MATEMÁTICAS – FIME – E2015 C CALCULO DIFERENCIAL

𝐷𝑥(𝑢)𝑛 = 𝑛(𝑢)𝑛−1𝑑𝑢

𝐷𝑥[𝑢 ∗ 𝑣] = 𝑢𝐷𝑥𝑣 + 𝑣𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥 [𝑢

𝑣] =

𝑣𝐷𝑥𝑢−𝑢𝐷𝑥𝑣

𝑣2

𝐷 𝑥[𝑙𝑛𝑢] = 1

𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥 [𝐿𝑜𝑔𝑎𝑢] = 1

𝑢𝑙𝑛𝑎𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝑒𝑢] = 𝑒𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝑎𝑢] = 𝑎𝑢 ln𝑎𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑛𝑢] = 𝐶𝑜𝑠𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑠𝑢] = −𝑆𝑒𝑛𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝑇𝑎𝑛𝑢] = 𝑆𝑒𝑐2𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑡𝑢] = −𝐶𝑠𝑐2𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑐𝑢] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑇𝑎𝑛𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝐶𝑠𝑐𝑢] = −𝐶𝑠𝑐𝑢𝐶𝑜𝑡𝑢𝐷𝑥𝑢

𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑛ℎ𝑢] = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝐷𝑢

𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑠ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢

𝐷𝑥[𝑇𝑎𝑛ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑐ℎ2(𝑢)𝐷𝑢

𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑡ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ2(𝑢)𝐷𝑢

𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑐ℎ𝑢] = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢

𝐷𝑥[𝐶𝑠𝑐ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝐷𝑢

𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑢] =𝐷𝑥𝑢

√1−𝑢2

𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑢] =−𝐷𝑥𝑢

√1−𝑢2

𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑢] =𝐷𝑥𝑢

1+ 𝑢2

𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑢] =−𝐷𝑥𝑢

1+ 𝑢2

𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑢] =𝐷𝑥𝑢

|𝑢|√𝑢2−1

𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑢] =−𝐷𝑥𝑢

|𝑢|√𝑢2−1

𝐷𝑥[ 𝑆𝑒𝑛ℎ−1𝑢] =𝐷𝑥𝑢

√𝑢2+ 1

𝐷𝑥[ 𝐶𝑜𝑠ℎ−1𝑢] =𝐷𝑥𝑢

√𝑢2− 1

𝐷𝑥[ 𝑇𝑎𝑛ℎ−1𝑢] =𝐷𝑥𝑢

1 − 𝑢2

𝐷𝑥[ 𝐶𝑜𝑡ℎ−1𝑢] =𝐷𝑥𝑢

1 − 𝑢2

𝐷𝑥[ 𝑆𝑒𝑐ℎ−1𝑢] =−𝐷𝑥𝑢

𝑢 √1−𝑢2

𝐷𝑥[ 𝐶𝑠𝑐ℎ−1𝑢] =−𝐷𝑥𝑢

|𝑢|√1−𝑢2

REGLAS BASICAS DE LA INTEGRACION

∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

∫ 𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐊 = 𝐜𝐭𝐞

CAMBIO DE VARIABLE

∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 = 𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶

∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 𝐧 ≠ −𝟏

En donde u es una función

polinomial o trascendental

𝒆 = 𝑪𝒕𝒆. 𝒅𝒆 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: 𝑒 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥

FUNCION LOGARITMICA

𝐿𝑛 1 = 0

∫𝑑𝑢

𝑢= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶

Propiedades:

Ln (pq) = Ln p + Ln q

Ln e=1

Ln(𝑝

𝑞) = 𝐿𝑛(𝑝) − 𝐿𝑛(𝑞)

Ln 𝑝𝑟 = 𝑟 𝐿𝑛 𝑝

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑜𝑠(𝑢) + 𝐶

∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶

∫ 𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢)| + 𝐶

= −ln|𝐶𝑜𝑠(𝑢)| + 𝐶

∫ 𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢)| + 𝐶

= ln|𝑆𝑒𝑛(𝑢)| + 𝐶

∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝑇𝑎𝑛(𝑢)| + 𝐶

∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢) − 𝐶𝑜𝑡 (𝑢)| + 𝐶

∫ 𝑆𝑒𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛(𝑢) + 𝐶

∫ 𝐶𝑠𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡(𝑢) + 𝐶

∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝐶

∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐(𝑢) + 𝐶

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢) + 𝐶

∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶

∫ 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑢| + 𝐶

∫ 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑢| + 𝐶

∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶

∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ2(𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢) + 𝐶

∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢) + 𝐶

∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢) + 𝐶

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

∫𝑑𝑢

√𝑎2− 𝑢2= 𝑆𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑎2+ 𝑢2 = 1

𝑎𝑇𝑎𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑢 √𝑢2− 𝑎2=

1

𝑎𝑆𝑒𝑐−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS

∫𝑑𝑢

√𝑎2+ 𝑢2= 𝑆𝑒𝑛ℎ−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

√𝑢2− 𝑎2= 𝐶𝑜𝑠ℎ−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑢 √𝑎2+ 𝑢2=

−1

𝑎𝐶𝑠𝑐ℎ−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑢 √𝑎2− 𝑢2=

−1

𝑎𝑆𝑒𝑐ℎ−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑎2− 𝑢2=

1

𝑎𝑇𝑎𝑛ℎ−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑢

√𝑢2± 𝑎2= ln (𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2) + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑎2− 𝑢2=

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑎+𝑢

𝑎−𝑢| + 𝐶

∫𝑑𝑢

𝑢 √𝑎2± 𝑢2= −

1

𝑎𝑙𝑛 (

𝑎+√𝑎2± 𝑢2

|𝑢|) + 𝐶

Forma equivalente de las integrales que dan como resultado

HIPERBÓLICAS INVERSAS

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Forma Sustitución la raíz se sustituye por:

√𝑎2 − 𝑢2 u= aSen𝜃 aCos𝜃

√𝑎2 + 𝑢2 u= aTan𝜃 aSec𝜃

√𝑢2 − 𝑎2 u= aSec𝜃 aTan𝜃

INTEGRAL POR PARTES

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

CASOS TRIGONOMÉTRICOS

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛(𝑢)𝑑𝑢; ∫ 𝐶𝑜𝑠𝑛(𝑢)𝑑𝑢

CASO I.

En donde n es entero impar positivo

Expresar:

𝑆𝑒𝑛𝑛(𝑢) = 𝑆𝑒𝑛𝑛−1(𝑢) 𝑆𝑒𝑛 (𝑢)

Usar: 𝑺𝒆𝒏𝟐(𝒖) = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐(𝒖)

𝐶𝑜𝑠𝑛(𝑢) = 𝐶𝑜𝑠𝑛−1(𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑢)

Usar: 𝑪𝒐𝒔𝟐(𝒖) = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐(𝒖)

CASO II :

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛(𝑢) 𝐶𝑜𝑠𝑚(𝑢)𝑑𝑢 ;

En donde al menos un exponente es entero impar

positivo, utilizar:

𝑺𝒆𝒏𝟐(𝒖) + 𝑪𝒐𝒔𝟐(𝒖) = 𝟏

de manera similar al CASO I

NOTA: Si los dos exponentes son enteros impares

positivos se cambia el impar menor

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

CASO III. Factores cuadráticos distintos.

A cada factor cuadrático (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) le

corresponde una fracción de la forma

𝐴1𝑥 + 𝐵1

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐+ ⋯ +

𝐴𝑘𝑥 + 𝐵𝑘

(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑘

CASO IV. Factores cuadráticos repetidos.

A cada factor cuadrático repetido (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑘 le

corresponde la suma de k fracciones parciales de la

forma:

TEOREMAS DE SUMATORIAS

Sean m y n enteros positivos, c= constante

1. ∑ 𝒄 𝒇(𝒊) = 𝒄 ∑ 𝒇(𝒊)𝒏𝒊=𝟏

𝒏𝒊=𝟏

2. ∑ [𝒇(𝒊) ± 𝒈(𝒊)] = ∑ 𝒇(𝒊) ± ∑ 𝒈(𝒊)𝒏𝒊=𝟏

𝒏𝒊=𝟏

𝒏𝒊=𝟏

3. ∑ 𝒇(𝒊) = ∑ 𝒇(𝒊) + ∑ 𝒇(𝒊) 𝒎 < 𝒏𝒏𝒊=𝒎+𝟏

𝒎𝒊=𝟏

𝒏𝒊=𝟏

4. ∑ 𝒄 = 𝒏𝒄𝒏𝒊=𝟏

5. ∑ 𝒊𝒏𝒊=𝟏 =

𝒏(𝒏+𝟏)

𝟐

6. ∑ 𝒊𝟐 =𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)

𝟔𝒏𝒊=𝟏

7. ∑ 𝒊𝟑 = [𝒏(𝒏+𝟏)

𝟐]

𝟐𝒏𝒊=𝟏

SUMA DE RIEMANN

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞ ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑛𝑖=1

𝑏

𝑎

∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛 , 𝑐𝑖 = 𝑎 + 𝑖 ∗ ∆𝑥

FRACCIONES PARCIALES

𝐴

𝑎𝑥 + 𝑏

CASO I: Factores lineales distintos.

A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una

fracción de la forma:

𝐴1

𝑎𝑥 + 𝑏+

𝐴2

(𝑎𝑥 + 𝑏)2+ ⋯ +

𝐴𝑘

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘

CASO II: Factores lineales repetidos.

A cada factor lineal repetido (ax + b)𝑘. Le

corresponde la suma de k fracciones parciales de

la forma:

Tipo de Integral Condición Identidad útil

1 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛𝑢 𝑑𝑢, ∫ 𝐶𝑜𝑠𝑛𝑢 𝑑𝑢, donde n es un entero impar

positivo 𝑆𝑒𝑛2𝑢 + 𝐶𝑜𝑠2𝑢 = 1

2 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛𝑢 𝐶𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢, donde n o m es un entero

impar positivo

𝑆𝑒𝑛2𝑢 + 𝐶𝑜𝑠2𝑢 = 1

3

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛𝑢 𝑑𝑢,

∫ 𝐶𝑜𝑠𝑛𝑢 𝑑𝑢,

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛𝑢 𝐶𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢,

donde n y m son enteros

pares positivos

𝑆𝑒𝑛2𝑢 =1−𝐶𝑜𝑠 2𝑢

2 𝐶𝑜𝑠2𝑢 =

1+𝐶𝑜𝑠 2𝑢

2

𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑢 = 1

2𝑆𝑒𝑛 2𝑢

4

∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑚𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑢)𝑑𝑢

∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑚𝑢) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑢)𝑑𝑢

∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑚𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑢)𝑑𝑢

donde n y m son cualquier

número

𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 =1

2[𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵)]

𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 =1

2[ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵) − 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)]

𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 =1

2[ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵) + 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)]

5 ∫ 𝑇𝑎𝑛𝑛𝑢 𝑑𝑢,

∫ 𝐶𝑜𝑡𝑛𝑢 𝑑𝑢

donde n es cualquier número entero

1 + 𝑇𝑎𝑛2𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2𝑢

6 ∫ 𝑆𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢,

∫ 𝐶𝑠𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢

donde n es un entero par

positivo

1 + 𝑇𝑎𝑛2𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2𝑢 1 + 𝐶𝑜𝑡2𝑢 = 𝐶𝑠𝑐2𝑢

7 ∫ 𝑇𝑎𝑛𝑚𝑢 𝑆𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢

∫ 𝐶𝑜𝑡𝑚𝑢 𝐶𝑠𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢

donde n es un entero par

positivo

1 + 𝑇𝑎𝑛2𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2𝑢 1 + 𝐶𝑜𝑡2𝑢 = 𝐶𝑠𝑐2𝑢

8 ∫ 𝑇𝑎𝑛𝑚𝑢 𝑆𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢

∫ 𝐶𝑜𝑡𝑚𝑢 𝐶𝑠𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢

donde m es un entero

impar positivo

1 + 𝑇𝑎𝑛2𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2𝑢 1 + 𝐶𝑜𝑡2𝑢 = 𝐶𝑠𝑐2𝑢

CASOS TRIGONOMETRICOS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

𝐴 = ∫ [(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎) − (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)]𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝐴 = ∫ [(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎) − (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎)]𝑑𝑦𝑏

𝑎

ÁREA:

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟(𝑦)ℎ(𝑦)𝑑𝑦𝑏

𝑎

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

VOLUMEN / METODO DE CAPAS O CORTEZA

Cuando el eje de revolución es horizontal

Cuando el eje de revolución es vertical

VOLUMEN / METODO DEL DISCO O ARANDELA

V= 𝜋 ∫ [(𝑅2(𝑥) − 𝑟2(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

𝑎

V= 𝜋 ∫ [(𝑅2(𝑦) − 𝑟2(𝑦)]𝑑𝑦𝑏

𝑎

LONGITUD DE ARCO

𝑆 = ∫ √1 + [𝑓´(𝑥)]2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑆 = ∫ √1 + [𝑔´(𝑦)]2 𝑑𝑦𝑑

𝑐

TRABAJO

𝑾 = ∫ 𝑭(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑏

𝑎 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑔2(𝑦)

𝑔1(𝑦)

𝑏

𝑎

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS

𝑆𝑒𝑛(𝑢) =1

𝐶𝑠𝑐(𝑢) Csc(𝑢) =

1

𝑆𝑒𝑛(𝑢)

𝐶𝑜𝑠(𝑢) =1

𝑆𝑒𝑐(𝑢) 𝑆𝑒𝑐(𝑢) =

1

𝐶𝑜𝑠(𝑢)

𝑇𝑎𝑛(𝑢) =1

𝐶𝑜𝑡(𝑢) 𝐶𝑜𝑡(𝑢) =

1

𝑇𝑎𝑛(𝑢)

FORMA DE COCIENTE

𝑇𝑎𝑛(𝑢) =𝑆𝑒𝑛(𝑢)

𝐶𝑜𝑠(𝑢) 𝐶𝑜𝑡(𝑢) =

𝐶𝑜𝑠(𝑢)

𝑆𝑒𝑛(𝑢)

PITAGÓRICAS

𝑆𝑒𝑛2(𝑢) = 1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)

𝐶𝑜𝑠2(𝑢) = 1 − 𝑆𝑒𝑛2(𝑢)

𝑆𝑒𝑐2(𝑢) = 1 + 𝑇𝑎𝑛2(𝑢)

𝑇𝑎𝑛2(𝑢) = 𝑆𝑒𝑐2(𝑢) − 1

𝐶𝑠𝑐2(𝑢) = 1 + 𝐶𝑜𝑡2(𝑢)

𝐶𝑜𝑡2(𝑢) = 𝐶𝑠𝑐2(𝑢) − 1

ANGULO DOBLE

Sen2u= 2Sen(u)Cos(u)

Cos2u = 𝐶𝑜𝑠2(𝑢) − 𝑆𝑒𝑛2(𝑢)

𝑆𝑒𝑛2(𝑢) =1−cos (2𝑢)

2

𝐶𝑜𝑠2(𝑢) =1+cos (2𝑢)

2

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) − 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢) = 1

𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑢) + 𝑡𝑎𝑛ℎ2(𝑢) = 1

𝑐𝑜𝑡ℎ2(𝑢) − 𝑐𝑠𝑐ℎ2(𝑢) = 1

𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑢) = 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢)cosh (𝑢)

cosh (2𝑢) = 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) +

𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢)

𝑡𝑎𝑛ℎ(2𝑢) =2tanh(𝑢)

1+𝑡𝑎𝑛ℎ2(𝑢)

𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢) =𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑢)−1

2

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) =𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑢)+1

2

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 =𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2

𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥 =𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥 =𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥𝐶𝑠𝑐ℎ𝑥 = 1

𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥𝑆𝑒𝑐ℎ𝑥 = 1

𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥𝐶𝑜𝑡ℎ𝑥 = 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

𝑆𝑒𝑛𝜃 =𝐶.𝑂.

𝐻𝑖𝑝 𝐶𝑜𝑡𝜃 =

𝐶.𝐴.

𝐶.𝑂.

𝐶𝑜𝑠𝜃 =𝐶.𝐴.

𝐻𝑖𝑝 𝑆𝑒𝑐𝜃 =

𝐻𝑖𝑝.

𝐶.𝐴.

𝑇𝑎𝑛𝜃 =𝐶.𝑂.

𝐶.𝐴. 𝐶𝑠𝑐𝜃 =

𝐻𝑖𝑝.

𝐶.𝑂.

𝑆𝑒𝑛(−𝐴) = −𝑠𝑒𝑛(𝐴)

𝐶𝑜𝑠(−𝐵) = cos (𝐵)

𝑠𝑒𝑛(0) = 0

𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0

𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = 0

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0

𝑠𝑒𝑛 [(2𝑛 − 1)𝜋

2] = −(−1)𝑛 = (−1)𝑛+1

𝑐𝑜𝑠(0) = 1

𝑐𝑜𝑠(𝜋) = −1

𝑐𝑜𝑠(2𝜋) = 1

𝑐𝑜𝑠(2𝑛𝜋) = 1

𝑐𝑜𝑠 [(2𝑛 − 1)𝜋

2] = 𝑐𝑜𝑠 [(1 − 2𝑛)

𝜋

2] = 0

𝑐𝑜𝑠(−𝑛𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1)𝑛

VALORES IMPORTANTES DEL SENO Y COSENO

𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑊𝑜𝑡) =1

2𝑗(𝑒𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 − 𝑒−𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡)

𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑊𝑜𝑡) =1

2(𝑒𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 + 𝑒−𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡)

𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋

2) = 1

𝑠𝑒𝑛 (3

2𝜋) = −1

𝑠𝑒𝑛(−𝑛𝜋) = −𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0

𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋

2) = 0

𝑐𝑜𝑠 (3

2𝜋) = 0

𝑐𝑜𝑠(2𝑛 − 1)𝜋 = −1

𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1)𝑛

𝑒±𝑗𝑛𝜋 = cos(𝑛𝜋) ± 𝑗 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋)

𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 (𝑎

𝑏)

𝑚=

𝑎𝑚

𝑏𝑚

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

(𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚𝑏𝑚 𝑎𝑝

𝑞 = √𝑎𝑝𝑞

𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑚 > 𝑛 𝑎0 = 1

𝑎𝑚

𝑎𝑛 =1

𝑎𝑛−𝑚 𝑚 < 𝑛

LEYES DE EXPONENTES

TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES

f(t) F(s)

1 C

𝑪

𝒔, 𝒔 > 0

2 t

𝟏

𝒔𝟐, 𝒔 > 0

3 𝒕𝒏

𝒏!

𝒔𝒏+𝟏, 𝒔 > 0

4 𝒆𝒂𝒕

𝟏

𝒔 − 𝒂, 𝒔 > 𝑎

5 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕

𝒂

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔 > 0

6

Cos at 𝒔

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔 > 0

7 Senh at

𝒂

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒔 > |𝑎|

8 Cosh at

𝒔

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒔 > |𝑎|

9 𝒕𝒏𝒆𝒂𝒕

𝒏!

(𝒔 − 𝒂)𝒏+𝟏

10 𝒆𝒃𝒕𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕

𝒂

(𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐

11 𝒆𝒃𝒕𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕

𝒔 − 𝒃

(𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐

12 𝒆𝒃𝒕𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕

𝒂

(𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

13 𝒆𝒃𝒕𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕

𝒔 − 𝒃

(𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

TRANSFORMADAS DE LAPLACE TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS

ELEMENTALES

F(s) f(t)

1 𝑪

𝒔 C

2 𝟏

𝒔𝟐 t

3 𝟏

𝒔𝒏+𝟏

𝒕𝒏

𝒏!

4 𝟏

𝒔 − 𝒂 𝒆𝒂𝒕

5 𝟏

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐

𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕

𝒂

6 𝒔

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 Cos at

7 𝟏

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐

𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕

𝒂

8 𝒔

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 Cosh at

9 𝟏

(𝒔 − 𝒂)𝒏+𝟏

𝒕𝒏𝒆𝒂𝒕

𝒏!

10 𝟏

(𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐

𝒆𝒃𝒕𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕

𝒂

11 𝒔 − 𝒃

(𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐 𝒆𝒃𝒕𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕

12 𝟏

(𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

𝒆𝒃𝒕𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕

𝒂

13 𝒔 − 𝒃

(𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐 𝒆𝒃𝒕𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕

ℒ{𝑓(𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − 𝑠𝑛−1𝐹(0) − 𝑠𝑛−2𝐹′(0)

− ⋯ − 𝑠𝐹(𝑛−2)(0) − 𝐹(𝑛−1)(0)

ℒ {∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

} =𝐹(𝑠)

𝑠

ℒ{𝑡𝑛 𝑓(𝑡)} = (−1)𝑛𝐹𝑛(𝑠)

ℒ−1{𝑓(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒𝑎𝑡𝐹(𝑡)

ℒ−1{𝐹𝑛(𝑠)} = (−1)𝑛𝑡𝑛𝑓(𝑡)

ℒ−1 {𝐹(𝑠)

𝑠𝑛} = ∫ … ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 … 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑡

0

ℒ−1{𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)} = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢𝑡

0

= ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢 𝑡

0

Transformada de la derivada

Transformada de la Integral

Multiplicación por 𝐭𝐧

Primera Propiedad de Traslación

Transformada Inversa de la Derivada

División por s

Teorema de Convolución o Transformada Inversa del Producto

Si ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) 𝑦 ℒ−1{𝐺(𝑠)} = 𝑔(𝑡),

entonces:

𝑓(𝑡) =1

2𝑎0 + ∑[𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0𝑡) + 𝑏𝑛 sen(𝑛𝜔0𝑡)]

∞

𝑛=1

Fórmula General

𝑎0 =

2

𝑇 ∫ f(t) 𝑑𝑡

𝑇2⁄

−𝑇2⁄

𝑎𝑛 = 2

𝑇∫ f(t)cos(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡

𝑇2⁄

−𝑇2⁄

𝑏𝑛 = 2

𝑇∫ f(t)sen(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡

𝑇2⁄

−𝑇2⁄

Simetría Par 𝑎0 = 4

𝑇 ∫ f(t) 𝑑𝑡

𝑇2⁄

0

𝑎𝑛 = 4

𝑇∫ f(t)cos(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡

𝑇2⁄

0

𝑏𝑛 = 0

Simetría Impar 𝑎0 = 0 𝑎𝑛 = 0 𝑏𝑛 = 4

𝑇∫ f(t)sen(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡

𝑇2⁄

0

Simetría de Media Onda 𝑎0 = 0

𝑎2𝑛−1 = 4

𝑇∫ f(t)cos[(2𝑛 − 1)(𝜔0𝑡)]𝑑𝑡

𝑇2⁄

0

𝑏2𝑛−1 = 4

𝑇∫ f(t)sen[(2𝑛 − 1)(𝜔0𝑡)]𝑑𝑡

𝑇2⁄

0

Simetría de un cuarto de onda Par

𝑎0 = 0 𝑎2𝑛−1 = 8

𝑇∫ f(t)cos[(2𝑛 − 1)(𝜔0𝑡)]𝑑𝑡

𝑇4⁄

0

𝑏2𝑛−1 = 0

Simetría de un cuarto de onda Impar

𝑎0 = 0 𝑎2𝑛−1 = 0 𝑏2𝑛−1 =

8

𝑇∫ f(t)sen[(2𝑛 − 1)(𝜔0𝑡)]𝑑𝑡

𝑇4⁄

0

SERIES DE FOURIER

𝐶𝑛 = 1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡𝑑𝑡

𝑇2⁄

−𝑇2⁄

𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡

Serie De Fourier (FORMA COMPLEJA)

n= 0±1±2±3…

𝐶𝑛 = 1

2(𝑎𝑛−𝑗𝑏𝑛)

𝐶0 = 1

2𝑎0

Si se conoce 𝐚𝐧, 𝐚𝟎 y 𝐛𝐧

se obtiene:

𝑎𝑛 = 2𝑅𝑒[𝐶𝑛]

𝑏𝑛 = −2𝐼𝑚[𝐶𝑛]

𝑎0 = 2𝐶0

Si se conoce 𝐂𝐧, 𝐂𝟎 se obtiene:

𝜔𝑜 = 2𝜋

𝑇