Fracciones parciales

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Fracciones parciales Sabemos cómo combinar dos o más expresiones racionales en una sola, mediante adición o sustracción. Ejemplo Dada una expresión racional, ¿cómo descomponerla en la suma de dos o más expresiones racionales? Ejemplo , cómo expresarla en la suma: ? Además de querer responder a la pregunta, algunas veces es necesario expresar una sola expresión racional como la suma de dos o más fracciones más simples, denominadas fracciones parciales. Por ejemplo para evaluar algunas integrales, para hallar la transformada inversa de Laplace de algunas funciones. Veamos, cómo descomponer una expresión racional en fracciones parciales. Consideremos la fracción racional definida por:

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para chicos universitarios

Transcript of Fracciones parciales

Fracciones parciales

Sabemos cómo combinar dos o más expresiones racionales en una sola, mediante adición o sustracción.

Ejemplo

� � �� � � ��� �� � �� � � ���� � ��� � � � ��� � � � � � � � � � � �

� � � �� �� �� �� � �����

Dada una expresión racional, ¿cómo descomponerla en la suma de dos o más expresiones racionales?

Ejemplo

� � ��� � � ��� �

� � � ��, cómo expresarla en la suma: �

� �� � ��� � � �� �� � ?

Además de querer responder a la pregunta, algunas veces es necesario expresar una sola expresión racional como la suma de dos o más fracciones más simples, denominadas fracciones parciales. Por ejemplo para evaluar algunas integrales, para hallar la transformada inversa de Laplace de algunas funciones.

Veamos, cómo descomponer una expresión racional en fracciones parciales. Consideremos la fracción racional ��� definida por:

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A é di

�� ��� � � P ( )T ( )�

�� . Donde ���� y ����� son polinomios de grado �

y �, respectivamente.

Si ���, decimos que ��� es una fracción propia.

Si ���, decimos que ��� es una fracción impropia.

Al desarrollar la división de ���� tenemos dos polinomios ���� y ���� tales que: ����� ����������������, donde el grado de ���� es menor que � multiplicando cada miembro de la igualdad por �

� �T� �

tenemos que: � �� �� � � �� �S Q� � � � �� P RT T�

� �

� � � �� � � �� �� � ; donde R

T� �� ����

es una fracción propia.

Como vemos, cualquier fracción impropia, la podemos descomponer como la suma de un polinomio y una fracción propia; lo que permite reducir el problema de hallar fracciones parciales a las fracciones propias.

Ejemplo

Descomponer: � � � � �� �

� �� � �� � ��� �

� �

Al efectuar la división, el cociente, ����, es ���� y el residuo, ���� es ����, por lo tanto:

� � � � � � �� �

� ���� � �� � ��� � � ��

� � � � � � ��� �� � ����� � �� � �

Descomposición en fracciones parciales

Ejemplo

Si sabemos que �� �� �� �� �� ��� � �� � ��� ��� ��� ���� ��

Hallemos un procedimiento que permita descomponer en fracciones parciales:

� � �� � � ��

� ��

� ��

Como la fracción es propia veamos como se efectúa la suma.

Al efectuar � ��� � �� �� � �� � hallamos el M.C.M. entre ��� y ���

� � � � � � �� �� � � � � ���� � �� � � ���� � �� � � � �

�� ��� � � � ���� � � � � � � � � � �

� � � � � �� � �� � �� � �� ��� � � �� � � � �� � �

Para descomponer en fracciones parciales � � �� � � ��

� ��

� ��

Factorizamos el denominador. � � � � � �� � � � � � ���� � ��� �

� � � � �� �

� � �� �� ���

El denominador ���������� es el M.C.M. entre los polinomios ����� y ����� por lo tanto, estos polinomios son los posibles denominadores en que podemos descomponer la fracción racional, es decir:

� � � � � �� � � � � � ���� � �� � �� � �� �

� � � � � � � �� �

� � � �� �� �� �� ��� �� ��� �� � �A B .

Como las fracciones son propias, � y � deben ser constantes.

Para hallar � y � efectuamos la operación;

A B A B� � � � � �

� � � �� �� � � � � ����� � ��

� ��� � � � ����� ��� �� ���� �� �� como tenemos la igualdad:

A B� ��� � � � ���

� � ����� � �� � � ����� � ��� � �� � � �

� � � � � ���

� ���� ��� esta se cumple si

� ������������������.

Si ����� tenemos que ������ por lo tanto ����

Si ������ tenemos que ��������� por lo tanto �����

Otra forma da hallar � y � es utilizando coeficientes indeterminados Si A B� � ���� � � � ���� �� � ��� � � � � � �� � � �� � � � �� �� � ��A A B B � � � � � � � � � � � � �� �� � �� ��� ��� �A B A B� � � � � � � �, de donde se tiene que ������������������������������������� � �� �� ����������A B� � y ����������������������������� � � �� �� � �� A B� � �

A é di

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que � � � y � � . El lector puede verificar que:

� � � ��� �� � �� � � ���� � ��� � � � ��

�� � ���� � � � ���� � � � � � � � � �

� � � � � � �� � �� �� �� ��� � � � � �.

En general, para descomponer una fracción propia de la forma ��� ���� en dos o más fracciones parciales procedemos así:

�� Factorizamos ���� en factores de primer grado y/o segundo grado irreducibles y establecemos para que el polinomio es ���� el m.c.m., estos polinomios son los denominadores de las fracciones parciales.

�� Establecemos los numeradores de cada una de las fracciones parciales; como estas fracciones son propias, los numeradores serán: Constantes ��!"!����"��"�###"�� si el denominador es un polinomio de primer grado. Polinomios de primer grado o constantes ��!"�����!"�!����"��"�###"��, si el polinomio del denominador es de segundo grado.

�� Efectuamos la suma de las fracciones parciales e igualamos su numerador con el numerador de la fracción original.

�� Hallamos los valores de los �! y �! por ����������indeterminados o asignando convenientemente valores a �.

Para facilitar el método y determinar las fracciones parciales considere-mos la naturaleza de los factores de ����.

1. Si los factores de ���� son todos de primer grado y de multiplicidad uno, es decir, ���������������������������###�������������

PT

A A A� �� � � � � � � ��� � � � � � �� � � � � ����� �� � � �� �

� � � �� � � � � ��

� �

Donde ��, ��,..., �� son constantes a determinar.

Ejemplo

Descomponer en fracciones parciales �� � �

� ��� � ��

� �� �

Factorizamos el denominador

� �� � � � � � �

� �� � ��� � � �� � � ��� � ���

� �� � �� � �� ���

� ����������� es el m.c.m. entre �,��� y ���; de esta manera se tiene que:

�� � � � � � � �

� ��� � ���� � ��� � �� � ��

�� ��� �� � � �� �� � �A B C

�� � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� ��� � ���� � ��� � � ���� � ���

� � ���� � ���� � � � ���� � � � �����

� ��� ��� A B C

��������������������$�����������% Asignando valores a �, tenemos que:

Si �����, obtenemos �������% por lo tanto � �

Si �����, obtenemos ������� por lo tanto � � ��

Si ������, obtenemos �$����&�por lo tanto $ � ��

Reemplazando estos valores de �, � y $ tenemos que:

� �� � � �� � � � � � � � � �

� �� � � � �� � ����� �� � �� � �� � �� � ��� �� �� � � � �� ��� �� � �� �� � � �� �

�� �

2. Si los factores de ���� son de primer grado y algunos con multiplicidad mayor que uno, es decir, �����������������������###�����������

� �����������

� � ����������

� � ���������������

�### � ���������������

donde ��"����###�����son constantes a determinar.

A é di

Ejemplo

Descomponer en fracciones parciales � � � � � �� � �

�� �

� � � ��� � ���� � ���

���������es el m.c.m. entre �, ��, ��, ����� y ������, es decir

� � � � � �� � � � � � � � � �

� � � ��� � ���� � ��� � � �� � � ����

� � � � �� �� � � � � � � � �� � � � �A B C D E

�� � � � � � �

� � �

�� �

� �� � ���� � ����� � ���

�������� � � A B C D E� � � � � � � � � � � � � � � �

� � �

� � � � � �

� �� � ��� � � � � ��� � � � � ��� � � � � ���� �

� � ���

�������������������$�������'��������(���

�������������

Asignando valores a �, tenemos:

Si �����, obtenemos $������ por lo tanto, $ � ���

Si �����, obtenemos %(���� por lo tanto, ( � �

Reemplazando estos valores de $ y (, tenemos que:

��������������������$�������'������������

�������������

������������������������������'�������������

��������������

���'����������'�����������������������������������������

Aplicando el método de coeficientes indeterminados tenemos que:

� � � � ��A D� � � � � �� � ���� ��� � � � �A B D

� � � ��� ��A B� � � � ���� ���B � �

por lo tanto, �����

Si reemplazamos � � � en ��������, obtenemos que � � �.

Si reemplazamos � � � en ��'���, obtenemos que: ' � ��.

Resumiendo, los valores de las constantes son:

�����, �����, $ � ��, ' � �� y ( � �

Reemplazando estos valores de �, �, $, ' y ( tenemos que:

� � � � � �� � � � � � � � � �

� � � ��� � ��� � � � � �� � ��� � �� � � ����

� � � � ��� � � � � � � � � �� � � � �

3. Si ���� tiene factores de segundo grado irreducibles y de multiplicidad uno, es decir, ��������������������)���������

��������)��###���������������)��

� �����������

���������������

���������)�

���������������

���������)�

�### ����������������

���������)�

donde ��"����###������y ��"����###��� son constantes a determinar.

Ejemplo

Descomponer en fracciones parciales � � � �� � � �

� �� � � ��� � � ��

Factorizando el denominador, utilizando división por coeficientes separados o coeficientes indeterminados, obtenemos:

A é di

� � � � � � � � � �� � �� � � ���� �� � ���� � �� � ����

� �� � �� �� es irreducible en los racionales.

La fracción dada se escribe como una suma de fracciones parciales de la manera siguiente:

� � � � �� � �� � ��� � �� � ���� � �� � �� � ��

� � � � � �� � � � � � � � � � � �

� �� �� � �� �� � $

� � � � ��

� � ��� � �� � ���� �� � ���� � �� � ����� � � �� � ���� � � � �� � ���� � � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��

� �

� �� � � $�

( )( 1) ( 2 2) 5� � $� � � � � � � � � � � � � �� �

Asignando valores a �, tenemos:

Si �� 1, obtenemos �$��� por lo tanto $�����

Reemplazando el valor de $, tenemos que:

( )( 1) ( 2 2) 5� �� � � � � � � � � � � � � �� �

2 2 5� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � �

( 1) ( A 2) ( 2) 5� � �� � � � � � � � � � � � � �� �

Aplicando el método de coeficientes indeterminados tenemos que:

����������por lo tanto, � � �

���������������

������������por lo tanto, � � �

Resumiendo, los valores de las constantes son:

� � � � � � $ � ��

Reemplazando estos valores de �, �, y $ tenemos que:

� � � � � ��� � � � � � � � � � �

� � 5 2 3 1

( 1)( 2 2) 2 2 1 � �

4. Si ���� tiene factores de segundo grado irreducibles en los racionales y con multiplicidad mayor que uno.

������������������)��������������)�###�������������)�

� �����������

� � ��������������������)

� � ����������������������)��

�### �����������������

��������)��

donde ��"����###������y ��"����###����son constantes a determinar. �

Ejemplo

Descomponer en fracciones parciales 3 12 4 11 4( 3 2)

� � � � � � � �� � � � �

4 � �

� �

���� � �� � ��� es el m.c.m. entre �, �� � �� � ��y ��� � �� � ��� por lo tanto,

3 12 4 11 4 B ( 3 2) 3 2 ( 3 2)

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

4 � �

� � � � � � � �� $ ' (

3 12 4 11 4( 3 2) ( 3 2)

( )( 3 2) ( ) ( 3 2)� � � � � � � �� � � � � � � � � �

� � � � � �� � � � � � � � ��4 � �

� � � �

� � �

� � � $ ' (

� � � � � � � � � � � �' �( � � � �( )( 3 2) ( ) ( 3 2)� $� � �

) ( ) (� � � � � � � � �3 12 4 11 4� �4

Asignando valores a �, tenemos que:

Si ���, obtenemos (��� por lo tanto, ( � �

Reemplazando el valor de (, tenemos que:

A é di

�������������������$��'�����������������������������

� � � � � � $� � � � � � � � � � � � �4 3 2 3 2 � � � � �

'� � � � � � � � � � �4 9 4 6 4� � �

� � � � � � � � � � � 12 3 12 4 11 44 � �

( 1) ( 3 6) ( 2 3 5) ( 2 12)� � � � �� � � � �� � � � � � �$ � � � � �'� ��4 � � 4

� � � � � � � � � 3 12 4 11 44 � �

Aplicando el método de coeficientes indeterminados tenemos que:

� � 1 � 3 por lo tanto, � � 2

�3� � � � 6 � �12

�2� � 3� � $ � 5 � 4

�2� � ' � 12 � 11

Si � � 2, reemplazando en �3� � � �6 � �12, obtenemos que � � 0

Si � � 2, y � � 0 reemplazando en �2� �3� � $ � 5 � 4, obtenemos que $ � 3

Si � � 0, reemplazando en �2� � ' � 12 � 11, obtenemos que ' � ��

Resumiendo, los valores de las constantes son:

� � 2, � � 0, $ � 3, ' � �1 y ( � 1

Reemplazando estos valores de �, �, $, ' y ( tenemos que:

� � ��� � � � ��� � � � � � �� �� � �� � ��� �� � �� � � �� � ���

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

� �

� � � � �� � � � � �� � �

Ejercicio A1

1. Descomponga en fracciones parciales:

�� ��� ������������� � ��� �� � � � �� � � � �� �

� ���������� ��� ��� � � �� � � � �

� �� � ���� � � ��� �

� ��������� ��� ��� � �� � � � � � � �

� �� �� � � �� � � � ��� �

� ����� ��� !�� � � �� � � � � � � �

� ��� � � ��� � �� � �� � �� � ��� �

� ���� � �� &�� � �� � ��� � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � � � � � � �� � � � � � � � � �

� �

� � � �

2. Exprese la fracción impropia, dada como la suma entre un polinomio y fracciones parciales:

�� �������������������������������� � ��� ��� � � � ��� � � ��

� � � �� � � �

� �

� �

� ��� ��� �� � �� � ��� � ��� � � � � �� � ��� � � � �� � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

� � � �

� �

3. En los ejercicios siguientes descomponga la fracción indicada en fracciones parciales:

� �������� ���� � ��� � �� � � �� � � � ��� � � ���

� � � � � �� � � � � �� � �

� ����� ��� ��� � � � � � � �� � � � � � � � ��

� � � � � � � �� � � � � � �

� �

� � �

� ������ ��� ��� � �� � �� �� � ��� � ��� � � � �� � � �� � �� � ���

� � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� �

� � � �

� ��� ��� !�� �� � � � ��� � ���� � � � ��� � �� � ��

� � � � �� � � � � � � � � � �

� � � �

� ���������� ��� �� &�� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

� � � �

� � �� � � � � �� � �� � ��

� �� � �� � � � � � � � �