Fórmulas de Integración de Newton Cote
7
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON - COTES Diego López Montor Son los esquemas de integración numérica más comunes. Formas cerradas: los datos al inicio y final son conocidos. Se basan en la estrategia de reemplazar una función conocida o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil integrar: Donde f n (x) es un polinomio de orden n. Las fórmulas de integración que se van a obtener son de la forma: Referencias: Este módulo fue desarrollado por Diego López usando notas del libro: HEATH, Michael; Scientific Computing: An introductory survey. McGraw Hill. 1997. Capítulo 8. Página 246. En muchos casos, la integración de una función f(x) es dificil o hasta imposible de encontrar, para ello debemos usar una función que se aproxime a la función original y que sea de más fácil solución, la más común es el polinomio de n términos. El otro tema a tomar en cuenta es cuando se desarrolla la integración. Numéricamente debemos usar sumatorias para
-
Upload
maria-helena-santos-pineda -
Category
Documents
-
view
10 -
download
0
Transcript of Fórmulas de Integración de Newton Cote
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON - COTES
Diego López
Montor
Son los esquemas de integración numérica más comunes.
Formas cerradas: los datos al inicio y final son conocidos.
Se basan en la estrategia de reemplazar una función conocida o datos tabulados con
una función aproximada que sea fácil integrar:
Donde fn(x) es un polinomio de orden n.
Las fórmulas de integración que se van a obtener son de la forma:
Referencias:
Este módulo fue desarrollado por Diego López usando notas del libro:
HEATH, Michael; Scientific Computing: An introductory survey. McGraw Hill. 1997.
Capítulo 8. Página 246.
En muchos casos, la integración de una función f(x) es dificil o hasta imposible de
encontrar, para ello debemos usar una función que se aproxime a la función original y
que sea de más fácil solución, la más común es el polinomio de n términos.
El otro tema a tomar en cuenta es cuando se desarrolla la integración. Numéricamente
debemos usar sumatorias para desarrollarla; entre más puntos que se encuentran en
los límites de la integral se tenga será más aproximada la solución, pero esto implica
que el algoritmo sea a veces más complicado.
CÁLCULO CON POLINOMIOS
Diego López
Monitor
Carlos Álvarez
Docente UdeA
La forma de la ecuación diferencial es la más común para definir un sistema de
segundo orden, aunque proporciona una medida pobre para determinar el valor de un
polinomio para un valor particular de x.
Al evaluar el polinomio de tercer orden como:
Implica seis multiplicaciones y tres sumas.
En general, para un polinomio de n-ésimo orden, la aproximación requiere
de n(n+1)/2 multiplicaciones y n sumas.En contraste, el formato anidado:
Implica tres multiplicaciones y tres sumas.
Para el polinomio de n-ésimo orden, esta aproximación requiere nmultiplicaciones
y n sumas.
La forma anidada minimiza el número de operaciones y
también tiende a minimizar los errores de redondeo.
El orden del anidamiento también puede ser invertido según la preferencia.
Referencias:
Este módulo fue desarrollado por el profesor Carlos Álvarez usando sus notas de clase,
también usando el libro:
HEATH, Michael; Scientific Computing: An introductory survey. McGraw Hill. 1997.
Capítulo 7. Página 224
El cálculo con polinomios puede ser muy variado, dependiendo del orden como este
está expresado, cuando se desea hacer operaciones con polinomios el método más
efectivo es aquel que de alguna manera implique menos operaciones, de este modo,
será más rápida su implementación.
RAÍCES DE POLINOMIOSCarlos ÁlvarezDocente UdeA
En esta sección se verán métodos para encontrar las raíces de ecuaciones de la forma general:
Donde n es el orden del polinomio, y los ai son los coeficientes constantes.
Las raíces de tales polinomios tienen las siguientes reglas: – Para la ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas, no necesariamente distintas. – Si n es impar, hay al menos una raíz real. – Si existen raíces complejas, existe un par conjugado, esto es, a + bi y a - bi, donde:
Polinomios en Ciencias e Ingeniería:
Aplicaciones de polinomios en Ciencias e Ingeniería: – Ajuste de curvas. – Sistemas dinámicos. – Sistemas lineales
Sea un sistema de segundo orden definido por la siguiente EDO:
Donde y y t son variables dependientes e independientes, respectivamente, las ai son coeficientes constantes, y F(t) es la función de "fuerza", que representa los efectos del
mundo externo sobre el sistema. La ecuación anterior se puede expresar alternativamente como un par de EDO de primer orden mediante:
La solución general u homogénea, trata el caso cuando la función fuerza es cero (F(t) = 0). Lahomogénea dirá algunos aspectos fundamentales acerca de los sistemas que está estimulando. Cómo responden los sistemas ante la ausencia de un estímulo externo.
La solución general de todos los sistemas sin fuerza es de la forma: y = ert. Derivando esta solución y sustituyéndola en la homogénea se tiene:
Y cancelando términos exponenciales:
Este resultado es un polinomio llamado la ecuación característica, las raíces de la ecuación característica son los valores de r que satisfacen esta ecuación. Las r se conocen como los valores característicos, o eigenvalores del sistema. Al evaluar estas raíces con la fórmula cuadrática:
Se obtienen dos raíces, y se presentan los siguientes casos:
- Si el discriminante (a12 – 4a2a0) > 0, las raíces son reales y la solución general se puede
representar como:
Las c son constantes y pueden determinarse con las condiciones iniciales. Este caso es llamado sobreamortiguado.
- Si el discriminante es cero, resulta una sola raíz real y la solución general es:
Este caso es llamado amortiguamiento crítico.
- Si el discriminante es negativo (< 0), las raíces son números complejos conjugados:
La solución general puede formularse como:
El comportamiento físico de esta solución puede ser aclarado mediante la fórmula deEuler:
Reformulando la solución general como:
Este caso es llamado subamortiguado.
Estas ecuaciones representan las posibles soluciones de un sistema dinámico lineal. El término exponencial significa que la solución puede decaer (parte real negativa) o crecer (parte real positiva). El término sinusoidal (parte imaginaria) significa que la solución puede oscilar. Si el eigenvalor tiene tanto parte real como imaginaria, las
formas exponencial y sinusoidal son combinadas. Tal conocimiento es esencial para entender, diseñar y controlar el comportamiento de sistemas físicos.
Por todo lo anterior, los polinomios característicos son importantes en ingeniería y en diferentes ramas de las ciencias.
Referencias:
Este módulo fue desarrollado por el profesor Carlos Álvarez, usando notas de su curso.
La base de este módulo es mostrar la importancia que tienen los polinomios como principales expresiones para solucionar otras ecuaciones, y como estas se
implementan para dar una solución óptima.
En esta unidad, por ejemplo, para encontrar la raiz de una ecuación no lineal, se utilizan líneas rectas, o sea, polinomios de segundo grado.
En las próximas unidades también se verá la implementación de polinomios.
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=229
http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Formulas_Newton_Cotes.html
