8.31)

Si llamamos h a la distancia Tierra-Luna, y s′ a la distancia angula XM ,

hs′ = (x − ξ) cosec θ = (y − η) sec θ (8.32)

8.5. Ocultacion de estrellas fijas por planetas

Las estrellas debiles desaparecen de la vision antes de ser realmente ocul-tadas por el limbo iluminado del planeta, mientras que las ocultaciones de


P

MN

X

VR

Figura 8.1 Coreccion de las coordenadas de la Luna

estrellas brillantes son fenomeno bastante raro. Sin embargo, las observacio-nes de una de tales ocultaciones llevadas a cabo desde distintos puntos dela Tierra tienen un gran valor para determinar la correccion al paralaje delplaneta. Si este ademas se encuentra cerca de uno de sus puntos estaciona-rios, el intervalo de tiempo entre inmersion y emersion puede ser grande y lacorreccion puede entonces hacerse con mayor exactitud.

Capıtulo 9

Ocultacion de planetas por la

Luna

Si el disco de un planeta fuese perfectamente circular y se encontrasecompletamente iluminado, su ocultacion por la Luna podrıa tratarse como sifuese un eclipse solar con solo sustituir el paralaje y semidiametro del Sol porlos valores correspondientes al planeta. Pero la precision de las observacioneses tanta como para que sea necesario tener en cuenta la forma verdaderadel planeta. En cualquier caso, encontrar la forma aparente del disco de unplaneta iluminado por el Sol es un problema con el suficiente interes intrınsecocomo para considerarlo con detenimiento. La teorıa que a continuacion seexpone es debida fundamentalmente a Bessel, tal y como es recogida porChauvenet, a quien seguimos en este capıtulo estrechamente.

Consideraremos a los planetas como elipsoides de revolucion que pre-sentan un perfil elıptico cuando se encuentran completamente iluminados.Cuando solo estan iluminados parcialmente, caso evidente en los planetasinternos, el perfil esta formado por dos elipses: una que delimita la superficiedel planeta por el lado iluminado y otra que separa la parte iluminada de laparte oscura.

9.1. Perfil del disco del planeta

En relacion con la Figura 9.1, la elipse representa el disco del planeta.Tomaremos un sistema de referencia cuyo plano fundamental es el planoecuatorial del planeta, considerado como un elipsoide de revolucion. El polodel planeta es Q, y el polo celeste es P . C es un punto de la superficie delplaneta, y M la posicion de un observador sobre la superficie de la Tierra. Ladistancia MO = ρ y la distancia MC = ρ′. Al angulo POQ le llamaremos p

105

106 9. Ocultacion de planetas por la Luna

y al angulo POC, p′; llamaremos s′ al arco OC.

Las longitudes geocentricas del centro del planeta y del punto C son λ yλ′, y las latitudes de los mismos puntos β y β ′.

P

O

Q

C

M

Figura 9.1 Perfil del disco del planeta

Desde el punto de vista del observador, situado en (ξ, η, ζ) , las coorde-nadas del centro del planeta son

ρ cos β cos λ

ρ cos β sen λ

ρ sen β (9.1)

mientras que en el sistema planetocentrico

−ξ = ρ cos β cos λ

−η = ρ cos β sen λ

−ζ = ρ sen β (9.2)

ademas

9.1. Perfil del disco del planeta 107

x − ξ = ρ′ cos β ′ cos λ′

y − η = ρ′ cos β ′ sen λ′

z − ζ = ρ′ sen β ′ (9.3)

Por otro lado, en el triangulo QOC, de las relaciones del seno y del senopor el coseno:

sen s′ sen(p′ − p) = cos β ′ sen(λ′ − λ)

sen s′ cos(p′ − p) = sen β ′ cos β − cos β ′ sen β cos(λ′ − λ) (9.4)

Multiplicando por ρ′ y teniendo en cuenta (9.2) y (9.3)

ρ′ sen s′ sen(p′ − p) = −x sen λ + y cos λ

ρ′ sen s′ cos(p′ − p) = −x sen β cos λ − y sen β sen λ + z cos β (9.5)

que se puede escribir, con aproximacion suficiente, como

ρs′ sen(p′ − p) = −x sen λ + y cos λ

ρs′ cos(p′ − p) = −x sen β cos λ − y sen β sen λ + z cos β (9.6)

Estas ecuaciones son validas para cualquier punto sobre la superficie delplaneta. Si las aplicamos a aquellos puntos en que la lınea de vision es tangen-te al elipsoide, obtendremos la ecuacion del contorno aparente del planeta.La ecuacion del elipsoide de revolucion es

x2

a2+

y2

a2+

z2

b2= 1 (9.7)

La tangencia se expresa por el hecho de que el vector que va de (ξ, η, ζ)a (x, y, z) es perpendicular al gradiente a la superficie en el punto (x, y, z).Esto da

xξ

a2+

yη

a2+

zζ

b2= 1 (9.8)

Es claro que ξ >> x, e igualmente para las otras dos coordenadas. Divi-diendo por ρ y despreciando el termino 1/ρ se llega entonces a

x cos β cos λ

a2+

y cos β sen λ

a2+

z sen β

b2= 0 (9.9)


Si las coordenadas de un punto de la curva que determina el perfil son

u = s′ sen(p′ − p)

v = s′ cos(p′ − p) (9.10)

Combinando (9.10) con (9.6)

ρu = −x sen λ + y cos λ

ρv = −x sen β cos λ − y sen β sen λ + z cos β (9.11)

y de (9.9), poniendo b2 = a2(1 − e2)

(x cos λ + y sen λ)(1 − e2) cos β + z sen β = 0 (9.12)

Ahora, de (9.11) y (9.12),

−x sen λ + y cos λ = ρu

−x cos λ − y sen λ = ρvsen β

1 − e2 cos2 β

z = ρv(1 − e2) cos β

1 − e2 cos2 β(9.13)

Es una mera cuestion algebraica obtener x, y y z de estas ecuaciones ysustituir en la ecuacion del elipsoide. Si llamamos s = a/ρ (semidiametroaparente maximo del planeta) y c =

√1 − e2 cos2 β, encontramos finalmente

s2 = u2 +v2

c2(9.14)

que es la ecuacion del perfil del planeta proyectado sobre la esfera celeste.La cuestion ahora es que porcion de esta elipse esta iluminada y es visibledesde la Tierra. Para responderla, veamos que los razonamientos anterioresquedan invariables si en lugar de tomar como punto de observacion uno sobrela Tierra lo tomamos en el mismo Sol (al que podemos considerar como unpunto geometrico). Entonces, si Λ y B son la longitud y latitud del Sol en elsistema cuyo plano principal es el ecuador del planeta, los puntos del contornode este segun se ve desde el Sol cumplen

x cos B cos Λ

a2+

y cos B sen Λ

a2+

z sen B

b2= 0 (9.15)


que es la ecuacion equivalente a (9.9). A su vez, si cada uno de estospuntos es proyectado sobre la esfera celeste segun son vistos por el observadorterrestre, tienen que satisfacer las ecuaciones

ρu = −x sen λ + y cos λ

ρv = −(x cos λ + y sen λ) sen β + z cos β (9.16)

Los valores de (x, y, z) determinados por (9.15) y (9.16), sustituidos enla ecuacion del elipsoide, proporcionan la relacion entre u y v, es decir, laecuacion de la curva que separa la zona iluminada del planeta de la zonaoscura, segun se ve desde la Tierra.

Una vez establecido el procedimiento, vayamos a los calculos. Pongamos:

x1 = −x sen λ + y cos λ

y1 = x cos λ + y sen λ (9.17)

Introducimos tambien las cantidades auxiliares β1 y B1, que se relacionancon β y B a traves de

cos β1 = g cos β

sen β1 = ga

bsen β

cos B1 = G cos B

sen B1 = Ga

bsen B (9.18)

Se sigue

0 = x1 cos B1 sen(Λ − λ) + y1 cos B1 cos(Λ − λ)

+a

bz sen B1

ρu = x1a

bgρv = −y1 sen β1 +

a

bz cos β1 (9.19)

A partir de las cuales:

x1 = ρu

Ny1 = −ρu cos β1 cos B1 sen(Λ − λ) −a

bgρv sen B1

Na

bz = −ρu sen β1 cos B1 sen(Λ − λ)

+a

bgρv cos B1 cos(Λ − λ) (9.20)


donde por brevedad hemos puesto N = sen β1 sen B1+cos β1 cos B1 cos(Λ−λ). Respecto a las relaciones que hemos establecido entre β1 y β, el signi-ficado de las mismas es el siguiente (y la explicacion es analoga para B1 yB).

O

A

B D

NM

C

g

Figura 9.2

Si trazamos una lınea desde el centro del planeta hasta el observador,esta lınea corta al elipsoide en un punto de latitud β, que se indica por elpunto D de la Figura 9.2. Si el elipsoide se circunscribe con una esfera y elpunto D es proyectado sobre la misma mediante una perpendicular al planofundamental, se obtiene el punto C, de latitud β1. Si el radio del elipsoide gse da en unidades del semieje mayor, el segmento OM es por un lado cosβ1

y por otro lado g cos β. Por otro lado, el segmento MD = g sen β esta conel segmento MC en la misma relacion que estan b y a, ya que dos puntosA y C sobre la circunferencia exterior se transforman en los puntos B y Dcuando esta circunferencia es girada un angulo dado alrededor del eje ON ,de tal forma que la circunferencia NCA se transforma en la elipse NDB.

Sean los dos puntos que resultan de las intersecciones de las rectas queunen el centro del planeta con el observador y con el centro del Sol. Estaslıneas cortan en dos puntos al elipsoide y se proyectan en otros dos por lıneasperpendiculares al ecuador del planeta sobre la esfera que lo circunscribe.Sea Q el polo del planeta, O la proyeccion sobre la esfera de la interseccionde la lınea que une el centro del planeta con el observador terrestre y Q elpunto analogo para la otra lınea, que une el centro del planeta con el centrodel Sol. En el triangulo esferico QOS, el angulo en Q es Λ−λ, y los lados deese angulo son 90◦ − β1 y 90◦ − B1; al lado OS le llamaremos V y al angulo


en O, ω. Entonces, de las relaciones del seno, coseno y seno por coseno:

sen V sen ω = cos B1 sen(Λ − λ)

sen B1 = sen β1 cos V − cos β1 sen V cos ω

cos B1 cos(Λ − λ) = cos V cos β1 − sen V sen β1 cos ω (9.21)

y por rotacion, tambien

cos B1 sen(Λ − λ) = sen V sen ω

cos V = sen B1 sen β1 + cos B1 cos β1 cos(Λ − λ)

sen V cos ω = sen B1 cos β1 − cos B1 sen β1 cos(Λ − λ) (9.22)

De aquı

x1 cos V = ρu cos V

y1 cos V = −ρu sen V sen ω cos β1

−a

bgρv(cosV sen β1 + sen V cos β1 cos ω)

za

bcos V = −ρu sen V sen ω sen β1

+a

bgρv(cosV cos β1 − sen V sen β1 cos ω) (9.23)

Sustituyendo en la ecuacion del elipsoide, teniendo en cuenta que x2 +y2 = x2

1 + y21, llamando c =

√1 − e2 cos2 β = b/(ag) y s = a/ρ, tras una

manipulacion algo engorrosa se llega a

s2 = (u cosω −v

csen ω)2 + (u sen ω +

v

ccos ω)2 sec2 V (9.24)

que es la ecuacion de la curva de iluminacion segun se ve desde la Tierra.Esta es la ecuacion de una elipse centrada y girada un angulo V . De hecho,cuando V = 0 tenemos la ecuacion (9.14), a la que llamaremos ”primera elip-se”, mientras que a esta que acabamos de encontrar la llamaremos ”segundaelipse”.

Ambas estan representadas en la Figura 9.3. El perfil del planeta esta com-puesto por la mitad de una elipse y la mitad de otra, y ambas curvas hacencontacto en los puntos C y C ′, que son los puntos de tangencia de las doselipses. Estos puntos, por tanto, satisfacen las ecuaciones de la primera y dela segunda elipse. Combinando ambas, si llamamos u1 y v1 a los valores deu y v que las satisfacen:


D

D’

A’ A

B’

B

C’

C

Figura 9.3 Elipses primera y segunda

(

u1 sen ω +v1

ccos ω

)2

tan2 V = 0 (9.25)

que se cumple en general si

u1 sen ω +v1

ccos ω = 0 (9.26)

Si llamamos P1 al angulo de posicion de (u1, v1), teniendo en cuenta que

u1 = s1 sen(P1 − p)

v1 = s1 cos(P1 − p) (9.27)

Sustituyendo en (9.26)

s1 sen(P1 − p) sen ω +s1

ccos ω cos(P1 − p) = 0 (9.28)

Si ahora introducimos c1 y ω1 mediante las ecuaciones

sen ω = c1 sen ω1

1

ccos ω = c1 cos ω1 (9.29)

tenemos

c1s1 cos(P1 − p − ω1) = 0 (9.30)

de donde

P1 = p + ω ± 90◦ (9.31)


Se sigue que un punto de angulo de posicion p′ se encuentra en el limboeste si

p + ω1 + 90◦ > p′ > p + ω1 − 90◦ (9.32)

y en el limbo oeste si

p + ω1 − 90◦ > p′ > p + ω1 + 90◦ (9.33)

Por otro lado, si el planeta se encuentra en ”creciente”, existen dos pun-tos con el mismo angulo de posicion, por lo que sera preciso especificar aque limbo pertenece dicho punto.

Para aplicar la teorıa expuesta, es preciso conocer las cantidades p, β, λ, By Λ. Al definir el sistema de referencia centrado en el planeta, no se espe-cifico la direccion del eje x, que ahora tomaremos en la direccion del nodoascendente del ecuador del planeta respecto al ecuador terrestre, punto n enla Figura 9.4.

Ecuador del planeta

nγ

PQ

E

Ecuador terrestre

Figura 9.4 Relacion entre coordenadas

Conocidas la longitud del nodo ascendente n y la inclinacion i del ecuadordel planeta respecto al ecuador terrestre, podemos encontrar λ y β a partirde la ascension recta y declinacion del planeta (α, δ). De la misma forma,conocidas las coordenadas heliocentricas eclıpticas del planeta y la relacionentre los cırculos del ecuador del planeta y la eclıptica, encontramos (Λ, B).Por ejemplo, para conocer la longitud y latitud del planeta a partir de laascension recta y declinacion, apoyandonos en la Figura 9.4, donde PQE =90◦ − λ, QPE = 90◦ + α − n, QP = i, PE = 90◦ − δ y QE = 90◦ − β. Delas relaciones del seno, coseno y seno por coseno se sigue


cos β cos λ = cos(α − n) cos δ

sen β = sen δ cos i − cos δ sen i sen(α − n)

cos β sen λ = sen δ sen i + cos δ cos i sen(α − n) (9.34)

El angulo de posicion se mide hacia el Este, luego

p = 360◦ − η (9.35)

siendo η el angulo QEP . Este angulo viene dado por

sen η cos β = sen i cos(α − n)

cos η cos β = cos i cos δ + sen i sen δ sen(α − n) (9.36)

Tengase en cuenta que mientras que (α, δ) estan tabulados con valoresgeocentricos, en nuestra teorıa hemos usado (λ, β) topocentricos, medidospor el observador desde la superficie de la Tierra, que han de obtenerse apartir de los geocentricos vıa reduccion de latitud: conocidas ascension rectay declinacion geocentricas, encontraremos los valores topocentricos , y conestos y las ecuaciones de transformacion hallaremos la longitud y latitudtopocentricas que necesitamos.

De acuerdo con las peculiaridades de cada planeta, la teorıa expuestaadmite precisiones para cada caso. Ası, para Jupiter, la inclinacion de suorbita respecto a la eclıptica es muy pequena, al igual que la de su ecuador,y puede tomarse ω = 0 y V = Λ−λ, mientras que c ≃

√1 − e2. Para Saturno

β ≃ 28◦, de forma que c es variable con el tiempo. Puede tomarse sin granerror V = 0. Un caso interesante es el de sus anillos, que pueden considerarsecomo un elipsoide cuyo eje menor es cero, y por tanto la excentricidad de susmeridianos es 1, de donde c ≃ sen β.

Respecto a los planetas interiores, que presentan fases y por tanto unadistincion clara entre las elipses primera y segunda, ocurre que pueden consi-derarse como esfericos, con lo cual la excentricidad de sus meridianos puedetomarse nula. Al ser planetas esfericos, carece de importancia que punto to-memos como polo, aunque parece natural la lınea paralela a las cuspides dela porcion iluminada que pasa por el centro del planeta y es perpendicularal plano que contiene al Sol, la Tierra y el planeta.

9.2. Contacto entre los limbos de la Luna y el planeta 115

9.2. Contacto entre los limbos de la Luna y

el planeta

En lo que sigue, se supondra conocido el conjunto de valores (p, ω, V, c)para el instante de la ocultacion y se consideraran constantes durante lamisma y validos para todo punto de la superficie terrestre. En la Figura 9.5,O es el centro del planeta, C el punto de contacto con el limbo de la luna,que se puede aproximar sin error apreciable por la tangente comun mn a loslimbos de esta y del planeta. OM se dirige al centro de la Luna y D es lainterseccion de esta lınea con el limbo lunar. OA y OQ son los ejes a los quese refiere la ecuacion de la curva iluminada, es decir, aquellos a los que serefieren las coordenadas (u, v). Llamaremos θ al angulo QOD, y s′′ al arcoOD.

O

A

Q

C

D

MP

m

n

Figura 9.5 Geometrıa del contacto

La ecuacion de la tangente mn es aproximadamente

u sen θ + v cos θ = s′′ (9.37)

y por otra parte

dv

du= − tan θ (9.38)

Supondremos que el punto D cumple simultaneamente las ecuaciones(9.24) y (9.37). Diferenciando (9.24):

(u cosω −v

csen ω)(cosω +

sen ω

ctan θ)

+(u senω +v

ccos ω)(sen ω −

cos ω

ctan θ) sec2 V = 0 (9.39)


Ahora, podemos usar (9.24) junto con (9.37) y (9.39) para eliminar u yv y obtener una relacion entre s y s′′. Llamando

x = u cos ω − (v/c) senω

y = u sen ω + (v/c) cosω

c′ sen θ′ =sen θ

cc′ cos θ′ = cos θ (9.40)

tenemos

x cos(θ′ − ω) − y sen(θ′ − ω) sec2 V = 0

x2 + y2 sec2 V = s2

x sen(θ′ − ω) + y cos(θ′ − ω) =s′′

cc′(9.41)

como se comprueba al tener en cuenta que

u = x cos ω + y sen ωv

c= −x sen ω + y cos ω (9.42)

De la primera y la segunda de (9.41)

x = s sen(θ′ − ω)(1 − cos2(θ′ − ω) sen2 V )−1/2

y = s cos(θ′ − ω) cos2 V (1 − cos2(θ′ − ω) sen2 V )−1/2

(9.43)

y sustituyendo en la tercera:

s′′ = scc′√

1 − cos2(θ′ − ω) sen2 V (9.44)

y si ponemos sen X = cos(θ′ − ω) senV , entonces

s′′ = scc′ cos X (9.45)

Como en todos los casos practicos puede tomarse ω = 90◦, tenemos

9.2. Contacto entre los limbos de la Luna y el planeta 117

tan θ′ =1

ctan θ

sen X = sen θ′ sen V

s′′ =s sen θ cos X

sen θ′(9.46)

s′′ es el semidiametro del cuerpo eclipsado, de forma que, a partir de estepunto, hemos de remitirnos a la teorıa general. Los detalles de este encajeentre los razonamientos anteriores y la teorıa precedente dependen del gradode elipticidad del planeta considerado (incluyendo los anillos de Saturno) yde si el contacto se produce entre la elipse primera o la segunda. Remitimospara estas consideraciones a la obra de referencia 1.

1WILLIAM CHAUVENET, Spherical and Practical Astronomy

Capıtulo 10

Transitos

10.1. Introduccion

Cuando los planetas Venus o Mercurio, cuyas orbitas se encuentran entreel Sol y la orbita de la Tierra se interponen entre nosotros y el Sol, se pro-duce un transito. La geometrıa de este fenomeno es la misma que la de loseclipses solares, salvo que uno de los planetas interiores sustituye a la Luna.Deben hacerse no obtante algunas precisiones. Para Venus k = 0,9975 y paraMercurio k = 0,3897, valores que habran de ser sustituidos en (4.39) y (4.40).Por otro lado, la cantidad b que aparece en (4.6) no puede considerarse ahorauna cantidad pequena, y por tanto usaremos las ecuaciones exactas (4.7) y(4.13) en lugar de sus aproximaciones.

Los transitos de planetas interiores son un fenomeno difıcil de observar,en especial por lo que se refiere al primer contacto interior. Sin embargo, seempleo mucho tiempo y esfuerzo en intentar optimizar las observaciones, yello debido a que de estas se pueden deducir correcciones tanto al paralaje delplaneta como al del Sol, y por tanto determinar mas exactamente la unidadastronomica.

La justificacion de esta ultima afirmacion y la comprension del esfuerzoque durante el siglo XIX se puso en la observacion de transitos requerira quenos introduzcamos, al menos someramente, en toda una rama de la teorıa deeclipses que todavıa no habıamos citado: la aplicacion de las observacionesa la correccion de los elementos que se usaron para esas observaciones, y ala correccion de longitudes terrestres. Comoquiera que esta rama se desa-rrollo en principio en conexion con los eclipses solares, nos referiremos a laLuna como cuerpo eclipsante, pero no debe perderse de vista que la geometrıade un transito es la misma, por lo que todo cuanto deduzcamos en adelantereferido a eclipses solares tendra aplicacion inmediata a transitos con solo

119

120 10. Transitos

guardar las precauciones indicadas arriba.Es preciso decir que los metodos que se exponen a continuacion no son ni

modernos ni precisos en comparacion con otros desarrollados posteriormen-te, por lo que el lector no interesado en ellos puede omitirlos directamente.Aquı se exponen por su interes historico y porque nos interesa mas la expo-sicion de la geometrıa que el metodo practico.

10.2. Longitud de un lugar a partir de la ob-

servacion de un eclipse

La observacion de un eclipse da los tiempos locales de los contactos entrelos discos del Sol y la Luna. En el caso de un eclipse parcial solo hay dos con-tactos, los exteriores. En el caso de un eclipse total o anular tambien existendos contactos interiores. Sean ω la longitud oeste del lugar de observacion,t el tiempo medio local de un contacto y µ el tiempo sidereo local en t. Laconversion de t en µ requiere saber la longitud del lugar, que supondremosconocida por el observador al menos con la suficiente precision. Sea T0 uninstante local de Greenwich en que se han calculado x e y, y sean (x0, y0)los valores de (x, y) en T0 y (x′, y′) la variacion horaria en t + ω. Si ponemosτ = t + ω− T0, los valores de (x, y) en t + ω, que es el instante del meridianoorigen en que el observador situado a la longitud ω observa el contacto, son

x = x0 + x′τ

y = y0 + y′τ (10.1)

Los valores de (x′, y′) que han de ser empleados en (10.1) se toman para eltiempo t+ω, obtenido del valor aproximado de ω. Las cantidades l e i varıantan lentamente que sus valores, tomados en el instante aproximado t + ω nodifieren apreciablemente de los valores verdaderos. Por la misma razon, lascantidades (a, d) tomadas en t + ω son suficientemente precisas. Por tantoconocida la latitud, las coordenadas del lugar de observacion (ξ, η, ζ) puedenobtenerse a partir de (4.32). En el instante de contacto, las ecuaciones (4.47)y (4.48) se cumplen exactamente, luego:

L sen Q = x0 − ξ + x′τ

L cos Q = y0 − η + y′τ (10.2)

donde τ es una cantidad desconocida. Llamando

10.3. Correccion de la longitud 121

m sen M = x0 − ξ

n sen N = x′

m cos M = y0 − η

n cos N = y′

(10.3)

(10.2) se transforma en

L sen Q = m sen M + τn sen N

L cos Q = m cos M + τn cos N (10.4)

a partir de donde, poniendo Ψ = Q − N :

sen Ψ =1

Lm sen(M − N)

τ =1

n(L cos Ψ − m cos(M − N) (10.5)

Como en los casos similares que han sido discutidos, Ψ ha de tomarse deforma que L cos Ψ sea negativo para los primeros contactos, y positivos paralos ultimos, pero teniendo en cuenta que L es una cantidad negativa paraeclipses totales. Habiendo encontrado τ , la longitud es entonces

ω = T0 − t + τ (10.6)

10.3. Correccion de la longitud

El metodo expuesto anteriormente permite deducir la longitud de un lugara partir de los instantes en que se observan los contactos, pero como loselementos del eclipse no se conocen exactamente, debemos saber como afectanal valor encontrado los errores de tales elementos. Llamaremos ∆x, ∆y y ∆La los errores cometidos en x, y y L; ∆ξ y ∆η a los errores en ξ y η por erroresen ϕ′ y ρ y ∆τ al error resultante en τ .

Suponiendo que las correcciones son muy pequenas, la relacion entre ellasse encuentra diferenciando (10.2):

∆L sen Q + L cos Q∆Q = ∆x − ∆ξ + x′∆τ

∆L cos Q − L sen Q∆Q = ∆y − ∆η + y′∆τ (10.7)

122 10. Transitos

donde ∆x y ∆y, que son las correcciones en x0 + x′τ e y0 + y′τ , incluyenlas correcciones en x′ e y′. Si sustituimos

x′ = n sen N

y′ = n cos N (10.8)

y eliminamos ∆Q, obtenemos

∆L = (∆L − ∆ξ) senQ + (∆y − ∆η) cos Q + n cos(Q − N)∆τ (10.9)

y si sustiuimos Q = N + Ψ:

∆τ = −(∆x−∆ξ)sen(N + Ψ)

n cos Ψ− (∆y −∆η)

cos(N + Ψ)

n cos Ψ+

∆L

n cos Ψ(10.10)

o bien

∆τ = −1

n(∆x sen N + ∆y cos N)

= +1

n(−∆x cos N + ∆y sen N) tan Ψ

+1

n(∆ξ sen N + ∆η cos N)

−1

n(−∆ξ cos N + ∆η sen N) tan Ψ

+∆L sec Ψ

n(10.11)

y como ∆ω = ∆τ , como se sigue de (10.6), la ecuacion anterior es al mismotiempo la correccion en longitud. Observese que las correcciones ∆x, ∆y,∆ξ y ∆η tienen valores particulares dependientes del lugar de observacion.∆ξ y ∆η a traves de ρ y ϕ, y ∆x y ∆y a traves del instante en que serealiza la observacion. Por tanto, es conveniente expresarlos como funcionde cantidades constantes durante todo el tiempo de duracion del eclipse eindependientes del lugar de observacion. Consideremos en primer lugar laparte de ∆τ que depende de ∆x y ∆y. Para un instante cualquiera T1 delmeridiano origen

x = x0 + n(T − 1 − T0) sen N

y = y0 + n(T1 − T0) cos N (10.12)


de donde

x sen N + y cos N = x0 sen N + y0 cos N + n(T1 − T0)

−x cos N + y sen N = −x0 cos N + y0 sen N (10.13)

Cada miembro de la segunda ecuacion es una constante que llamaremosX:

X = −x cos N + y sen N = −x0 cos N + y0 sen N (10.14)

y de (10.13) se sigue que

x2 + y2 = X2 + (x0 sen N + y0 cos N + n(T1 − T0))2 (10.15)

Esta expresion muestra que la distancia del eje de sombra al eje de laTierra no puede ser inferior a X, alcanzando su valor mınimo cuando elsegundo termino se anula, es decir, cuando

x0 sen N + y0 cos N + n(T1 − T0) = 0 (10.16)

que sucede cuando

T1 = T0 −1

n(x0 sen N + y0 cos N) (10.17)

Mediante la introduccion de X y T1 como cantidades auxiliares podemosexpresar de forma mas conveniente la parte de ∆τ que depende de ∆x y ∆y.En el instante de observacion t + ω

x sen N+y cos N = x0 sen N+y0 cos N+n(t+ω−T0) = n(t+ω−T1) (10.18)

Si ∆n, ∆T1 y ∆X son las correcciones a n, T1 y X, tenemos

∆x sen N + ∆y cos N = −n∆T1 + (t + ω − T1)∆n

−∆x cos N + ∆y sen N = ∆X (10.19)

con lo cual la parte de ∆τ que depende de ∆x y ∆y queda en funcion de∆n, ∆T1 y ∆X, que pueden considerarse como constantes (independientesdel lugar de observacion) para un eclipse dado.

Consideremos ahora la parte que depende de ∆ξ y ∆η. Estas correccionespodemos considerarlas en ultimo termino como procedentes de la correccionen la excentricidad del meridiano terrestre, ya que la latitud puede conocerse

124 10. Transitos

con la precision que se desee y la posicion del Sol se puede considerar correcta.Si e es la excentricidad del meridiano, recordemos que

ρ cos ϕ′ = cos ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2

ρ sen ϕ′ = (1 − e2) sen ϕ(1 − e2 sen2 ϕ)−1/2 (10.20)

Diferenciando:

∆ρ

∆e2cos ϕ′ =

1

2β2ρ cos ϕ′

∆ρ

∆e2sen ϕ′ =

1

2β2ρ sen ϕ′ − β (10.21)

donde β = ρ sen ϕ′(1 − e2)−1. Por otra parte, de


η = ρ sen ϕ′ cos d − ρ cos ϕ′ sen d cos(µ − a) (10.22)

junto con (10.21) se sigue

∆ξ

∆e2=

1

2β2ξ

∆η

∆e2=

1

2β2η − β cos d (10.23)

de donde

∆ξ sen N + ∆η cos N =1

2β2(ξ sen N + η cos N)∆e2

−β cos d cosN)∆e2

−∆ξ cos N + ∆η sen N =1

2β2(−ξ cos N + η sen N)∆e2

−β cos d senN)∆e2 (10.24)

Puede ponerse ahora

ξ = x0 − (x0 − ξ) = x0 − m sen M

η = y0 − (y0 − η) = y0 − m cos M (10.25)


y los segundos miembros se transforman en

1

2β2[x0 sen N + y0 cos N − m cos(M − N)]∆e2

−β cos d cos N∆e2

1

2β2[−x0 cos N + y0 sen N + m sen(M − N)]∆e2

−β cos d sen N∆e2 (10.26)

o bien, de la definicion de X y de (10.17):

1

2β2[n(T0 − T1) − m cos(M − N)]∆e2


1

2β2[X + m sen(M − N)]∆e2


o, finalmente, de (10.5)

1

2β2[n(t + ω − T1) − L cos Ψ]∆e2


1

2β2[X + L sen Ψ]∆e2


Con todo esto, la parte de ∆τ que depende de ∆e2 es

β2

2n[n(t + ω − T1) − X tan Ψ − L sec Ψ]∆e2

−β cos d cos(N + Ψ)

n cos Ψ∆e2 (10.29)

Y en total tenemos

∆τ = ∆ω = ∆T1 + tan Ψ∆X

n

−(t + ω − T1)∆n

n+ sec Ψ

∆L

n

126 10. Transitos

+1

n[β2

2(n(t + ω − T1) − X tan Ψ − L sec Ψ)

−β cos d cos(N + Ψ)

cos Ψ]∆e2 (10.30)

Hemos encontrado una expresion de ∆ω en funcion de ∆n, ∆T1, ∆X y∆e2 que tienen el mismo valor desde cualquier punto desde el que se reali-ce la observacion, de modo que una serie de ecuaciones de la forma (10.30)obtenidas en distintos puntos permiten por el metodo de mınimos cuadra-dos encontrar todas las correcciones. Pero tambien puede expresarse ∆ω enfuncion de las correcciones a las Efemerides, y encontrarlas por el mismometodo.

Capıtulo 11

Apendices

11.1. Interpolacion lagrangiana

Dado un conjunto de puntos (xi, yi), con i = 1, 2, ...n, se trata de asignarun valor y a un x arbitrario. Se admite en general que si los xi se encuentran enun intervalo dado, x pertenece a ese mismo intervalo. La solucion al problemaviene de encontrar una funcion y(x) tal que, para todo i, y(xi) = yi. Unpolinomio de grado n − 1 pasa exactamente por los n puntos (xi, yi), y sepuede adoptar como valor interpolado y para un x dado el que proporcionael polinomio y(x). Pero si n es grande no es practico trabajar con polinomiosde grado elevado. Polinomios de grado inferior en general no pasan por todoslos puntos (xi, yi), y se acude al mejor polinomio pk(x) de grado k < n − 1,donde ”mejor” significa que sea mınima la cantidad

∑

i

(yi − pk(xi))2 (11.1)

Esto conduce a un sistema lineal de ecuaciones de donde se extraen loscoeficientes del polinomio pk.

Otra aproximacion es debida a Lagrange. En efecto, definimos los polino-mios lj en la forma

lj =

∏

i6=j(x − xi)∏

i6=j(xj − xi)(11.2)

y definimos el polinomio

L(x) =∑

j

ljyj (11.3)

Es claro que L(xj) = yj, para todo j. En particular, si tenemos tresparejas (xi, yi):

127

128 11. Apendices

L(x) =(x − x2)(x − x3)

(x1 − x2)(x1 − x3)y1 +

(x − x1)(x − x3)

(x2 − x1)(x2 − x3)y2 +

(x − x1)(x − x2)

(x3 − x1)(x3 − x2)y3

(11.4)Puede usarse esta expresion para calcular numericamente la derivada en

x:

L′(x) =2x − x2 − x3

(x1 − x2)(x1 − x3)y1 +

2x − x1 − x3

(x2 − x1)(x2 − x3)y2 +

2x − x1 − x2

(x3 − x1)(x3 − x2)y3

(11.5)

11.2. Latitud geocentrica y latitud geodesica

Supondremos que la Tierra es un elipsoide de revolucion, de semiejesmayor a y menor b. Debido a la simetrıa de revolucion, razonaremos sobre unplano meridiano, tal y como se muestra en la figura. Sea un punto P sobre elmeridiano. Su normal corta al eje x con un angulo ϕ que llamaremos ”latitudgeodesica”. Ası pues, en relacion con la Figura A1, la latitud geodesica esϕ=PCA y la latitud geocentrica es ϕ′=POA. Sean (x, y) las coordenadas delpunto P. Se sigue que

tan ϕ′ =y

x(11.6)

La ecuacion de la elipse meridiana es

x2

a2+

y2

b2= 1 (11.7)

Por otro lado:

tanϕ = −dx

dy(11.8)

Usando la ecuacion de la elipse:

tan ϕ′ =b2

a2tan ϕ (11.9)

Queda por encontrar la distancia ρ=OP en funcion de ϕ. Tenemos quelas coordenadas de P son

x = ρ cos ϕ′

y = ρ sen ϕ′ (11.10)

11.3. Refraccion atmosferica 129

O

P

C Aϕϕ ’

x

y

Figura A1 Latitud geodesica y geocentrica

de la segunda

ρ =y

sen ϕ′(11.11)

Sustituimos sen ϕ′ en funcion de tanϕ′, y sustituimos igualmente y apartir de la ecuacion de la elipse:

y = b

√

1 −x2

a2(11.12)

donde, a su vez, x viene dada por x = ρ cos ϕ′. Sustituimos, elevamos alcuadrado para eliminar la raız. Se define la excentricidad como

e2 = 1 −b2

a2(11.13)

Tomando como unidad el semieje mayor, a = 1 y escribiendo b en funcionde e, tras alguna sencilla manipulacion

ρ2 =1 + (1 − e2)2 tan2 ϕ

1 + (1 − e2) tan2 ϕ(11.14)

Comprobamos que ρ(ϕ = 0) = 1 y que ρ(ϕ = π/2) = b.

11.3. Refraccion atmosferica

La atmosfera desvıa los rayos luminosos, de forma que las posiciones ob-servadas de los astros no son reales, sino aparentes. De aquı que cuando unaestrella tiene una altura dada por el angulo RPQ (Figura A2), el observador

130 11. Apendices

mide STN. Se trata de encontrar la relacion entre estos dos angulos. Con-viene usar distancias cenitales en lugar de alturas. Sea zr la distancia cenitalreal y za la aparente: zr = 90◦ − RPQ, za = 90◦ − STN .

T N

S

R

P Q

Figura A2 Refraccion en atmosfera plana

Consideremos un modelo de atmosfera plana, dividida en capaz horizon-tales delgadas, con ındice de refraccion constante en cada capa. Si ni es elındice de una capa y ni+1 el de la capa inmediatamente inferior, y si zi esel angulo de incidencia sobre la interfaz de ambas capas y zi+1 el angulo derefraccion, de la ley de Snell (Figura A3):

ni sen zi = ni+1 sen zi+1 (11.15)

nzi

i

ni+1

zi+1

Figura A3 Ley de Snell

Escribiendo la ley de Snell sucesivamente para cada interfaz, teniendoen cuenta que el ındice de refraccion en el exterior de la atmosfera es 1 yllamando ns al ındice en la superficie, tenemos:

11.3. Refraccion atmosferica 131

sen zr = n1 sen z1

n1 sen z1 = n2 sen z2

n2 sen z2 = n3 sen z3

... = ...

nk−2zk−2 = ns sen za (11.16)

donde hemos dividido la atmosfera en k capas (de la 0 a la k − 1, quees la que esta delimitada por la superficie terrestre en su parte inferior). Sesigue de aquı que

sen zr = ns sen za (11.17)

o

zr = sin−1(ns sen za) (11.18)

donde ns sera funcion de la presion y temperatura en la superficie. Si ladistancia cenital es elevada, no sera suficiente con suponer que la atmosfe-ra es plana. En lugar de ello consideraremos capas esfericas concentricas.Remitimos a la bibliografıa 1.

1W. M. SMART, Textbook on Spherical Astronomy

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