Formulas relacionando los Formulas relacionando los elementos de un triángulo elementos de un triángulo

esféricoesférico

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2.1 Fórmulas que relacionan 3 lados y 1 ángulo.

Fórmula de los cosenos:

CP ┴ suelo

PM ┴ OB, PD ┴ OA

EP | | KM

Los ángulos diedricos son :

B y A.

^ EDP = c (por “perp. / perp”)

Se cumple que: OM = OK + KM = OK + EP (1)

Además: OM = OC cos a (2)

OK = OD cos c

OD = OC cos b →

OK = OC cos c cos b (3)

EP = PD sin c

PD = CD cos A → EP = OC sin b sin c cos A (4)

CD = OC sin b

(2), (3), (4) → (1)

OC cos a = OC cos b cos c +

OC sin b sin c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Fórmulas que relacionan 3 lados y un ángulo :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

2.2 Fórmulas que relacionan dos lados y sus ángulos opuestos .

Fórmula de los senos:

CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA

CP = CM sin B

CM = OC sin A

→CP = OC sin A sin B (1)

CP = CD sin A

CD = OC sin b →

CP = OC sin b sin A (2)

(1) = (2)

sin a sin B = sin b sin A

C

c

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin

sin

sin

2.3 Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos)

DK = DE + EK = DE + PM (1)

DK = OD sin c

OD = CD ctg b

→

DK = CD ctg b sin c (2)

ED = DP cos c

DP = CD cos A

→

ED = CD cos c cos A (3)

PM = CP ctg B

CP = CD sin A

→ PM = CD sin A ctg B (4)

(2) , (3) , (4) → (1)

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B

Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos)

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B

ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

ctg c sin a = cos a cos B + sin B ctg C

ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg C

“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” =

“coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” +

“seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.

“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

2.4. Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado

Tomamos el tringulo polar de Δ ABC, o sea, Δ A’B’C:

y las fórmulas que relacionan tres lados y un ángulo en Δ ABC:

cos a’ = cos b’ cos c’ + sin b’ sin c’ cos A’

aA

Cc

Bb

Aa

180'

180'

180'

180'

→

cos (180-A) = cos (180-B) cos (180-C) + sin (180-B) sin (180-C) cos (180-a) →

- cos A = (-cos B) . (-cos C) + sin B . sin C . (-cos a)

Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

El coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos mas el producto de los senos de esos dos por el coseno del lado (opuesto al ángulo 1º).