Formulas estadisticas

Muestreo aleatorio simple conreemplazamiento

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE CON REEMPLAZAMIENTO

Parámetro poblacional y N y p

Estimador y 1n ∑

i1

nyi N y p 1

n ∑i1

nyi

Varianza 2n N2 2

npqn

Estimador de la varianza s2n N2 s2

npq

n − 1

TAMAÑOS MUESTRALES EN m.a.s.r.

Errores o costes prefijados Tamaño muestral (media) Tamaño muestral (proporción)

V y 2

2

p1 − p2

V y

y

2

2 y2

1 − pp2

e z/2 V y z/2

2 2

e2z/2

2 p1 − pe2

Muestreo aleatorio simple sinreemplazamiento

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

Parámetro poblacional y N y p

Estimador y 1n ∑

i1

nyi N y p 1

n ∑i1

nyi

Varianza N − nN

S2n NN − n S2

nN − nN − 1

pqn

Estimador de la varianza N − nN

s2n NN − n s2

nN − n

N

pqn − 1

TAMAÑOS MUESTRALES EN m.a.s.

Errores o costes prefijados Tamaño muestral (media) Tamaño muestral (proporción)

V y n NS

2

N2 S

2Np1 − p

2N − 1 p1 − p

V y

y n NS

2

S

2 N y 2

N1 − p1 − p N − 1p2

e z/2 V y n Nz/2

2 S

2

z/22

S2 Ne2

Nz/22 p1 − p

z/22 p1 − p N − 1e2

Cn c0 c1n n S

2

c1

11

Muestreo estratificadoMUESTREO ESTRATIFICADO CON m.a.s. EN CADA ESTRATO

Parámetropoblacional

y N y p

Estimador y st ∑h1

L NhN y h N y st

p ∑h1

L NhNph

Varianza ∑h1

L NhNh − nhN2

Sh2

nh∑h1

LNhNh − nh

Sh2

nh∑h1

LWh

2 Nh − nhNh − 1

phqhnh

Estimadorde la Varianza

∑h1

L NhNh − nhN2

sh2

nh∑h1

LNhNh − nh

sh2

nh∑h1

LWh

2 Nh − nhNh

phqh

nh − 1

MUESTREO POSTESTRATIFICADO CON m.a.s. global


y N y p

Estimador y post ∑h1

L NhN y h N y post ∑

h1

L NhNph

Varianza aprox. 1 − fn ∑

h1

LWhSh

2 1 − fn2 ∑

h1

L1 − WhSh

2 NV y post V y post


1 − fn ∑

h1

LWhsh

2 1 − fn2 ∑

h1

L1 − Whsh

2 NV y post V y post

AFIJACIONES Y TAMAÑOS MUESTRALES CON e PREFIJADO

Afijación Tamaño muestral para estimar la media dado e

Igual nh nL nh

∑h1

LNh

2Sh2

N2 e2

z/22 ∑

h1

LNhSh

2

Proporcional nh n NhN nh Nh

∑h1

LNhSh

2

∑h1

LNhSh

2 e2

z/22 N2

Varianza mínima nh n NhSh

∑h1

LNhSh

nh NhSh∑

h1

LNhSh

∑h1

LNhSh

2 e2

z/22 N2

Óptima nh n

NhSh

Ch

∑h1

L NhSh

Ch

nh

NhSh Ch ∑

h1

L NhSh

Ch

∑h1

LNhSh

2 e2

z/22 N2

Notas:Para el estudio de la estimación de la proporción p, se sustituirá en cada caso

Sh

2por

NhNh − 1

ph1 −ph.

Para el estudio de la estimación del total, se sustituiráSh por N

Sh.

Para el estudio del error de muestreo V y st , se sustituirá e2

z/22 por 2.

Para el estudio del error de muestreo relativo, V y st

y st, se sustituirá e2

z/22 por

2 y st2 .

Muestreo sistemáticoMUESTREO SISTEMÁTICO


y N y

Estimador y 1n ∑

j0

n−1yijk N y

Varianza 1k ∑i1

k y i − y 2 N2V y

Estimadormuestrasinterpenetrantes

y m 1m ∑

i1

my i N2 y m

Varianzamuestrasinterpenetrantes

k ′ − mk ′

1mk ′ − 1

∑i1

k′

y i − y 2 N2V y m

Estimadorde la Varianzamuestrasinterpenetrantes

k ′ − mk ′

1mm − 1 ∑i1

my i

2− m y m

2 N2V y m

Para la proporción:


p

Estimador p 1n ∑

j0

n−1yijk

Varianza 1k ∑i1

kpi − p2

Estimadormuestrasinterpenetrantes

pm 1m ∑

i1

m pi

Varianzamuestrasinterpenetrantes

k ′ − mk ′

1mk ′ − 1

∑i1

k′

pi − p2

Estimadorde la Varianzamuestrasinterpenetrantes

k ′ − mk ′

1mm − 1 ∑i1

m pi2 − mpm

2

Estimación indirecta bajo m.a.s.

ESTIMACIÓN DE RAZÓN bajo m.a.s.


R y N y

Estimador R yx

y R R x N y R

Varianza VR ≃ N − nNn x 2 Sy

2 R2Sx2 − 2RSxy x 2VR N2V y R


VR N − nNn x 2 sy

2 R2sx

2 − 2Rsxy x 2VR N2V y R

Sesgo BR −covR, x x x BR N x BR

Aproximaciónal Sesgo

−cov y , x RV x x 2 x BR N x BR

Expresiones alternativas para las varianzas en estimación de razón.

V y R N − nNn

1N − 1 ∑i1

Nyi

2 R2∑i1

Nxi

2 − 2R∑i1

Nxiyi

V y R N − nNn

1n − 1 ∑i1

nyi

2 R2∑i1

nxi

2 − 2R∑i1

nxiyi

V y R N − nNn

1N − 1 ∑i1

Nyi − Rxi2

V y R N − nNn

1n − 1 ∑i1

nyi − Rxi2

ESTIMACIÓN DE REGRESIÓN


y N y

Estimador y reg y b x − x N y reg

Varianza V y reg N − nNn Sy

2 b2Sx2 − 2bSxy N2V y reg


V y reg N − nNn sy

2 b

2sx

2 − 2bsxy N2V y reg

conb

sxy

sx2 .

Expresiones alternativas para las varianzas:V y reg

N − nNn 1 − xy

2 Sy2.

V y reg N − nNn 1 − rxy

2 sy2.

ESTIMADOR SEPARADO DE RAZÓN


y R N y

Estimador ts ∑h1

L NhN y Rh

∑h1

LWhR x h Rs

tsx Nts

Varianza aprox. ∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

Syh2 Rh

2Sxh2 − 2RhSxyh 1

x 2 Vts N2Vts


∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

syh2 Rh

2sxh

2 − 2Rhsxyh 1x 2 Vts N2Vts

ESTIMADOR COMBINADO DE RAZÓN


y R N y

Estimador tc y stx st

x Rc y stx st

Ntc

Varianza aprox. ∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

Syh2 R2Sxh

2 − 2RSxyh 1x 2 Vtc N2Vtc


∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

syh2 Rc

2sxh

2 − 2Rcsxyh 1x 2 Vtc N2Vtc

ESTIMADOR SEPARADO DE REGRESIÓN


y N y

Estimador tregs ∑h1

L NhN y regh Ntregs

Varianza Vtregs ∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

Syh2 bh

2Sxh2 − 2bhSxyh N2Vtregs


Vtregs ∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

syh2

bh

2sxh

2 − 2bhsxyh N2Vtregs

ESTIMADOR COMBINADO DE REGRESIÓN


y N y

Estimador y regc y st bc x − x st N y regc

Varianza V y regs ∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

Syh2 b2Sxh

2 − 2bSxyh N2V y regc


V y regc ∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

syh2

bc

2sxh

2 − 2bcsxyh N2V y regc

Donde

bc

∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

sxyh2

∑h1

LWh

2 Nh − nhNhnh

sxh2

Muestreo con probabilidades desigualesPROBABILIDADES DESIGUALES CON REEMPLAZAMIENTO


N y y p

Estimador tHH 1n ∑

i1

n yipi

tHHN

tHHN

Varianza 1n ∑

i1

N yi2

pi− N y 2 VtHH

N2VtHH

N2


1nn − 1 ∑i1

n yi2

pi2 − ntHH

2 VtHHN2

VtHHN2

PROBABILIDADES DESIGUALES SIN REEMPLAZAMIENTO


N y y p

Estimador tHT ∑i1

n yii

tHTN

tHTN

Varianza ∑i1

N 1 − ii

yi2 2∑

ij

N ij − ijij

yiyjVtHT

N2VtHT

N2

Varianza(Yates-Grundy)

∑ij

Nij − ij

yii−

yjj

2 VtHTYG

N2VtHTYG

N2


∑i1

n 1 − ii

2 yi2 2∑

ij

n ij − ijij

yiyjij

VtHTN2

VtHTN2

Estimadorde la Varianza(Yates-Grundy)

∑ij

n ij − ijij

yii−

yjj

2 VtHTYG

N2VtHTYG

N2

Muestreo por conglomerados en unaetapa

TAMAÑOS DE CONGLOMERADOS IGUALES (m.a.s.)


y N y p

Estimador y c 1n ∑

i1

ny i N y c

pc 1n ∑

i1

npi

Varianza 1 − f1nL − 1 ∑i1

L y i − y 2 N2V y c

1 − f1nL − 1 ∑i1

Lpi − p2


1 − f1nn − 1 ∑i1

n y i − y c

2 N2V y c1 − f1nn − 1 ∑i1

npi −

pc2

Otras expresiones para la varianza del estimador son:

V y c L − nN2

LL − 1nN 2 1 N − 1

V y c L − nLNn

Sb2

y

V y c ≃L − n

LS2

nN1 N − 1

Otra expresión para la varianza estimada es:

V y c L − nLNn

sb2

consb

2 Nn − 1 ∑i1

n y i − y c

2.

Un estimador de es 1 − N

N − 1LN − 1sw

2

N − 1s2

donde

sw2 1

nN − 1∑i1

n∑j1

Nyij − y i

2

y

s2 1nN − 1

∑i1

n∑j1

Nyij − y c

2.

Otro estimador de es

sb

2 −S

2

N − 1S

2

dondeS

2 LN − 1sw

2 L − 1sb2

N − 1 .

TAMAÑOS DESIGUALES: ESTIMACIÓN INSESGADA (m.a.s.)


y N y p

Estimador y 1Nn∑i1

nyi N y 1

Nn∑i1

nNipi

Varianza 1 − f1

nN 2L − 1∑i1

Lyi − y t

2 N2V y V y


1 − f1

nN 2n − 1∑i1

nyi − y t

2 N2V y V y

donde

y t 1L ∑i1

Lyi

ey t

1n ∑

i1

nyi.

TAMAÑOS DESIGUALES: ESTIMACIÓN DE RAZÓN A TAMAÑO (m.a.s.)


y N y p

Estimador y R ∑i1

nyi

∑i1

nNi

N y RpR

∑i1

nNipi

∑i1

nNi

Varianza 1 − f1

N 2nL − 1∑i1

LNi

2 y i − y 2 N2V y R1 − f1

N 2nL − 1∑i1

LNi

2pi − p2


1 − f1

N 2nn − 1∑i1

nNi

2 y i − y R2 N2V y R

1 − f1

N 2nn − 1∑i1

nNi

2pi −pR

2

TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALES,CON REEMPLAZAMIENTO


N y y p

Estimador tHH 1n ∑

i1

n yipi

tHHN

tHHN

Varianza 1n ∑

i1

L yi2

pi− N y 2 VtHH

N2VtHH

N2


1nn − 1 ∑i1

n yi2

pi2 − ntHH

2 VtHHN2

VtHHN2

TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALESSIN REEMPLAZAMIENTO


N y y p

Estimador tHT ∑i1

n yii

tHTN

tHTN

Varianza ∑i1

L 1 − ii

yi2 2∑

ij

L ij − ijij

yiyjVtHT

N2VtHT

N2

Varianza(Yates-Grundy)

∑ij

Lij − ij

yii−

yjj

2 VtHTYG

N2VtHTYG

N2


∑i1

n 1 − ii

2 yi2 2∑

ij

n ij − ijij

yiyjij

VtHTN2

VtHTN2

Estimadorde la Varianza(Yates-Grundy)

∑ij

n ij − ijij

yii−

yjj

2 VtHTYG

N2VtHTYG

N2

Muestreo bietápico de conglomeradosEn las fórmulas se tendrán en cuenta las expresiones siguientes de las varianzas

poblacionales y muestrales, en el caso en que el objetivo sea estimar la media o laproporción.

Varianzas en estimación de la media o total Varianzas en estimación de la proporción

S12 1

L − 1 ∑i1

L y i − y 2 S1

2 1L − 1 ∑i1

Lpi − p2

s12 1

n − 1 ∑i1

n y i − y 2 s1

2 1n − 1 ∑i1

npi −

p2

S22 1

LN − 1∑i1

L∑j1

Nyij − y i

2 S22 1

L ∑i1

L NN − 1

pi1 − pi

s22 1

nm − 1 ∑i1

n∑j1

myij − y i

2 s22 1

n ∑i1

n mm − 1

pi1 −pi

S2i2 1

N − 1∑j1

Nyij − y i

2 S2i2 N

N − 1pi1 − pi

s2i2 1

m − 1 ∑j1

myij − y i

2 s2i2 m

m − 1pi1 −

pi

TAMAÑOS IGUALES, M.A.S. EN AMBAS ETAPAS


y N y p

Estimador y 1n ∑

i1

ny i N y

p 1n ∑

i1

n pi

Varianza 1 − f1S1

2

n 1 − f2S2

2

nm N2V y Vp


1 − f1s1

2

n 1 − f2s2

2

mL N2V y Vp

TAMAÑOS IGUALES, m.a.s. EN PRIMERA ETAPA,M.A.S.R. EN SEGUNDA ETAPA


y N y p

Estimador y 1n ∑

i1

ny i N y

p 1n ∑

i1

n pi

Varianza 1 − f1S1

2

n 22

nm N2V y Vp


1 − f1s1

2

n s22

mL N2V y Vp

TAMAÑOS DESIGUALES, m.a.s. EN AMBAS ETAPASESTIMACIÓN INSESGADA


N y

Estimador N y Ln ∑

i1

nNi y i

Varianza L21 − f1nL − 1 ∑i1

Lyi − N y 2 L

n ∑i1

L Ni21 − f2iS2i

2

mi


L21 − f1nn − 1 ∑i1

nNi y i −

1n ∑

i1

nNi y i

2 Ln ∑

i1

n Ni21 − f2is2i

2

mi

Para la estimación de la media y proporción :


y p

Estimador N yN

p LNn ∑i1

nNipi

Varianza V y N2

VpN2


V y N2

VpN2

TAMAÑOS DESIGUALES, m.a.s. EN AMBAS ETAPASESTIMACIÓN DE RAZÓN A TAMAÑO


y

Estimador y R ∑i1

nNi y i

∑i1

nNi

Varianza 1 − f1

N 2n∑i1

L Ni2 y i − y 2

L − 1 1LN 2n

∑i1

L Ni21 − f2iS2i

2

mi


1 − f1

N 2n∑i1

n Ni2 y i − y R

2

n − 1 1LN 2n

∑i1

n Ni21 − f2is2i

2

mi

En el último caso, para la estimación del total y proporción :


N y p

Estimador N y R y R

Varianza N2V y R V y R


N2V y R V y R

TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALESY REEMPLAZAMIENTO EN 1ª ETAPA, m.a.s. EN 2ª ETAPA


N y

Estimador N y 1n ∑

i1

n Ni y ipi

Varianza 1n ∑

i1

L yi2

pi− N y 2 1

n ∑i1

L Ni − miNi

Ni2

pimiS2i

2 .


1nn − 1 ∑i1

n

Ni y ipi

− N y 2

TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALESY REEMPLAZAMIENTO EN 1ª ETAPA, m.a.s.r. EN 2ª ETAPA


N y

Estimador N y 1n ∑

i1

n Ni y ipi

Varianza VN y 1n ∑

i1

L yi2

pi− N y 2 1

n ∑i1

L Ni22i

2

pimi


1nn − 1 ∑i1

n

Ni y ipi

− N y 2

TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALES Y MUESTREOSIN REEMPLAZAMIENTO EN 1ª ETAPA, m.a.s. EN 2ª ETAPA


N y

Estimador N y ∑i1

n Ni y ii

Varianza VN y ∑i1

L 1 − ii

yi2 2∑

ij

L ij − ijij

yiyj ∑i1

L Ni2

i1 − f2i

S2i2

mi


VN y ∑i1

n 1 − ii

2 Ni y i2 2∑

ij

n ij − ijij

Ni y iNj y jij

∑i1

n Ni2

i1 − f2i

s2i2

mi

Estimadorde la Varianza (Y-G)

VN y ∑ij

n ij − ijij

Ni y ii

−Nj y jj

2

∑i1

n Ni2

i1 − f2i

s2i2

mi

En los últimos casos, para la estimación de la media y proporción se corrigenligeramente las expresiones anteriores:


y p

Estimador N yN

N yN

Varianza V y N2

V y N2


V y N2

V y N2

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